Una tassellatura o una piastrellatura di una superficie piatta è la piastrellatura di un piano che utilizza una o più forme geometriche, chiamate tessere, senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti. In matematica, le tessellazioni possono essere generalizzate a dimensioni superiori e una varietà di geometrie.

Confronto del rapporto area-perimetro tra triangolo equilatero, quadrato e esagono regolare. L’esagono divide il piano con il perimetro minimo usato per la porzione di superficie coperta. Nella geometria piatta, si chiama dimming (a volte inclinabile o pavimentato) i modi per coprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all’infinito senza sovrapposizioni.

Queste figure geometriche, chiamate “tasselli”, sono spesso poligoni, regolari o meno, ma possono avere anche lati curvi o non avere vertici. L’unica condizione che di solito sorge è che sono connessi, piuttosto semplicemente connessi (cioè, sono un singolo pezzo e non hanno buchi).

Anche se questa condizione può sembrare molto restrittiva, è rispettata praticamente da qualsiasi pavimento tu possa pensare. Il motivo per cui è utile è che consente di confrontare tonnellate di aspetto diverso tra loro.

Il modello di parallelogramma di base, tuttavia, non è il modo più completo per classificare i puntini regolari; conoscere le misure dei suoi angoli e lati non ci permette di certificare con certezza le caratteristiche geometriche del nostro dimming: può capitare che ci sia una porzione più piccola del parallelogramma (più precisamente, una proporzione del parallelogramma) con cui è possibile ricostruire tutta la decorazione (non più con la sola traduzione, ma usando anche altre isometrie).

Una piastrellatura periodica ha uno schema ripetitivo. Alcuni tipi speciali includono tasselli regolari con piastrelle poligonali regolari della stessa forma e tasselli semiregolari con tessere regolari di più di una forma e con ogni angolo identico. I modelli formati da tassellature periodiche possono essere classificati in 17 gruppi di sfondi. Una piastrellatura che non ha uno schema ripetuto è detta “non periodica”. Una piastrellatura aperiodica utilizza una piccola serie di forme di piastrella che non possono formare un motivo ripetuto. Nella geometria delle dimensioni superiori, un riempimento spaziale o nido d’ape è anche chiamato una tassellazione dello spazio.

Un pavimento o pavimentazione è una partizione di uno spazio (di solito uno spazio euclideo come il piano o lo spazio tridimensionale) da elementi di un insieme finito, chiamati tessere (più precisamente, sono compatti interni non vuoti). Generalmente, consideriamo le piastrellature per traduzioni, vale a dire che due tessere di pavimentazione sono sempre deducibili l’una dall’altra da una traduzione (escluse rotazioni o simmetrie). Ci sono anche tassellature di spazi non euclidei, il più famoso dei quali è senza dubbio i numerosi pavimenti del M.C. Escher (tessellazioni uniformi del piano iperbolico (in)).

Una vera tassellatura fisica è una piastrellatura fatta di materiali come quadrati di ceramica cementata o esagoni. Tali tassellature possono essere motivi decorativi, o possono avere funzioni come fornire pavimentazione resistente, resistente all’acqua, pavimento o rivestimento. Storicamente, le tessellazioni erano usate nell’antica Roma e nell’arte islamica come nella piastrellatura geometrica decorativa del palazzo dell’Alhambra. Nel XX secolo, l’opera di M. C. Escher usava spesso tassellature, sia nella geometria euclidea ordinaria che nella geometria iperbolica, per effetto artistico. Talvolta vengono utilizzate tassellature per effetto decorativo nella trapuntatura. Le tassellazioni formano una classe di modelli in natura, ad esempio negli array di celle esagonali che si trovano nei nidi d’ape.

le essellazioni erano usate dai Sumeri (circa 4000 aC) per costruire decorazioni murali formate da motivi di tessere di argilla.

I rivestimenti decorativi a mosaico fatti di piccoli blocchi quadrati chiamati tesserae erano largamente impiegati nell’antichità classica, a volte esibendo motivi geometrici.

Nel 1619 Johannes Kepler fece un primo studio documentato sulle tassellature. Ha scritto sulle tessellazioni regolari e semiregolari nel suo Harmonices Mundi; fu forse il primo a esplorare e spiegare le strutture esagonali di nido d’ape e fiocchi di neve.

Circa duecento anni dopo, nel 1891, il cristallografo russo Yevgraf Fjodorov dimostrò che ogni piastrellatura periodica dell’aereo mostra uno dei diciassette diversi gruppi di isometrie. Il lavoro di Fjodorov ha segnato l’inizio non ufficiale dello studio matematico delle tassellature. Altri importanti contributi includono Shubnikov e Belov (1964), Heinrich Heesch e Otto Kienzle (1963).

In latino, tessella è un piccolo pezzo cubico di argilla, pietra o vetro usato per fare mosaici. La parola “tessella” significa “piccolo quadrato” (da tessera, quadrato, che a sua volta è dalla parola greca τέσσερα per quattro). Corrisponde alla piastrellatura di tutti i giorni, che si riferisce alle applicazioni di tassellature, spesso fatte di argilla smaltata.

La tassellatura o la piastrellatura in due dimensioni è un argomento in geometria che studia come le forme, note come tessere, possono essere disposte per riempire un piano senza spazi, secondo un determinato insieme di regole. Queste regole possono essere variate. Quelli comuni sono che non ci devono essere spazi tra le tessere e che nessun angolo di una tessera può trovarsi lungo il bordo di un’altra. Le tessellazioni create da murature incollate non obbediscono a questa regola. Tra quelli che lo fanno, una tassellazione regolare ha sia tessere regolari identiche sia angoli o vertici regolari identici, con lo stesso angolo tra i bordi adiacenti per ogni piastrella. Ci sono solo tre forme che possono formare tassellature regolari: il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare. Ognuna di queste tre forme può essere duplicata all’infinito per riempire un piano senza spazi vuoti.

Molti altri tipi di tassellatura sono possibili in base a diversi vincoli. Ad esempio, ci sono otto tipi di tassellatura semi-regolare, realizzati con più di un tipo di poligono regolare, ma con la stessa disposizione di poligoni in ogni angolo. Le tessellazioni irregolari possono anche essere fatte da altre forme come pentagoni, poliomini e praticamente ogni tipo di forma geometrica. L’artista M. C. Escher è famosa per realizzare tassellature con piastrelle ad incastro irregolari, a forma di animali e altri oggetti naturali. Se si scelgono colori contrastanti adatti per le tessere di forma diversa, si formano modelli sorprendenti che possono essere usati per decorare superfici fisiche come i pavimenti di chiese.

Più formalmente, una tassellazione o piastrellatura è una copertura del piano euclideo di un numero numerabile di serie chiuse, chiamate tessere, in modo tale che le tessere si intersechino solo sui loro confini. Queste tessere possono essere poligoni o altre forme. Molte tessellazioni sono formate da un numero finito di prototipi in cui tutte le tessere della tassellatura sono congruenti ai prototipi dati. Se una forma geometrica può essere utilizzata come un prototipo per creare una tassellazione, la forma viene detta tessellatura o per affiancare il piano. Il criterio di Conway è un insieme sufficiente ma non necessario di regole per decidere se una data forma piastrella l’aereo periodicamente senza riflessi: alcune tessere non rispettano il criterio ma piastrellano ancora il piano. Non è stata trovata alcuna regola generale per determinare se una determinata forma può affiancare o meno il piano, il che significa che ci sono molti problemi irrisolti relativi alle tassellature.

i rispettivi disegni minimali hanno la stessa forma
le trasformazioni che devono essere applicate ai progetti minimi per ottenere ciascuno dei due tasselli sono le stesse
Ad esempio, nell’immagine a lato vediamo una punteggiatura con il suo parallelogramma di base (un quadrato) e il suo design minimale (un rettangolo a triangolo). La punteggiatura può essere ottenuta traducendo il quadrato, ma anche traducendo e riflettendo l’unico rettangolo a triangolo. Invece, non esiste una porzione più piccola del triangolo con cui è possibile ricreare tutta la nappa.

È dimostrato che le normali classi di raddoppio sono esattamente 17. Per catalogare qualsiasi raddoppio, è sufficiente conoscere le trasformazioni necessarie per generarlo dal progetto minimo, come mostrato nella seguente tabella:

La punteggiatura in arte figurativa, astratta e architettura è sempre stata un modo di combinare l’estetica,

Matematicamente, le tessellazioni possono essere estese a spazi diversi dal piano euclideo. Il geometra svizzero Ludwig Schläfli ha aperto la strada definendo polyschemes, che i matematici oggi chiamano politopi. Questi sono gli analoghi di poligoni e poliedri in spazi con più dimensioni. Ha inoltre definito la notazione simbolo Schläfli per semplificare la descrizione dei politopi. Ad esempio, il simbolo di Schläfli per un triangolo equilatero è {3}, mentre quello per un quadrato è {4}. La notazione Schläfli consente di descrivere le piastrellature in modo compatto. Ad esempio, una piastrellatura di esagoni regolari ha tre poligoni a sei lati su ciascun vertice, quindi il suo simbolo Schläfli è {6,3}.

Esistono anche altri metodi per descrivere le tassellature poligonali. Quando la tassellatura è composta da poligoni regolari, la notazione più comune è la configurazione del vertice, che è semplicemente un elenco del numero di lati dei poligoni attorno a un vertice. La piastrellatura quadrata ha una configurazione al vertice di 4.4.4.4 o 44. La piastrellatura di esagoni regolari è annotata 6.6.6 o 6.

In matematica:
I matematici usano alcuni termini tecnici quando parlano di tasselli. Un bordo è l’intersezione tra due tessere confinanti; è spesso una linea retta. Un vertice è il punto di intersezione di tre o più tessere confinanti. Usando questi termini, una piastrellatura isogonale o vertex-transitive è una piastrellatura in cui ogni punto di vertice è identico; cioè, la disposizione dei poligoni su ciascun vertice è la stessa. La regione fondamentale è una forma come un rettangolo che viene ripetuto per formare la tassellatura. Ad esempio, una tassellazione regolare del piano con i quadrati ha una riunione di quattro quadrati ad ogni vertice.

I lati dei poligoni non sono necessariamente identici ai bordi delle tessere. Una piastrellatura da bordo a bordo è qualsiasi tassellazione poligonale in cui le tessere adiacenti condividono solo un lato intero, cioè nessuna tessera condivide un lato parziale o più di un lato con qualsiasi altra tessera. In una piastrellatura da bordo a bordo, i lati dei poligoni e i bordi delle piastrelle sono gli stessi. La piastrellatura familiare del “muro di mattoni” non è edge-to-edge perché il lato lungo di ciascun mattone rettangolare è condiviso con due mattoni confinanti.

Una piastrellatura normale è una tassellatura per cui ogni tessera è topologicamente equivalente a un disco, l’intersezione di due tessere qualsiasi è un singolo set connesso o il set vuoto, e tutte le tessere sono delimitate in modo uniforme. Ciò significa che un singolo raggio di circoscrizione e un raggio di iscrizione singolo possono essere utilizzati per tutte le tessere dell’intera piastrellatura; la condizione non ammette tessere patologicamente lunghe o sottili.

Una piastrellatura monoedrica è una tassellazione in cui tutte le tessere sono congruenti; ha solo un prototipo. Un tipo particolarmente interessante di tassellatura monoedrica è la piastrellatura monoedrica a spirale. Il primo monolitico a spirale è stato scoperto da Heinz Voderberg nel 1936; la piastrellatura di Voderberg ha una piastrella unitaria che è un enneagon non convesso. La piastrellatura di Hirschhorn, pubblicata da Michael D. Hirschhorn e DC Hunt nel 1985, è una piastrellatura di pentagono usando pentagoni irregolari: i pentagoni regolari non possono affiancare il piano euclideo come l’angolo interno di un pentagono regolare, 3π / 5, non è un divisore di 2π .

Una piastrellatura isohedral è una variazione speciale di una piastrellatura monoedrica in cui tutte le tessere appartengono alla stessa classe di transitività, cioè tutte le tessere sono trasformate dello stesso prototipo sotto il gruppo di simmetria della piastrellatura. Se un prototipo ammette una piastrellatura, ma nessuna piastrellatura è isohedral, allora il prototipo è chiamato anisoedrico e forma tasselli anisoedrici.

Una tassellatura regolare è una piastrellatura altamente simmetrica, da bordo a bordo costituita da poligoni regolari, tutti della stessa forma. Ci sono solo tre tassellazioni regolari: quelle composte da triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari. Tutte e tre queste tassellature sono isogonali e monoedriche.

Alcuni dei tasselli aperiodici sono meno di altri … in altre parole, il grado di aperiodicità può essere quantificato.

In questo modo, possiamo citare, per esempio, le nozioni di ricorrenza e ricorrenza uniforme (o quasiperiodicità).

Si dice che una piastrellatura è ricorrente se, quando un modello (insieme finito di tessere) appare una volta, appare in un’area sufficientemente grande. Se, inoltre, si può fissare la dimensione di questa zona in base alle dimensioni del motivo, allora la pavimentazione è detta uniformemente ricorrente (o quasiperiodica).

Quindi, una piastrellatura uniformemente ricorrente del piano è tale che se consideriamo qualsiasi modello che appare in un cerchio di raggio tracciato sulla piastrellatura, allora esiste un numero R tale che possiamo essere sicuri che questo modello riappare in ogni cerchio di raggio R tracciato sul pavimento.

In particolare, le piastrellature periodiche sono uniformemente ricorrenti (a fortiori ricorrenti). Questo è anche il caso della pavimentazione Penrose. Infatti, si può dimostrare che se un insieme di tessere spiana il piano, allora può anche aprirlo in modo uniformemente ricorrente (la dimostrazione è basata su un argomento diagonale).

Una tassellazione semi-regolare (o Archimede) utilizza più di un tipo di poligono regolare in una disposizione isogonale. Ci sono otto tasselli semi-regolari (o nove se la coppia di tasselli immagine speculare conta come due). Questi possono essere descritti dalla loro configurazione dei vertici; per esempio, una piastrellatura semi-regolare usando quadrati e ottagoni regolari ha la configurazione del vertice 4.82 (ogni vertice ha un quadrato e due ottagoni). Sono possibili molte piastrellature non edge-to-edge del piano euclideo, inclusa la famiglia di tassellazioni pitagoriche, tassellazioni che utilizzano due dimensioni (parametrizzate) di quadrato, ciascuna quadrata che tocca quattro quadrati dell’altro formato. Una tassellatura del bordo è quella in cui ogni piastrella può essere riflessa su un bordo per assumere la posizione di una tessera vicina, come in una serie di triangoli equilateri o isosceli.

Le tassellature con simmetria traslazionale in due direzioni indipendenti possono essere classificate da gruppi di sfondi, di cui 17 esistenti. È stato affermato che tutti e diciassette di questi gruppi sono rappresentati nel palazzo di Alhambra a Granada, in Spagna. Anche se questo è contestato, la varietà e la raffinatezza dei tasselli dell’Alhambra hanno sorpreso i ricercatori moderni. Dei tre tasselli regolari due sono nel gruppo di sfondi p6m e uno in p4m. Le tegole in 2D con simmetria traslazionale in una sola direzione possono essere categorizzate dai sette gruppi di fregi che descrivono i possibili schemi di fregio. La notazione di Orbifold può essere usata per descrivere i gruppi di carte da parati del piano euclideo.

I tasselli di Penrose, che usano due diversi quadrilateri, sono l’esempio più noto di tessere che creano forzatamente schemi non periodici. Appartengono a una classe generale di tasselli aperiodici, che usano piastrelle che non possono tessere periodicamente. Il processo ricorsivo di piastrellatura di sostituzione è un metodo di generazione di tasselli aperiodici. Una classe che può essere generata in questo modo è la ripetizione; queste proprietà hanno sorprendenti proprietà auto-replicanti. Le tassellature della girandola non sono periodiche, usando una costruzione di piastrella di rinforzo; le tessere appaiono in infiniti orientamenti. Si potrebbe pensare che un modello non periodico sarebbe interamente privo di simmetria, ma non è così. Le tassellature aperiodiche, mentre mancano di simmetria traslazionale, hanno simmetrie di altri tipi, mediante la ripetizione infinita di qualsiasi toppa limitata della piastrellatura e in certi gruppi finiti di rotazioni o riflessioni di tali patch. Una regola di sostituzione, ad esempio può essere utilizzata per generare alcuni motivi di Penrose utilizzando gli assiemi di tessere chiamati rombo, illustra la simmetria di ridimensionamento. Una parola di Fibonacci può essere usata per costruire una piastrellatura aperiodica e per studiare i quasicristalli, che sono strutture con ordine aperiodico.

Le tessere Wang sono quadrate colorate su ciascun bordo e posizionate in modo tale che i bordi confinanti delle tessere adiacenti abbiano lo stesso colore; quindi a volte sono chiamati domino Wang. Un set adatto di domino Wang può affiancare l’aereo, ma solo aperiodicamente. Questo è noto perché qualsiasi macchina di Turing può essere rappresentata come un insieme di domini Wang che affiancano il piano se e solo se la macchina di Turing non si ferma. Poiché il problema dell’arresto è indecidibile, il problema di decidere se un set di domino Wang può affiancare l’aereo è indecidibile.

Le tessere di Truchet sono piastrelle quadrate decorate con motivi in ​​modo da non avere simmetria rotazionale; nel 1704, Sébastien Truchet usò una tessera quadrata suddivisa in due triangoli di colori contrastanti. Questi possono affiancare il piano periodicamente o in modo casuale.

A volte il colore di una tessera è compreso come parte della piastrellatura; altre volte i colori arbitrari possono essere applicati in seguito. Quando si discute di una piastrellatura che viene visualizzata a colori, per evitare l’ambiguità è necessario specificare se i colori fanno parte della piastrellatura o solo parte della sua illustrazione. Ciò influisce sul fatto che le tessere con la stessa forma ma colori diversi siano considerate identiche, il che a sua volta influisce su questioni di simmetria. Il teorema dei quattro colori afferma che per ogni tassellazione di un normale piano euclideo, con un insieme di quattro colori disponibili, ogni tessera può essere colorata in un colore in modo tale che nessuna tessera di uguale colore si incontrino in una curva di lunghezza positiva. La colorazione garantita dal teorema dei quattro colori generalmente non rispetta le simmetrie della tassellatura. Per produrre una colorazione che fa, è necessario trattare i colori come parte della tassellatura. Qui, possono essere necessari fino a sette colori, come nell’immagine a destra.

Accanto ai vari tasselli di poligoni regolari, sono stati studiati anche tasselli di altri poligoni.

Qualsiasi triangolo o quadrilatero (anche non convesso) può essere usato come un prototipo per formare una tassellazione monoedrica, spesso in più di un modo. Le copie di un quadrilatero arbitrario possono formare una tassellatura con simmetria traslazionale e simmetria rotazionale a due pieghe con centri ai punti medi di tutti i lati. Per un quadrilatero asimmetrico questa piastrellatura appartiene al gruppo di sfondi p2. Come dominio fondamentale abbiamo il quadrilatero. Equivalentemente, possiamo costruire un parallelogramma sotteso da un insieme minimo di vettori di traslazione, partendo da un centro di rotazione. Possiamo dividerlo di una diagonale e prendere una metà (un triangolo) come dominio fondamentale. Tale triangolo ha la stessa area del quadrilatero e può essere costruito da esso tagliando e incollando.

Se è consentita una sola forma di piastrella, esistono tasselli con N-goni convessi per N pari a 3, 4, 5 e 6. Per N = 5, vedere Piastrellatura pentagonale e per N = 6, vedere Piastrellatura esagonale.

Per i risultati sulla piastrellatura del piano con i poliomeri, vedi Polyomino § Usi di poliomeri.

I tasselli di Voronoi o Dirichlet sono tassellazioni in cui ogni piastrella è definita come l’insieme di punti più vicini a uno dei punti in un insieme discreto di punti di definizione. (Pensa alle regioni geografiche in cui ogni regione è definita come tutti i punti più vicini a una determinata città o ufficio postale.) La cella Voronoi per ogni punto di definizione è un poligono convesso. La triangolazione di Delaunay è una tassellazione che rappresenta il doppio grafico di una tassellazione di Voronoi. Le triangolazioni di Delaunay sono utili nella simulazione numerica, in parte perché tra tutte le possibili triangolazioni dei punti di definizione, le triangolazioni di Delaunay massimizzano il minimo degli angoli formati dai bordi. I tasselli di Voronoi con punti disposti casualmente possono essere usati per costruire tassellazioni casuali del piano.

La tassellatura può essere estesa a tre dimensioni. Certi poliedri possono essere impilati in un modello di cristallo regolare per riempire (o tessere) lo spazio tridimensionale, incluso il cubo (l’unico poliedro platonico per farlo), il dodecaedro rombico, l’ottaedro troncato e i prismi triangolari, quadrilateri ed esagonali , tra gli altri. Qualsiasi poliedro che si adatta a questo criterio è conosciuto come un plesioedro e può possedere tra 4 e 38 facce. I dodecaedri rombici naturali si trovano come cristalli di andradite (una specie di granato) e fluorite.

Un triangolo di Schwarz è un triangolo sferico che può essere usato per affiancare una sfera.

Le tessellazioni in tre o più dimensioni sono chiamate favi. In tre dimensioni c’è solo un nido d’ape regolare, che ha otto cubetti per ogni vertice di poliedro. Allo stesso modo, in tre dimensioni c’è solo un nido d’ape quasiregolare, che ha otto tetraedri e sei ottaedri a ciascun vertice di poliedro. Tuttavia, ci sono molti possibili nido d’ape semiregolari in tre dimensioni. I poliedri uniformi possono essere costruiti usando la costruzione Wythoff.

Il biprismo di Schmitt-Conway è un poliedro convesso con la proprietà di piastrellare lo spazio solo aperiodicamente.

È possibile tessere in geometrie non euclidee come la geometria iperbolica. Una piastrellatura uniforme nel piano iperbolico (che può essere regolare, quasiregolare o semiregolare) è un riempimento da bordo a bordo del piano iperbolico, con poligoni regolari come facce; questi sono vertici-transitivi (transitivi sui suoi vertici) e isogonali (c’è un’isometria che mappa qualsiasi vertice su qualsiasi altro).

Un nido d’ape uniforme nello spazio iperbolico è una tessellatura uniforme di cellule poliedriche uniformi. Nello spazio iperbolico tridimensionale ci sono nove famiglie di gruppi di Coxeter di nido d’ape compatti convessi uniformi, generati come costruzioni Wythoff, e rappresentati da permutazioni di anelli dei diagrammi di Coxeter per ogni famiglia.

In architettura:
Nell’architettura, le tassellature sono state utilizzate per creare motivi decorativi fin dall’antichità. Le tessere di mosaico avevano spesso motivi geometrici. Le civiltà successive utilizzarono anche piastrelle più grandi, semplici o decorate individualmente. Alcuni dei più decorativi erano i rivestimenti murali arabi dell’architettura islamica, che utilizzavano piastrelle di Girih e Zellige in edifici come l’Alhambra e La Mezquita.

Impastare nel Museo Archeologico di Istanbul: Non è un caso che la pavimentazione si chiami anche pavimentazione: infatti ogni possibile modo di rivestire un pavimento con le date delle piastrelle sagomate non è altro che una nappa. Ecco perché le piastrelle sono necessariamente presenti nella maggior parte degli edifici realizzati nel corso della storia. In particolare, i tasselli colorati sono stati spesso visti come un mezzo per ravvivare un pavimento o un muro.

Famose sono le nappe che ricoprono molte pareti del complesso Alhambra di Granada, frutto dell’arte araba e dei sapori della nascente dinastia: gli arabi sono sempre stati grandi studiosi di matematica e geometria, e tale conoscenza pervade anche la loro arte, così che l’arabesco è ancora comunemente usato per indicare motivi decorativi geometrici.

Nell’arte:
Gran parte delle opere dell’artista olandese Maurits Cornelis Escher sono nappe, i cui punti sono solitamente pesci, uccelli, cavalli, pipistrelli, ma anche figure antropomorfe. Escher non solo dedicò molta attenzione alla realizzazione di pugnali che assomigliavano in realtà agli animali che voleva rappresentare, ma anche allo studio matematico e alla catalogazione dei puntini, confrontandosi con i matematici del suo tempo.

Dal punto di vista matematico, le sue opere più audaci sono probabilmente quelle in cui egli descrive i puntini disposti non su un normale piano euclideo, ma muovendo su una geometria non euclidea. Sebbene questi non siano formalmente punteggiati (poiché i tasselli non sono solo ripetuti ma anche ridimensionati), il ragionamento geometrico di base è lo stesso, adattato al modello di geometria non-Euclidea scelto. Ad esempio, nella famosa serie Circle Limit è possibile riconoscere i postulati del piano iperbolico studiato da Henri Poincaré.

Notevole è anche la serie Metamorphosis, in cui Escher concatena in una lunga striscia diversa di oscuramento alternato ad altri motivi geometrici o disegnati a mano, dando così l’idea che le semplici regole geometriche alla base dei tasselli sono presenti ovunque e alla base della natura stessa.

Le tessellazioni sono comparse frequentemente nell’arte grafica di M. C. Escher; fu ispirato dall’uso moresco della simmetria in luoghi come l’Alhambra quando visitò la Spagna nel 1936. Escher realizzò quattro disegni di tasselli “Circle Limit” che utilizzavano la geometria iperbolica. Per la sua incisione su legno “Circle Limit IV” (1960), Escher ha preparato uno studio a matita e inchiostro che mostra la geometria richiesta. Escher ha spiegato che “Nessun singolo componente di tutte le serie, che da infinito lontano si alzano come razzi perpendicolarmente dal limite e sono infine persi in esso, raggiunge mai la linea di confine”.

I disegni a mosaico appaiono spesso sui tessuti, sia tessuti, cuciti o stampati. Gli schemi di tessellatura sono stati utilizzati per progettare motivi ad incastro di forme patch nelle trapunte.

Le tessellazioni sono anche un genere principale in origami (piegatura della carta), in cui le pieghe sono utilizzate per collegare molecole come le pieghe elastiche insieme in modo ripetitivo.

Nella produzione:
La tassellatura viene utilizzata nell’industria manifatturiera per ridurre lo spreco di materiale (perdite di resa) come la lamiera quando si tagliano le forme per oggetti come porte per auto o barattoli di bevande.

La tassellatura è evidente nello screpolarsi dei film sottili – con un grado di auto-organizzazione osservato usando micro e nanotecnologie.

In natura:
Il nido d’ape fornisce un noto esempio di tassellatura in natura con le sue celle esagonali.

In botanica, il termine “tessellate” descrive uno schema a scacchi, ad esempio su un petalo di fiore, una corteccia di albero o un frutto. I fiori tra cui la fritillaria e alcune specie di Colchicum sono caratteristicamente tassellate.

Molti modelli in natura sono formati da fessure in fogli di materiali. Questi schemi possono essere descritti dalle tessellazioni di Gilbert, anche conosciute come reti di crack casuali. La tassellatura di Gilbert è un modello matematico per la formazione di mudcrack, cristalli aghiformi e strutture simili. Il modello, che prende il nome da Edgar Gilbert, consente di formare delle crepe partendo da un punto a caso sparsi sul piano; ogni fessura si propaga in due direzioni opposte lungo una linea attraverso il punto di inizio, la sua inclinazione scelta a caso, creando una tassellazione di poligoni convessi irregolari. I flussi di lava basaltica mostrano spesso giunture colonnari a causa delle forze di contrazione che causano crepe mentre la lava si raffredda. Le estese reti di crack che si sviluppano spesso producono colonne esagonali di lava. Un esempio di una tale serie di colonne è il Giant’s Causeway nell’Irlanda del Nord. La pavimentazione a mosaico, un tipico esempio del quale si trova a Eaglehawk Neck nella penisola di Tasman in Tasmania, è una rara formazione rocciosa sedimentaria in cui la roccia si è fratturata in blocchi rettangolari.

Altre forme naturali si verificano nelle schiume; questi sono imballati secondo le leggi di Plateau, che richiedono superfici minime. Tali schiume presentano un problema nel modo di impacchettare le cellule il più strettamente possibile: nel 1887, Lord Kelvin propose un imballaggio usando solo un nido d’ape cubico solido, a forma di bitromo con facce molto leggermente curve. Nel 1993, Denis Weaire e Robert Phelan proposero la struttura Weaire-Phelan, che utilizza meno superficie per separare celle di uguale volume rispetto alla schiuma di Kelvin.

In puzzle e matematica ricreativa:
Le tessellazioni hanno dato origine a molti tipi di puzzle di piastrellatura, dai tradizionali puzzle (con pezzi irregolari di legno o cartone) e il tangram a puzzle più moderni che spesso hanno una base matematica. Ad esempio, polyiamonds e polyominoes sono figure di triangoli e quadrati regolari, spesso usati nei puzzle di piastrellatura. Autori come Henry Dudeney e Martin Gardner hanno fatto molti usi della tassellatura nella matematica ricreativa. Ad esempio, Dudeney ha inventato la dissezione a cerniera, mentre Gardner ha scritto della piastrella rep, una forma che può essere sezionata in copie più piccole della stessa forma. Ispirato agli articoli di Gardner in Scientific American, il matematico dilettante Marjorie Rice ha trovato quattro nuove tessellazioni con pentagoni. La quadratura del quadrato è il problema della piastrellatura di un quadrato integrale (uno i cui lati hanno una lunghezza intera) usando solo altri quadrati interi. Un’estensione sta squadrando l’aereo, affiancandolo a quadrati le cui dimensioni sono tutti numeri naturali senza ripetizioni; James e Frederick Henle hanno dimostrato che ciò era possibile.