Análisis de decisión de criterios múltiples

La toma de decisiones con criterios múltiples (MCDM) o el análisis de decisiones con criterios múltiples (MCDA) es una subdisciplina de investigación de operaciones que evalúa explícitamente múltiples criterios contradictorios en la toma de decisiones (tanto en la vida cotidiana como en entornos como negocios, gobierno y medicina ) Los criterios contradictorios son típicos en las opciones de evaluación: el costo o el precio suele ser uno de los principales criterios, y una medida de la calidad suele ser otro criterio, fácilmente en conflicto con el costo. Al comprar un automóvil, el costo, la comodidad, la seguridad y el ahorro de combustible pueden ser algunos de los principales criterios que consideramos; es inusual que el automóvil más barato sea el más cómodo y el más seguro. En la administración de carteras, estamos interesados ​​en obtener altos rendimientos pero al mismo tiempo reducir nuestros riesgos, pero las acciones que tienen el potencial de generar altos rendimientos generalmente también conllevan un alto riesgo de perder dinero. En una industria de servicios, la satisfacción del cliente y el costo de proporcionar un servicio son criterios conflictivos fundamentales.

En nuestra vida cotidiana, solemos sopesar implícitamente múltiples criterios y podemos sentirnos cómodos con las consecuencias de tales decisiones que se basan únicamente en la intuición. Por otro lado, cuando hay mucho en juego, es importante estructurar adecuadamente el problema y evaluar explícitamente múltiples criterios. Al tomar la decisión de construir una central nuclear o no, y dónde construirla, no solo existen problemas muy complejos que involucran múltiples criterios, sino que también hay muchas partes que se ven profundamente afectadas por las consecuencias.

Estructurar bien los problemas complejos y considerar múltiples criterios explícitamente lleva a decisiones más informadas y mejores. Se han producido avances importantes en este campo desde el comienzo de la moderna disciplina de toma de decisiones de criterios múltiples a principios de la década de 1960. Se han desarrollado una variedad de enfoques y métodos, muchos implementados por software especializado para la toma de decisiones, para su aplicación en una variedad de disciplinas, que van desde la política y los negocios hasta el medio ambiente y la energía.

Fundamentos, conceptos, definiciones
MCDM o MCDA son acrónimos bien conocidos para la toma de decisiones de criterios múltiples y para el análisis de decisiones de criterios múltiples; Stanley Zionts ayudó a popularizar el acrónimo con su artículo de 1979 “MCDM – Si no es un número romano, ¿entonces qué?”, ​​Destinado a un público emprendedor.

MCDM se preocupa por estructurar y resolver problemas de decisión y planificación que involucran múltiples criterios. El propósito es apoyar a los tomadores de decisiones que enfrentan tales problemas. Por lo general, no existe una solución óptima única para tales problemas y es necesario utilizar las preferencias del responsable de la toma de decisiones para diferenciar entre las soluciones.

La “solución” se puede interpretar de diferentes maneras. Podría corresponder a la elección de la “mejor” alternativa de un conjunto de alternativas disponibles (donde “mejor” puede interpretarse como “la alternativa más preferida” de un responsable de la toma de decisiones). Otra interpretación de “resolver” podría ser elegir un pequeño conjunto de buenas alternativas o agrupar alternativas en diferentes conjuntos de preferencias. Una interpretación extrema podría ser encontrar todas las alternativas “eficientes” o “no nominadas” (que definiremos en breve).

La dificultad del problema proviene de la presencia de más de un criterio. Ya no existe una solución óptima única para un problema de MCDM que se puede obtener sin incorporar información de preferencia. El concepto de una solución óptima a menudo se reemplaza por el conjunto de soluciones no dominadas. Una solución no dominada tiene la propiedad de que no es posible alejarse de ella a ninguna otra solución sin sacrificar al menos un criterio. Por lo tanto, tiene sentido que el responsable de la toma de decisiones elija una solución del conjunto no dominado. De lo contrario, él / ella podría hacerlo mejor en términos de algunos o todos los criterios, y no empeorar en ninguno de ellos. En general, sin embargo, el conjunto de soluciones no nominadas es demasiado grande para ser presentado al responsable de la toma de decisiones para la elección final. Por lo tanto, necesitamos herramientas que ayuden al tomador de decisiones a enfocarse en las soluciones (o alternativas) preferidas. Normalmente uno tiene que “intercambiar” ciertos criterios por otros.

MCDM ha sido un área activa de investigación desde la década de 1970. Existen varias organizaciones relacionadas con el MCDM, incluida la Sociedad Internacional para la Toma de Decisiones de Criterios Múltiples, el Grupo de Trabajo del Euro sobre MCDA y la Sección INFORMS sobre MCDM. Para una historia, vea: Köksalan, Wallenius y Zionts (2011). MCDM se basa en el conocimiento en muchos campos, incluyendo:

Matemáticas
Análisis de decisión
Ciencias económicas
Tecnologia computacional
Ingeniería de software
Sistemas de información

Una tipología
Hay diferentes clasificaciones de problemas y métodos MCDM. Una distinción importante entre los problemas de MCDM se basa en si las soluciones están explícita o implícitamente definidas.

Problemas de evaluación de criterios múltiples: estos problemas consisten en un número finito de alternativas, explícitamente conocidas al comienzo del proceso de solución. Cada alternativa está representada por su desempeño en múltiples criterios. El problema puede definirse como la búsqueda de la mejor alternativa para un responsable de la toma de decisiones (DM) o la búsqueda de un conjunto de buenas alternativas. Uno también puede estar interesado en “clasificar” o “clasificar” alternativas. La clasificación se refiere a colocar alternativas en un conjunto de clases ordenadas por preferencias (como la asignación de calificaciones crediticias a los países), y la clasificación se refiere a la asignación de alternativas a conjuntos no ordenados (como el diagnóstico de pacientes en función de sus síntomas). Algunos de los métodos de MCDM en esta categoría han sido estudiados comparativamente en el libro de Triantaphyllou sobre este tema, 2000.
Problemas de diseño de criterios múltiples (problemas de programación matemática objetivos múltiples): en estos problemas, las alternativas no se conocen explícitamente. Se puede encontrar una alternativa (solución) resolviendo un modelo matemático. El número de alternativas es infinito y no contable (cuando algunas variables son continuas) o generalmente muy grande si es contable (cuando todas las variables son discretas).
Ya sea un problema de evaluación o un problema de diseño, se requiere información de preferencia de los DM para diferenciar entre soluciones. Los métodos de solución para problemas de MCDM se clasifican comúnmente en función del tiempo de información de preferencia obtenido del DM.

Hay métodos que requieren la información de preferencia del DM al comienzo del proceso, transformando el problema en esencialmente un problema de criterio único. Se dice que estos métodos operan por “articulación previa de preferencias”. Los métodos basados ​​en la estimación de una función de valor o utilizando el concepto de “superación de relaciones”, el proceso de jerarquía analítica y algunos métodos basados ​​en reglas de decisión intentan resolver problemas de evaluación de criterios múltiples utilizando la articulación previa de preferencias. De forma similar, existen métodos desarrollados para resolver problemas de diseño de criterios múltiples utilizando una articulación previa de preferencias mediante la construcción de una función de valor. Quizás el más conocido de estos métodos es la programación de objetivos. Una vez que se construye la función de valor, el programa matemático objetivo único resultante se resuelve para obtener una solución preferida.

Algunos métodos requieren información de preferencia del DM a lo largo del proceso de solución. Estos se conocen como métodos interactivos o métodos que requieren “articulación progresiva de preferencias”. Estos métodos han sido bien desarrollados tanto para la evaluación de criterios múltiples (véase, por ejemplo, Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972, y Köksalan y Sagala, 1995) como para los problemas de diseño (véase Steuer, 1986).

Los problemas de diseño de criterios múltiples generalmente requieren la solución de una serie de modelos de programación matemática para revelar soluciones implícitamente definidas. Para estos problemas, una representación o aproximación de “soluciones eficientes” también puede ser de interés. Esta categoría se conoce como “articulación posterior de preferencias”, lo que implica que la participación del DM comienza posteriormente a la revelación explícita de soluciones “interesantes” (véase, por ejemplo, Karasakal y Köksalan, 2009).

Cuando los modelos de programación matemática contienen variables enteras, los problemas de diseño se vuelven más difíciles de resolver. La Optimización Combinatoria Multiobjetivo (MOCO) constituye una categoría especial de tales problemas que presenta una dificultad computacional sustancial (ver Ehrgott y Gandibleux, 2002, para una revisión).

Representaciones y definiciones
El problema de MCDM se puede representar en el espacio de criterio o en el espacio de decisión. Alternativamente, si se combinan diferentes criterios por una función lineal ponderada, también es posible representar el problema en el espacio de ponderación. A continuación se muestran las demostraciones de los espacios de criterio y peso, así como algunas definiciones formales.

Representación del espacio de criterio

Supongamos que evaluamos soluciones en una situación problemática específica usando varios criterios. Supongamos además que más es mejor en cada criterio. Entonces, entre todas las soluciones posibles, estamos idealmente interesados ​​en aquellas soluciones que funcionan bien en todos los criterios considerados. Sin embargo, es poco probable que tenga una única solución que funcione bien en todos los criterios considerados. Por lo general, algunas soluciones funcionan bien en algunos criterios y algunas funcionan bien en otros. Encontrar una forma de intercambiar entre los criterios es uno de los principales esfuerzos en la literatura de MCDM.

Matemáticamente, el problema de MCDM correspondiente a los argumentos anteriores se puede representar como

“max” q
sujeto a
q ∈ Q
donde q es el vector de k funciones de criterio (funciones objetivo) y Q es el conjunto factible, Q ⊆ Rk.

Si Q se define explícitamente (mediante un conjunto de alternativas), el problema resultante se denomina problema de evaluación de criterios múltiples.

Si Q se define implícitamente (por un conjunto de restricciones), el problema resultante se denomina problema de diseño de criterios múltiples.

Las comillas se utilizan para indicar que la maximización de un vector no es una operación matemática bien definida. Esto se corresponde con el argumento de que tendremos que encontrar una manera de resolver el trade-off entre los criterios (generalmente basado en las preferencias de un tomador de decisiones) cuando no exista una solución que funcione bien en todos los criterios.

Representación del espacio de decisión

El espacio de decisión corresponde al conjunto de decisiones posibles que están disponibles para nosotros. Los valores de los criterios serán consecuencias de las decisiones que tomemos. Por lo tanto, podemos definir un problema correspondiente en el espacio de decisión. Por ejemplo, al diseñar un producto, decidimos los parámetros de diseño (variables de decisión) cada uno de los cuales afecta las medidas de rendimiento (criterios) con los que evaluamos nuestro producto.

Matemáticamente, un problema de diseño de criterios múltiples se puede representar en el espacio de decisión de la siguiente manera:

“max” q = f (x) = (f1 (x), …, fk (x))
sujeto a
q ∈ Q = {f (x): x ∈ X, X ⊆ Rn},
donde X es el conjunto factible yx es el vector variable de decisión de tamaño n.

Se obtiene un caso especial bien desarrollado cuando X es un poliedro definido por desigualdades lineales e igualdades. Si todas las funciones objetivas son lineales en términos de las variables de decisión, esta variación conduce a la programación lineal objetiva múltiple (MOLP), una subclase importante de problemas MCDM.

Hay varias definiciones que son centrales en MCDM. Dos definiciones estrechamente relacionadas son las de la no-nominación (definida en base a la representación del espacio de criterio) y la eficiencia (definida en base a la representación de la variable de decisión).

Definición 1. q * ∈ Q no está dominado si no existe otro q ∈ Q tal que q ≥ q * y q ≠ q *.

En términos generales, una solución no está dominada siempre que no sea inferior a ninguna otra solución disponible en todos los criterios considerados.

Definición 2. x * ∈ X es eficiente si no existe otra x ∈ X tal que f (x) ≥ f (x *) yf (x) ≠ f (x *).

Si un problema MCDM representa bien una situación de decisión, entonces la solución más preferida de un DM tiene que ser una solución eficiente en el espacio de decisión, y su imagen es un punto no dominado en el espacio de criterio. Las siguientes definiciones también son importantes.

Definición 3. q * ∈ Q está débilmente no dominado si no existe otro q ∈ Q tal que q> q *.

Definición 4. x * ∈ X es débilmente eficiente si no existe otra x ∈ X tal que f (x)> f (x *).

Los puntos débiles no dominados incluyen todos los puntos no dominados y algunos puntos dominados especiales. La importancia de estos puntos dominados especiales proviene del hecho de que comúnmente aparecen en la práctica y es necesario un cuidado especial para distinguirlos de los puntos no dominados. Si, por ejemplo, maximizamos un solo objetivo, podemos terminar con un punto débilmente no dominado que está dominado. Los puntos dominados del conjunto débilmente no dominado se ubican en planos verticales u horizontales (hiperplanos) en el espacio de criterio.

Punto ideal: (en el espacio de criterio) representa el mejor (el máximo para los problemas de maximización y el mínimo para los problemas de minimización) de cada función objetivo y, por lo general, corresponde a una solución inviable.

Punto nadir: (en el espacio de criterio) representa el peor (el mínimo para problemas de maximización y el máximo para problemas de minimización) de cada función objetivo entre los puntos en el conjunto no dominado y es típicamente un punto dominado.

El punto ideal y el punto nadir son útiles para que el DM obtenga la “sensación” del rango de soluciones (aunque no es sencillo encontrar el punto nadir para los problemas de diseño que tienen más de dos criterios).

Ilustraciones de los espacios de decisión y criterio

El siguiente problema de MOLP de dos variables en el espacio variable de decisión ayudará a demostrar gráficamente algunos de los conceptos clave.

Max f1 (x) = -x1 + 2×2
Max f2 (x) = 2×1 – x2
sujeto a
x1 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 7
-x1 + x2 ≤ 3
x1 – x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0

En la Figura 1, los puntos extremos “e” y “b” maximizan los objetivos primero y segundo, respectivamente. El límite rojo entre esos dos puntos extremos representa el conjunto eficiente. Se puede ver en la figura que, para cualquier solución factible fuera del conjunto eficiente, es posible mejorar ambos objetivos en algunos puntos en el conjunto eficiente. Por el contrario, para cualquier punto en el conjunto eficiente, no es posible mejorar ambos objetivos pasando a cualquier otra solución factible. En estas soluciones, uno tiene que sacrificarse de uno de los objetivos para mejorar el otro objetivo.

Debido a su simplicidad, el problema anterior puede representarse en el espacio de criterio reemplazando las x con las f ‘s de la siguiente manera:

Max f1
Max f2
sujeto a
f1 + 2f2 ≤ 12
2f1 + f2 ≤ 12
f1 + f2 ≤ 7
f1 – f2 ≤ 9
-f1 + f2 ≤ 9
f1 + 2f2 ≥ 0
2f1 + f2 ≥ 0
Presentamos el espacio de criterio gráficamente en la Figura 2. Es más fácil detectar los puntos no dominados (correspondientes a soluciones eficientes en el espacio de decisión) en el espacio de criterio. La región noreste del espacio factible constituye el conjunto de puntos no dominados (para problemas de maximización).

Generando soluciones no dominadas
Hay varias formas de generar soluciones no dominadas. Discutiremos dos de estos. El primer enfoque puede generar una clase especial de soluciones no dominadas, mientras que el segundo enfoque puede generar cualquier solución no dominada.

Sumas ponderadas (Gass & Saaty, 1955)
Si combinamos los criterios múltiples en un solo criterio multiplicando cada criterio con un peso positivo y sumando los criterios ponderados, entonces la solución al problema de criterio único resultante es una solución eficiente especial. Estas soluciones especiales eficientes aparecen en los puntos de esquina del conjunto de soluciones disponibles. Las soluciones eficientes que no están en los puntos de esquina tienen características especiales y este método no es capaz de encontrar dichos puntos. Matemáticamente, podemos representar esta situación como

max wT.q = wT.f (x), w> 0
sujeto a
x ∈ X
Al variar los pesos, las sumas ponderadas se pueden usar para generar soluciones de puntos extremos eficientes para problemas de diseño y puntos compatibles (convexos no dominados) para problemas de evaluación.

Función de escalarización del logro (Wierzbicki, 1980)

Las funciones de escalarización del logro también combinan múltiples criterios en un solo criterio al ponderarlos de una manera muy especial. Crean contornos rectangulares que se alejan de un punto de referencia hacia las soluciones eficientes disponibles. Esta estructura especial potencia las funciones de escalado de logros para alcanzar cualquier solución eficiente. Esta es una propiedad poderosa que hace que estas funciones sean muy útiles para problemas de MCDM.

Matemáticamente, podemos representar el problema correspondiente como

Mín. S (g, q, w, ρ) = Mín. {Maxi [(gi – qi) / wi] + ρ Σi (gi- qi)},
sujeto a
q ∈ Q
La función de escalarización del logro se puede utilizar para proyectar cualquier punto (factible o no factible) en la frontera eficiente. Cualquier punto (compatible o no) puede ser alcanzado. El segundo término en la función objetivo es necesario para evitar generar soluciones ineficientes. La Figura 3 muestra cómo un punto factible, g1, y un punto no factible, g2, se proyectan en los puntos no dominados, q1 y q2, respectivamente, a lo largo de la dirección w utilizando una función de escalarización de logro. Los contornos discontinuos y sólidos corresponden a los contornos de la función objetivo con y sin el segundo término de la función objetivo, respectivamente.

Resolviendo problemas MCDM
Se han desarrollado diferentes escuelas de pensamiento para resolver problemas de MCDM (tanto del tipo de diseño como de evaluación). Para un estudio bibliométrico que muestra su desarrollo a lo largo del tiempo, ver Bragge, Korhonen, H. Wallenius y J. Wallenius [2010].

Escuela de programación matemática objetiva múltiple

(1) Maximización vectorial: el objetivo de la maximización vectorial es aproximar el conjunto no dominado; originalmente desarrollado para problemas de programación lineal de objetivos múltiples (Evans y Steuer, 1973, Yu y Zeleny, 1975).

(2) Programación interactiva: las fases de computación se alternan con las fases de toma de decisiones (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972; Zionts y Wallenius, 1976; Korhonen y Wallenius, 1988). No se asume ningún conocimiento explícito de la función de valor del DM.

Escuela de programación de objetivos

El objetivo es establecer valores objetivo previos para los objetivos y minimizar las desviaciones ponderadas de estos objetivos. Se han utilizado tanto pesos de importancia como peso preferente lexicográfico (Charnes y Cooper, 1961).

Teóricos borrosos

Los conjuntos borrosos fueron introducidos por Zadeh (1965) como una extensión de la noción clásica de conjuntos. Esta idea se usa en muchos algoritmos MCDM para modelar y resolver problemas borrosos.

Teóricos de utilidad de múltiples atributos

La utilidad multiatributo o las funciones de valor se obtienen y se utilizan para identificar la alternativa más preferida o clasificar las alternativas. Se utilizan técnicas elaboradas de entrevista, que existen para obtener funciones de utilidad aditivas lineales y funciones de utilidad multiplicativas no lineales (Keeney y Raiffa, 1976).

escuela francesa

La escuela francesa se enfoca en la toma de decisiones, en particular en la familia ELECTRE de métodos superiores que se originaron en Francia a mediados de los años sesenta. El método primero fue propuesto por Bernard Roy (Roy, 1968).

Escuela evolutiva de optimización multiobjetivo (EMO)

Los algoritmos de EMO comienzan con una población inicial y la actualizan mediante el uso de procesos diseñados para imitar los principios naturales de supervivencia del más apto y los operadores de variación genética para mejorar la población promedio de una generación a otra. El objetivo es converger a una población de soluciones que representan el conjunto no dominado (Schaffer, 1984; Srinivas y Deb, 1994). Más recientemente, hay esfuerzos para incorporar información de preferencia en el proceso de solución de los algoritmos de EMO (ver Deb y Köksalan, 2010).

Proceso de jerarquía analítica (AHP)

El AHP primero descompone el problema de decisión en una jerarquía de subproblemas. Luego, el responsable de la toma de decisiones evalúa la importancia relativa de sus diversos elementos mediante comparaciones por pares. El AHP convierte estas evaluaciones en valores numéricos (ponderaciones o prioridades), que se utilizan para calcular un puntaje para cada alternativa (Saaty, 1980). Un índice de coherencia mide el grado en que el responsable de la toma de decisiones ha sido coherente en sus respuestas. AHP es una de las técnicas más controvertidas que se enumeran aquí, y algunos investigadores de la comunidad MCDA creen que es defectuosa. Las matemáticas subyacentes también son más complicadas, aunque han ganado cierta popularidad como resultado del software disponible comercialmente.

Varios documentos examinaron la aplicación de técnicas MCDM en diversas disciplinas como MCDM difuso, MCDM clásico, energía sostenible y renovable, técnica VIKOR, sistemas de transporte, calidad del servicio, método TOPSIS, problemas de gestión energética, e-learning, turismo y hospitalidad, SWARA y Métodos WASPAS.

Métodos MCDM
Los siguientes métodos MCDM están disponibles, muchos de los cuales son implementados por un software especializado de toma de decisiones:

Método de aleatorización de índices agregados (AIRM)
Proceso de jerarquía analítica (AHP)
Proceso de red analítica (ANP)
El mejor método peor (BWM)
Objetos característicos METODO (COMET)
Elegir por ventajas (CBA)
Análisis Envolvente de Datos
Decision EXpert (DEX)
Desagregación – Enfoques de agregación (UTA *, UTAII, UTADIS)
Conjunto tosco (enfoque de conjunto áspero)
Enfoque de conjunto aproximado basado en el dominio (DRSA)
ELECTRE (Outranking)
Evaluación basada en la distancia de la solución promedio (EDAS)
Enfoque de razonamiento probatorio (ER)
Programación de objetivos (GP)
Análisis relacional gris (GRA)
Producto interno de vectores (IPV)
Medir el atractivo mediante una técnica de evaluación basada en categorías (MACBETH)
Técnica simple de calificación de múltiples atributos (SMART)
Inferencia Global de Calidad de Múltiples Atributos (MAGIQ)
Teoría de utilidad de atributos múltiples (MAUT)
Teoría de valores de atributos múltiples (MAVT)
Nuevo enfoque de la evaluación (NATA)
Sistema de soporte de decisiones difusas no estructurales (NSFDSS)
Potencialmente todas las clasificaciones por parejas de todas las alternativas posibles (PAPRIKA)
PROMETHEE (Outranking)
Análisis Estocástico de Aceptabilidad de Multicriterios (SMAA)
Método de clasificación de superioridad e inferioridad (método SIR)
Técnica para el orden de priorización por similitud a la solución ideal (TOPSIS)
Análisis de valor (VA)
Ingeniería de valor (VE)
Método VIKOR
Método Fuzzy VIKOR
Modelo de producto ponderado (WPM)
Modelo de suma ponderada (WSM)
Método Rembrandt