Многокритериальное принятие решений (MCDM) или многокритериальный анализ решений (MCDA) — это субдисциплина исследований операций, которая явно оценивает множественные конфликтующие критерии при принятии решений (как в повседневной жизни, так и в таких условиях, как бизнес, правительство и медицина ). Конфликтующие критерии типичны при оценке вариантов: стоимость или цена обычно являются одним из основных критериев, а некоторые показатели качества обычно являются другим критерием, легко противоречащим стоимости. При покупке автомобиля, стоимость, комфорт, безопасность и экономия топлива могут быть некоторыми из основных критериев, которые мы рассматриваем — необычно, что самый дешевый автомобиль является самым удобным и самым безопасным. В управлении портфелем мы заинтересованы в получении высокой прибыли, но в то же время уменьшении наших рисков, но запасы, которые имеют потенциал для получения высокой доходности, как правило, также несут высокие риски потери денег. В сфере услуг удовлетворенность клиентов и стоимость предоставления услуг являются фундаментальными противоречивыми критериями.

В нашей повседневной жизни мы обычно взвешиваем несколько критериев неявно, и мы можем быть довольны последствиями таких решений, которые принимаются на основе только интуиции. С другой стороны, когда ставки высоки, важно правильно структурировать проблему и явно оценить несколько критериев. При принятии решения о том, строить атомную электростанцию ​​или нет, и где ее построить, есть не только очень сложные вопросы, связанные с несколькими критериями, но также есть несколько сторон, которые глубоко затронуты последствиями.

Структурирование сложных проблем и рассмотрение множественных критериев явно приводит к более информированным и лучшим решениям. С начала нынешней многокритериальной дисциплины принятия решений в начале 1960-х годов произошли важные успехи в этой области. Разнообразные подходы и методы, многие из которых были реализованы специализированным программным обеспечением для принятия решений, были разработаны для их применения по целому ряду дисциплин — от политики и бизнеса до окружающей среды и энергетики.

Основы, понятия, определения
MCDM или MCDA являются хорошо известными акронимами для принятия решений с несколькими критериями и анализа решений с несколькими критериями; Стэнли Сионц помог популяризировать акроним своей статьей 1979 года «MCDM — если не римская цифра, то что?», Предназначенная для предпринимательской аудитории.

MCDM занимается структурированием и решением проблем решения и планирования, связанных с несколькими критериями. Цель заключается в поддержке лиц, принимающих решения, сталкивающихся с такими проблемами. Как правило, для таких проблем не существует уникального оптимального решения, и для того, чтобы дифференцировать решения, необходимо использовать предпочтения принимающего решения.

«Решение» можно интерпретировать по-разному. Он может соответствовать выбору «лучшей» альтернативы из набора доступных альтернатив (где «наилучший» можно интерпретировать как «наиболее предпочтительную альтернативу» лица, принимающего решения). Другая интерпретация «решения» может заключаться в выборе небольшого набора хороших альтернатив или группировании альтернатив в разные наборы предпочтений. Крайняя интерпретация может заключаться в поиске всех «эффективных» или «недоразвитых» альтернатив (которые мы вскоре определим).

Трудность проблемы исходит из наличия более одного критерия. Больше нет уникального оптимального решения проблемы MCDM, которая может быть получена без включения информации о предпочтениях. Понятие оптимального решения часто заменяется множеством неразрешенных решений. Недоразвитое решение обладает тем свойством, что невозможно отойти от него к любому другому решению, не жертвуя хотя бы одним критерием. Поэтому для лица, принимающего решения, имеет смысл выбрать решение из недоразвитого набора. В противном случае, он / она мог бы сделать лучше с точки зрения некоторых или всех критериев, и ни в одном из них не было хуже. Однако, как правило, набор недоразвитых решений слишком велик, чтобы быть представленным лицу, принимающему решения, для окончательного выбора. Следовательно, нам нужны инструменты, которые помогают специалистам, принимающим решения, сосредоточиться на предпочтительных решениях (или альтернативах). Обычно приходится «компрометировать» определенные критерии для других.

MCDM была активной областью исследований с 1970-х годов. Существует несколько организаций, связанных с MCDM, включая Международное общество по разработке многокритериальных решений, Еврорабочую группу по MCDA и Секцию INFORMS по MCDM. Для истории см .: Köksalan, Wallenius и Zionts (2011). MCDM использует знания во многих областях, в том числе:

Математика
Анализ решений
экономика
Компьютерные технологии
Разработка программного обеспечения
Информационные системы

Типология
Существуют разные классификации проблем и методов MCDM. Основное различие между проблемами MCDM основано на том, явно или неявно определены ли решения.

Многокритериальные проблемы оценки. Эти проблемы состоят из конечного числа альтернатив, явно известных в начале процесса решения. Каждая альтернатива представлена ​​ее характеристикой по нескольким критериям. Проблема может быть определена как поиск наилучшей альтернативы для лица, принимающего решения (DM), или поиск набора хороших альтернатив. Можно также интересоваться «сортировкой» или «классификацией» альтернатив. Сортировка относится к размещению альтернатив в наборе упорядоченных по предпочтению классов (таких как присвоение кредитных рейтингов странам), а классификация относится к назначению альтернатив не упорядоченным наборам (например, диагностирование пациентов на основе их симптомов). Некоторые из методов MCDM в этой категории были изучены сравнительным образом в книге Триантафиллу по этому вопросу, 2000 год.
Многокритериальные проблемы проектирования (проблемы множественного объективного математического программирования): в этих проблемах альтернативы не известны. Альтернативу (решение) можно найти, решая математическую модель. Количество альтернатив либо бесконечное, либо не счетное (когда некоторые переменные непрерывны) или обычно очень велико, если счетно (когда все переменные дискретны).
Независимо от того, является ли это проблемой оценки или проблемой проектирования, для дифференциации между решениями требуется информация о предпочтениях DM. Способы решения проблем MCDM обычно классифицируются на основе времени получения информации о предпочтениях, полученной от DM.

Существуют методы, которые требуют информации о предпочтениях DM в начале процесса, превращая проблему в по существу одну проблему с критерием. Говорят, что эти методы действуют путем «предварительной формулировки предпочтений». Методы, основанные на оценке функции стоимости или использовании концепции «outranking relations», процесса аналитической иерархии и некоторых методов на основе правил принятия решения, пытаются решить несколько проблем оценки критериев, используя предварительную формулировку предпочтений. Аналогичным образом существуют методы, разработанные для решения многокритериальных проблем проектирования с использованием предварительной формулировки предпочтений путем построения функции значений. Возможно, наиболее известным из этих методов является целевое программирование. Как только функция значения построена, результирующая одноцелевая математическая программа решается для получения предпочтительного решения.

Некоторые методы требуют информации о предпочтениях от DM в течение всего процесса решения. Они называются интерактивными методами или методами, которые требуют «прогрессивной артикуляции предпочтений». Эти методы были хорошо разработаны для оценки множественных критериев (см., Например, Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972, and Köksalan and Sagala, 1995) и проблем дизайна (см. Steuer, 1986).

Для многокритериальных проблем проектирования обычно требуется решение серии моделей математического программирования, чтобы выявить неявно определенные решения. Для этих проблем также может представлять интерес представление или приближение «эффективных решений». Эта категория называется «задняя артикуляция предпочтений», подразумевая, что участие DM начинается с явного откровения «интересных» решений (см., Например, Karasakal and Köksalan, 2009).

Когда модели математического программирования содержат целочисленные переменные, проблемы проектирования решить сложнее. Многоцелевая комбинаторная оптимизация (MOCO) представляет собой особую категорию таких проблем, которые создают значительную вычислительную сложность (см. Ehrgott and Gandibleux, 2002, для обзора).

Представления и определения
Проблема MCDM может быть представлена ​​в пространстве критериев или пространстве принятия решений. В качестве альтернативы, если различные критерии объединяются взвешенной линейной функцией, также можно представить проблему в весовом пространстве. Ниже приведены демонстрации критериальных и весовых пространств, а также некоторые формальные определения.

Представление пространства критериев

Предположим, что мы оцениваем решения в конкретной проблемной ситуации, используя несколько критериев. Предположим далее, что в каждом критерии лучше. Затем среди всех возможных решений мы идеально интересуемся теми решениями, которые хорошо работают во всех рассмотренных критериях. Однако вряд ли будет иметь одно решение, которое будет хорошо работать во всех рассмотренных критериях. Как правило, некоторые решения хорошо работают по некоторым критериям, а некоторые хорошо работают в других. Поиск способа торговли между критериями является одним из основных направлений в литературе MCDM.

Математически проблема MCDM, соответствующая приведенным выше аргументам, может быть представлена ​​как

«max» q
при условии
q ∈ Q
где q — вектор k критериальных функций (объективных функций), а Q — допустимое множество Q ⊆ Rk.

Если Q определен явно (набором альтернатив), результирующая проблема называется проблемой оценки множественных критериев.

Если Q определяется неявно (с помощью набора ограничений), результирующая проблема называется проблемой проектирования нескольких критериев.

Кавычки используются, чтобы указать, что максимизация вектора не является четко определенной математической операцией. Это соответствует аргументу, что нам нужно будет найти способ разрешить компромисс между критериями (как правило, исходя из предпочтений лица, принимающего решения), когда решение, которое хорошо работает по всем критериям, не существует.

Представление пространства принятия решений

Место решения соответствует набору возможных решений, которые доступны нам. Значения критериев будут следствием решений, которые мы принимаем. Следовательно, мы можем определить соответствующую задачу в пространстве решений. Например, при разработке продукта мы определяем параметры дизайна (переменные решения), каждый из которых влияет на показатели производительности (критерии), с которыми мы оцениваем наш продукт.

Математически проблема множественного критерия может быть представлена ​​в пространстве принятия решений следующим образом:

«max» q = f (x) = (f1 (x), …, fk (x))
при условии
q ∈ Q = {f (x): x ∈ X, X ⊆ Rn},
где X — допустимое множество, а x — вектор переменной решения размера n.

Хорошо развитый частный случай получается, когда X — многогранник, определяемый линейными неравенствами и равенствами. Если все целевые функции являются линейными по переменным решения, это изменение приводит к многомерному объективному программированию (MOLP), важному подклассу проблем MCDM.

Существует несколько определений, которые являются центральными в MCDM. Двумя тесно связанными определениями являются понятия недоношенности (определяемые на основе представления пространства критерия) и эффективности (определяемой на основе представления переменной принятия решения).

Определение 1. q * ∈ Q не преломляется, если не существует другого q ∈ Q такого, что q ≥ q * и q ≠ q *.

Грубо говоря, решение не доводится до тех пор, пока оно не уступает любому другому доступному решению во всех рассмотренных критериях.

Определение 2. x * ∈ X является эффективным, если не существует другого x ∈ X такого, что f (x) ≥ f (x *) и f (x) ≠ f (x *).

Если проблема MCDM хорошо описывает ситуацию принятия решений, то наиболее предпочтительным решением DM должно быть эффективное решение в пространстве принятия решений, а его изображение является недоминированной точкой в ​​пространстве критериев. Важны также следующие определения.

Определение 3. q * ∈ Q слабо недоминировано, если не существует другого q ∈ Q такого, что q> q *.

Определение 4. x * ∈ X слабоэффективно, если не существует другого x ∈ X такого, что f (x)> f (x *).

Слабо недоминированные точки включают в себя все недоминированные точки и некоторые особые доминированные точки. Важность этих особых доминирующих точек исходит из того факта, что они обычно появляются на практике, и особая осторожность необходима, чтобы отличить их от недоразвитых точек. Если, например, мы максимизируем одну цель, мы можем в конечном итоге получить слабо недоминированную точку, в которой доминируют. Поверхностные точки слабонеопределенного множества расположены либо на вертикальных, либо в горизонтальных плоскостях (гиперплоскостях) в пространстве критерия.

Идеальная точка: (в пространстве критериев) представляет собой лучшее (максимум для задач максимизации и минимум для задач минимизации) каждой целевой функции и обычно соответствует недостижимому решению.

Точка Надира: (в пространстве с критерием) представляет наихудший (минимум для задач максимизации и максимум для задач минимизации) каждой целевой функции среди точек в недоминированном множестве и обычно является доминирующей точкой.

Идеальная точка и точка надира полезны для DM, чтобы «почувствовать» диапазон решений (хотя нелегко найти точку надира для проблем дизайна, имеющих более двух критериев).

Иллюстрации пространства решений и критериев

Следующая двухпроцессная проблема MOLP в пространстве переменных принятия решений поможет продемонстрировать некоторые ключевые понятия графически.

Макс. F1 (x) = -x1 + 2×2
Max f2 (x) = 2×1 — x2
при условии
x1 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 7
-x1 + x2 ≤ 3
x1 — x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0

На рисунке 1 крайние точки «e» и «b» максимизируют первую и вторую цели, соответственно. Красная граница между этими двумя крайними точками представляет собой эффективный набор. Из рисунка видно, что для любого возможного решения вне эффективного набора можно улучшить обе цели с помощью некоторых точек на эффективном множестве. И наоборот, для любой точки эффективного набора невозможно улучшить обе цели, перейдя к любому другому возможному решению. В этих решениях нужно пожертвовать одной из целей, чтобы улучшить другую цель.

Из-за своей простоты вышеуказанная проблема может быть представлена ​​в пространстве критериев, заменив x на f следующим образом:

Макс. F1
Макс. F2
при условии
f1 + 2f2 ≤ 12
2f1 + f2 ≤ 12
f1 + f2 ≤ 7
f1 — f2 ≤ 9
-f1 + f2 ≤ 9
f1 + 2f2 ≥ 0
2f1 + f2 ≥ 0
Мы представляем пространство критерия графически на рисунке 2. Легче обнаружить недоразвитые точки (соответствующие эффективным решениям в пространстве решений) в пространстве критериев. Северо-восточный регион допустимого пространства представляет собой набор недоминированных точек (для задач максимизации).

Генерация неразделенных растворов
Существует несколько способов создания неразрешенных решений. Мы обсудим два из них. Первый подход может генерировать особый класс неразделенных решений, тогда как второй подход может генерировать любое неразрешенное решение.

Взвешенные суммы (Gass & Saaty, 1955)
Если мы объединяем множественные критерии в один критерий, умножая каждый критерий с положительным весом и суммируя взвешенные критерии, то решение единственной задачи критерия является специальным эффективным решением. Эти специальные эффективные решения появляются в угловых точках набора доступных решений. Эффективные решения, которые не находятся в угловых точках, имеют особые характеристики, и этот метод не способен найти такие точки. Математически мы можем представить эту ситуацию как

max wT.q = wT.f (x), w> 0
при условии
x ∈ X
Изменяя весовые коэффициенты, взвешенные суммы могут использоваться для создания эффективных решений экстремальных точек для задач проектирования и поддерживаемых (выпуклых недоразвитых) точек для задач оценки.

Функция масштабирования достижения (Wierzbicki, 1980)

Функции масштабирования достижения также объединяют несколько критериев в один критерий, взвешивая их особым образом. Они создают прямоугольные контуры, идущие от опорной точки в направлении имеющихся эффективных решений. Эта специальная структура расширяет возможности масштабирования функций для достижения любого эффективного решения. Это мощное свойство, которое делает эти функции очень полезными для задач MCDM.

Математически мы можем представить соответствующую задачу как

Min s (g, q, w, ρ) = Min {maxi [(gi — qi) / wi] + ρ Σi (gi- qi)},
при условии
q ∈ Q
Функция масштабирования достижений может использоваться для прогнозирования любой точки (допустимой или неосуществимой) на эффективной границе. Любая точка (поддерживается или нет) может быть достигнута. Второй член целевой функции необходим, чтобы избежать генерации неэффективных решений. На рисунке 3 показано, как потенциальная точка, g1 и недопустимая точка g2, проецируются на неиндинированные точки, q1 и q2, соответственно, вдоль направления w, используя функцию масштабирования достижения. Пунктирные и сплошные контуры соответствуют контурам объектной функции с и без второго члена целевой функции, соответственно.

Решение проблем MCDM
Разработаны различные школы мышления для решения задач MCDM (как для дизайна, так и для оценки). Для библиометрического исследования, показывающего их развитие с течением времени, см. Bragge, Korhonen, H. Wallenius и J. Wallenius [2010].

Многоцелевая школа математического программирования

(1) Векторная максимизация: целью векторной максимизации является аппроксимировать недоминированное множество; первоначально разработанный для задач множественного объективного линейного программирования (Evans and Steuer, 1973; Yu and Zeleny, 1975).

(2) Интерактивное программирование: фазы вычислений чередуются с этапами принятия решений (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972; Zionts and Wallenius, 1976; Korhonen and Wallenius, 1988). Не предполагается явное знание функции значения DM.

Школа программирования цели

Цель состоит в том, чтобы установить целевые значения априорных целей для целей и минимизировать взвешенные отклонения от этих целей. Использовались как весовые коэффициенты, так и лексикографические упреждающие веса (Charnes and Cooper, 1961).

Теоретики нечетких множеств

Нечеткие множества были введены Заде (1965) как расширение классического понятия множеств. Эта идея используется во многих алгоритмах MCDM для моделирования и решения нечетких задач.

Многофункциональные теоретики полезности

Вызываются многоузловые утилиты или функции стоимости, которые используются для определения наиболее предпочтительной альтернативы или для ранжирования альтернатив. Используются методы собеседования, которые существуют для выявления функций линейной аддитивной полезности и мультипликативных нелинейных функций полезности (Keeney and Raiffa, 1976).

Французская школа

В французской школе основное внимание уделяется помощи, в частности семье ELECTRE, использующей методы оппортунистики, которые возникли во Франции в середине 1960-х годов. Метод был впервые предложен Бернардом Роем (Roy, 1968).

Школа эволюционной многоцелевой оптимизации (EMO)

Алгоритмы EMO начинаются с первоначальной популяции и обновляют ее, используя процессы, призванные имитировать естественные принципы выживаемости наиболее приспособленных и операторов генетических вариаций для улучшения средней численности населения от одного поколения к другому. Цель состоит в том, чтобы сходиться к совокупности решений, которые представляют собой недоминированный набор (Schaffer, 1984; Srinivas and Deb, 1994). Совсем недавно предпринимались попытки включить информацию о предпочтениях в процесс решения EMO-алгоритмов (см. Deb и Köksalan, 2010).

Процесс аналитической иерархии (AHP)

AHP сначала разлагает проблему решения на иерархию подзадач. Затем лицо, принимающее решение, оценивает относительную важность своих различных элементов посредством парных сравнений. AHP преобразует эти оценки в числовые значения (веса или приоритеты), которые используются для расчета оценки для каждой альтернативы (Saaty, 1980). Индекс согласованности измеряет степень, в которой лицо, принимающее решение, было последовательным в своих ответах. AHP является одним из наиболее противоречивых методов, перечисленных здесь, и некоторые исследователи из сообщества MCDA полагают, что это недостаток. Основополагающая математика также более сложна, хотя она приобрела некоторую популярность в результате коммерчески доступного программного обеспечения.

В нескольких документах рассмотрено применение методов MCDM в различных дисциплинах, таких как нечеткая MCDM, классическая MCDM, устойчивая и возобновляемая энергия, техника VIKOR, транспортные системы, качество обслуживания, метод TOPSIS, проблемы управления энергопотреблением, электронное обучение, туризм и гостеприимство, SWARA и Методы WASPAS.

Методы MCDM
Доступны следующие методы MCDM, многие из которых реализуются специализированным программным обеспечением для принятия решений:

Метод рандомизации агрегированных индексов (AIRM)
Процесс аналитической иерархии (AHP)
Аналитический сетевой процесс (ANP)
Лучший худший метод (BWM)
Характеристические объекты METhod (COMET)
Выбор преимуществ (CBA)
Анализ охвата данных
Решение EXpert (DEX)
Дезагрегация — Агрегационные подходы (UTA *, UTAII, UTADIS)
Грубый набор (подход с грубым набором)
Подход, основанный на принципе доминирования (DRSA)
ELECTRE (Outranking)
Оценка, основанная на расстоянии от среднего решения (EDAS)
Подход, основанный на доказательствах (ER)
Программирование цели (GP)
Серый реляционный анализ (GRA)
Внутренний продукт векторов (IPV)
Измерение привлекательности с помощью категориальной методики оценки (MACBETH)
Простая технология оценки нескольких атрибутов (SMART)
Мультиатрибут Глобальный вывод качества (MAGIQ)
Многоэлементная теория полезности (MAUT)
Многовариантная теория стоимости (MAVT)
Новый подход к оценке (NATA)
Неструктурная система поддержки принятия нечетких решений (NSFDSS)
Потенциально все Pairwise RanKings из всех возможных альтернатив (PAPRIKA)
ПРОДЕТ (Распределение)
Стохастический многокритериальный анализ приемлемости (SMAA)
Метод ранжирования превосходства и неполноценности (метод SIR)
Техника для определения приоритетности по подобию идеального решения (TOPSIS)
Анализ стоимости (VA)
Ценообразование (VE)
Метод VIKOR
Нечеткий метод VIKOR
Модель взвешенного продукта (WPM)
Модель взвешенной суммы (WSM)
Метод Рембрандта