Analyse de décision à critères multiples

La prise de décision multicritères (MCDM) ou analyse de décision multicritères (MCDA) est une sous-discipline de la recherche opérationnelle qui évalue explicitement plusieurs critères contradictoires dans la prise de décision (dans la vie quotidienne et dans des contextes commerciaux, gouvernementaux et médicaux ). Les critères contradictoires sont typiques dans l’évaluation des options: le coût ou le prix est généralement l’un des principaux critères, et une certaine mesure de la qualité est généralement un autre critère, facilement en conflit avec le coût. En achetant une voiture, le coût, le confort, la sécurité et l’économie de carburant peuvent être quelques-uns des principaux critères que nous considérons – il est inhabituel que la voiture la moins chère soit la plus confortable et la plus sûre. Dans la gestion de portefeuille, nous souhaitons obtenir des rendements élevés tout en réduisant nos risques, mais les actions qui ont le potentiel de générer des rendements élevés comportent généralement des risques élevés de perte d’argent. Dans l’industrie des services, la satisfaction du client et le coût de la prestation de services sont des critères fondamentaux contradictoires.

Dans notre vie quotidienne, nous évaluons implicitement de multiples critères et nous pouvons être à l’aise avec les conséquences de telles décisions qui sont basées sur l’intuition. D’un autre côté, lorsque les enjeux sont élevés, il est important de bien structurer le problème et d’évaluer explicitement plusieurs critères. En prenant la décision de construire ou non une centrale nucléaire, et où la construire, il y a non seulement des problèmes très complexes impliquant des critères multiples, mais il y a aussi plusieurs parties qui sont profondément affectées par les conséquences.

La bonne structuration des problèmes complexes et la prise en compte de plusieurs critères conduisent explicitement à des décisions plus éclairées et plus efficaces. Des progrès importants ont été accomplis dans ce domaine depuis le début de la discipline moderne de prise de décision à critères multiples au début des années 1960. Une variété d’approches et de méthodes, souvent mises en œuvre par un logiciel de prise de décision spécialisé, ont été développées pour leur application dans un éventail de disciplines, allant de la politique et des affaires à l’environnement et à l’énergie.

Fondations, concepts, définitions
MCDM ou MCDA sont des acronymes bien connus pour la prise de décision à critères multiples et l’analyse de décision à critères multiples; Stanley Zionts a aidé à populariser l’acronyme avec son article de 1979 “MCDM – If not a Roman Numeral, then What?”, Destiné à un public d’entrepreneurs.

Le MCDM s’intéresse à la structuration et à la résolution de problèmes de décision et de planification impliquant des critères multiples. Le but est de soutenir les décideurs confrontés à de tels problèmes. Typiquement, il n’existe pas de solution optimale unique pour de tels problèmes et il est nécessaire d’utiliser les préférences du décideur pour différencier les solutions.

“Résoudre” peut être interprété de différentes manières. Cela pourrait correspondre au choix de la «meilleure» alternative parmi un ensemble d’alternatives disponibles (où «le meilleur» peut être interprété comme «l’alternative la plus préférée» d’un décideur). Une autre interprétation de la «résolution» pourrait être de choisir un petit ensemble de bonnes alternatives, ou de regrouper des alternatives dans différents ensembles de préférences. Une interprétation extrême pourrait être de trouver toutes les alternatives «efficaces» ou «non dominantes» (que nous définirons sous peu).

La difficulté du problème provient de la présence de plus d’un critère. Il n’y a plus de solution optimale unique à un problème de MCDM qui peut être obtenu sans incorporer d’information de préférence. Le concept de solution optimale est souvent remplacé par l’ensemble des solutions non dominées. Une solution non dominée a la propriété qu’il n’est pas possible de s’éloigner de celle-ci à une autre solution sans sacrifier au moins un critère. Par conséquent, il est logique que le décideur choisisse une solution de l’ensemble non dominé. Sinon, il / elle pourrait faire mieux en termes de certains ou tous les critères, et ne pas faire pire dans aucun d’entre eux. En général, cependant, l’ensemble des solutions non dominées est trop important pour être présenté au décideur pour le choix final. Nous avons donc besoin d’outils qui aident le décideur à se concentrer sur les solutions préférées (ou alternatives). Normalement, on doit “arbitrer” certains critères pour les autres.

Le MCDM est un domaine de recherche actif depuis les années 1970. Il existe plusieurs organisations liées à la MCDM, notamment la Société internationale sur la prise de décision multicritères, le groupe de travail sur l’analyse des ressources animales en Europe et la section INFORMS sur le MCDM. Pour un historique, voir: Köksalan, Wallenius et Zionts (2011). MCDM s’appuie sur les connaissances dans de nombreux domaines, notamment:

Mathématiques
Analyse de décision
Économie
La technologie informatique
Génie logiciel
Systèmes d’information

Une typologie
Il existe différentes classifications des problèmes et méthodes MCDM. Une distinction majeure entre les problèmes MCDM est basée sur si les solutions sont explicitement ou implicitement définies.

Problèmes d’évaluation multicritères: Ces problèmes consistent en un nombre fini d’alternatives, explicitement connues au début du processus de résolution. Chaque alternative est représentée par sa performance dans plusieurs critères. Le problème peut être défini comme la recherche de la meilleure alternative pour un décideur (DM) ou la recherche d’un ensemble de bonnes alternatives. On peut également être intéressé par le “tri” ou la “classification” des alternatives. Le tri fait référence au placement de variantes dans un ensemble de classes ordonnées par préférence (telles que l’attribution de notes de crédit aux pays), et le classement se réfère à l’attribution d’alternatives à des ensembles non ordonnés (comme le diagnostic des patients). Certaines des méthodes MCDM dans cette catégorie ont été étudiées de manière comparative dans le livre de Triantaphyllou sur ce sujet, 2000.
Problèmes de conception à critères multiples (problèmes de programmation mathématique objectifs multiples): Dans ces problèmes, les alternatives ne sont pas explicitement connues. Une alternative (solution) peut être trouvée en résolvant un modèle mathématique. Le nombre d’alternatives est soit infini et non dénombrable (lorsque certaines variables sont continues), soit généralement très important si dénombrable (lorsque toutes les variables sont discrètes).
Qu’il s’agisse d’un problème d’évaluation ou d’un problème de conception, les informations de préférence des MD sont nécessaires pour différencier les solutions. Les méthodes de résolution des problèmes MCDM sont généralement classées en fonction du moment de l’information de préférence obtenue à partir du DM.

Il existe des méthodes qui requièrent l’information de préférence du sous-traitant au début du processus, transformant le problème en un problème à critère unique. On dit que ces méthodes fonctionnent par “l’articulation préalable des préférences”. Les méthodes basées sur l’estimation d’une fonction de valeur ou l’utilisation du concept de «relations de surclassement», le processus de hiérarchie analytique et certaines méthodes fondées sur des règles de décision tentent de résoudre plusieurs problèmes d’évaluation utilisant des préférences antérieures. De même, il existe des méthodes développées pour résoudre des problèmes de conception à critères multiples en utilisant l’articulation préalable des préférences en construisant une fonction de valeur. La plus connue de ces méthodes est peut-être la programmation par objectif. Une fois la fonction de valeur construite, le programme mathématique à objectif unique résultant est résolu pour obtenir une solution préférée.

Certaines méthodes nécessitent des informations de préférence du gestionnaire de déploiement tout au long du processus de solution. Ces méthodes sont appelées méthodes ou méthodes interactives qui nécessitent une «articulation progressive des préférences». Ces méthodes ont été bien développées pour l’évaluation à critères multiples (voir par exemple Geoffrion, Dyer et Feinberg, 1972, et Köksalan et Sagala, 1995) et les problèmes de conception (voir Steuer, 1986).

Les problèmes de conception à critères multiples nécessitent généralement la solution d’une série de modèles de programmation mathématique afin de révéler des solutions définies implicitement. Pour ces problèmes, une représentation ou une approximation de «solutions efficaces» peut également être intéressante. Cette catégorie est appelée «articulation postérieure des préférences», ce qui implique que l’implication du SM commence postérieurement à la révélation explicite de solutions «intéressantes» (voir par exemple Karasakal et Köksalan, 2009).

Lorsque les modèles de programmation mathématique contiennent des variables entières, les problèmes de conception deviennent plus difficiles à résoudre. L’optimisation combinatoire multiobjective (MOCO) constitue une catégorie spéciale de tels problèmes posant d’importantes difficultés de calcul (voir Ehrgott et Gandibleux, 2002, pour une revue).

Représentations et définitions
Le problème MCDM peut être représenté dans l’espace des critères ou dans l’espace de décision. Alternativement, si différents critères sont combinés par une fonction linéaire pondérée, il est également possible de représenter le problème dans l’espace de poids. Voici les démonstrations des espaces de critères et de poids ainsi que quelques définitions formelles.

Représentation de l’espace des critères

Supposons que nous évaluons des solutions dans une situation de problème spécifique en utilisant plusieurs critères. Supposons encore que plus est meilleur dans chaque critère. Ensuite, parmi toutes les solutions possibles, nous sommes idéalement intéressés par les solutions qui fonctionnent bien dans tous les critères considérés. Cependant, il est peu probable qu’une seule solution fonctionne bien dans tous les critères considérés. Typiquement, certaines solutions fonctionnent bien dans certains critères et d’autres fonctionnent bien dans d’autres. Trouver un moyen de faire des compromis entre les critères est l’un des principaux efforts dans la littérature MCDM.

Mathématiquement, le problème MCDM correspondant aux arguments ci-dessus peut être représenté comme

“max” q
sujet à
q ∈ Q
où q est le vecteur de k fonctions de critère (fonctions objectives) et Q est l’ensemble réalisable, Q ⊆ Rk.

Si Q est défini explicitement (par un ensemble d’alternatives), le problème qui en résulte est appelé un problème d’évaluation de critères multiples.

Si Q est défini implicitement (par un ensemble de contraintes), le problème qui en résulte est appelé un problème de conception de critères multiples.

Les guillemets sont utilisés pour indiquer que la maximisation d’un vecteur n’est pas une opération mathématique bien définie. Cela correspond à l’argument selon lequel nous devrons trouver un moyen de résoudre le compromis entre les critères (généralement en fonction des préférences d’un décideur) lorsqu’une solution qui fonctionne bien dans tous les critères n’existe pas.

Représentation de l’espace décision

L’espace de décision correspond à l’ensemble des décisions possibles qui sont à notre disposition. Les valeurs des critères seront les conséquences des décisions que nous prendrons. Par conséquent, nous pouvons définir un problème correspondant dans l’espace de décision. Par exemple, dans la conception d’un produit, nous décidons des paramètres de conception (variables de décision) qui affectent chacun les mesures de performance (critères) avec lesquelles nous évaluons notre produit.

Mathématiquement, un problème de conception à critères multiples peut être représenté dans l’espace de décision comme suit:

“max” q = f (x) = (f1 (x), …, fk (x))
sujet à
q ∈ Q = {f (x): x ∈ X, X ⊆ Rn},
où X est l’ensemble réalisable et x est le vecteur de la variable de décision de taille n.

Un cas particulier bien développé est obtenu lorsque X est un polyèdre défini par des inégalités et des égalités linéaires. Si toutes les fonctions objectives sont linéaires en termes de variables de décision, cette variation conduit à la programmation linéaire multi-objectif (MOLP), une sous-classe importante des problèmes de MCDM.

Il y a plusieurs définitions qui sont centrales dans MCDM. Deux définitions étroitement liées sont celles de non-dominance (définie en fonction du critère de représentation de l’espace) et d’efficacité (définie en fonction de la représentation de la variable de décision).

Définition 1. q * ∈ Q n’est pas dénominateur s’il n’existe pas d’autre q ∈ Q tel que q ≥ q * et q ≠ q *.

Grosso modo, une solution n’est pas utilisée tant qu’elle n’est inférieure à aucune autre solution disponible dans tous les critères considérés.

Définition 2. x * ∈ X est efficace s’il n’existe pas d’autre x ∈ X tel que f (x) ≥ f (x *) et f (x) ≠ f (x *).

Si un problème MCDM représente bien une situation de décision, alors la solution la plus préférée d’un DM doit être une solution efficace dans l’espace de décision, et son image est un point non-dominé dans l’espace des critères. Les définitions suivantes sont également importantes.

Définition 3. q * ∈ Q est faiblement non dominée s’il n’existe pas d’autre q ∈ Q tel que q> q *.

Définition 4. x * ∈ X est faiblement efficace s’il n’existe pas d’autre x ∈ X tel que f (x)> f (x *).

Les points faiblement non dominants incluent tous les points non dominés et quelques points dominés spéciaux. L’importance de ces points spéciaux dominés vient du fait qu’ils apparaissent communément dans la pratique et qu’il est nécessaire de les distinguer des points non dominés. Si, par exemple, nous maximisons un seul objectif, nous pouvons nous retrouver avec un point faiblement non dominé qui est dominé. Les points dominés de l’ensemble faiblement non-dénominateur sont situés soit sur des plans verticaux ou horizontaux (hyperplans) dans l’espace des critères.

Point idéal: (dans l’espace des critères) représente le meilleur (le maximum pour les problèmes de maximisation et le minimum pour les problèmes de minimisation) de chaque fonction objective et correspond typiquement à une solution infaisable.

Le point Nadir: (dans l’espace des critères) représente le pire (le minimum pour les problèmes de maximisation et le maximum pour les problèmes de minimisation) de chaque fonction objectif parmi les points de l’ensemble non-dominé et est typiquement un point dominé.

Le point idéal et le point nadir sont utiles au DM pour avoir une «idée» de la gamme de solutions (bien qu’il ne soit pas simple de trouver le point nadir pour les problèmes de conception ayant plus de deux critères).

Illustrations des espaces de décision et de critère

Le problème MOLP à deux variables suivant dans l’espace de variable de décision aidera à démontrer graphiquement certains des concepts clés.

Max f1 (x) = -x1 + 2×2
Max f2 (x) = 2×1 – x2
sujet à
x1 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 7
-x1 + x2 ≤ 3
x1 – x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0

Sur la figure 1, les points extrêmes “e” et “b” maximisent les premier et deuxième objectifs, respectivement. La limite rouge entre ces deux points extrêmes représente l’ensemble efficace. On peut voir sur la figure que, pour toute solution réalisable en dehors de l’ensemble efficace, il est possible d’améliorer les deux objectifs par certains points sur l’ensemble efficace. Inversement, pour tout point de l’ensemble efficace, il n’est pas possible d’améliorer les deux objectifs en passant à une autre solution réalisable. A ces solutions, il faut sacrifier l’un des objectifs pour améliorer l’autre objectif.

En raison de sa simplicité, le problème ci-dessus peut être représenté dans l’espace des critères en remplaçant les x par les f comme suit:

Max f1
Max f2
sujet à
f1 + 2f2 ≤ 12
2f1 + f2 ≤ 12
f1 + f2 ≤ 7
f1 – f2 ≤ 9
-f1 + f2 ≤ 9
f1 + 2f2 ≥ 0
2f1 + f2 ≥ 0
Nous présentons graphiquement l’espace des critères sur la figure 2. Il est plus facile de détecter les points non-dominants (correspondant à des solutions efficaces dans l’espace de décision) dans l’espace des critères. La région nord-est de l’espace réalisable constitue l’ensemble des points non-dominants (pour les problèmes de maximisation).

Générer des solutions non dominées
Il existe plusieurs façons de générer des solutions non dominées. Nous discuterons de deux d’entre eux. La première approche peut générer une classe spéciale de solutions non-dominantes alors que la seconde approche peut générer n’importe quelle solution non-dominante.

Somme pondérée (Gass & Saaty, 1955)
Si nous combinons les critères multiples en un seul critère en multipliant chaque critère par un poids positif et en additionnant les critères pondérés, la solution au problème de critère unique qui en résulte est une solution efficace spéciale. Ces solutions spéciales efficaces apparaissent aux coins de l’ensemble des solutions disponibles. Les solutions efficaces qui ne sont pas dans les coins ont des caractéristiques spéciales et cette méthode n’est pas capable de trouver de tels points. Mathématiquement, nous pouvons représenter cette situation comme

max wT.q = wT.f (x), w> 0
sujet à
x ∈ X
En faisant varier les poids, des sommes pondérées peuvent être utilisées pour générer des solutions de points extrêmes efficaces pour des problèmes de conception, et des points pris en charge (non convexes) pour des problèmes d’évaluation.

Fonction de scalarisation d’accomplissement (Wierzbicki, 1980)

Les fonctions de scalarisation d’accomplissement combinent également plusieurs critères en un seul critère en les pondérant d’une manière très spéciale. Ils créent des contours rectangulaires s’éloignant d’un point de référence vers les solutions efficaces disponibles. Cette structure spéciale permet des fonctions scalarizing de réalisation pour atteindre n’importe quelle solution efficace. C’est une propriété puissante qui rend ces fonctions très utiles pour les problèmes MCDM.

Mathématiquement, nous pouvons représenter le problème correspondant

Min s (g, q, w, p) = Min {maxi [(gi – qi) / wi] + ρ Σi (gi- qi)},
sujet à
q ∈ Q
La fonction scalarizing de réalisation peut être utilisée pour projeter n’importe quel point (faisable ou irréalisable) sur la frontière efficace. Tout point (supporté ou non) peut être atteint. Le deuxième terme de la fonction objectif est nécessaire pour éviter de générer des solutions inefficaces. La figure 3 montre comment un point réalisable, g1, et un point infaisable, g2, sont projetés sur les points non-dominants, q1 et q2, respectivement, le long de la direction w en utilisant une fonction de scalarisation de réalisation. Les contours pointillés et pleins correspondent respectivement aux contours de la fonction objectif avec et sans le second terme de la fonction objectif.

Résoudre les problèmes de MCDM
Différentes écoles de pensée ont développé pour résoudre les problèmes de MCDM (à la fois du type de conception et d’évaluation). Pour une étude bibliométrique montrant leur évolution dans le temps, voir Bragge, Korhonen, H. Wallenius et J. Wallenius [2010].

École de programmation mathématique objective multiple

(1) Maximisation du vecteur: Le but de la maximisation du vecteur est d’approcher l’ensemble non-dénommé; développé à l’origine pour les problèmes de Programmation Linéaire Objective Multiple (Evans et Steuer, 1973, Yu et Zeleny, 1975).

(2) Programmation interactive: les phases de calcul alternent avec les phases de prise de décision (Benayoun et al., 1971, Geoffrion, Dyer et Feinberg, 1972, Zionts et Wallenius, 1976, Korhonen et Wallenius, 1988). Aucune connaissance explicite de la fonction de valeur du DM n’est supposée.

École de programmation d’objectifs

L’objectif est de définir des valeurs cibles apriori pour les objectifs et de minimiser les écarts pondérés par rapport à ces objectifs. Les poids d’importance ainsi que les poids préemptifs lexicographiques ont été utilisés (Charnes et Cooper, 1961).

Les théoriciens de l’ensemble flou

Les ensembles flous ont été introduits par Zadeh (1965) comme une extension de la notion classique d’ensembles. Cette idée est utilisée dans de nombreux algorithmes MCDM pour modéliser et résoudre des problèmes flous.

Théoriciens de l’utilité multi-attributs

Des fonctions d’utilité ou de valeur à attributs multiples sont déclenchées et utilisées pour identifier l’alternative la plus préférée ou pour classer les alternatives. Des techniques d’interview élaborées, qui permettent d’obtenir des fonctions d’utilité additives linéaires et des fonctions d’utilité non linéaires multiplicatives, sont utilisées (Keeney et Raiffa, 1976).

École française

L’école française se concentre sur l’aide à la décision, en particulier la famille ELECTRE des méthodes de surclassement qui ont vu le jour en France au milieu des années 1960. La méthode a été proposée pour la première fois par Bernard Roy (Roy, 1968).

Ecole d’optimisation multiobjectif évolutive (EMO)

Les algorithmes d’EMO commencent avec une population initiale, et la mettent à jour en utilisant des processus conçus pour imiter les principes naturels de survie des plus aptes et les opérateurs de variation génétique pour améliorer la population moyenne d’une génération à l’autre. Le but est de converger vers une population de solutions qui représentent l’ensemble non-dominé (Schaffer, 1984, Srinivas et Deb, 1994). Plus récemment, des efforts ont été déployés pour incorporer des informations sur les préférences dans le processus de résolution des algorithmes d’EMO (voir Deb et Köksalan, 2010).

Processus de hiérarchie analytique (AHP)

L’AHP décompose d’abord le problème de décision en une hiérarchie de sous-problèmes. Ensuite, le décideur évalue l’importance relative de ses divers éléments par des comparaisons par paires. L’AHP convertit ces évaluations en valeurs numériques (poids ou priorités), qui sont utilisées pour calculer un score pour chaque alternative (Saaty, 1980). Un indice de cohérence mesure la mesure dans laquelle le décideur a été cohérent dans ses réponses. AHP est l’une des techniques les plus controversées énumérées ici, avec certains chercheurs de la communauté MCDA croyant que c’est défectueux. Les mathématiques sous-jacentes sont également plus compliquées, bien qu’elles aient gagné en popularité grâce aux logiciels disponibles dans le commerce.

Plusieurs articles ont examiné l’application des techniques MCDM dans diverses disciplines telles que MCDM floue, MCDM classique, énergie durable et renouvelable, technique VIKOR, systèmes de transport, qualité de service, méthode TOPSIS, problèmes de gestion de l’énergie, e-learning, tourisme et hospitalité, SWARA et Méthodes WASPAS.

Méthodes MCDM
Les méthodes MCDM suivantes sont disponibles, dont beaucoup sont implémentées par un logiciel de prise de décision spécialisé:

Méthode de randomisation des indices agrégés (AIRM)
Processus de hiérarchie analytique (AHP)
Processus de réseau analytique (ANP)
Meilleure méthode pire (BWM)
Objets caractéristiques METhod (COMET)
Choisir par avantages (CBA)
Analyse d’enveloppement des données
Décision EXpert (DEX)
Désagrégation – Approches d’agrégation (UTA *, UTAII, UTADIS)
Ensemble rugueux (approche de l’ensemble rugueux)
Approche par approximation basée sur la dominance (DRSA)
ELECTRE (Outranking)
Évaluation basée sur la distance de la solution moyenne (EDAS)
Approche de raisonnement probant (ER)
Programmation d’objectifs (GP)
Analyse relationnelle grise (GRA)
Produit intérieur des vecteurs (IPV)
Mesurer l’attractivité par une technique d’évaluation catégorielle (MACBETH)
Technique simple d’évaluation multi-attributs (SMART)
Inférence globale de qualité multi-attributs (MAGIQ)
Théorie de l’utilité multi-attributs (MAUT)
Théorie de la valeur multi-attributs (MAVT)
Nouvelle approche de l’évaluation (NATA)
Système de support de décision floue non structurale (NSFDSS)
Probablement tous les classements par paires de toutes les alternatives possibles (PAPRIKA)
PROMETHEE (Outrage)
Analyse d’acceptabilité multicritères stochastiques (SMAA)
Supériorité et méthode de classement d’infériorité (méthode SIR)
Technique pour l’ordre de priorité par similarité avec la solution idéale (TOPSIS)
Analyse de la valeur (VA)
Ingénierie de la valeur (VE)
Méthode VIKOR
Méthode VIKOR floue
Modèle de produit pondéré (WPM)
Modèle de somme pondérée (WSM)
Méthode de Rembrandt