Uma tesselagem, ou um telhado de uma superfície plana é o ladrilhos de um avião usando uma ou mais formas geométricas, chamadas telhas, sem sobreposições e sem lacunas. Em matemática, as tesselagens podem ser generalizadas para maiores dimensões e uma variedade de geometrias.

Comparação da relação área-perímetro entre triângulo equilátero, hexágono quadrado e regular. O hex divide o plano com o perímetro mínimo usado para a porção da superfície coberta. Em geometria plana, é chamado de escurecimento (às vezes inclinando ou pavimentando) as formas de cobrir o plano com uma ou mais figuras geométricas repetidas infinitamente sem sobreposição.

Essas figuras geométricas (chamadas “cavilhas”) são muitas vezes polígonos, regulares ou não, mas também podem ter lados curvos ou não têm vértice. A única condição que geralmente surge é que eles estão conectados, simplesmente conectados (ou seja, eles são uma única peça e não têm buracos).

Embora esta condição possa parecer muito restritiva, é respeitada por praticamente qualquer piso que você possa pensar. A razão pela qual é útil é que permite comparar toneladas de aparência diferente entre si.

O modelo básico de paralelogramo, no entanto, não é a maneira mais completa de classificar partituras regulares; Saber que as medidas de seus ângulos e lados não nos permitem certificar com certeza as características geométricas do escurecimento: pode acontecer que haja uma porção menor do paralelogramo (mais precisamente, uma proporção do paralelogramo) com a qual é possível para reconstruir toda a decoração (não mais com tradução exclusiva, mas usando também outras isometrias).

Um mosaico periódico tem um padrão de repetição. Alguns tipos especiais incluem tilings regulares com telhas poligonais regulares de toda a mesma forma, e telhas semiregulares com telhas regulares de mais de uma forma e com cada canto organizado de forma idêntica. Os padrões formados por tilings periódicos podem ser categorizados em 17 grupos de papel de parede. Uma telha que não possui um padrão de repetição é chamada de “não periódica”. Uma telha aperiódica usa um pequeno conjunto de formas de azulejos que não podem formar um padrão de repetição. Na geometria de dimensões superiores, um preenchimento de espaço ou favo de mel também é chamado de tesselagem do espaço.

Um pavimento ou pavimento é uma partição de um espaço (geralmente um espaço euclidiano como o plano ou espaço tridimensional) por elementos de um conjunto finito, chamados de telhas (mais precisamente, são compactos interiores não vazios). Geralmente, consideramos as inclinações por meio de traduções, ou seja, que duas mesmas telhas de pavimentação são sempre dedutíveis entre si por uma tradução (excluindo rotações ou simetrias). Há também tessellations de espaços não-euclidianos, sendo o mais famoso, sem dúvida, os numerosos pavimentos de M.C. Escher (tesselagens uniformes do plano hiperbólico (in)).

Uma tesselagem física real é uma telha feita de materiais como quadrados de cerâmica cimentados ou hexágonos. Essas telhas podem ser padrões decorativos, ou podem ter funções como o fornecimento de pavimentos duráveis ​​e resistentes à água, pavimentos ou paredes. Historicamente, tessellations foram usados ​​na Roma antiga e na arte islâmica, como na decoração geométrica decorativa do palácio Alhambra. No século XX, o trabalho de M. C. Escher costumava fazer uso de tesselagens, tanto na geometria euclidiana ordinária quanto na geometria hiperbólica, por efeito artístico. Tessellations são por vezes empregados para efeito decorativo em quilting. Tessellations formam uma classe de padrões na natureza, por exemplo nas matrizes de células hexagonais encontradas em favos de mel.

As essências foram usadas pelos sumérios (cerca de 4000 aC) na construção de decorações de parede formadas por padrões de telhas de argila.

Os mosaicos decorativos feitos de pequenos blocos quadrados chamados tesserae foram amplamente empregados na antiguidade clássica, às vezes exibindo padrões geométricos.

Em 1619, Johannes Kepler fez um estudo documentado inicial de tessellations. Ele escreveu sobre tessellations regulares e semiregulares em seu Harmonices Mundi; Ele foi possivelmente o primeiro a explorar e explicar as estruturas hexagonais do favo de mel e dos flocos de neve.

Cerca de duzentos anos depois, em 1891, o cristalógrafo russo Yevgraf Fyodorov provou que todas as telhas periódicas do avião apresentam um dos dezesseis diferentes grupos de isometrias. O trabalho de Fyodorov marcou o início não oficial do estudo matemático de tesselagens. Outros colaboradores proeminentes incluem Shubnikov e Belov (1964), e Heinrich Heesch e Otto Kienzle (1963).

Em latim, tessella é um pequeno pedaço cúbico de argila, pedra ou vidro usado para fazer mosaicos. A palavra “tessella” significa “quadrado pequeno” (da tessera, quadrado, que por sua vez é da palavra grega τέσσερα para quatro). Corresponde ao túnel de rotina diária, que se refere a aplicações de tesselações, muitas vezes feitas de argila glazada.

Tessellation ou mosaico em duas dimensões é um tópico em geometria que estuda como formas, conhecidas como telhas, podem ser arranjadas para preencher um plano sem lacunas, de acordo com um determinado conjunto de regras. Essas regras podem ser variadas. Os mais comuns são que não deve haver lacunas entre os azulejos, e que nenhum canto de um dos ladrilhos pode ficar ao longo do outro. As tesselabrais criadas por alvenaria ligada não obedecem a esta regra. Entre aqueles que o fazem, uma tesselação regular tem telhas regulares idênticas e cantos ou vértices regulares idênticos, tendo o mesmo ângulo entre as bordas adjacentes para cada azulejo. Existem apenas três formas que podem formar tesselagens regulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. Qualquer uma dessas três formas pode ser duplicada infinitamente para preencher um plano sem lacunas.

Muitos outros tipos de tesselagem são possíveis sob diferentes restrições. Por exemplo, existem oito tipos de tesselação semi-regular, feitos com mais de um tipo de polígono regular, mas ainda com o mesmo arranjo de polígonos em cada canto. Tessellations irregulares também podem ser feitos de outras formas, como pentágonos, poliominoes e, na verdade, quase qualquer tipo de forma geométrica. O artista M. C. Escher é famoso por fazer tessellations com telhados irregulares irregulares, com a forma de animais e outros objetos naturais. Se forem escolhidas cores contrastantes adequadas para os azulejos de diferentes formas, são formados padrões marcantes, que podem ser usados ​​para decorar superfícies físicas como pisos da igreja.

Mais formalmente, uma tesselação ou ladrilhos é uma cobertura do plano euclidiano por um número contável de conjuntos fechados, chamados de telhas, de modo que as telhas se cruzem apenas em seus limites. Essas telhas podem ser polígonos ou quaisquer outras formas. Muitas tessellations são formadas a partir de um número finito de prototiles em que todos os ladrilhos na tesselação são congruentes com os prototiles dados. Se uma forma geométrica pode ser usada como um prototile para criar uma tesselagem, a forma é dito para tesselar ou para enrolar o plano. O critério de Conway é um conjunto de regras suficiente, mas não necessário, para decidir se uma dada forma lima periodicamente o plano sem reflexos: algumas telhas falham no critério, mas ainda apresentam o plano. Nenhuma regra geral foi encontrada para determinar se uma determinada forma pode enxutar o plano ou não, o que significa que existem muitos problemas não resolvidos em relação a tesselagens.

os projetos mínimos respectivos têm a mesma forma
as transformações que devem ser aplicadas aos projetos mínimos para obter cada uma das duas cavilhas são as mesmas
Por exemplo, na imagem do lado, vemos um ponto com seu paralelogramo de base (um quadrado) e seu design mínimo (um retângulo de triângulo). Dotting pode ser obtido traduzindo o quadrado, mas também traduzindo e refletindo o único retângulo de triângulo. Em vez disso, não há uma porção menor do triângulo com a qual toda a borla pode ser recriada.

Está provado que as classes de duplicação regulares são exatamente 17. Para catalogar qualquer duplicação, é suficiente conhecer as transformações necessárias para gerá-la a partir do design mínimo, conforme mostrado na tabela a seguir:

Dotar em arte e arquitetura figurativa, abstrata sempre foi uma maneira de combinar estética,

Matematicamente, as tesselagens podem ser estendidas a espaços diferentes do plano euclidiano. O geômetro suíço Ludwig Schläfli foi pioneiro na definição de polyschemes, que os matemáticos hoje em dia chamam de politopos. Estes são os análogos aos polígonos e poliedros nos espaços com mais dimensões. Ele definiu ainda a notação do símbolo Schläfli para facilitar a descrição dos polytopes. Por exemplo, o símbolo Schläfli para um triângulo equilátero é {3}, enquanto que para um quadrado é {4}. A notação Schläfli permite descrever as peças de forma compacta. Por exemplo, um mosaico de hexágonos regulares tem três polígonos de seis lados em cada vértice, de modo que o símbolo Schläfli é {6,3}.

Outros métodos também existem para descrever as tiras poligonais. Quando a tesselagem é feita de polígonos regulares, a notação mais comum é a configuração vértice, que é simplesmente uma lista do número de lados dos polígonos ao redor de um vértice. O mosaico quadrado tem uma configuração de vértice de 4.4.4.4, ou 44. O mosaico de hexágonos regulares é observado 6.6.6 ou 6.

Na matemática:
Os matemáticos usam alguns termos técnicos ao discutir as tilings. Uma borda é a intersecção entre duas telhas limítrofes; muitas vezes é uma linha reta. Um vértice é o ponto de interseção de três ou mais telhas limítrofes. Usando esses termos, uma telha isogonal ou vertex-transitiva é uma telha onde cada ponto de vértice é idêntico; ou seja, o arranjo de polígonos sobre cada vértice é o mesmo. A região fundamental é uma forma tal como um retângulo que é repetido para formar o tesselagem. Por exemplo, uma tesselagem regular do plano com quadrados tem uma reunião de quatro quadrados em cada vértice.

Os lados dos polígonos não são necessariamente idênticos aos bordos das telhas. Uma telha de ponta a ponta é qualquer tesselação poligonal, onde as telhas adjacentes só compartilham um lado cheio, ou seja, nenhum azulejo compartilha um lado parcial ou mais de um lado com qualquer outro azulejo. Em uma telha de ponta a ponta, os lados dos polígonos e as bordas das telhas são os mesmos. A telha familiar de “parede de tijolos” não é de ponta a ponta porque o lado longo de cada tijolo retangular é compartilhado com dois tijolos fronteiriços.

Uma telha normal é uma tonificação para a qual cada azulejo é topologicamente equivalente a um disco, a interseção de duas telhas é um único conjunto conectado ou o conjunto vazio, e todas as telhas são uniformemente delimitadas. Isto significa que um único raio de circunscrição e um único raio de inscrição podem ser usados ​​para todas as telhas na telha inteira; A condição não permite azulejos que sejam patologicamente longos ou finos.

Uma telha monohedral é uma tesselagem em que todos os azulejos são congruentes; tem apenas um prototile. Um tipo particularmente interessante de tesselação monárquica é o mosaico espiral monohedral. A primeira telha monohedral espiral foi descoberta por Heinz Voderberg em 1936; o ladrilhos de Voderberg possui uma telha de unidade que é um enneagon não convivial. A telha de Hirschhorn, publicada por Michael D. Hirschhorn e DC Hunt, em 1985, é uma telha de pentágono usando pentágonos irregulares: os pentágonos regulares não podem revestir o plano euclidiano como o ângulo interno de um pentágono regular, 3π / 5, não é um divisor de 2π .

Uma telha isoédrica é uma variação especial de uma telha monocêntrica em que todas as telhas pertencem à mesma classe de transitividade, ou seja, todas as telhas são transformações do mesmo prototile sob o grupo de simetria da telha. Se um prototile admite uma telha, mas nenhuma telha é isoédrica, então o prototil é chamado anisoédrico e forma tetos anisoédricos.

Uma tesselação regular é uma telha altamente simétrica, de ponta a ponta composta de polígonos regulares, todos da mesma forma. Existem apenas três tessellations regulares: aqueles feitos de triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares. Os três desses tilings são isogonais e monéretros.

Algumas das telhas aperiódicas são menos do que outras … em outras palavras, o grau de aperiodicidade pode ser quantificado.

Desta forma, podemos citar, por exemplo, as noções de recorrência e recorrência uniforme (ou quase-periicidade).

Diz-se que uma telha é recorrente se, quando um padrão (conjunto finito de telhas) aparecer uma vez, aparece em qualquer área suficientemente grande. Se, além disso, pode-se fixar o tamanho desta zona de acordo com o tamanho do padrão, então a pavimentação é dita uniformemente recorrente (ou quase-periodicamente).

Assim, uma telha uniformemente recorrente do plano é tal que se considerarmos qualquer padrão aparecendo em um círculo de raio r traçado na telha, então existe um número R tal que podemos ter certeza de que esse padrão reaparece em nenhum círculo de raio R rastreado no pavimento.

Em particular, as coberturas periódicas são regularmente recorrentes (a fortiori recorrentes). Este é também o caso da pavimentação de Penrose. Na verdade, pode-se mostrar que se um conjunto de telhas pavimentar o plano, ele também pode pavimentá-lo de forma uniformemente recorrente (a prova é baseada em um argumento diagonal).

Uma tesselação semi-regular (ou Archimedeana) usa mais de um tipo de polígono regular em um arranjo isogonal. Existem oito basculas semi-regulares (ou nove, se o par de espelhos da imagem espelhada contar como dois). Estes podem ser descritos pela sua configuração de vértice; por exemplo, uma telha semi-regular usando quadrados e octagons regulares tem a configuração vértice 4.82 (cada vértice tem um quadrado e dois octagônios). Muitas tilings não-de ponta a ponta do plano euclidiano são possíveis, incluindo a família de tiletas pitagóricas, tesselações que usam dois tamanhos (parametrizados) de quadrados, cada quadrado tocando quatro quadrados do outro tamanho. Uma tesselagem de borda é aquela em que cada telha pode ser refletida sobre uma borda para assumir a posição de uma telha vizinha, como em uma série de triângulos equilátero ou isósceles.

Tilings com simetria de tradução em duas direções independentes podem ser categorizados por grupos de papel de parede, dos quais 17 existem. Foi afirmado que todos os dezessete desses grupos estão representados no palácio Alhambra em Granada, Espanha. Embora isso seja contestado, a variedade e a sofisticação das telhas da Alhambra surpreenderam os pesquisadores modernos. Dos três tilings regulares, dois estão no grupo de pms do p6m e um está em p4m. Tilings em 2D com simetria de tradução em apenas uma direção podem ser categorizados pelos sete grupos de frisos descrevendo os possíveis padrões de friso. A notação Orbifold pode ser usada para descrever os grupos de papel de parede do plano euclidiano.

As tiras de Penrose, que usam dois quadrilaterais diferentes, são o exemplo mais conhecido de ladrilhos que criam padrões não periódicos à força. Eles pertencem a uma classe geral de telhas aperiódicas, que usam telhas que não podem ser tesseladas periodicamente. O processo recursivo de ladrilhos de substituição é um método de geração de telhas aperiódicas. Uma classe que pode ser gerada dessa maneira é o rep-tiles; Essas tilings têm propriedades auto-replicantes surpreendentes. As telhas de Pinwheel não são periódicas, usando uma construção de pavimento; As telhas aparecem em infinitas orientações. Pode-se pensar que um padrão não periódico seria inteiramente sem simetria, mas isso não é assim. As tiras apodíparas, apesar da falta de simetria de tradução, possuem simetrias de outros tipos, por repetição infinita de qualquer patch limitado da telha e em certos grupos finitos de rotações ou reflexos desses remendos. Uma regra de substituição, como pode ser usada para gerar alguns padrões de Penrose usando montagens de telhas chamadas rhombs, ilustra simetria de escala. Uma palavra Fibonacci pode ser usada para construir uma telha aperiódica e para estudar quasicristas, que são estruturas com ordem aperiódica.

As telhas de Wang são quadrados coloridas em cada borda, e colocadas de modo que as bordas adjacentes de ladrilhos adjacentes tenham a mesma cor; daí eles às vezes são chamados de dominó Wang. Um conjunto adequado de dominó Wang pode enxugar o plano, mas apenas aperiodicamente. Isso é conhecido porque qualquer máquina de Turing pode ser representada como um conjunto de dominó Wang que telha o avião se e somente se a máquina de Turing não parar. Uma vez que o problema da suspensão é indecidível, o problema de decidir se um conjunto de dominó de Wang pode limpar o avião também é indecidível.

As telhas Truchet são telhas quadradas decoradas com padrões para que não tenham simetria rotacional; Em 1704, Sébastien Truchet usou uma telha quadrada dividida em dois triângulos de cores contrastantes. Estes podem revestir o avião periodicamente ou aleatoriamente.

Às vezes, a cor de uma telha é entendida como parte da telha; outras vezes, cores arbitrárias podem ser aplicadas mais tarde. Ao discutir uma telha que é exibida em cores, para evitar a ambiguidade é necessário especificar se as cores são parte da telha ou apenas parte de sua ilustração. Isso afeta se as telhas com a mesma forma, mas cores diferentes, são consideradas idênticas, o que, por sua vez, afeta questões de simetria. O teorema de quatro cores afirma que, para cada tesselagem de um plano Euclidiano normal, com um conjunto de quatro cores disponíveis, cada azulejo pode ser colorido de uma cor, de modo que nenhuma peça de igual cor se encontre em uma curva de comprimento positivo. A coloração garantida pelo teorema de quatro cores geralmente não respeita as simetrias da tesselação. Para produzir uma coloração que faz, é necessário tratar as cores como parte da tesselagem. Aqui, até sete cores podem ser necessárias, como na imagem à direita.

Ao lado das várias basculas por polígonos regulares, também foram estudados os tilings por outros polígonos.

Qualquer triangulo ou quadrilátero (mesmo não convexo) pode ser usado como um prototil para formar uma tesseladura monoédrica, muitas vezes em mais de uma maneira. As cópias de um quadrilateral arbitrário podem formar uma tesselagem com simetria de tradução e simetria de rotação de 2 vezes com centros nos pontos médios de todos os lados. Para um quadrilátero assimétrico, este mosaico pertence ao grupo p2 de papel de parede. Como domínio fundamental, temos o quadrilátero. Equivalentemente, podemos construir um paralelogramo subtendido por um conjunto mínimo de vetores de tradução, a partir de um centro rotacional. Podemos dividir isso por uma diagonal e tomar uma metade (um triângulo) como domínio fundamental. Esse triângulo tem a mesma área que o quadrilátero e pode ser construído a partir dele, cortando e colando.

Se apenas uma forma de azulejo for permitida, existem telhas com N-gones convexos para N iguais a 3, 4, 5 e 6. Para N = 5, ver telhas Pentágonos e para N = 6, ver telhas Hexagonal.

Para obter resultados na montagem do avião com poliomielos, consulte Polyomino § Usos de poliominoes.

As telhas de Voronoi ou Dirichlet são tessellations onde cada telha é definida como o conjunto de pontos mais próximos de um dos pontos em um conjunto discreto de pontos de definição. (Pense em regiões geográficas onde cada região é definida como todos os pontos mais próximos de uma determinada cidade ou postagem). A célula de Voronoi para cada ponto de definição é um polígono convexo. A triangulação de Delaunay é uma tonificação que é o gráfico duplo de uma tesselação Voronoi. As triangulações Delaunay são úteis na simulação numérica, em parte porque, entre todas as possíveis triangulações dos pontos definidores, as triangulações de Delaunay maximizam o mínimo de ângulos formados pelas bordas. As telhas de Voronoi com pontos colocados aleatoriamente podem ser usadas para construir tilings aleatórios do plano.

Tessellation pode ser estendido para três dimensões. Certos poliedros podem ser empilhados em um padrão de cristal regular para preencher (ou azulejo) espaço tridimensional, incluindo o cubo (o único poliedro platônico para fazê-lo), o dodecaedro rhombic, o octaedro truncado e prismas triangulares, quadriláteros e hexagonais , entre outros. Qualquer poliedro que se encaixa neste critério é conhecido como um plesioedro e pode possuir entre 4 e 38 faces. Dodecahedra rhombic natural ocorrem como cristais de andradite (um tipo de granada) e fluorita.

Um triângulo de Schwarz é um triângulo esférico que pode ser usado para telhar uma esfera.

Tessellations em três ou mais dimensões são denominados favos de mel. Em três dimensões, há apenas um favo de mel regular, que tem oito cubos em cada vértice de poliedro. Da mesma forma, em três dimensões, há apenas um favo quiscular, que possui oito tetraedros e seis octaedros em cada vértice de poliedro. No entanto, existem muitos favos de milho semiregulares possíveis em três dimensões. Os poliedros uniformes podem ser construídos usando a construção Wythoff.

O biprisma de Schmitt-Conway é um poliedro convexo com a propriedade do espaço de ladrilhos apenas aperiodicamente.

É possível tesselar em geometrias não euclidianas como a geometria hiperbólica. Um mosaico uniforme no plano hiperbólico (que pode ser regular, quasiregular ou semiregular) é um enchimento borda a borda do plano hiperbólico, com polígonos regulares como rostos; Estes são transitivos de vértice (transitivo em seus vértices) e isogonal (há um mapeamento de isometria de qualquer vértice em qualquer outro).

Um favo de mel uniforme no espaço hiperbólico é uma tesselação uniforme de células poliédricas uniformes. No espaço hiperbólico tridimensional, existem nove famílias de grupos Coxeter de favos de incêndio compactos convexos compactos, gerados como construções de Wythoff e representados por permutações de anéis dos diagramas de Coxeter para cada família.

Em Arquitetura:
Na arquitetura, tessellations foram usados ​​para criar motivos decorativos desde a antiguidade. As tábuas de mosaico geralmente apresentavam padrões geométricos. As civilizações posteriores também usaram telhas maiores, simples ou decoradas individualmente. Alguns dos mais decorativos foram os muros da majestosa da arquitetura islâmica, usando telhas Girih e Zellige em edifícios como Alhambra e La Mezquita.

Amassar no Museu Arqueológico de Istambul: não é por acaso que o pavimento também é chamado de pavimento: na verdade, todas as formas possíveis de cobrir um piso com as datas de azulejos moldados não são mais do que uma borracha. É por isso que os azulejos estão necessariamente presentes na maioria dos edifícios feitos ao longo da história. Em particular, as cavilhas coloridas foram muitas vezes vistas como um meio de animar um chão ou uma parede.

Famosas são as borlas que cobrem muitas paredes do complexo de Alhambra em Granada, fruto da arte árabe e dos gostos da dinastia nascente: os árabes sempre foram grandes estudiosos da matemática e da geometria, e esse conhecimento também permeia sua arte, de modo que o arabesco ainda é comumente usado para indicar motivos decorativos geométricos.

Em arte:
Muitas das obras do artista holandês Maurits Cornelis Escher são borlas, cujos pontos são geralmente peixes, pássaros, cavalos, morcegos, mas também figuras antropomórficas. Escher não só dedicou muita atenção à realização de punhais que realmente se assemelhavam aos animais que queria representar, mas também ao estudo matemático e à catalogação de pontilhos, comparando-se com os matemáticos de seu tempo.

Do seu ponto de vista matemático, suas obras mais ousadas são provavelmente aquelas nas quais ele retrata pontilhadas dispostas não em um plano euclidiano comum, mas movendo-se na geometria não-euclidiana. Embora estes não sejam formalmente pontilhados (uma vez que os cavilhos não são apenas repetidos, mas também dimensionados), o raciocínio geométrico básico é o mesmo, adaptado ao modelo de geometria não euclidiana escolhido. Por exemplo, na famosa série Circle Limit você pode reconhecer os postulados do plano hiperbólico estudado por Henri Poincaré.

Também é notável a série Metamorphosis, na qual Escher concatena em uma faixa longa, diferentes escoramentos alternando para outros motivos geométricos ou desenhados à mão, dando também a idéia de que as regras geométricas simples na base das cavilhas estão presentes em todos os lugares e na base da própria natureza.

Tessellations freqüentemente apareceu na arte gráfica de M. C. Escher; Ele foi inspirado pelo uso da simetria dos mouros em lugares como o Alhambra quando ele visitou a Espanha em 1936. Escher fez quatro desenhos de “limites do círculo” de tilings que usam a geometria hiperbólica. Para o seu Woodcut “Circle Limit IV” (1960), Escher preparou um estudo de lápis e tinta que mostra a geometria necessária. Escher explicou que “nenhum componente único de todas as séries, que de infinitamente longe se levantam como foguetes perpendicularmente do limite e que finalmente são perdidos nele, atinge a linha de fronteira”.

Os desenhos Tessellated geralmente aparecem em têxteis, sejam eles tecidos, costurados ou impressos. Os padrões de Tessellation foram usados ​​para projetar motivos interligados de formas de patch em colchas.

Tessellations também são um gênero principal em origami (dobramento de papel), onde os plissados ​​são usados ​​para conectar moléculas como dobras de torção em uma forma repetitiva.

Na fabricação:
Tessellation é usado na indústria de fabricação para reduzir o desperdício de material (perdas de rendimento), como chapa metálica ao cortar formas para objetos como portas de carros ou latas de bebidas.

Tessellation é aparente na quebra de fachadas de filmes finos – com um grau de auto-organização observado usando micro e nanotecnologias.

Na natureza:
O favo de mel fornece um exemplo bem conhecido de tesselagem na natureza com suas células hexagonais.

Na botânica, o termo “tessellate” descreve um padrão de xadrez, por exemplo, sobre uma pétala de flores, casca de árvore ou fruta. As flores, incluindo o fritillary e algumas espécies de Colchicum são caracteristicamente tessellate.

Muitos padrões na natureza são formados por rachaduras em folhas de materiais. Esses padrões podem ser descritos por tijolos de Gilbert, também conhecidos como redes de crack aleatório. A tesselagem de Gilbert é um modelo matemático para a formação de fisuras, cristais semelhantes a agulhas e estruturas similares. O modelo, chamado de Edgar Gilbert, permite que as rachaduras se formem começando de forma aleatória espalhada pelo plano; cada fenda se propaga em duas direções opostas ao longo de uma linha através do ponto de iniciação, sua inclinação escolhida aleatoriamente, criando uma tesselagem de polígonos convexos irregulares. Os fluxos basálticos de lava geralmente exibem juntas colunas como resultado de forças de contração que causam fissuras à medida que a lava esfria. As extensas redes de crack que se desenvolvem geralmente produzem colunas hexagonais de lava. Um exemplo de uma série de colunas é a Calçada do Gigante na Irlanda do Norte. O pavimento Tessellated, um exemplo característico do que é encontrado no Eaglehawk Neck, na Tasmânia da Tasmânia, é uma formação de rocha sedimentar rara, onde a rocha fraturou em blocos retangulares.

Outros padrões naturais ocorrem em espumas; Estes são embalados de acordo com as leis do Plateau, que exigem superfícies mínimas. Essas espumas apresentam um problema na forma de empacotar as células tão firmemente quanto possível: em 1887, Lord Kelvin propôs uma embalagem usando apenas um sólido, o favo de mel cúbico bitrubado com faces muito ligeiramente curvas. Em 1993, Denis Weaire e Robert Phelan propuseram a estrutura Weaire-Phelan, que usa menos área superficial para separar células de igual volume que a espuma de Kelvin.

Em enigmas e matemática recreativa:
Tessellations deram origem a muitos tipos de quebra-cabeças, de quebra-cabeças tradicionais (com pedaços irregulares de madeira ou papelão) e do tangram a quebra-cabeças mais modernos que muitas vezes têm uma base matemática. Por exemplo, poliamidas e poliominoes são figuras de triângulos e quadrados regulares, muitas vezes usados ​​em quebra-cabeças de ladrilhos. Autores como Henry Dudeney e Martin Gardner fizeram muitos usos de tesselagem em matemática recreativa. Por exemplo, Dudeney inventou a dissecção articulada, enquanto Gardner escreveu sobre o rep-tile, uma forma que pode ser dissecada em cópias menores da mesma forma. Inspirado pelos artigos de Gardner em Scientific American, o matemático amador Marjorie Rice encontrou quatro novos tessellations com pentágonos. Esquadrar o quadrado é o problema de enrolar um quadrado integral (aquele cujos lados têm comprimento inteiro) usando apenas outros quadrados integrais. Uma extensão é a quadratura do plano, arrumando-o por quadrados cujos tamanhos são todos números naturais sem repetições; James e Frederick Henle provaram que isso era possível.