테셀레이션 또는 평평한 표면의 바둑판 식 배열은 겹침이없고 틈이없는 타일이라고하는 하나 이상의 기하학적 모양을 사용하여 평면을 바둑판 식으로 배열하는 것입니다. 수학에서 테셀레이션은 더 높은 차원과 다양한 지오메트리로 일반화 할 수 있습니다.

정삼각형, 정사각형 및 정육각형 사이의 면적 – 둘레 비율 비교. 이 헥스는 평면을 피복 된 표면 부분에 사용 된 최소 둘레로 나눕니다. 플랫 지오메트리에서는 하나 이상의 기하학적 인물이 겹치지 않고 무한히 반복되어 평면을 덮는 방법을 디밍 (때로는 틸팅 또는 바닥재)이라고합니다.

이러한 기하학적 인 도형 ( “다웰”이라고 함)은 종종 다각형 (규칙적 또는 비 순응)을 가지지 만 곡선면이 있거나 꼭지점이 없을 수도 있습니다. 일반적으로 발생하는 유일한 조건은 연결되어 있거나 단순히 연결되어 있다는 것입니다 (즉, 단일 요소이며 구멍이 없음).

이 조건은 매우 제한적으로 보일 수 있지만, 생각할 수있는 거의 모든 바닥재에서 존경받습니다. 유용한 이유는 서로 다른 모양의 톤을 서로 비교할 수 있기 때문입니다.

그러나 기본 평행 사변형 템플릿은 일반 도트를 분류하는 가장 완벽한 방법은 아닙니다. 그 각도와 측면의 측정을 알면 우리의 조광의 기하학적 특징을 확실하게 증명할 수 없습니다. 가능한 한 평행 사변형의 더 작은 부분 (더 정확하게는 평행 사변형의 비율)이 발생할 수도 있습니다 모든 장식을 재구성합니다 (더 이상 독창적 인 번역이 아니라 다른 등각 사물을 사용함).

주기적 타일링은 반복 패턴을가집니다. 특수한 종류의 타일에는 규칙적인 다각형 타일과 같은 모양의 규칙적인 타일링과 여러 모양의 규칙 타일이 있고 모든 구석이 동일하게 배열 된 반원형 타일링이 있습니다. 주기적인 타일링으로 형성된 패턴은 17 개의 벽지 그룹으로 분류 할 수 있습니다. 반복 패턴이없는 타일링을 “비 주기적”이라고합니다. 비주기 타일링은 반복 패턴을 형성 할 수없는 작은 타일 모양을 사용합니다. 더 높은 차원의 기하학에서 공간 충진 또는 벌집은 공간의 공간 분할이라고도합니다.

포장 또는 포장은 공간 (일반적으로 평면 또는 3 차원 공간과 같은 유클리드 공간)을 타일 (더 자세히 말하면 비어 있지 않은 내부 압축 물)이라고하는 유한 집합의 요소로 구분하는 것입니다. 일반적으로 우리는 번역에 의한 타일링을 고려합니다. 즉, 두 개의 동일한 포장 타일이 항상 평행 이동 (회전 또는 대칭 제외)에 의해 서로 공제가 가능합니다. 비 유클리드 공간의 테셀레이션도 있습니다. 가장 유명한 것은 의심 할 여지없이 M.C.의 수많은 포장 도로입니다. Escher (하이퍼 볼릭 평면 (in)의 균일 한 테셀레이션).

실제 물리적 테셀레이션은 시멘트 처리 된 세라믹 사각형 또는 육각형과 같은 재질로 이루어진 타일입니다. 그러한 틸팅은 장식적인 패턴 일 수도 있고, 또는 내구성 및 방수 포장, 바닥 또는 벽 덮개를 제공하는 것과 같은 기능을 가질 수도있다. 역사적으로 테셀레이션은 고대 로마 및 알함브라 궁전의 장식 기하학적 기와와 같은 이슬람 예술에서 사용되었습니다. 20 세기에 M.C.Escher의 작업은 유클리드 기하학과 쌍곡선 기하학에서 종종 예술적 효과를 위해 테셀레이션을 사용했습니다. 테셀레이션은 때때로 퀼트의 장식 효과로 사용됩니다. 테셀레이션은 본질적으로 패턴 집합을 형성하며, 예를 들어 벌집 모양의 육각형 셀 배열에 있습니다.

에세이 표기법은 수메르 인 (기원전 4000 년경)이 점토 타일 패턴으로 형성된 벽 장식을 짓기 위해 사용되었습니다.

테세라 (tesserae)라고 불리는 작은 사각형 블록으로 만들어진 장식용 모자이크 타일은 고전적인 고대에 널리 사용되었는데 때로는 기하학적 패턴을 나타 냈습니다.

1619 년 Johannes Kepler는 테셀레이션에 대한 초기 문서화 연구를 수행했습니다. 그는 하모니 니스 먼디 (Harmonices Mundi)에서 규칙적인 테설 레이션 (semiregular tessellations)에 관해 썼다. 그는 아마도 벌집과 눈송이의 육각형 구조를 탐구하고 설명하는 최초의 사람이었을 것입니다.

1891 년 약 200 년 후, 러시아의 결정 학자 예프 그라프 피도도 로프는 비행기의 모든주기 타일링이 17 개의 서로 다른 아이소미터 그룹 중 하나를 특징으로한다는 것을 증명했습니다. Fyodorov의 작업은 tessellations의 수학적 연구의 비공식적 인 시작을 표시했습니다. 다른 저명한 공헌자로는 Shubnikov와 Belov (1964), Heinrich Heesch와 Otto Kienzle (1963)이 있습니다.

라틴어로, tessella는 점토, 돌 또는 유리 모자이크를 만드는 데 사용되는 작은 입방 조각입니다. “테셀라”라는 단어는 “작은 사각형”(테세라, 스퀘어에서 유래 된 것으로 그리스어 단어 인 τέσσερα에서 네 개를 의미 함)을 의미합니다. 이는 일상 용어 타일링에 해당합니다. 타일링은 종종 유리 점토로 만들어집니다.

테셀레이션 또는 2 차원 타일링은 지정된 규칙에 따라 타일로 알려진 모양을 간격없이 평면을 채우는 방법을 연구하는 기하학의 주제입니다. 이러한 규칙은 다양 할 수 있습니다. 일반적인 것들은 타일 사이에 틈이 없어야하고 타일 하나의 모서리가 다른 타일의 모서리를 따라 존재할 수 없다는 것입니다. 보세 벽돌 공사로 만든 테셀레이션은이 규칙을 따르지 않습니다. 그러한 것들 중에서, 규칙적인 테셀레이션은 동일한 타일과 똑같은 규칙적인 모서리 나 꼭지점을 가지며, 각 타일마다 인접한 가장자리 사이에 동일한 각도를 가지고 있습니다. 정규 삼각형, 정사각형 및 정육각형과 같은 일반 테셀레이션을 형성 할 수있는 모양은 세 가지뿐입니다. 이 세 가지 모양 중 하나를 무한대로 복제하여 간격이없는 평면을 채울 수 있습니다.

다른 많은 유형의 테셀레이션이 다른 제한 조건 하에서 가능합니다. 예를 들어, 두 종류 이상의 정다각형으로 만들어 지지만 모든 구석에 동일한 다각형 배열을 갖는 세미 규칙 테셀레이션의 여덟 가지 유형이 있습니다. 불규칙한 테셀레이션은 오각형, 폴리 오미노이드 및 사실상 거의 모든 종류의 기하학적 모양과 같은 다른 모양에서도 만들 수 있습니다. 예술가 M. C. Escher는 동물 및 기타 자연 물체와 같은 모양의 불규칙한 연동 타일로 테셀레이션을하는 것으로 유명합니다. 서로 다른 모양의 타일에 적합한 대비되는 색상이 선택되면 눈에 띄는 패턴이 형성되며,이 패턴을 사용하여 교회 바닥과 같은 물리적 인 표면을 장식 할 수 있습니다.

좀 더 공식적으로 테셀레이션 또는 타일링은 유클리드 평면의 커버로서, 타일이 경계선에서만 교차하도록 타일이라고 불리는 닫힌 세트를 셀 수만큼 씁니다. 이 타일은 다각형 또는 다른 모양 일 수 있습니다. 많은 테셀레이션은 테셀레이션의 모든 타일이 주어진 프로토 타이 트와 일치하는 유한 수의 프로토 타이 틀로 구성됩니다. 기하학적 모양을 테셀레이션을 만들기위한 프로토 타입으로 사용할 수 있다면 그 모양은 테셀레이션하거나 평면을 타일링한다고합니다. Conway 기준은 주어진 모양이 반사없이 주기적으로 타일을 타일링 하는지를 결정하기에 충분하지만 필수는 아닙니다. 일부 타일은 기준을 충족시키지 못하고 평면을 타일링합니다. 주어진 모양이 평면을 타일링 할 수 있는지 여부를 결정하기위한 일반적인 규칙은 발견되지 않았습니다. 이는 테셀레이션과 관련하여 많은 미해결 문제가 있음을 의미합니다.

각각의 최소 디자인은 동일한 형상을 갖는다
두 개의 다웰 각각을 얻기 위해 최소 설계에 적용해야하는 변환은 동일합니다
예를 들어, 옆의 이미지에서 기본 평행 사변형 (정사각형)과 최소 디자인 (삼각형 직사각형)으로 점선을 볼 수 있습니다. 도트는 사각형을 평행 이동 시켜서 얻을 수 있지만, 삼각형을 번역하고 반사하는 것만으로도 얻을 수 있습니다. 대신, 모든 술을 재현 할 수있는 삼각형의 작은 부분은 없습니다.

두 배가되는 것을 분류하려면 다음 표와 같이 최소 디자인에서 생성하는 데 필요한 변환을 알고 있으면 충분합니다.

비 유적 추상 예술과 건축에 도트를 찍는 것은 항상 미학을 결합시키는 방법이었습니다.

수학적으로 테셀레이션은 유클리드 평면 이외의 공간으로 확장 될 수 있습니다. 스위스 지리학자 루드비히 슐러 리프 (Ludwig Schläfli)는 오늘날 수학자들이 폴리 토프 (polytopes)라고 부르는 폴리 사이메 (polyschemes)를 정의함으로써이를 개척했습니다. 이것들은 더 많은 차원을 가진 공간에서 다각형과 다면체에 대한 유사점입니다. 그는 폴리 토프를 쉽게 설명 할 수 있도록 Schläfli 기호 표기법을 정의했습니다. 예를 들어 정삼각형에 대한 Schläfli 기호는 {3}이고 사각형에 대한 기호는 {4}입니다. Schläfli 표기법을 사용하면 얇은 판을 컴팩트하게 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 정육각형의 타일링은 각 꼭지점에 6 개의 다각형을 가지고 있으므로 Schläfli 기호는 {6,3}입니다.

다각형 틸팅을 설명하는 다른 방법도 있습니다. 테셀레이션이 규칙적인 다각형으로 이루어지면 가장 일반적인 표기법은 정점 주위의 다각형의면 수 목록 인 정점 구성입니다. 정사각형 타일링의 정점 구성은 4.4.4.4 또는 44입니다. 정육각형의 타일링은 6.6.6 또는 6입니다.

수학에서 :
수학자들은 틸팅을 토론 할 때 몇 가지 기술 용어를 사용합니다. 가장자리는 두 개의 경계 타일 사이의 교차점입니다. 그것은 종종 직선이다. 꼭지점은 3 개 이상의 경계 타일의 교차점입니다. 이 용어를 사용하면 등고선 또는 정점 전치 타일링은 모든 정점이 동일한 타일링입니다. 즉, 각 꼭지점에 대한 다각형의 배열은 동일합니다. 기본 영역은 테셀레이션을 형성하기 위해 반복되는 사각형과 같은 모양입니다. 예를 들어 정사각형이있는 평면의 일반 테셀레이션에는 모든 정점에서 네 개의 정사각형 회의가 있습니다.

다각형의 변은 반드시 타일의 모서리와 동일하지 않습니다. 에지 대 에지 타일링은 인접한 타일이 하나의 전체 면만 공유하는 임의의 다각형 테셀레이션, 즉 어떤 타일도 다른 타일과 부분면 또는 한면 이상을 공유하지 않는다. 모서리 간 타일링에서 다각형의면과 타일의 모서리는 동일합니다. 익숙한 “벽돌 벽”타일링은 각 직사각형 벽돌의 긴면이 두 개의 경계 벽돌과 공유되기 때문에 가장자리와 가장자리가 다릅니다.

일반적인 타일링은 모든 타일이 토폴로지 상 디스크와 동일한 테셀레이션입니다. 두 타일의 교차점은 단일 연결된 세트 또는 빈 세트이며 모든 타일은 균등하게 묶여 있습니다. 즉, 하나의 외접 반경과 하나의 새김 반경을 전체 타일링의 모든 타일에 사용할 수 있습니다. 병적으로 길거나 가느 다란 타일은 사용할 수 없습니다.

단일 정사각형 타일링은 모든 타일이 일치하는 모자이크 타일입니다. 그것은 단지 하나의 원형을 가지고 있습니다. 특히 흥미로운 모노 평면 테셀레이션의 유형은 나선형 모노 평면 타일링입니다. 1936 년 Heinz Voderberg가 최초의 나선형 단층 타일링을 발견했습니다. Voderberg 타일링은 비 볼록 한 엔 나비 모양의 유닛 타일을 가지고 있습니다. 1985 년 Michael D. Hirschhorn과 DC Hunt가 출간 한 Hirschhorn 타일링은 불규칙한 오각형을 사용하는 오각형 타일링입니다. 정규 오각형은 3 각형의 내부 각이 2π의 제수가 아니므로 유클리드 평면을 타일링 할 수 없습니다 .

isohedral tiling은 모든 tile이 같은 transitivity class에 속하는 단일 타일링의 특수한 변형입니다. 즉 모든 타일은 타일링의 대칭 그룹 아래에서 동일한 prototile의 변형입니다. 원형 타일이 타일링을 허용하지만, 같은 타일링이 등면체가 아니라면, 원형 타일은 anisohedral라고 불리며, 비등 면체의 타일링을 형성합니다.

일반 테셀레이션은 동일한 모양의 모든 정다각형으로 구성된 매우 대칭 인 모서리 간 타일링입니다. 정규 삼각형, 정사각형 또는 정육각형으로 구성된 세 개의 일반 테셀레이션 만 있습니다. 이 세 가지 타일링은 모두 정위 및 단 일형입니다.

비주기적인 기와 중 일부는 다른 기종에 비해 덜 비 … 다른 말로하면 비 주기율도를 정량화 할 수 있습니다.

이런 방식으로, 우리는 예를 들어, 재발 및 균일 한 재발 (또는 준생 생물)의 개념을 인용 할 수 있습니다.

타일링은 패턴 (유한 집합의 타일)이 한 번 나타나면 충분히 큰 영역에 나타납니다. 또한, 패턴의 크기에 따라이 구역의 크기를 고정시킬 수 있다면, 포장은 균일하게 반복적으로 (또는 준 주기성으로) 말해진다.

따라서 평면의 균일하게 반복되는 타일링은 반경 r의 원형에 나타나는 패턴이 타일링에서 추적되는 것으로 간주하면이 패턴이 다음과 같은 임의의 원에서 다시 나타날 수 있도록 숫자 R이 있습니다. 반경 R은 포장에서 추적된다.

특히, 주기적으로 틸 링 (tilings)은 일률적으로 재발한다 (반복적이다). Penrose 포장의 경우도 마찬가지입니다. 사실 타일 집합이 평면을 포장하면 균일 한 반복 방식으로 포장 할 수 있다는 것을 보여줄 수 있습니다 (증명은 대각선 인수를 기반으로합니다).

반 정형 (또는 아르키메데스) 테셀레이션은 등가 정렬에서 두 가지 유형의 정다각형을 사용합니다. 8 개의 반 정기적 인 틸팅이 있습니다 (또는 미러 이미지 쌍의 틸팅이 2 인 경우 9 개). 이들은 정점 구성에 의해 기술 될 수있다. 예를 들어 정사각형과 정 팔각형을 사용하는 반 정사각형 타일링은 정점 구성이 4.82입니다 (각 정점에는 정사각형과 두 개의 8 각형이 있습니다). Pythagorean 타일링 패밀리, 두 개의 (매개 변수화 된) 사각형 크기를 사용하는 테셀레이션을 포함하여 유클리드 평면의 가장자리가 아닌 가장자리로 된 많은 타일링이 가능합니다. 각 사각형은 다른 크기의 네 사각형을 터치합니다. 가장자리 테셀레이션은 정사각형 또는 이등변 삼각형의 배열에서와 같이 인접한 타일의 위치를 ​​차지하기 위해 각 타일을 가장자리 위로 반사 할 수있는 테셀레이션입니다.

두 개의 독립적 인 방향으로 병진 대칭이있는 기와는 벽지 그룹별로 분류 할 수 있으며 그 중 17 개가 존재합니다. 스페인의 그라나다 (Granada)에있는 알함브라 궁전 (Alhambra palace)에 17 개의 그룹이 모두 소속되어 있다고 주장되어 왔습니다. 이것이 논란의 여지가 있지만, 알함브라 기와의 다양성과 정교함은 현대 연구원을 놀라게했습니다. 3 개의 규칙적인 tilings 중에서 2 개는 p6m 벽지 그룹에 있고 하나는 p4m에 있습니다. 단지 한 방향으로의 대칭성을 갖는 2D에서의 틸팅은 가능한 프리즈 패턴을 설명하는 7 개의 프리즈 그룹에 의해 분류 될 수 있습니다. Orbifold 표기법을 사용하여 유클리드 평면의 배경 무늬 그룹을 설명 할 수 있습니다.

두 개의 다른 사변형을 사용하는 Penrose 타일링은 강제로 비 주기적 패턴을 생성하는 가장 잘 알려진 타일 예제입니다. 그것들은 정기적 인 테셀레이션을 할 수없는 타일을 사용하는 일반적인 비주기적인 타일링에 속합니다. 대체 타일링의 재귀 적 프로세스는 비주기적인 타일링을 생성하는 방법입니다. 이런 방식으로 생성 될 수있는 클래스는 rep-tiles입니다. 이러한 틸팅은 놀라운 자기 복제 특성을 가지고 있습니다. 바람개비 틸팅은 rep-tile 구조를 사용하여 비 주기적입니다. 타일은 무한히 많은 방향으로 나타납니다. 비주기적인 패턴이 완전히 대칭이없는 것으로 생각 될 수도 있지만 그렇지 않습니다. 비주기적인 틸팅은 번역 대칭이 부족한 반면, 바둑판 식으로 묶인 패치를 무한히 반복하고, 일정한 유한 그룹의 회전 또는 패치를 반복함으로써 다른 유형의 대칭을 갖습니다. rhombs라는 타일 어셈블리를 사용하여 Penrose 패턴을 생성하는 데 사용할 수있는 대체 규칙은 스케일링 대칭을 보여줍니다. 피보나치 단어는 비주기적인 타일링을 만들고, 비주기적인 구조를 갖는 준결정을 연구하는 데 사용될 수 있습니다.

왕 타일은 각 가장자리에 색깔이있는 사각형이며 인접한 타일의 인접한 가장자리가 같은 색상을 갖도록 배치됩니다. 그러므로 그들은 때때로 왕 도미노라고 불린다. 적절한 왕 도미노 세트가 비행기를 타일링 할 수 있지만 비 주기적으로 만 타일링 할 수 있습니다. 이것은 튜링 기계가 멈추지 않는 경우에만 평면을 타일링하는 왕 도미노 집합으로 나타낼 수 있기 때문에 모든 튜링 기계를 나타낼 수 있습니다. 정지 문제가 결정 불가능하기 때문에, 왕 도미노 세트가 비행기를 타일링 할 수 있는지 여부를 결정하는 문제 또한 결정 불가능합니다.

Truchet 타일은 패턴으로 장식 된 정사각형 타일이므로 회전 대칭이 없습니다. 1704 년 Sébastien Truchet는 정사각형 타일을 대비되는 색상의 두 개의 삼각형으로 분리하여 사용했습니다. 이것들은 비행기를 주기적으로 또는 무작위로 배열 할 수 있습니다.

때때로 타일의 색상은 타일링의 일부로 이해됩니다. 다른 시간에는 임의의 색상을 나중에 적용 할 수 있습니다. 모호성을 피하기 위해 색상으로 표시된 타일링에 대해 논의 할 때 색상이 타일링의 일부인지 또는 그림의 일부인지 여부를 지정해야합니다. 이것은 동일한 모양이지만 색상이 다른 타일이 동일한 것으로 간주되는지 여부에 영향을 미치며 대칭의 문제에 영향을줍니다. 네 가지 색상 정리는 정상적인 유클리드 평면의 모든 테셀레이션에 대해 네 가지 사용 가능한 색상 세트를 사용하여 각 타일을 한 색상으로 색칠하여 동등한 색상의 타일이 양의 길이의 곡선에서 만나지 않도록합니다. 4 색 정리에 의해 보장되는 채색은 일반적으로 테셀레이션의 대칭을 존중하지 않습니다. 색상을 생성하려면 색상을 테셀레이션의 일부로 처리해야합니다. 여기 오른쪽 그림처럼 7 가지 색상이 필요할 수 있습니다.

규칙적인 다각형에 의한 다양한 타일링 다음으로 다른 다각형에 의한 타일링도 연구되었습니다.

임의의 삼각형 또는 사변형 (심지어 비 볼록형)은 하나 이상의 방법으로 단원 테셀레이션을 형성하기위한 프로토 타입으로 사용될 수 있습니다. 임의의 사변형의 복사본은 모든면의 중간 점에서 중심을 갖는 병진 대칭 및 2 배 회전 대칭을 갖는 테셀레이션을 형성 할 수 있습니다. 비대칭 사변형의 경우이 타일링은 벽지 그룹 p2에 속합니다. 근본적인 영역으로서 우리는 사변형을 가지고 있습니다. 동등하게, 우리는 회전 중심에서 시작하는 최소 병진 이동 벡터에 의해 범위가 지정된 평행 사변형을 구성 할 수 있습니다. 이것을 대각선으로 나누고 기본 도메인으로 반 (삼각형)을 취할 수 있습니다. 이러한 삼각형은 사변형과 동일한 면적을 가지며 절단 및 붙여 넣기로 만들 수 있습니다.

하나의 타일 모양 만 허용되는 경우, 3, 4, 5 및 6과 동일한 N에 대해 볼록 N-gons가있는 기와가 있습니다. N = 5 인 경우 오각형 타일링을 참조하고 N = 6 인 경우 육각 타일링을 참조하십시오.

Polyomino로 평면을 타일링 한 결과는 Polyomino를 참조하십시오. Polyomino의 사용.

Voronoi 또는 Dirichlet 타일링은 각 타일이 이산 집합의 정의 지점에있는 점 중 하나에 가장 가까운 점 집합으로 정의 된 모자이크 배열입니다. (각 지역이 주어진 도시 나 우체국에 가장 가까운 모든 점으로 정의 된 지리적 지역을 생각해보십시오.) 각 정의 점에 대한 보로 노이 셀은 볼록한 다각형입니다. Delaunay 삼각 측량은 Voronoi 테셀레이션의 이중 그래프 인 테셀레이션입니다. Delaunay 삼각 측량은 수치 시뮬레이션에서 유용합니다. 부분적으로는 정의 점의 가능한 모든 삼각 측량 중에서 Delaunay 삼각 측량이 모서리로 형성된 각도의 최소값을 최대화하기 때문입니다. 무작위로 배치 된 보로 노이 틸 링은 평면의 임의의 틸팅을 구성하는 데 사용할 수 있습니다.

테셀레이션은 3 차원으로 확장 될 수 있습니다. 특정 다면체는 정육면체 (유일한 Platonic 다면체), 마름모꼴의 12 면체, 잘린 팔면체, 삼각형, 사변형 및 육각형 프리즘을 포함하여 3 차원 공간을 채우기 위해 (또는 타일링하여) 규칙적인 패턴으로 쌓을 수 있습니다 , 다른 사람 사이에서. 이 기준에 맞는 다면체는 평형근 (plesiohedron)으로 알려져 있으며 4 ~ 38 개의면을 가질 수 있습니다. 자연적으로 발생하는 마름모꼴의 12 면체는 안드라 이드 (가닛의 일종)와 형석의 결정으로 발견됩니다.

Schwarz 삼각형은 구체를 바둑판 식으로 배열하는 데 사용할 수있는 구형 삼각형입니다.

세 가지 이상의 차원에서의 테셀레이션을 벌집이라고합니다. 3 차원에는 정사각형 벌집 하나가 있으며, 각 다면체 정점에 8 개의 큐브가 있습니다. 유사하게, 3 차원에서, 단 다면체 허니컴이 있으며, 각 다면체 꼭지점에는 8 개의 사면체와 6 개의 8 면체가 있습니다. 그러나, 세 가지 측면에서 가능한 많은 반원형 벌집이 있습니다. 균일 한 다면체는 Wythoff 구조를 사용하여 만들 수 있습니다.

슈미트 – 콘웨이 바이 프리즘 (Schmitt-Conway biprism)은 공간을 비 주기적으로 바둑판 식으로 배치하는 볼록 다면체입니다.

쌍곡선 기하학과 같은 비 유클리드 기하학에서는 테셀레이션이 가능합니다. 쌍곡선 평면에서 균일 한 타일링 (정규, 준공 또는 반원형 일 수 있음)은 정면 폴리곤을면으로 한 쌍곡선 평면의 가장자리에서 가장자리 채우기입니다. 이것들은 정점 – 전이 (정점에서 전이) 및 등고선 (다른 정점에 정점을 매핑하는 등각 투영법이 있습니다)입니다.

쌍곡선 공간에서 균일 한 벌집은 균일 한 다면체 세포의 균일 한 모자이크 식입니다. 3 차원 쌍곡선 공간에는 Wythoff 구조로 생성 된 컴팩트 한 볼록한 균일 한 벌집의 9 개의 Coxeter 그룹 패밀리가 있으며 각 패밀리의 Coxeter 다이어그램 링 순열로 나타납니다.

건축에서 :
건축술에서는, tessellations는 고대부터 장식적인 주제를 창조하기 위하여 이용되었습니다. 모자이크 기와에는 종종 기하학적 패턴이 있습니다. 나중에 문명은 평평하거나 개별적으로 장식 된 큰 타일도 사용했습니다. 가장 장식적인 부분은 Alhambra와 La Mezquita와 같은 건물에서 Girih와 Zellige 타일을 사용하여 이슬람 건축물의 무어 벽 타일이었습니다.

이스탄불 고고학 박물관에서의 반죽 : 바닥재를 포장이라고도 부르는 것은 우연이 아닙니다. 실제로 타일 모양의 타일로 바닥을 덮을 수있는 모든 방법은 술이 아닙니다. 그것이 타일이 역사의 과정에서 만들어진 대부분의 건물에 필연적으로 존재하는 이유입니다. 특히 착색 된 다웰은 종종 바닥이나 벽을 생기있게하는 수단으로 여겨져 왔습니다.

유명한 그라나다의 알함브라 궁전의 많은 벽, 아라비안 예술의 열매와 초기 왕조의 맛을 다룬 술은 유명합니다 : 아랍인들은 항상 수학과 기하학의 훌륭한 학자였으며 그러한 지식은 예술에도 뿌리 내므로 당초 기하학적 장식 모티프를 나타 내기 위해 여전히 일반적으로 사용됩니다.

예술 분야 :
네덜란드 예술가 인 모리스 코넬리스 에셔 (Maurits Cornelis Escher)의 작품 대부분은 술, 새, 말, 박쥐뿐 아니라 의인화 된 인물 인 술인데, Escher는 자신이 표현하고 싶은 동물과 실제로 닮은 단검의 실현에 많은 관심을 기울 였을뿐만 아니라 수학 연구와 도트 츠의 목록 작성을 통해 수학자와 자신의 시간을 비교했습니다.

그의 수학적 견지에서 볼 때, 그의 가장 대담한 작품은 평범한 유클리드 평면이 아니라 비 유클리드 기하학을 움직이는 점선을 묘사 한 것일 것입니다. 이것들은 형식적으로 점선으로 표시되어 있지 않지만 (다월이 반복 될뿐만 아니라 크기가 조정되기 때문에) 기본적인 기하학적 추론은 선택된 유클리드 기하학 모델에 맞게 조정됩니다. 예를 들어, 유명한 Circle Limit 시리즈에서 Henri Poincaré가 연구 한 쌍곡선 계획의 가정을 알 수 있습니다.

또한 Escher가 다른 기하학적 또는 손으로 그린 ​​모티프와 번갈아 가면서 다른 디밍을 연결하여 Meterorphosis 시리즈를 결합함으로써 도웰의 기저에있는 간단한 기하학적 규칙이 어디에서나 기본에 있다는 아이디어를 제공합니다 자연 자체의

Tessellations는 M. C. Escher의 그래픽 아트에 자주 등장했다. 그는 1936 년 스페인을 방문했을 때 알함브라 (Alhambra)와 같은 장소에서 무어 인의 대칭 사용에 영감을 얻었습니다. Escher는 쌍곡 기하학을 사용하는 틸팅의 4 가지 “원 제한”도면을 만들었습니다. Escher는 그의 목 판화 “Circle Limit IV”(1960)에 필요한 기하학을 보여주는 연필 및 잉크 연구를 준비했습니다. Escher는 “무한히 먼 거리에서 로켓이 한계에서 직각으로 상승하고 마침내 잃어버린 모든 시리즈 중 단일 구성 요소가 경계선에 도달하지 못했습니다.”라고 설명했습니다.

테셀레이션 된 디자인은 직물에 짠 것이 든, 꿰매 든 인쇄 한 것이 든간에 종종 직물에 나타납니다. 테셀레이션 패턴은 퀼트에 패치 모양의 맞물림 모티브를 디자인하는 데 사용되었습니다.

테셀레이션은 또한 종이 접기 (종이 접기)에서 주요 장르이며, 주름이 꼬인 접기와 같은 분자를 반복적으로 연결하는 데 사용됩니다.

제조 중 :
테셀레이션은 자동차 도어 나 음료 캔과 같은 물체의 모양을자를 때 판금과 같은 재료 낭비 (생산 손실)를 줄이기 위해 제조 업계에서 사용됩니다.

테셀레이션은 마이크로 및 나노 기술을 사용하여 관찰되는 자기 조직의 정도와 함께 박막의 진흙 크랙과 같은 균열에서 분명합니다.

자연 있음 :
벌집은 6 각형 셀을 가진 본질적으로 모자이크 식의 예를 제공합니다.

식물학에서 용어 “모자이크”는 바둑판 무늬, 예를 들어 꽃잎, 나무 껍질 또는 열매를 나타냅니다. fritillary와 콜 키쿰 (Colchicum)의 일부 종을 포함한 꽃은 특징적으로 모자이크 처리됩니다.

자연의 많은 패턴은 재료의 균열에 의해 형성됩니다. 이러한 패턴은 Gilbert tessellations (임의 균열 네트워크라고도 함)로 설명 할 수 있습니다. 길버트 테셀레이션은 진흙 크랙, 바늘 같은 결정 및 유사한 구조의 형성을위한 수학적 모델입니다. 에드거 길버트 (Edgar Gilbert)의 이름을 딴이 모델은 균열이 평면 위에 무작위로 흩어져서부터 시작되도록합니다. 각 크랙은 시작점을 통과하는 선을 따라 두 개의 반대 방향으로 전파되며, 그 경사는 무작위로 선택되어 불규칙한 볼록 다각형의 모자이크를 만듭니다. 현무암 용암 흐름은 종종 용암이 냉각되면서 균열을 일으키는 수축력의 결과로 원주 접합을 나타냅니다. 발전하는 광범위한 균열 네트워크는 종종 용암의 육각형 기둥을 생성합니다. 이러한 열 배열의 한 예는 북 아일랜드에있는 자이언트 코즈웨이 (Giant ‘s Causeway)입니다. Tasmania Tasman Peninsula의 Eaglehawk Neck에서 볼 수있는 Tessellated 포장 도로는 암석이 직사각형 블록으로 부서진 희귀 한 퇴적암 형성 지입니다.

다른 천연 패턴은 폼에서 발생합니다. 이것들은 최소한의 곡면을 필요로하는 고원의 법칙에 따라 포장됩니다. 이러한 폼은 가능한 한 단단하게 셀을 포장하는 방법에 문제를 제기합니다. 1887 년 Kelvin은 매우 단단한 곡면을 가진 작은 입방체 벌집 모양의 단단한 단 하나의 단단한 재료로 포장을 제안했습니다. 1993 년 Denis Weaire와 Robert Phelan은 Weaire-Phelan 구조를 제안했습니다. Weal-Phelan 구조는 켈빈의 거품과 같은 부피의 세포를 분리하기 위해 표면적을 덜 사용합니다.

퍼즐과 레크리에이션 수학에서 :
테셀레이션은 전통적인 지그 소 퍼즐 (불규칙한 나무 또는 판지 조각) 및 탱글램에서 종종 수학적 기반을 가진보다 현대적인 퍼즐로 여러 유형의 타일링 퍼즐을 발생 시켰습니다. 예를 들어, polyiamonds 및 polyominoes는 타일링 퍼즐에서 자주 사용되는 정삼각형 및 사각형의 인물입니다. Henry Dudeney와 Martin Gardner와 같은 저자는 레크리에이션 수학에서 테셀레이션을 많이 사용합니다. 예를 들어 Dudeney는 힌지 절개를 발명했으며 Gardner는 같은 모양의 작은 사본으로 해부 될 수있는 rep-tile에 대해 썼습니다. 아마추어 수학자 인 Marjorie Rice는 Gardner의 Scientific American 기사에서 영감을 받아 오각형에 4 개의 새 테셀레이션을 발견했습니다. 정사각형을 자르는 것은 다른 정수 사각형을 사용하여 정수 사각형 (정수 길이가 정수인 정사각형)을 바둑판 식으로 배열하는 문제입니다. 확장은 평면을 제곱하고, 반복하지 않고 크기가 모두 자연스러운 사각형으로 사각형을 바둑판 식으로 배열합니다. James와 Frederick Henle은 이것이 가능하다는 것을 증명했습니다.