Análise de decisão de múltiplos critérios

A tomada de decisões com múltiplos critérios (MCDM) ou análise de decisão com múltiplos critérios (MCDA) é uma sub-disciplina de pesquisa operacional que avalia explicitamente vários critérios conflitantes na tomada de decisões (tanto na vida diária quanto em ambientes como negócios, governo e medicina). ). Critérios conflitantes são típicos na avaliação de opções: custo ou preço geralmente é um dos principais critérios, e alguma medida de qualidade é tipicamente outro critério, facilmente conflitante com o custo. Na compra de um carro, o custo, o conforto, a segurança e a economia de combustível podem ser alguns dos principais critérios que consideramos – é incomum que o carro mais barato seja o mais confortável e o mais seguro. Na administração de carteiras, estamos interessados ​​em obter altos retornos, mas ao mesmo tempo reduzir nossos riscos, mas as ações que têm o potencial de gerar retornos elevados normalmente também apresentam altos riscos de perder dinheiro. Em um setor de serviços, a satisfação do cliente e o custo do fornecimento de serviços são critérios conflitantes fundamentais.

Em nossas vidas cotidianas, geralmente pesamos implicitamente vários critérios e podemos nos sentir confortáveis ​​com as consequências de tais decisões que são tomadas com base apenas na intuição. Por outro lado, quando as apostas são altas, é importante estruturar adequadamente o problema e avaliar explicitamente vários critérios. Ao tomar a decisão de construir ou não uma usina nuclear, e onde construí-la, há não apenas questões muito complexas envolvendo múltiplos critérios, mas também há várias partes profundamente afetadas pelas conseqüências.

Estruturar bem os problemas complexos e considerar vários critérios explicitamente leva a decisões mais informadas e melhores. Houve avanços importantes nesse campo desde o início da moderna disciplina decisória de múltiplos critérios no início da década de 1960. Uma variedade de abordagens e métodos, muitos implementados por softwares especializados de tomada de decisão, foram desenvolvidos para sua aplicação em uma variedade de disciplinas, que vão desde políticas e negócios até o meio ambiente e energia.

Fundações, conceitos, definições
MCDM ou MCDA são acrônimos bem conhecidos para a tomada de decisões com critérios múltiplos e análise de decisão com múltiplos critérios; Stanley Zionts ajudou a popularizar a sigla com seu artigo de 1979 “MCDM – Se não um numeral romano, então o que?”, Destinado a um público empreendedor.

O MCDM está preocupado com a estruturação e resolução de problemas de decisão e planejamento envolvendo múltiplos critérios. O objetivo é apoiar os tomadores de decisão que enfrentam tais problemas. Normalmente, não existe uma solução ótima exclusiva para tais problemas e é necessário usar as preferências dos tomadores de decisão para diferenciar as soluções.

“Resolver” pode ser interpretado de diferentes maneiras. Poderia corresponder à escolha da “melhor” alternativa de um conjunto de alternativas disponíveis (em que “melhor” pode ser interpretado como “a alternativa mais preferida” de um tomador de decisões). Outra interpretação de “resolver” poderia ser escolher um pequeno conjunto de boas alternativas ou agrupar alternativas em conjuntos de preferências diferentes. Uma interpretação extrema poderia ser encontrar todas as alternativas “eficientes” ou “não dominadas” (que definiremos em breve).

A dificuldade do problema se origina da presença de mais de um critério. Não há mais uma solução ótima exclusiva para um problema do MCDM que possa ser obtida sem incorporar informações de preferência. O conceito de uma solução ótima é frequentemente substituído pelo conjunto de soluções não dominadas. Uma solução não dominada tem a propriedade de não ser possível se afastar dela para qualquer outra solução sem sacrificar em pelo menos um critério. Portanto, faz sentido para o tomador de decisão escolher uma solução do conjunto não-nomeado. Caso contrário, ela poderia fazer melhor em termos de alguns ou de todos os critérios, e não piorar em nenhum deles. Geralmente, no entanto, o conjunto de soluções não dominadas é muito grande para ser apresentado ao decisor para a escolha final. Por isso, precisamos de ferramentas que ajudem o tomador de decisão a focar nas soluções preferidas (ou alternativas). Normalmente, é preciso “trocar” certos critérios por outros.

O MCDM tem sido uma área ativa de pesquisa desde a década de 1970. Existem várias organizações relacionadas ao MCDM, incluindo a Sociedade Internacional de Tomada de Decisão Multicritério, o Grupo de Trabalho do Euro sobre MCDA e a Seção INFORMS sobre o MCDM. Para uma história, ver: Köksalan, Wallenius e Zionts (2011). O MCDM baseia-se em conhecimento em muitos campos, incluindo:

Matemática
Análise de decisão
Economia
Tecnologia informática
Engenharia de software
Sistemas de informação

Uma tipologia
Existem diferentes classificações de problemas e métodos do MCDM. Uma distinção importante entre os problemas do MCDM é baseada em se as soluções são explicitamente ou implicitamente definidas.

Problemas de avaliação com múltiplos critérios: Esses problemas consistem em um número finito de alternativas, explicitamente conhecidas no início do processo de solução. Cada alternativa é representada por seu desempenho em múltiplos critérios. O problema pode ser definido como encontrar a melhor alternativa para um decisor (DM) ou encontrar um conjunto de boas alternativas. Pode-se também estar interessado em alternativas de “classificação” ou “classificação”. A classificação se refere à colocação de alternativas em um conjunto de classes ordenadas por preferências (como atribuir classificações de crédito a países) e classificar refere-se à atribuição de alternativas a conjuntos não ordenados (como diagnosticar pacientes com base em seus sintomas). Alguns dos métodos do MCDM nesta categoria foram estudados de forma comparativa no livro de Triantaphyllou sobre este assunto, 2000.
Problemas de design de múltiplos critérios (problemas de programação matemática de múltiplos objetivos): Nesses problemas, as alternativas não são explicitamente conhecidas. Uma alternativa (solução) pode ser encontrada resolvendo um modelo matemático. O número de alternativas é infinito e não contável (quando algumas variáveis ​​são contínuas) ou tipicamente muito grande se contável (quando todas as variáveis ​​são discretas).
Quer seja um problema de avaliação ou um problema de design, as informações de preferência dos DMs são necessárias para diferenciar as soluções. Os métodos de solução para problemas do MCDM são comumente classificados com base no tempo de preferência das informações obtidas do DM.

Existem métodos que requerem as informações de preferência do DM no início do processo, transformando o problema em essencialmente um único problema de critério. Diz-se que esses métodos operam por “articulação prévia de preferências”. Métodos baseados na estimativa de uma função de valor ou usando o conceito de “relações de superação”, processo de hierarquia analítica e alguns métodos baseados em regras de decisão tentam resolver vários problemas de avaliação de critérios utilizando a articulação prévia de preferências. Da mesma forma, existem métodos desenvolvidos para resolver problemas de design de múltiplos critérios usando a articulação prévia de preferências através da construção de uma função de valor. Talvez o mais conhecido desses métodos seja a programação de metas. Uma vez que a função de valor é construída, o programa matemático de objetivo único resultante é resolvido para obter uma solução preferida.

Alguns métodos exigem informações de preferência do DM durante todo o processo da solução. Estes são referidos como métodos ou métodos interativos que requerem “articulação progressiva de preferências”. Esses métodos foram bem desenvolvidos tanto para a avaliação de múltiplos critérios (ver, por exemplo, Geoffrion, Dyer e Feinberg, 1972, e Köksalan e Sagala, 1995) quanto para problemas de projeto (ver Steuer, 1986).

Os problemas de design com múltiplos critérios geralmente exigem a solução de uma série de modelos de programação matemática para revelar soluções definidas implicitamente. Para estes problemas, uma representação ou aproximação de “soluções eficientes” também pode ser de interesse. Esta categoria é referida como “articulação posterior das preferências”, implicando que o envolvimento do DM começa posteriormente à revelação explícita de soluções “interessantes” (ver, por exemplo, Karasakal e Köksalan, 2009).

Quando os modelos de programação matemática contêm variáveis ​​inteiras, os problemas de design tornam-se mais difíceis de resolver. A Otimização Combinatória Multiobjetivo (MOCO) constitui uma categoria especial de tais problemas, apresentando uma dificuldade computacional substancial (ver Ehrgott e Gandibleux, 2002, para uma revisão).

Representações e definições
O problema do MCDM pode ser representado no espaço de critérios ou no espaço de decisão. Alternativamente, se diferentes critérios forem combinados por uma função linear ponderada, também é possível representar o problema no espaço de ponderação. Abaixo estão as demonstrações dos espaços de critério e peso, bem como algumas definições formais.

Representação do espaço de critério

Vamos supor que nós avaliamos soluções em uma situação problemática específica usando vários critérios. Vamos supor ainda que mais é melhor em cada critério. Então, entre todas as soluções possíveis, estamos idealmente interessados ​​nas soluções que apresentam bom desempenho em todos os critérios considerados. No entanto, é improvável que tenha uma única solução que tenha bom desempenho em todos os critérios considerados. Normalmente, algumas soluções apresentam bom desempenho em alguns critérios e algumas apresentam bom desempenho em outras. Encontrar uma maneira de negociar entre os critérios é um dos principais esforços na literatura do MCDM.

Matematicamente, o problema do MCDM correspondente aos argumentos acima pode ser representado como

“max” q
sujeito a
q ∈ Q
onde q é o vetor de k funções de critério (funções objetivas) e Q é o conjunto viável, Q ⊆ Rk.

Se Q for definido explicitamente (por um conjunto de alternativas), o problema resultante é chamado de problema de Avaliação de Múltiplos Critérios.

Se Q for definido implicitamente (por um conjunto de restrições), o problema resultante é chamado de problema de Design de Vários Critérios.

As aspas são usadas para indicar que a maximização de um vetor não é uma operação matemática bem definida. Isso corresponde ao argumento de que teremos que encontrar uma maneira de resolver o trade-off entre os critérios (normalmente baseados nas preferências de um tomador de decisão) quando uma solução que apresenta bom desempenho em todos os critérios não existe.

Representação do espaço de decisão

O espaço de decisão corresponde ao conjunto de decisões possíveis que estão disponíveis para nós. Os valores dos critérios serão conseqüências das decisões que tomamos. Assim, podemos definir um problema correspondente no espaço de decisão. Por exemplo, ao projetar um produto, decidimos sobre os parâmetros de projeto (variáveis ​​de decisão), cada um dos quais afeta as medidas de desempenho (critérios) com as quais avaliamos nosso produto.

Matematicamente, um problema de design de múltiplos critérios pode ser representado no espaço de decisão da seguinte forma:

“max” q = f (x) = (f1 (x), …, fk (x))
sujeito a
q {Q = {f (x): x ∈ X, X ⊆ Rn},
onde X é o conjunto viável e x é o vetor da variável de decisão do tamanho n.

Um caso especial bem desenvolvido é obtido quando X é um poliedro definido por desigualdades lineares e igualdades. Se todas as funções objetivo são lineares em termos das variáveis ​​de decisão, essa variação leva à programação linear múltipla objetiva (MOLP), uma importante subclasse de problemas do MCDM.

Existem várias definições que são centrais no MCDM. Duas definições estreitamente relacionadas são aquelas de não-dominante (definido com base na representação de espaço de critério) e eficiência (definida com base na representação de variável de decisão).

Definição 1. q * ∈ Q não é dominado se não existir outro q ∈ Q tal que q ≥ q * e q ≠ q *.

Grosso modo, uma solução não é dominada, desde que não seja inferior a qualquer outra solução disponível em todos os critérios considerados.

Definição 2. x * ∈ X é eficiente se não existir outro x ∈ X tal que f (x) ≥ f (x *) ef (x) ≠ f (x *).

Se um problema MCDM representa uma situação de decisão bem, então a solução mais preferida de um DM tem que ser uma solução eficiente no espaço de decisão, e sua imagem é um ponto não-identificado no espaço de critério. As definições a seguir também são importantes.

Definição 3. q * ∈ Q é fracamente não-dominante se não existir outro q ∈ Q tal que q> q *.

Definição 4. x * is X é fracamente eficiente se não existir outro x ∈ X tal que f (x)> f (x *).

Pontos fracamente não dominados incluem todos os pontos não dominados e alguns pontos especiais dominados. A importância desses pontos especiais dominados vem do fato de que eles comumente aparecem na prática e cuidados especiais são necessários para distingui-los dos pontos não dominados. Se, por exemplo, maximizarmos um único objetivo, podemos acabar com um ponto fracamente não dominado que é dominado. Os pontos dominados do conjunto fracamente não dominado estão localizados em planos verticais ou horizontais (hiperplanos) no espaço de critério.

Ponto ideal: (no espaço de critério) representa o melhor (o máximo para problemas de maximização e o mínimo para problemas de minimização) de cada função objetiva e normalmente corresponde a uma solução inviável.

O ponto Nadir: (no espaço de critério) representa o pior (o mínimo para problemas de maximização e o máximo para problemas de minimização) de cada função de objetivo entre os pontos no conjunto não dominado e é tipicamente um ponto dominado.

O ponto ideal e o ponto nadir são úteis para o Mestre para obter a “percepção” do intervalo de soluções (embora não seja fácil encontrar o ponto mais baixo para problemas de design com mais de dois critérios).

Ilustrações dos espaços de decisão e critério

O seguinte problema de MOLP de duas variáveis ​​no espaço da variável de decisão ajudará a demonstrar alguns dos principais conceitos graficamente.

Max f1 (x) = -x1 + 2×2
Max f2 (x) = 2×1 – x2
sujeito a
x1 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 7
-x1 + x2 ≤ 3
x1 – x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0

Na Figura 1, os pontos extremos “e” e “b” maximizam o primeiro e o segundo objetivos, respectivamente. O limite vermelho entre esses dois pontos extremos representa o conjunto eficiente. Pode ser visto a partir da figura que, para qualquer solução viável fora do conjunto eficiente, é possível melhorar ambos os objetivos em alguns pontos no conjunto eficiente. Por outro lado, para qualquer ponto do conjunto eficiente, não é possível melhorar ambos os objetivos passando para outra solução viável. Nessas soluções, é preciso sacrificar um dos objetivos para melhorar o outro objetivo.

Devido à sua simplicidade, o problema acima pode ser representado no espaço de critério, substituindo os x com os f ‘s da seguinte maneira:

Max f1
Max f2
sujeito a
f1 + 2f2 ≤ 12
2f1 + f2 ≤ 12
f1 + f2 ≤ 7
f1 – f2 ≤ 9
-f1 + f2 ≤ 9
f1 + 2f2 ≥ 0
2f1 + f2 ≥ 0
Apresentamos o espaço de critério graficamente na Figura 2. É mais fácil detectar os pontos não dominados (correspondendo a soluções eficientes no espaço de decisão) no espaço de critério. A região nordeste do espaço viável constitui o conjunto de pontos não dominados (para problemas de maximização).

Gerando soluções não dominadas
Existem várias maneiras de gerar soluções não dominadas. Vamos discutir dois destes. A primeira abordagem pode gerar uma classe especial de soluções não dominadas, enquanto a segunda abordagem pode gerar qualquer solução não dominada.

Quantias ponderadas (Gass & Saaty, 1955)
Se combinarmos os critérios múltiplos em um único critério, multiplicando cada critério por um peso positivo e somando os critérios ponderados, então a solução para o problema de critério único resultante é uma solução eficiente especial. Essas soluções eficientes especiais aparecem nos pontos de extremidade do conjunto de soluções disponíveis. Soluções eficientes que não estão nos cantos têm características especiais e este método não é capaz de encontrar tais pontos. Matematicamente, podemos representar essa situação como

max wT.q = wT.f (x), w> 0
sujeito a
x ∈ X
Variando os pesos, as somas ponderadas podem ser usadas para gerar soluções eficientes de pontos extremos para problemas de projeto e pontos suportados (convexos não dominados) para problemas de avaliação.

Função de escalarização de realização (Wierzbicki, 1980)

As funções de escalarização da conquista também combinam vários critérios em um único critério, ponderando-os de uma maneira muito especial. Eles criam contornos retangulares que se afastam de um ponto de referência em direção às soluções eficientes disponíveis. Essa estrutura especial possibilita a realização de funções de escalarização para alcançar qualquer solução eficiente. Esta é uma propriedade poderosa que torna essas funções muito úteis para problemas do MCDM.

Matematicamente, podemos representar o problema correspondente

Mín (g, q, w, ρ) = Mínimo {maxi [(gi – qi) / wi] + ρ ∑i (gi qi)},
sujeito a
q ∈ Q
A função de escalarização da conquista pode ser usada para projetar qualquer ponto (viável ou inviável) na fronteira eficiente. Qualquer ponto (suportado ou não) pode ser alcançado. O segundo termo na função objetivo é necessário para evitar a geração de soluções ineficientes. A Figura 3 demonstra como um ponto viável, g1 e um ponto inviável, g2, são projetados nos pontos não dominados, q1 e q2, respectivamente, ao longo da direção w usando uma função de escalarização de realização. Os contornos corridos e sólidos correspondem aos contornos da função objetivo com e sem o segundo termo da função objetivo, respectivamente.

Resolvendo problemas do MCDM
Diferentes escolas de pensamento foram desenvolvidas para resolver problemas do MCDM (tanto do tipo de projeto quanto de avaliação). Para um estudo bibliométrico mostrando o seu desenvolvimento ao longo do tempo, ver Bragge, Korhonen, H. Wallenius e J. Wallenius [2010].

Escola de programação matemática de objetivo múltipla

(1) maximização do vetor: O objetivo da maximização do vetor é aproximar o conjunto não dominado; originalmente desenvolvido para problemas de programação linear de múltiplos objetivos (Evans e Steuer, 1973; Yu e Zeleny, 1975).

(2) Programação interativa: Fases de computação alternadas com fases de tomada de decisão (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer e Feinberg, 1972; Zionts e Wallenius, 1976; Korhonen e Wallenius, 1988). Nenhum conhecimento explícito da função de valor do DM é assumido.

Escola de programação de metas

O objetivo é definir valores-alvo a priori para as metas e minimizar os desvios ponderados dessas metas. Tanto os pesos de importância como os pesos preventivos lexicográficos foram usados ​​(Charnes e Cooper, 1961).

Teóricos do conjunto difuso

Conjuntos fuzzy foram introduzidos por Zadeh (1965) como uma extensão da noção clássica de conjuntos. Essa ideia é usada em muitos algoritmos do MCDM para modelar e resolver problemas difusos.

Teóricos da utilidade multi-atributo

Utilitários de atributos múltiplos ou funções de valor são elicitados e usados ​​para identificar a alternativa mais preferida ou ordenar as alternativas. São utilizadas técnicas de entrevista elaboradas, que existem para extrair funções de utilidade aditiva linear e funções de utilidade não lineares multiplicativas (Keeney e Raiffa, 1976).

Escola francesa

A escola francesa se concentra na decisão de ajudar, em particular a família ELECTRE de métodos de superação que se originaram na França em meados da década de 1960. O método foi proposto pela primeira vez por Bernard Roy (Roy, 1968).

Escola de otimização multiobjetivo evolutiva (EMO)

Os algoritmos EMO começam com uma população inicial e a atualizam usando processos projetados para imitar os princípios de sobrevivência do mais apto e operadores de variação genética para melhorar a população média de uma geração para a próxima. O objetivo é convergir para uma população de soluções que representam o conjunto não-dominado (Schaffer, 1984; Srinivas e Deb, 1994). Mais recentemente, há esforços para incorporar informações de preferência no processo de solução de algoritmos EMO (veja Deb e Köksalan, 2010).

Processo de hierarquia analítica (AHP)

O AHP primeiro decompõe o problema de decisão em uma hierarquia de subproblemas. Em seguida, o decisor avalia a importância relativa de seus vários elementos por meio de comparações emparelhadas. O AHP converte essas avaliações em valores numéricos (pesos ou prioridades), que são usadas para calcular uma pontuação para cada alternativa (Saaty, 1980). Um índice de consistência mede a extensão em que o decisor foi consistente em suas respostas. AHP é uma das técnicas mais controversas listadas aqui, com alguns pesquisadores da comunidade MCDA acreditando que ele é falho. A matemática subjacente também é mais complicada, embora tenha ganhado alguma popularidade como resultado de software comercialmente disponível.

Vários artigos revisaram a aplicação de técnicas MCDM em várias disciplinas, como MCDM fuzzy, MCDM clássico, energia sustentável e renovável, técnica VIKOR, sistemas de transporte, qualidade de serviço, método TOPSIS, problemas de gerenciamento de energia, e-learning, turismo e hospitalidade, SWARA e Métodos WASPAS.

Métodos MCDM
Os seguintes métodos MCDM estão disponíveis, muitos dos quais são implementados por um software de tomada de decisões especializado:

Método de Randomização de Índices Agregados (AIRM)
Processo de hierarquia analítica (AHP)
Processo analítico de rede (ANP)
Melhor pior método (BWM)
METODO DE OBJETOS CARACTERÍSTICOS (COMET)
Escolhendo Por Vantagens (CBA)
Análise envoltória de dados
Decisão EXpert (DEX)
Desagregação – Abordagens de Agregação (UTA *, UTAII, UTADIS)
Conjunto aproximado (abordagem de conjunto aproximado)
Abordagem de conjuntos aproximados baseados em dominância (DRSA)
ELECTRE (Outranking)
Avaliação baseada na distância da solução média (EDAS)
Abordagem de raciocínio probatório (ER)
Programação de metas (GP)
Análise Relacional Cinza (GRA)
Produto interno de vetores (IPV)
Medindo a Atratividade por uma Técnica de Avaliação Baseada em Categorias (MACBETH)
Técnica de classificação simples de vários atributos (SMART)
Inferência Global de Qualidade Multi-Atributo (MAGIQ)
Teoria da utilidade multi-atributo (MAUT)
Teoria do valor de múltiplos atributos (MAVT)
Nova Abordagem de Apreciação (NATA)
Sistema de Suporte a Decisões Difusas Não Estruturais (NSFDSS)
Potencialmente Todos os Pares de Todas as Alternativas Possíveis (PAPRIKA)
PROMETHEE (outranking)
Análise de Aceitabilidade Multicritério Estocástica (SMAA)
Método de classificação de superioridade e inferioridade (método SIR)
Técnica para a Ordem de Priorização por Similaridade à Solução Ideal (TOPSIS)
Análise de valor (VA)
Engenharia de valor (VE)
Método VIKOR
Método Fuzzy VIKOR
Modelo de produto ponderado (WPM)
Modelo de soma ponderada (WSM)
Método de Rembrandt