Тесселяция плоской поверхности — это черепица плоскости, использующая одну или несколько геометрических форм, называемых плитами, без перекрытий и без зазоров. В математике тесселяции можно обобщить на более высокие размеры и множество геометрий.

Сравнение соотношения площадей по периметру между равносторонним треугольником, квадратным и правильным шестиугольником. Шестигранник разделяет плоскость с минимальным периметром, используемым для покрытой поверхности. В плоской геометрии он называется затемнением (иногда наклоном или напольным покрытием) способов покрыть плоскость одной или несколькими геометрическими фигурами, бесконечно повторяющимися без перекрытия.

Эти геометрические фигуры (называемые «дюбелями») часто являются многоугольниками, регулярными или нет, но могут иметь изогнутые стороны или не иметь вершин. Единственное условие, которое обычно возникает, это то, что они связаны, а просто связаны (т. Е. Они представляют собой единый кусок и не имеют отверстий).

Хотя это условие может показаться очень ограничительным, его уважают практически любые напольные покрытия, о которых вы можете подумать. Причина, по которой это полезно, заключается в том, что она позволяет сравнивать тонны различного внешнего вида друг с другом.

Основной шаблон параллелограмма, однако, не самый полный способ классифицировать регулярные dottings; зная, что измерения его углов и сторон не позволяют нам с уверенностью подтвердить геометрические особенности нашего затемнения: может случиться, что имеется меньшая часть параллелограмма (точнее, доля параллелограмма), с которым это возможно чтобы восстановить все декорации (уже не с единственным переводом, но используя также другую изометрию).

Периодическая черепица имеет повторяющийся рисунок. Некоторые специальные виды включают в себя регулярные разметки с правильными многоугольными плитами одинаковой формы и полурегулярные разметки с правильными плитами более одной формы и с каждым углом, расположенным одинаково. Шаблоны, образованные периодическими тилингами, можно разделить на 17 групп обоев. Плитка, которая не имеет повторяющегося шаблона, называется «непериодической». Апериодическая черепица использует небольшой набор черепичных фигур, которые не могут образовывать повторяющийся узор. В геометрии более высоких измерений пространство-наполнение или соты также называют тесселяцией пространства.

Тротуар или тротуар — это разбиение пространства (обычно евклидова пространства, такого как плоскость или трехмерное пространство) элементами конечного множества, называемыми плиточками (точнее, это непустые внутренние компакты). Как правило, мы рассматриваем разметки переводами, то есть две одинаковые тротуарные плитки всегда вычитаются друг из друга посредством перевода (исключая вращения или симметрии). Существуют также тесселяции неевклидовых пространств, самые известные из которых, без сомнения, являются многочисленными тротуарами M.C. Эшер (равномерные тесселяции гиперболической плоскости (in)).

Настоящая физическая тесселяция — это черепица из таких материалов, как цементированные керамические квадраты или шестиугольники. Такие разметки могут быть декоративными узорами или могут иметь такие функции, как обеспечение долговечных и водостойких покрытий, напольных или настенных покрытий. Исторически, тесселяции использовались в Древнем Риме и в исламском искусстве, например, в декоративной геометрической черепице дворца Альгамбра. В XX веке работа М. С. Эшера часто использовала тесселяции, как в обычной евклидовой геометрии, так и в гиперболической геометрии, для художественного эффекта. Тесселяции иногда используются для декоративного эффекта при выстегивании. Тесселяции образуют класс паттернов в природе, например, в массивах гексагональных клеток, обнаруженных в сотах.

эсселяции использовались шумерами (около 4000 г. до н.э.) в строительстве настенных украшений, образованных узорами из глиняной черепицы.

Декоративные мозаичные изгибы, выполненные из небольших квадратов, называемых тессерами, широко использовались в классической древности, иногда отображая геометрические узоры.

В 1619 году Йоханнес Кеплер сделал раннее задокументированное исследование тесселяции. Он писал о регулярных и полурегулярных тесселяции в своих «Гармонисах Мунди»; он, возможно, первым исследовал и объяснил гексагональные структуры сотовых и снежинок.

Спустя двести лет в 1891 году русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждая периодическая разбивка плоскости имеет одну из семнадцати различных групп изометрий. Работа Федорова ознаменовала собой неофициальное начало математического исследования тесселяции. Среди других видных авторов — Шубников и Белов (1964), Генрих Хеш и Отто Киенцле (1963).

На латинском языке тесселла представляет собой небольшой кубический кусок глины, камня или стекла, используемый для изготовления мозаик. Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от тессеры, квадрат, который, в свою очередь, от греческого слова τέσσερα для четырех). Это соответствует повседневному слою плитки, который относится к приложениям тесселяции, часто изготовленным из глазурованной глины.

Тесселяция или черепица в двух измерениях — это тема в геометрии, которая изучает, как формы, известные как плитки, могут быть организованы для заполнения плоскости без каких-либо пробелов в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут варьироваться. Обычными являются то, что между плитами не должно быть зазоров и что ни один угол одной плитки не может лежать вдоль края другого. Тесселяции, созданные скрепленной кирпичной кладкой, не подчиняются этому правилу. Среди тех, которые делают, регулярная тесселяция имеет как одинаковые регулярные плитки, так и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между смежными краями для каждой плитки. Есть только три формы, которые могут образовывать такие регулярные тесселяции: равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Любая из этих трех форм может быть продублирована бесконечно, чтобы заполнить плоскость без пробелов.

Многие другие типы тесселяции возможны при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полурегулярных тесселяции, выполненных с более чем одним видом правильного многоугольника, но по-прежнему имеющие одинаковое расположение полигонов в каждом углу. Нерегулярные тесселяции также могут быть сделаны из других форм, таких как пятиугольники, полиминоны и фактически практически любой геометрической формы. Художник М. С. Эшер известен тем, что делает тесселяции с нерегулярными переплетенными плитками, сформированными как животные и другие природные объекты. Если для плиток различной формы выбраны подходящие контрастные цвета, формируются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы.

Более формально тесселяция или черепица является обложкой евклидовой плоскости счетным числом замкнутых множеств, называемых плитами, так что плитки пересекаются только на их границах. Эти плитки могут быть многоугольниками или любыми другими формами. Многие тесселяции формируются из конечного числа прототипов, в которых все плитки в тесселяции являются конгруэнтными для данных прототипов. Если геометрическая форма может быть использована в качестве прототипа для создания тесселяции, форма называется тесселяцией или черепицей плоскости. Критерий Конвей является достаточным, но не необходимым набором правил для принятия решения о том, что данная фигура периодически разбивает плоскость без отражений: некоторые плитки терпят неудачу критерием, но все же чередуют плоскость. Общее правило не найдено для определения того, может ли данная фигура сложить плоскость или нет, что означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся тесселяции.

соответствующие минимальные конструкции имеют одинаковую форму
преобразования, которые должны применяться к минимальным проектам для получения каждого из двух дюбелей, одинаковы
Например, на изображении сбоку мы видим пунктир с его базовым параллелограммом (квадрат) и его минимальным дизайном (прямоугольник треугольника). Пунктировку можно получить, переведя квадрат, но также путем перевода и отражения единственного прямоугольника треугольника. Вместо этого отсутствует меньшая часть треугольника, с которой можно снова воссоздать всю кисточку.

Доказано, что регулярные классы удвоения — это ровно 17. Чтобы каталогизировать любое удвоение, достаточно знать преобразования, необходимые для его создания из минимальной конструкции, как показано в следующей таблице:

Точка в образном, абстрактном искусстве и архитектуре всегда была способом сочетания эстетики,

Математически тесселяции можно распространить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. Швейцарский геометр Людвиг Шлафли впервые дал это определение, указав полихофемы, которые в настоящее время математики называют многогранниками. Это аналогии с многоугольниками и многогранниками в пространствах большего размера. Он также определил обозначение символа Шляфли, чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника {3}, а для квадрата — {4}. Обозначение Шляфли позволяет описать разбиения компактно. Например, черепица правильных шестиугольников имеет три шестигранных многоугольника в каждой вершине, поэтому ее символ Шлефли равен {6,3}.

Существуют и другие методы описания многоугольных разломов. Когда тесселяция производится из правильных многоугольников, наиболее общей нотацией является вершинная конфигурация, которая является просто списком количества сторон полигонов вокруг вершины. Квадратная черепица имеет вершинную конфигурацию 4.4.4.4 или 44. Фигура правильных шестиугольников отмечена 6.6.6 или 6.

В математике:
Математики используют некоторые технические термины при обсуждении тилингов. Край — это пересечение между двумя граничащими плитами; это часто прямая линия. Вершина — это точка пересечения трех или более граничащих плит. Используя эти термины, изогональная или вершинно-транзитивная черепица является черепицей, где каждая точка вершины идентична; т. е. расположение полигонов относительно каждой вершины одинаково. Фундаментальная область представляет собой форму, такую ​​как прямоугольник, который повторяется для формирования тесселяции. Например, регулярная тесселяция плоскости с квадратами имеет встречу из четырех квадратов в каждой вершине.

Стороны многоугольников не обязательно идентичны краям плиток. Плинтус от края до края — это любая многоугольная тесселяция, в которой смежные плитки имеют только одну полную сторону, т. Е. Ни одна плитка не имеет частичную сторону или более одной стороны с любой другой плитки. В кромочной черепице стороны полигонов и края плиток одинаковы. Знакомая плитка из «кирпичной стены» не граничит с краем, потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича разделяется двумя граничащими кирпичами.

Обычная черепица — это тесселяция, для которой каждая плитка топологически эквивалентна диску, пересечение любых двух плиток — это один подключенный набор или пустой набор, а все плитки равномерно ограничены. Это означает, что для всех плиток во всей черепице можно использовать один ограничивающий радиус и один радиус вписывания; условие запрещает черепахи, которые являются патологически длинными или тонкими.

Моноэдрическая черепица — это тесселяция, в которой все плитки являются конгруэнтными; он имеет только один прототип. Особенно интересным типом моноэдрической тесселяции является спиральная моноэдрическая черепица. Первый спиральный моноэдральный плит был обнаружен Хайнцем Вёдербергом в 1936 году; плитка Voderberg имеет единую плиту, которая является невыпуклым enneagon. Плитка Хиршхорна, опубликованная Майклом Д. Хиршхорном и Д.К. Хантом в 1985 году, представляет собой пентагонную черепицу с использованием нерегулярных пятиугольников: регулярные пятиугольники не могут склеивать евклидову плоскость, поскольку внутренний угол регулярного пятиугольника 3π / 5 не является делителем 2π ,

Изоэдрическая черепица представляет собой особую вариацию моноэдрального черепицы, в которой все плитки принадлежат к одному классу транзитивности, т. Е. Все плитки являются преобразованиями одного и того же прототипа под группой симметрии плитки. Если прототип допускает черепицу, но такая плитка не является изоэдрической, то прототип называется анизоэдрическим и образует анизоэдрические тилины.

Регулярная тесселяция — это очень симметричная, от края до края плитка, состоящая из правильных многоугольников, одинаковой формы. Есть только три регулярных тесселяции: те, которые состоят из равносторонних треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Все три из этих тилингов изогональны и моноэдральны.

Некоторые апериодические разломы меньше, чем другие … другими словами, степень апериодичности может быть определена количественно.

Таким образом, мы можем привести, например, понятия повторения и равномерного рекуррентности (или квазипериодичности).

Говорят, что черепица повторяется, если, когда образец (конечный набор плиток) появляется один раз, он появляется в любой достаточно большой области. Если, кроме того, можно зафиксировать размер этой зоны в соответствии с размером рисунка, тогда укладка будет равномерно повторяющейся (или квазипериодической).

Таким образом, равномерно рекуррентное разбиение плоскости таково, что если мы рассмотрим любой образец, появляющийся в круге радиуса r, прорисованном на черепице, то существует число R такое, что мы можем быть уверены, что эта картина снова появится в n любом круге радиус R, проложенный на тротуаре.

В частности, периодические колебания являются равномерно повторяющимися (более часто повторяющимися). Это также относится к укладке Пенроуза. На самом деле, можно показать, что если набор плиток проложит плоскость, то он также может проложить его равномерно рекуррентным способом (доказательство основано на диагональном аргументе).

Полурегулярная (или архимедова) тесселяция использует более одного типа правильного многоугольника в изогональной компоновке. Существует восемь полурегулярных тилингов (или девять, если пара зеркальных отображений считается двумя). Их можно описать по их конфигурации вершин; например, полурегулярная черепица с использованием квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4.82 (каждая вершина имеет один квадрат и два октагона). Возможны много наклона эвклидовой плоскости от края до края, включая семейство пифагорейских тилингов, тесселяции, которые используют два (параметризованных) размера квадрата, каждый квадрат которых касается четырех квадратов другого размера. Тесселяция края — это та, в которой каждая плитка может отражаться над краем, чтобы заняться положением соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников.

Тилирование с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно классифицировать группами обоев, из которых 17 существуют. Утверждается, что все семнадцать из этих групп представлены в дворце Альгамбра в Гранаде, Испания. Хотя это оспаривается, разнообразие и изощренность наклонности Альгамбры удивили современных исследователей. Из трех регулярных поворотов два находятся в группе обоев p6m, а одна — в p4m. Типизация в 2D с трансляционной симметрией только в одном направлении может быть разделена на семь групп фриза, описывающих возможные шаблоны фриза. Обозначение орбиголд может использоваться для описания групп обоев евклидовой плоскости.

Penrose tilings, которые используют два разных четырехугольника, являются наиболее известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они относятся к общему классу апериодических тилингов, в которых используются плитки, которые не могут периодически тесселироваться. Рекурсивный процесс подстановки черепицы представляет собой метод генерации апериодических разломов. Один класс, который может быть сгенерирован таким образом, — это rep-tiles; эти тилинги обладают удивительными самовоспроизводящими свойствами. Откидные вилки непериодичны, используя конструкцию реплики; плитки появляются в бесконечно многих ориентациях. Можно подумать, что непериодический шаблон будет полностью без симметрии, но это не так. Апериодические разломы, не имеющие трансляционной симметрии, имеют симметрии других типов, бесконечным повторением любого ограниченного участка плитки и в некоторых конечных группах вращений или отражений этих патчей. Правило подстановки, например, может быть использовано для создания некоторых шаблонов Пенроуза с использованием сборок плиток, называемых ромбами, иллюстрирует масштабирование симметрии. Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической черепицы и изучения квазикристаллов, которые являются структурами с апериодическим порядком.

Плитка Ван — квадраты, окрашенные на каждом краю, и расположены так, что прилегающие кромки соседних плиток имеют один и тот же цвет; поэтому их иногда называют Wang dominoes. Подходящий набор домино Вана может плитку самолета, но только апериодически. Это известно, потому что любая машина Тьюринга может быть представлена ​​в виде набора домино Вана, который разбивает плоскость тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема с остановкой неразрешима, проблема решения вопроса о том, может ли набор доминантов Wang чередовать плоскость, также неразрешима.

Трюшевые плитки представляют собой квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют вращательной симметрии; в 1704 году Себастьян Трючет использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут чередовать плоскость периодически или случайным образом.

Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях произвольные цвета могут применяться позже. При обсуждении плитки, которая отображается в цветах, чтобы избежать двусмысленности, нужно указать, являются ли цвета частью плитки или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, что плитки с одинаковой формой, но разные цвета считаются идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. В четырехцветной теореме указано, что для каждой тесселяции нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет, так что никакие плитки равного цвета не встречаются на кривой положительной длины. Окраска, гарантированная теоремой четырех цветов, вообще не учитывает симметрии тесселяции. Чтобы произвести окраску, которая делает, необходимо обрабатывать цвета как часть тесселяции. Здесь может потребоваться семь цветов, как на картинке справа.

Также были изучены следы других полигонов рядом с различными разметками правильными многоугольниками.

Любой треугольник или четырехугольник (даже не выпуклый) может быть использован в качестве прототипа для формирования моноэдрической тесселяции, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать тесселяцию с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в середине всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта черепица относится к группе обоев p2. В качестве фундаментальной области мы имеем четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм, ограниченный минимальным набором векторов трансляции, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять одну половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырехугольник, и может быть изготовлен из него путем резки и склеивания.

Если допускается только одна форма плитки, существуют тилинги с выпуклыми N-угонками для N, равными 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см. Пентагональное черепица и для N = 6 см. Шестиугольная черепица.

Для получения результатов о разбиении плоскости с полиминонами см. Polyomino. § Использование полиомино.

Разметки Вороного или Дирихле — это тесселяции, где каждая плитка определяется как множество точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, наиболее близкие к данному городу или почтовому отделению.) Ячейка Вороного для каждой определяющей точки является выпуклым многоугольником. Триангуляция Делоне является тесселяцией, являющейся двойным графиком тесселяции Вороного. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных ребрами. Для построения случайных разбиений плоскости можно использовать повороты Вороного со случайно расположенными точками.

Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Некоторые многогранники могут быть уложены в регулярный узор кристалла для заполнения (или плитки) трехмерного пространства, включая куб (единственный платоновский многогранник), ромбический додекаэдр, усеченный октаэдр и треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы , среди прочих. Любой многогранник, который соответствует этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. Естественно встречающиеся ромбические додекаэдры находятся в виде кристаллов андрадита (своего рода граната) и флюорита.

Треугольник Шварца — это сферический треугольник, который можно использовать для чередования сферы.

Тесселяции в трех или более размерах называются сотами. В трех измерениях имеется только одна регулярная сота, которая имеет восемь кубов в каждой вершине полиэдра. Аналогично, в трех измерениях имеется только одна квазирегулярная сота, у которой на каждой вершине полиэдра есть восемь тетраэдров и шесть октаэдров. Однако существует много возможных полурегулярных сот в трех измерениях. Равномерные многогранники могут быть построены с использованием конструкции Витоффа.

Бипризм Шмитта-Конвей — это выпуклый многогранник, обладающий свойством тайного пространства только апериодически.

Можно провести тесселяцию в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия. Однородная черепица в гиперболической плоскости (которая может быть регулярной, квазирегулярной или полурегулярной) является заполнением гиперболевой плоскости от края до края, с правильными многоугольниками в виде граней; они являются вершинно-транзитивными (транзитивными по его вершинам) и изогональными (существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую).

Однородная сота в гиперболическом пространстве представляет собой однородную тесселяцию равномерных многогранных ячеек. В трехмерном гиперболическом пространстве существует девять семейств групп Кокстера компактных выпуклых однородных сот, созданных как конструкции Витоффа и представляемые перестановками колец диаграмм Кокстера для каждого семейства.

В архитектуре:
В архитектуре тесселяции использовались для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаичные разметки часто имели геометрические узоры. Позже цивилизации также использовали большие плитки, как простые, так и индивидуально оформленные. Некоторые из самых декоративных были мавританскими настенными орнаментами исламской архитектуры, используя плитки Гири и Зэлли в зданиях, таких как Альгамбра и Ла Мецкита.

Замешивание в Стамбульском археологическом музее: не случайно, что напольное покрытие также называется тротуаром: на самом деле всевозможные способы покрыть пол с образцами плитки — не что иное, как кисточка. Именно поэтому плитки обязательно присутствуют в большинстве зданий, сделанных в ходе истории. В частности, цветные дюбели часто рассматривались как средство оживления пола или стены.

Известны кисти, которые покрывают многие стены комплекса Альгамбра в Гранаде, плоды арабского искусства и вкусы зарождающейся династии: арабы всегда были великими учеными в области математики и геометрии, и такие знания также пронизывают их искусство, так что арабеска все еще широко используется для обозначения геометрических декоративных мотивов.

В искусстве:
Большая часть работ голландского художника Мауриса Корнелиса Эшера — кисточки, чьи точки — это обычно рыба, птицы, лошади, летучие мыши, но также антропоморфные фигуры. Эшер не только уделял большое внимание реализации кинжалов, которые на самом деле были похожи на животных, которых он хотел представлять, но также на математическое исследование и каталогизацию доттингов, сравнивая себя с математиками своего времени.

С его математической точки зрения его самые смелые работы — это, вероятно, те, в которых он изображает помехи, расположенные не на обычном евклидовом плане, а на неевклидовой геометрии. Хотя они не формально пунктированы (поскольку дюбели не только повторяются, но и масштабируются), основные геометрические рассуждения одинаковы, адаптированные к выбранной неевклидовой модели геометрии. Например, в знаменитой серии Circle Limit вы можете узнать постулаты гиперболического плана, изученные Анри Пуанкаре.

Также примечательна серия «Метаморфоза», в которой Эшер объединяется в длинную полоску, отличающуюся тем, что чередуется с другими геометрическими или рисованными мотивами, что также дает представление о том, что простые геометрические правила у основания дюбелей присутствуют повсюду и у основания самой природы.

Тисселяции часто появлялись в графике М. С. Эшера; он был вдохновлен мавританским использованием симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. Эшер сделал четыре рисунка «Circle Limit» для тиллей, которые используют гиперболическую геометрию. Для его гравюры на дереве «Circle Limit IV» (1960) Эшер подготовил исследование карандашей и чернил, показывающее требуемую геометрию. Эшер объяснил, что «ни одна составляющая всех серий, которые из бесконечно далеко не поднимаются, как ракеты, перпендикулярно от предела и в конечном итоге теряются в ней, когда-либо доходят до границы».

Тисцеллированные конструкции часто появляются на текстильных изделиях, тканых, сшитых или напечатанных. Образцы тесселяции были использованы для разработки взаимосвязанных мотивов патч-фигур в одеялах.

Тесселяции также являются основным жанром в оригами (сгибание бумаги), где складки используются для соединения молекул, таких как сплетение складок вместе повторяющимся образом.

В производстве:
Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для уменьшения потерь материала (потерь на урожай), таких как листовой металл, при резке форм для таких предметов, как двери для автомобилей или банки с напитками.

Тесселяция проявляется в мучнистообразном растрескивании тонких пленок — со степенью самоорганизации, наблюдаемой с использованием микро- и нанотехнологий.

В природе:
Сот представляет собой хорошо известный пример тесселяции в природе с его гексагональными клетками.

В ботанике термин «тесселлат» описывает клетчатый узор, например, на цветочном лепестке, коре дерева или фруктах. Цветки, в том числе фриттиллические и некоторые виды Колхикума, типично тесселят.

Многие образцы в природе образованы трещинами в листах материалов. Эти шаблоны могут быть описаны с помощью тесселяции Гилберта, также известных как сети случайных трещин. Тесселяция Гилберта является математической моделью образования муфт-треков, иглоподобных кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта, позволяет создавать трещины, начиная от случайного рассеяния по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии через точку инициации, ее склон выбран произвольно, создавая тесселяцию нерегулярных выпуклых многоугольников. Базальтовые потоки лавы часто показывают столбчатое соединение в результате сил сжатия, вызывающих трещины, когда лава охлаждается. Широкие сети трещин, которые развиваются, часто производят гексагональные столбцы лавы. Одним из примеров такого массива столбцов является Causeway Гиганта в Северной Ирландии. Тесселированный тротуар, характерный пример которого можно найти в Eaglehawk Neck на полуострове Тасман в Тасмании, представляет собой редкую осадочную породу, в которой скала трещиновалась в прямоугольные блоки.

Другие природные закономерности встречаются в пенопластах; они упакованы в соответствии с законами Плато, которые требуют минимальных поверхностей. Такие пены представляют проблему в том, как упаковывать клетки настолько сильно, насколько это возможно: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, используя только одно твердое тело, битрембированную кубическую соту с очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Вейр и Роберт Фелан предложили структуру Weaire-Phelan, которая использует меньшую площадь поверхности для отделения клеток равного объема, чем пена Кельвина.

В головоломках и рекреационной математике:
Тесселяции вызвали множество загадочных головоломок, от традиционных головоломок (с нерегулярными кусками дерева или картона) и тангама до более современных головоломок, которые часто имеют математическую основу. Например, полиаммоны и полиоминоны представляют собой фигуры правильных треугольников и квадратов, которые часто используются в загадочных головоломках. Авторы, такие как Генри Дуденей и Мартин Гарднер, много использовали тесселяции в рекреационной математике. Например, Дуденей изобрел навесное рассечение, в то время как Гарднер писал о реплике, форме, которая может быть рассечена на более мелкие копии той же формы. Вдохновленный статьями Гарднера в Scientific American, любительский математик Марджори Райс нашел четыре новых тесселяции с пятиугольниками. Квадратированием квадрата является проблема разбиения интегрального квадрата (одна сторона которого имеет целую длину), используя только другие интегральные квадраты. Расширение возводит в квадрат плоскость, разбивая ее квадратами, размеры которых являются натуральными числами без повторений; Джеймс и Фредерик Генле доказали, что это возможно.