MCDM（Multiple-criteria decision-making）またはMCDA（multiple-criteria decision analysis）は、意思決定における複数の矛盾する基準（日常生活およびビジネス、政府、薬などの設定の両方）を明示的に評価するオペレーション・リサーチのサブ規律です。 ）。 矛盾する基準はオプションの評価において典型的なものである。コストまたは価格は通常主な基準の1つであり、品質のいくつかの尺度は通常コストと容易に矛盾する別の基準である。 クルマの購入では、コスト、快適性、安全性、燃費などが考慮されることがあります。最も安いクルマが最も快適で安全なものであることは珍しいことです。 ポートフォリオ管理では、高いリターンを得ることに関心がありますが、同時にリスクも削減しますが、高いリターンをもたらす可能性のある株式は、通常、損失リスクの高いリスクも伴います。 サービス業界では、顧客満足度とサービス提供コストは基本的な相反する基準です。
私たちの日常生活では、通常、複数の基準を暗黙的に評価し、直感のみに基づいて行われるそのような決定の結果に慣れているかもしれません。 一方、ステークスが高い場合、問題を適切に構造化し、複数の基準を明示的に評価することが重要です。 原子力発電所を建設するかどうか、そして建設する場所を決定する際には、複数の基準を含む非常に複雑な問題だけでなく、その影響を深刻に受けている複数の関係者も存在する。
複雑な問題を適切に構造化し、複数の基準を考慮することにより、より情報に基づいたよりよい決定が明確に導かれます。 1960年代初めの近代的な複数基準の意思決定規律の開始以来、この分野で重要な進歩があった。 専門的な意思決定ソフトウェアによって多く実装されているさまざまなアプローチや方法が、政治やビジネスから環境やエネルギーに至る一連の分野で応用されています。
基礎、概念、定義
MCDMまたはMCDAは、複数基準の意思決定と複数基準の決定分析のよく知られている頭字語です。 Stanley Ziontsは、1979年の記事「MCDM – ローマ字ではないなら、何？」を頭字語として普及させ、起業家の聴衆を対象としました。
MCDMは、複数の基準を含む決定および計画上の問題の構造化および解決に関係している。 その目的は、こうした問題に直面している意思決定者を支援することです。 典型的には、このような問題に対する固有の最適解は存在せず、解を区別するために意思決定者の嗜好を用いる必要がある。
「解決する」はさまざまな方法で解釈することができます。 これは、利用可能な選択肢のセット（「最良」は意思決定者の「最も好ましい選択肢」と解釈できる）から「最良の」選択肢を選択することに対応することができる。 「解決する」というもう一つの解釈は、良い選択肢の小さなセットを選択すること、または選択肢を異なるプリファレンスセットにグループ化することである可能性がある。 極端な解釈は、すべての「効率的な」または「非標準化された」代替案（まもなく定義する）を見つけることです。
問題の難しさは、複数の基準の存在に起因します。 嗜好情報を組み込むことなく得られるMCDM問題に対する固有の最適解はもはや存在しない。 最適解の概念は、多くの場合、非同化解の集合に置き換えられます。 非標準化されたソリューションは、少なくとも1つの基準で犠牲にすることなく、他のソリューションに移動することができないという性質があります。 したがって、意思決定者が非選択集合から解を選択することは意味をなさない。 さもなければ、彼女は彼/彼女は条件のいくつかまたはすべての点でより良くでき、それらのどれでも悪化しないかもしれません。 しかし一般に、非選択ソリューションのセットは、最終的な選択のために意思決定者に提示するには大き過ぎる。 したがって、私たちは、意思決定者が好ましい解決策（または代替案）に焦点を当てるのを助けるツールが必要です。 通常、他者のための特定の基準を「トレードオフ」する必要があります。
MCDMは1970年代から積極的に研究されてきました。 複数基準の意思決定に関する国際社会、MCDAに関するユーロワーキンググループ、MCDMに関するINFORMSセクションを含むいくつかのMCDM関連組織が存在する。 歴史については、Köksalan、Wallenius and Zionts（2011）を参照。 MCDMは、以下を含む多くの分野の知識を活用します。
数学
意思決定分析
経済
コンピューターテクノロジー
ソフトウェア工学
情報システム
類型学
MCDMの問題と方法にはさまざまな分類があります。 MCDMの問題の大きな違いは、ソリューションが明示的にまたは暗黙的に定義されているかどうかに基づいています。
複数基準評価の問題：これらの問題は、ソリューションプロセスの始めに明示的に知られている有限数の代替案から構成されます。 各選択肢は、複数の基準でそのパフォーマンスによって表されます。 この問題は、意思決定者（DM）にとって最良の選択肢を見つけること、または良い選択肢のセットを見つけることとして定義できます。 「ソート」や「分類」の選択肢にも興味があるかもしれません。 ソートとは、優先順位付けされたクラス（国に格付けを割り当てるなど）に代替案を配置することを指し、分類とは、順序付けられていないセット（症候に基づいて患者を診断するなど）に代替案を割り当てることを指します。 このカテゴリーのMCDM方法のいくつかは、このテーマのTriantaphyllouによる書籍（2000年）の比較方法で研究されています。
複数の基準設計問題（複数の客観的な数学的プログラミング問題）：これらの問題では、代替案は明示的には分かっていません。 代替（解）は、数学的モデルを解くことによって見つけることができる。 代替変数の数は、無限であり、数えられない（いくつかの変数が連続している場合）か、または通常は非常に大きく、数えることができます（すべての変数が離散的である場合）。
評価問題であろうと設計問題であろうと、ソリューションを区別するためにDMの嗜好情報が必要です。 MCDM問題の解法は、通常、DMから得られた嗜好情報のタイミングに基づいて分類される。
プロセスの開始時にDMのプリファレンス情報を必要とする方法があり、問題を本質的に単一の基準問題に変換します。 これらの方法は、「嗜好の事前の調和」によって動作すると言われている。 価値関数を推定すること、または「上位関係」の概念、分析的階層プロセス、およびいくつかの決定規則に基づく方法に基づく方法は、以前の嗜好の嗜好を利用して複数の基準評価問題を解決しようとする。 同様に、価値関数を構築することによって、嗜好の従来の表現を用いて複数の基準設計問題を解決する方法が開発されている。 これらのメソッドの中で最もよく知られているのは、おそらく目標プログラミングです。 価値関数が構築されると、得られた単一目的の数学的プログラムが解決され、好ましい解が得られる。
いくつかの方法は、解法プロセスを通してDMからの嗜好情報を必要とする。 これらは、「嗜好の段階的な明瞭化」を必要とする対話的な方法または方法と呼ばれる。 これらの方法は、複数の基準評価（例えば、Geoffrion、Dyer and Feinberg、1972、Köksalanand Sagala、1995を参照）と設計上の問題（Steuer、1986を参照）の両方について十分に発達している。
複数の基準設計問題は、暗黙的に定義された解を明らかにするために、一連の数学的プログラミングモデルの解法を必要とする。 これらの問題については、「効率的な解決法」の表現または近似も重要である。 この分類は、DMの関与が「興味深い」解の明示的な暴露の後で始まることを示唆する「嗜好の後部連接」と呼ばれる（例えば、Karasakal andKöksalan、2009を参照）。
数学的プログラミングモデルが整数変数を含むとき、設計上の問題は解決しにくくなる。 多目的組合せ最適化（MOCO）は、計算上の困難性をもたらすような問題の特別な分類を構成する（レビューについては、Ehrgott and Gandibleux、2002を参照）。
表現と定義
MCDMの問題は、基準空間または決定空間で表現することができます。 あるいは、異なる基準が加重線形関数によって組み合わされる場合、重み空間内で問題を表すことも可能である。 以下は、基準と重量空間のデモンストレーションといくつかの正式な定義です。
基準空間表現
いくつかの基準を使用して、特定の問題状況でソリューションを評価すると仮定します。 さらに、各条件でより多くの方が良いと仮定してみましょう。 そして、すべての可能な解決策の中で、我々は理想的には、すべての考慮された基準で良好に機能する解決策に興味を持っています。 しかし、すべての考慮された基準で良好に機能する単一のソリューションを持つことは考えにくい。 通常、一部のソリューションはいくつかの基準で良好に機能し、一部のソリューションは他のソリューションでは優れたパフォーマンスを示します。 基準間の取引を見つける方法は、MCDM文献の主な取り組みの1つです。
数学的には、上記の議論に対応するMCDM問題は、
“max” q
に従う
q∈Q
ここでqはk個の基準関数（目的関数）のベクトルであり、Qは実行可能な集合Q⊆Rkである。
Qが明示的に（選択肢の集合によって）定義されている場合、結果の問題は複数の基準評価問題と呼ばれます。
Qが暗黙的に（制約のセットによって）定義されている場合、結果の問題は複数の基準設計問題と呼ばれます。
引用符は、ベクトルの最大化が明確な数学的演算ではないことを示すために使用されます。 これは、すべての基準で良好に機能するソリューションが存在しない場合に、基準間のトレードオフ（通常は意思決定者の嗜好に基づく）を解決する方法を見つける必要があるという議論に対応します。
決定空間表現
決定スペースは、私たちが利用可能な決定のセットに対応しています。 基準値は、私たちが行う決定の結果になります。 したがって、決定空間において対応する問題を定義することができる。 たとえば、製品を設計する際に、当社が製品を評価する際の性能尺度（基準）に影響を及ぼす設計パラメータ（決定変数）を決定します。
数学的には、複数の基準設計問題は、次のように決定空間で表現することができます。
“max” q = f（x）=（f 1（x）、…、f k（x））
に従う
q∈Q = {f（x）：x∈X、X⊆Rn}
ここで、Xは実行可能な集合であり、xはサイズnの決定変数ベクトルである。
Xが線形不等式および等式によって定義される多面体である場合、十分に発達した特別なケースが得られる。 すべての目的関数が決定変数に関して線形である場合、この変化はMCDM問題の重要なサブクラスである多重客観線形計画法（MOLP）につながる。
MCDMにはいくつかの定義があります。 密接に関連した2つの定義は、非同化（基準空間表現に基づいて定義される）と効率（決定変数表現に基づいて定義される）である。
定義1.q *∈Qは、q≥q *かつq≠q *となるような別のq∈Qが存在しない場合、非線型である。
大まかに言えば、解決策は、考慮されているすべての基準において他の利用可能なソリューションより劣っていない限り、非依存である。
定義2. x *∈Xは、f（x）≥f（x *）かつf（x）≠f（x *）となる他のx∈Xが存在しない場合に効率的である。
MCDM問題が決定状況をよく表す場合、DMの最も好ましい解は、決定空間内の効率的な解でなければならず、その画像は基準空間内の非統一点でなければならない。 以下の定義も重要です。
定義3. q *∈Qは、q> q *となるような別のq∈Qが存在しない場合、弱く非同化的である。
定義4. x *∈Xは、f（x）> f（x *）となるような別のx∈Xが存在しなければ弱く効率的である。
弱点のない点には、すべての非修飾点と特別な優位点が含まれます。 これらの特別な優位点の重要性は、それらが実際には一般的に現れるという事実から来ており、非差別的な点と区別するために特別な注意が必要です。 たとえば、単一の目的を最大化すると、優勢ではない弱い非統一点に終わることがあります。 弱く非同化集合の支配的な点は、基準空間の垂直面または水平面（超平面）のいずれかに位置する。
理想点：（基準空間内）は、各目的関数の最良（最大化問題の最大値と最小化問題の最小値）を表し、通常は実行不可能な解に対応します。
Nadir点：（基準空間内）は、非対象集合内の点の中の各目的関数の最悪（最大化問題の最小値および最小化問題の最大値）を表し、一般に支配的な点である。
理想点と最下点は、2つ以上の基準を持つ設計上の問題のナディアポイントを見つけるのは簡単ではありませんが、ソリューションの範囲の「感触」を得るためにDMにとって役に立ちます。
決定と基準空間の図解
決定変数空間における以下の2変数MOLP問題は、主要な概念のいくつかを図式的に示すのに役立ちます。
最大f1（x）= -x1 + 2×2
最大f 2（x）= 2x 1 -x 2
に従う
x1≦4
x2≦4
x1 + x2≦7
-x1 + x2≦3
x1 – x2≤3
x1、x2≧0
図1において、極値「e」および「b」は、それぞれ第1および第2の対物レンズを最大にする。 これらの2つの極端な点の間の赤い境界線は効率的なセットを表します。 この図から、効率的な集合の外の任意の実現可能な解について、効率的な集合上のいくつかの点によって両方の目的を改善することが可能であることが分かる。 逆に、効率的な集合上の任意の点については、他の実現可能な解に移動することによって両方の目的を改善することはできない。 これらの解決法では、他の目的を改善するために、目的の1つを犠牲にしなければならない。
簡単さのために、上記の問題は、xを次のようにfに置き換えることによって、基準空間で表現することができます。
最大f1
最大f2
に従う
f1 + 2f2≦12
2f1 + f2≦12
f1 + f2≦7
f1-f2≦9
-f1 + f2≦9
f1 + 2f2≧0
2f1 + f2≧0
図2に基準空間をグラフで示します。基準空間内の非決定点（決定空間内の効率的な解に対応する）を検出する方が簡単です。 実現可能な空間の北東の領域は、（最大化問題のための）非修飾点の集合を構成する。
無所属のソリューションの生成
非商用ソリューションを生成するにはいくつかの方法があります。 これらのうちの2つについて説明します。 第1のアプローチは、特殊化されていない溶液の特別なクラスを生成することができるが、第2のアプローチは任意の非理想化されたソリューションを生成することができる。
加重和（Gass＆Saaty、1955）
各基準に正の重みを掛け、重み付けした基準を合計することによって、複数の基準を単一の基準に組み合わせると、結果として生じる単一の基準の問題に対する解決策は、特別な効率的な解決策です。 これらの特殊な効率的なソリューションは、一連の利用可能なソリューションのコーナーポイントに表示されます。 コーナーポイントにない効率的なソリューションには特殊な特性があり、この方法ではそのようなポイントを見つけることはできません。 数学的には、この状況を
max wT.q = wT・f（x）、w> 0
に従う
x∈X
重みを変化させることにより、設計問題に対する効率的な極点解を生成するために重み付け和を使用することができ、評価問題のために支持された（凸状の非基準化）点を生成することができる。
達成スカラー化関数（Wierzbicki、1980）
達成スカラー化関数はまた、非常に特別な方法で複数の基準を重み付けすることによって、単一の基準に複数の基準を組み合わせます。 それらは、参照点から利用可能な効率的な解決策に向かう矩形の輪郭を作成する。 この特別な構造は、効率的なソリューションに到達するために達成スカラー化機能を強化します。 これは、これらの関数をMCDMの問題に非常に便利にする強力なプロパティです。
数学的には、対応する問題を
Min s（g、q、w、ρ）= Min {maxi [（gi – qi）/ wi] +ρΣi（gi- qi）
に従う
q∈Q
達成スカラー化関数を使用して、効率的なフロンティア上の任意の点（実行可能または実行不可能）を投影することができます。 任意のポイント（サポートされているかどうか）に到達できます。 目的関数の第2項は、非効率的な解を生成しないようにするために必要です。 図3は、実行可能スカラー化関数を使用して、実行可能な点g1および実行不可能な点g2が、方向wに沿ってそれぞれ非選択点q1およびq2にどのように投影されるかを示す。 破線と実線の輪郭線は、それぞれ目的関数の第2項がある場合とない場合の目的関数の輪郭線に対応しています。
MCDMの問題を解決する
MCDMの問題（設計と評価の両方のタイプ）を解決するために、さまざまな考え方が開発されています。 時間の経過とともにその発展を示す文献研究では、Bragge、Korhonen、H. WalleniusおよびJ. Wallenius [2010]を参照してください。
複数の客観的な数学のプログラミング学校
（1）ベクトル最大化：ベクトル最大化の目的は、非標準化集合を近似することである。 もともと多目的線形計画問題（Evans and Steuer、1973; Yu and Zeleny、1975）のために開発されました。
（2）対話型プログラミング：計算の段階は意思決定の段階と交互になる（Benayounら、1971; Geoffrion、Dyer and Feinberg、1972; Zionts and Wallenius、1976; Korhonen and Wallenius、1988）。 DMの価値関数の明示的な知識は想定されていない。
目標のプログラミング学校
目的は、目標に対して先験的な目標値を設定し、これらの目標からの重み付き偏差を最小限に抑えることです。 重要度重みと辞書編集上の先制的重みの両方が使用されている（Charnes and Cooper、1961）。
ファジィ集合理論
ファジーセットは、セットの古典概念の拡張としてZadeh（1965）によって導入されました。 この考え方は、ファジィ問題をモデル化して解決するために、多くのMCDMアルゴリズムで使用されています。
複数属性ユーティリティ理論家
複数属性のユーティリティーまたは値関数が抽出され、最も好ましい代替を識別したり、代替を順位付けしたりするために使用されます。 線形加算効用関数と乗法非線形効用関数を引き出すために存在する精巧なインタビュー技術が用いられている（Keeney and Raiffa、1976）。
フランス語学校
フランスの学校では、意思決定支援、特に1960年代半ばにフランスで生まれたELECTREの上位ランキング方式のファミリーに焦点を当てています。 この方法はBernard Roy（Roy、1968）によって最初に提案された。
進化的多目的最適化学校（EMO）
EMOアルゴリズムは最初の母集団から始まり、自然世代生存の原則や遺伝的変異演算子を模倣して世代間の平均人口を改善するためのプロセスを使用して更新します。 目標は、非結合集合を表す解の集団に収束することである（Schaffer、1984; Srinivas and Deb、1994）。 最近では、嗜好情報をEMOアルゴリズムの解法プロセスに取り入れる努力がなされている（Deb andKöksalan、2010参照）。
分析階層プロセス（AHP）
AHPは、まず、決定問題を部分問題の階層に分解する。 次に、意思決定者は、ペアワイズ比較による様々な要素の相対的重要性を評価する。 AHPは、これらの評価を数値（重みまたは優先順位）に変換し、各選択肢のスコアを計算するために使用されます（Saaty、1980）。 一貫性指数は、意思決定者が彼女の回答において一貫している程度を測定する。 AHPは、MCDAコミュニティの一部の研究者が欠陥があると信じている、ここで挙げられているより論争の多いテクニックの1つです。 基礎となる数学もより複雑ですが、市販のソフトウェアの結果として人気を博しています。
ファジーMCDM、古典的MCDM、持続可能で再生可能なエネルギー、VIKOR技術、輸送システム、サービス品質、TOPSIS法、エネルギー管理問題、eラーニング、観光とホスピタリティ、SWARAなどの様々な分野におけるMCDM技術の適用を検討したWASPASメソッド。
MCDMメソッド
以下のMCDM方法が利用可能であり、その多くは特殊な意思決定ソフトウェアによって実装されている。
集約インデックスランダム化手法（AIRM）
分析階層プロセス（AHP）
アナリティックネットワークプロセス（ANP）
最悪の最悪の方法（BWM）
特徴的なオブジェクトMEThod（COMET）
利点による選択（CBA）
データ包絡分析
デシジョンEXPERT（DEX）
分解 – 集約アプローチ（UTA *、UTAII、UTADIS）
ラフセット（ラフセットアプローチ）
ドミナンスベースのラフセットアプローチ（DRSA）
ELECTRE（上向き）
平均解（EDAS）からの距離に基づく評価
証拠推論アプローチ（ER）
ゴールプログラミング（GP）
グレー関係分析（GRA）
ベクターの内部産物（IPV）
カテゴリベースの評価手法（MACBETH）による魅力の測定
シンプルなマルチ属性評価手法（SMART）
マルチ属性グローバルな品質推論（MAGIQ）
マルチ属性ユーティリティ理論（MAUT）
多属性価値理論（MAVT）
査定への新しいアプローチ（NATA）
非構造ファジー決定支援システム（NSFDSS）
すべての可能な代替案（PAPRIKA）の潜在的にすべてのペアごとのランキング
PROMETHEE（上位ランク）
確率的マルチセレリア受容性分析（SMAA）
優良・劣位ランキング方式（SIR方式）
理想的ソリューション（TOPSIS）との類似性による優先順位付け手法
バリュー分析（VA）
バリュー・エンジニアリング（VE）
VIKOR法
ファジィVIKOR法
加重積モデル（WPM）
加重和モデル（WSM）
レンブラント法