التغطية بالفسيفساء

تيسلاتيون من سطح مستو هو تبليط طائرة باستخدام واحد أو أكثر من الأشكال الهندسية، ودعا البلاط، مع عدم وجود تداخل ولا ثغرات. في الرياضيات، ويمكن تعميمها تيسيلاتيونس إلى أبعاد أعلى ومجموعة متنوعة من هندستها.

مقارنة بين نسبة محيط المنطقة بين المثلث متساوي الأضلاع، مسدس مربع ومنتظم. عرافة تقسيم الطائرة مع الحد الأدنى المحيط المستخدمة للجزء سطح مغطاة. في هندسة مسطحة، ويسمى يعتم (أحيانا إمالة أو الأرضيات) طرق لتغطية الطائرة مع واحد أو أكثر من الأرقام الهندسية المتكررة بلا حدود دون تداخل.

هذه الأشكال الهندسية، (وتسمى “المسامير”)، وغالبا ما تكون المضلعات، العادية أم لا، ولكن قد يكون أيضا الجانبين المنحني، أو ليس لديهم قمة. والشرط الوحيد الذي ينشأ عادة هو أن تكون متصلة، بل ترتبط ببساطة (وهذا هو، فهي قطعة واحدة وليس لديهم ثقوب).

على الرغم من أن هذا الشرط قد يبدو مقيدا جدا، فإنه يحترم تقريبا أي الأرضيات قد تعتقد. السبب في أنه من المفيد هو أنه يسمح لمقارنة طن من مظهر مختلف لبعضها البعض.

غير أن نموذج متوازي الأضلاع الأساسي ليس الطريقة الأكثر اكتمالا لتصنيف الدوتات العادية؛ ومعرفة قياسات زواياها والجوانب لا تسمح لنا أن نؤكد مع اليقين السمات الهندسية من يعتم لدينا: قد يحدث أن هناك جزء أصغر من متوازي الاضلاع (على وجه التحديد، وهي نسبة من متوازي الاضلاع) التي من الممكن لإعادة بناء جميع الديكور (لم يعد مع الترجمة الوحيدة، ولكن أيضا باستخدام قياس متساوي القياس).

يحتوي البلاط الدوري على نمط مكرر. وتشمل بعض أنواع خاصة تيلينغس العادية مع البلاط المضلع منتظم كل من نفس الشكل، و تيلينغس شبه منتظمة مع البلاط العادية من أكثر من شكل واحد ومع كل زاوية رتبت بشكل متطابق. يمكن تصنيف الأنماط التي شكلتها تيلينغس الدورية إلى 17 مجموعات خلفية. ويسمى البلاط الذي يفتقر إلى نمط تكرار “غير دورية”. يستخدم التبليط الأبيريودي مجموعة صغيرة من الأشكال البلاط التي لا يمكن أن تشكل نمط تكرار. في هندسة الأبعاد العليا، وتسمى مساحة ملء أو العسل أيضا تيسلاتيون من الفضاء.

الرصف أو الرصيف هو تقسيم مساحة (عادة مساحة الإقليدية مثل الطائرة أو الفضاء ثلاثي الأبعاد) من قبل عناصر مجموعة محدودة، ودعا البلاط (على نحو أدق، فهي المدمجة الداخلية غير فارغة). عموما، نحن نعتبر تيلينغس عن طريق الترجمة، وهذا يعني أن اثنين من البلاط رصف نفسه هي دائما خصم من بعضها البعض عن طريق الترجمة (باستثناء التناوب أو التناظر). هناك أيضا تيسلاتيونس من الأماكن غير الإقليدية، والأكثر شهرة يجري دون شك في أرصفة عديدة من M.C. إيشر (تيسلاتيونس موحدة من الطائرة القطعي (في)).

تيسلاتيون المادية الحقيقية هي تبليط مصنوعة من مواد مثل مربعات السيراميك عززت أو السداسي. قد تكون مثل هذه الأسطح أنماطا زخرفية، أو قد تكون لها وظائف مثل توفير رصيف مقاوم للماء ومقاوم للماء، أو أرضيات أو أغطية الجدران. تاريخيا، كانت تيسلاتيونس تستخدم في روما القديمة وفي الفن الإسلامي مثل في البلاط الزخرفية هندسية من قصر الحمراء. في القرن العشرين، عمل M. C. إيشر في كثير من الأحيان استخدام تيسلاتيونس، سواء في الهندسة الإقليدية العادية والهندسة القطعي، للتأثير الفني. وتستخدم أحيانا تيسيلاتيونس لتأثير الزخرفية في اللحف. تيسلاتيونس تشكل فئة من أنماط في الطبيعة، على سبيل المثال في صفائف من الخلايا سداسية وجدت في أقراص العسل.

استخدم السومريون (حوالي 4000 قبل الميلاد) في زخارف الجدران التي شكلتها أنماط من بلاط الطين.

تم استخدام الفسيفساء الزخرفية المصنوعة من كتل صغيرة مربوطة تيسراي على نطاق واسع في العصور القديمة الكلاسيكية، وأحيانا عرض أنماط هندسية.

في عام 1619 أجرى يوهانس كيبلر دراسة موثقة في وقت مبكر من تيسلاتيونس. وكتب عن الأبجدية المنتظمة وشبه المنتظمة في كتابه هارمونيسز موندي. وربما كان أول من استكشاف وشرح الهياكل سداسية من العسل والثلج.

بعد حوالي مائتي عام في عام 1891، أثبت البلوغ الروسي يفغراف فيودوروف أن كل البلاط الدوري للطائرة يضم واحدة من سبع عشرة مجموعة مختلفة من إيسوميتريز. شكلت أعمال فيودوروف بداية غير رسمية للدراسة الرياضية للتسلسلات. ومن بين المساهمين البارزين الآخرين شوبنيكوف وبيلوف (1964)، وهاينريش هيسش وأوتو كينزل (1963).

في اللاتينية، تيسيلا هو قطعة مكعبة صغيرة من الطين، الحجر أو الزجاج المستخدمة لصنع الفسيفساء. كلمة “تيسيلا” تعني “مربع صغير” (من تيسيرا، مربع، والذي بدوره هو من الكلمة اليونانية τέσσερα لمدة أربعة). وهو يتوافق مع البلاط اليومي، والتي تشير إلى تطبيقات تيسلاتيونس، وغالبا ما تكون مصنوعة من الطين المزجج.

تيسلاتيون أو تبليط في بعدين هو موضوع في الهندسة التي تدرس كيف الأشكال، والمعروفة باسم البلاط، ويمكن ترتيب لملء طائرة من دون أي ثغرات، وفقا لمجموعة معينة من القواعد. هذه القواعد يمكن أن تكون متنوعة. الشائعة هي أنه يجب أن يكون هناك أي فجوات بين البلاط، وأنه لا ركن من البلاط واحد يمكن أن تقع على طول حافة أخرى. ال تيسلاتيونس التي أنشأتها الطوب المستعبدين لا تطيع هذه القاعدة. من بين تلك التي تفعل، تيسلاتيون العادية على حد سواء البلاط العادية متطابقة والزوايا العادية متطابقة أو القمم، وجود نفس الزاوية بين الحواف المجاورة لكل البلاط. هناك ثلاثة أشكال فقط يمكن أن تشكل مثل هذه تيسلاتيونس العادية: مثلث متساوي الأضلاع، مربع، ومسدس منتظم. أي واحد من هذه الأشكال الثلاثة يمكن تكرارها بلا حدود لملء طائرة مع عدم وجود ثغرات.

العديد من أنواع أخرى من تيسلاتيون ممكنة تحت قيود مختلفة. على سبيل المثال، هناك ثمانية أنواع من تيسلاتيون شبه العادية، مصنوعة من أكثر من نوع واحد من المضلع العادي ولكن لا تزال لديها نفس الترتيب من المضلعات في كل ركن. ويمكن أيضا تيسيلاتيونس غير النظامية أن تكون مصنوعة من الأشكال الأخرى مثل خماسي، بوليومينويس وفي الواقع تقريبا أي نوع من الشكل الهندسي. يشتهر الفنان M. C. إيشر بصنع تيسلاتيونس ببلاط متشابك غير منتظم، على شكل حيوانات وأشياء طبيعية أخرى. إذا تم اختيار الألوان المتناقضة مناسبة للبلاط من شكل مختلف، وتشكل أنماط ضرب، وهذه يمكن استخدامها لتزيين الأسطح المادية مثل الأرضيات الكنيسة.

وبشكل أكثر رسمية، فإن التلبيس أو البلاط هو غطاء للطائرة الإقليدية بواسطة عدد قابل للضبط من مجموعات مغلقة، تسمى البلاط، بحيث يتقاطع البلاط فقط على حدودها. قد تكون هذه البالعات مضلعات أو أي أشكال أخرى. يتم تشكيل العديد من تيسلاتيونس من عدد محدود من التكتلات التي تكون جميع البلاط في تيسلاتيون متطابقة مع مجموعات معينة. إذا كان الشكل الهندسي يمكن أن تستخدم كبديل لإنشاء تيسلاتيون، ويقال الشكل لتيسيلات أو لبلاط الطائرة. معيار كونواي هو مجموعة كافية ولكنها ليست ضرورية من القواعد لتحديد ما إذا كان شكل معين البلاط الطائرة بشكل دوري دون انعكاسات: بعض البلاط تفشل المعيار ولكن لا يزال البلاط الطائرة. لم يتم العثور على قاعدة عامة لتحديد ما إذا كان شكل معين يمكن بلاط الطائرة أم لا، مما يعني أن هناك العديد من المشاكل التي لم تحل فيما يتعلق تيسلاتيونس.

التصاميم الحد الأدنى منها لها نفس الشكل
والتحولات التي يجب تطبيقها على التصاميم الحد الأدنى للحصول على كل من المسامير اثنين هي نفسها
على سبيل المثال، في الصورة إلى الجانب نرى التنقيط مع متوازي الأضلاع قاعدة لها (مربع) وتصميمه الحد الأدنى (مستطيل مثلث). ويمكن الحصول على التنقيط عن طريق ترجمة الساحة، ولكن أيضا عن طريق ترجمة وتعكس المستطيل المثلث الوحيد. بدلا من ذلك، ليس هناك جزء أصغر من المثلث الذي يمكن إعادة إنشاء كل شرابة.

وقد ثبت أن الطبقات المضاعفة المنتظمة هي بالضبط 17. ولتصنيف أي مضاعفة، يكفي معرفة التحولات اللازمة لتوليدها من التصميم الأدنى، كما هو مبين في الجدول التالي:

كان التنقيط في التصويرية والفن التجريدي والهندسة المعمارية دائما وسيلة للجمع بين الجماليات،

من الناحية الرياضية، يمكن أن توسع تيسيلاتيونس إلى مساحات أخرى من الطائرة الإقليدية. وقد استطاعت الجيوديسية السويسرية لودفيغ سكلافلي من خلال تحديد بوليسشيمس، الذي يدرسه علماء الرياضيات في الوقت الحاضر. هذه هي نظائرها المضلعات و بوليهيدرا في المساحات مع مزيد من الأبعاد. وعرف كذلك رمز الرمز سكلفلي لجعل من السهل وصف المنتوجات. على سبيل المثال، رمز سكلافلي لمثلث متساوي الأضلاع هو {3}، في حين أن هذا لمربع هو {4}. تدوين سكلفلي يجعل من الممكن وصف تيلينغس مضغوط. على سبيل المثال، يحتوي البلاط السداسي المنتظم على ثلاثة مضلعات ذات ستة أحرف في كل قمة، لذلك فإن رمزه شلفلي هو {6،3}.

توجد طرق أخرى أيضا لوصف الأضلاع متعددة الأضلاع. عندما يتم إجراء تيسلاتيون من المضلعات العادية، والتدوين الأكثر شيوعا هو تكوين قمة الرأس، والتي هي ببساطة قائمة من عدد من جوانب المضلعات حول قمة الرأس. يحتوي البلاط المربعة على تكوين قمة الرأس 4.4.4.4 أو 44. لوحظ تبليط السداسي العادية 6.6.6 أو 6.

في الرياضيات:
علماء الرياضيات استخدام بعض المصطلحات التقنية عند مناقشة تيلينغس. حافة هي تقاطع بين اثنين من البلاط الحدودي. فإنه غالبا ما يكون خط مستقيم. A قمة الرأس هو نقطة تقاطع ثلاثة أو أكثر من البلاط المتاخمة. باستخدام هذه المصطلحات، تبليط إسوغونال أو قمة الرأس متعدية هو تبليط حيث كل نقطة قمة متماثلة. وهذا هو، ترتيب المضلعات حول كل قمة هو نفسه. المنطقة الأساسية هي شكل مثل المستطيل الذي يتكرر لتشكيل تيسلاتيون. على سبيل المثال، تيسلاتيون منتظم من الطائرة مع الساحات لديها اجتماع من أربعة مربعات في كل قمة.

جوانب المضلعات ليست بالضرورة متطابقة مع حواف البلاط. إن الحواف من الحافة إلى الحافة هي أي طبقة تيسلاتيون متعددة الأضلاع حيث لا يتشارك البلاط المتجاوب إلا جانبا واحدا كاملا، أي لا يشارك أي جزء من جانب جزئي أو أكثر من جانب مع أي بلاط آخر. في البلاط من الحافة إلى الحافة، والجوانب من المضلعات وحواف البلاط هي نفسها. إن بلاط “الجدار الطوب” المألوف ليس من الحافة إلى الحافة لأن الجانب الطويل من كل من الطوب المستطيل يشترك مع طوبين متجاورين.

البلاط العادي هو تيسلاتيون التي كل البلاط هو ما يعادل توبولوجيا لقرص، وتقاطع أي اثنين من البلاط هو مجموعة متصلة واحدة أو مجموعة فارغة، وجميع البلاط هي موحدة بشكل موحد. وهذا يعني أن دائرة نصف قطرها سيركومزكريبينغ واحد ونصف دائرة واحدة يمكن استخدامها لجميع البلاط في البلاط كله؛ فإن الشرط لا يسمح بالبلاط الذي يكون طويلا أو رقيقا.

A التبليط مونوهيدرال هو تيسلاتيون فيها كل البلاط هي متطابقة. لديها واحد فقط. وهناك نوع مثير للاهتمام بشكل خاص من تيسيلاتيون مونوهيدرال هو دوامة أحادية السطح تبليط. وقد اكتشف هاينز فودربيرغ في عام 1936 أول تبليط دوامة أحادية السطوح؛ فإن بلاط فودربيرج يحتوي على بلاط وحدة غير مسدود. أما بلاط هيرشورن، الذي نشره مايكل D. هيرشورن و دس هانت في عام 1985، فهو عبارة عن بلاط خماسي البنتاغون باستخدام خماسيات غير منتظمة: الخماسيات العادية لا يمكن أن ترسم الطائرة الإقليدية كزاوية داخلية من البنتاغون العادي، 3π / 5، ليست قسما قدره 2π .

تبليط إسوهدر هو تباين خاص من تبليط أحادية السطوح التي كل البلاط تنتمي إلى نفس الطبقة الانتقالية، وهذا هو، كل البلاط هي تحويلات من نفس بروتوتيل تحت مجموعة التماثل من البلاط. إذا كان يعترف بالبلاط تبليط، ولكن لا مثل هذا التبليط هو إسوهيدرال، ثم يسمى بروزوتيل أنيسوهيدرال وتشكل تيلينغس أنيسوهيدرال.

والتكسية العادية عبارة عن تبليط متناظر إلى حد كبير، من حافة إلى حافة مكون من المضلعات العادية، وكلها من نفس الشكل. هناك ثلاثة فقط تيسلاتيونس العادية: تلك التي تتكون من مثلثات متساوية الأضلاع، الساحات، أو السداسي العادية. كل ثلاثة من هذه تيلينغس هي إيسوغونال و مونوهيدرال.

بعض من تيلينغس أبيريوديك هي أقل من غيرها … وبعبارة أخرى، يمكن تقدير درجة أبيريوديسيتي.

وبهذه الطريقة، يمكننا أن نستشهد، على سبيل المثال، بمفاهيم تكرار وتكرار موحد (أو كواسيبيريوديسيتي).

ويقال أن البلاط يكون متكررا إذا، عندما يظهر نمط (مجموعة محدودة من البلاط) مرة واحدة، فإنه يظهر في أي مساحة كبيرة بما فيه الكفاية. إذا، وعلاوة على ذلك، يمكن للمرء أن إصلاح حجم هذه المنطقة وفقا لحجم النمط، ثم يقال رصف المتكررة بشكل متكرر (أو كواسيبيريوديك).

وبالتالي، فإن البلاط المتكرر بشكل متكرر من الطائرة هو أنه إذا نظرنا إلى أي نمط يظهر في دائرة نصف قطرها r تتبع على تبليط، ثم هناك عدد R بحيث يمكننا أن نتأكد من أن هذا النمط يظهر في أي دائرة من أي نصف قطرها R تتبع على الرصيف.

على وجه الخصوص، تيلينغس دورية متكررة بشكل متكرر (فورتيوري المتكررة). هذا هو الحال أيضا مع رصف بنروز. في الواقع، يمكن أن تظهر أنه إذا كانت مجموعة من البلاط يمهد الطائرة، فإنه يمكن أيضا تمهيد عليه بطريقة متكررة بشكل موحد (الدليل على أساس حجة قطري).

وتستخدم الطبقة شبه العادية (أو الأرشميدة) أكثر من نوع واحد من المضلع المنتظم في ترتيب إيسوغونال. هناك ثمانية تيلينغس شبه العادية (أو تسعة إذا كان زوج صورة المرآة من تيلينغس يهم اثنين). ويمكن وصف هذه من قبل تكوين قمة الرأس. على سبيل المثال، تبليط شبه منتظم باستخدام الساحات والمثمنات العادية لديها تكوين قمة الرأس 4.82 (كل قمة لها مربع واحد واثنين من مثمنة). العديد من الحافات غير الحافة إلى الحافة من الطائرة الإقليدية ممكنة، بما في ذلك الأسرة من تيلينغس فيثاغورس، تيسلاتيونس التي تستخدم اثنين (باراميتيريزد) الأحجام من مربع، كل مربع لمس أربعة مربعات من الحجم الآخر. تيسيلاتيون حافة هو واحد التي يمكن أن تنعكس كل البلاط على حافة لاتخاذ موقف البلاط المجاورة، كما هو الحال في مجموعة من مثلثات متساوية الأضلاع أو متساوي الأضلاع.

تيلينغس مع التماثل متعدية في اتجاهين مستقلين يمكن تصنيفها من قبل مجموعات ورق الجدران، منها 17 موجودة. وقد ادعي أن جميع سبعة عشر من هذه المجموعات ممثلة في قصر الحمراء في غرناطة، إسبانيا. على الرغم من أن هذا متنازع عليه، فإن تنوع وتطور قصر الحمراء قد فاجأ الباحثين الحديث. من ثلاثة تيلينغس العادية هما في مجموعة خلفية P6m واحد هو في P4m. تيلينغس في 2D مع التماثل متعدية في اتجاه واحد يمكن تصنيفها من قبل مجموعات إفريز سبعة تصف أنماط إفريز المحتملة. يمكن استخدام تدوين أوربيفولد لوصف مجموعات خلفية من الطائرة الإقليدية.

تعد تماثيل بنروز، التي تستخدم اثنين من الرباعية الرباعية المختلفة، أفضل مثال معروف على البلاط الذي يخلق أنماطا غير دورية بالقوة. أنها تنتمي إلى فئة عامة من تيلينغس أبيريوديك، والتي تستخدم البلاط التي لا يمكن تيسلات بشكل دوري. عملية التكرار من التبليط الاستبدال هو وسيلة لتوليد تيلينغس بيريريوديك. فئة واحدة التي يمكن أن تتولد في هذا الطريق هو ريب البلاط. هذه تيلينغس لها خصائص مثيرة للتكرار الذاتي المدهش. تيلينغس دولاب الموازنة هي غير دورية، وذلك باستخدام البناء ريب البلاط؛ وتظهر البلاط في العديد من التوجهات لا حصر له. قد يعتقد أن النمط غير الدوري سيكون تماما دون التماثل، ولكن هذا ليس كذلك. أما التماثل الأبيريوديك، في حين أنه يفتقر إلى التناظر متعدية، فإن له تماثل لأنواع أخرى، عن طريق التكرار اللانهائي لأي رقعة محصورة من التبليط وفي بعض المجموعات المحددة من التناوب أو انعكاسات تلك البقع. وهناك قاعدة بديلة، مثل يمكن استخدامها لتوليد بعض أنماط بنروز باستخدام التجميعات من البلاط يسمى القفزات، ويوضح التماثل التحجيم. ويمكن استخدام كلمة فيبوناتشي لبناء تبليط أبيريوديك، ودراسة البلورات الكلسية، والتي هي هياكل مع ترتيب بيريوديك.

البلاط وانغ هي الساحات الملونة على كل حافة، وضعت بحيث الحواف المتاخمة من البلاط المجاورة لها نفس اللون. وبالتالي فإنها تسمى أحيانا وانغ الدومينو. وهناك مجموعة مناسبة من الدومينو وانغ يمكن بلاط الطائرة، ولكن فقط أبيريوديكالي. وهذا معروف لأن أي آلة تورينج يمكن أن تمثل على أنها مجموعة من الدومينو وانغ أن البلاط الطائرة إذا وفقط إذا كان الجهاز تورينج لا يتوقف. منذ توقف المشكلة غير قابلة للتجزئة، ومشكلة تحديد ما إذا كان مجموعة دومينو وانغ يمكن بلاط الطائرة هو أيضا غير قابل للتجزئة.

البلاط تروشيت هي البلاط مربع مزينة أنماط حتى لم يكن لديك التناظر التناوب. في عام 1704، سيباستين تروشيت تستخدم تقسيم مربع مربع إلى مثلثين من الألوان المتناقضة. هذه يمكن البلاط الطائرة إما بشكل دوري أو عشوائيا.

في بعض الأحيان يتم فهم لون البلاط كجزء من البلاط. في أوقات أخرى قد يتم تطبيق الألوان التعسفية في وقت لاحق. عند مناقشة التبليط الذي يتم عرضه بالألوان، لتجنب الغموض واحد يحتاج إلى تحديد ما إذا كانت الألوان هي جزء من تبليط أو مجرد جزء من التوضيح. هذا يؤثر على ما إذا كان البلاط مع نفس الشكل ولكن ألوان مختلفة تعتبر متطابقة، وهذا بدوره يؤثر على أسئلة التناظر. نظرية الألوان الأربعة تنص على أنه لكل تيسلاتيون من طائرة الإقليدية العادية، مع مجموعة من أربعة الألوان المتاحة، كل البلاط يمكن أن تكون ملونة في لون واحد بحيث لا البلاط من لون متساو يجتمع في منحنى طول إيجابي. التلوين التي تضمنها نظرية أربعة ألوان لا تحترم عموما التماثل من تيسلاتيون. لإنتاج التلوين الذي يفعل، فمن الضروري لعلاج الألوان كجزء من تيسلاتيون. هنا، قد تكون هناك حاجة إلى ما يصل الى سبعة ألوان، كما هو الحال في الصورة على اليمين.

وبجوار المضلعات المختلفة بواسطة المضلعات العادية، تمت دراسة المسامير بواسطة المضلعات الأخرى.

أي مثلث أو رباعي (حتى غير محدب) يمكن أن تستخدم كبديل لتشكيل تيسلاتيون مونوهيدر، في كثير من الأحيان في أكثر من طريقة واحدة. يمكن أن تشكل نسخ من رباعي رباعي التعسفي تيسلاشيون مع التناظر متعدية والتناظر التناوب 2 أضعاف مع مراكز في نقاط الوسط من جميع الجوانب. لالرباعية غير المتماثلة هذا التبليط ينتمي إلى P2 مجموعة خلفية. كما المجال الأساسي لدينا الرباعية. على نحو متساو، يمكننا بناء متوازي الأضلاع تحت مجموعة صغيرة من ناقلات الترجمة، بدءا من مركز التناوب. يمكننا تقسيم هذا بواسطة قطري واحد، واتخاذ نصف (مثلث) كنطاق أساسي. مثل هذا المثلث له نفس المجال مثل الرباعية ويمكن بناؤها منه عن طريق القطع واللصق.

إذا كان مسموحا فقط باستخدام شكل واحد من البلاط، تيلينغس موجود مع محدب N-غونس ل N يساوي 3 و 4 و 5 و 6. ل N = 5، انظر تبليط بينتاغونال و N = 6، انظر تبليط سداسي.

للحصول على نتائج على تبليط الطائرة مع بوليومينويس، انظر بوليومينو § استخدامات بوليومينويس.

فورونوي أو دريشليت تيلينغس هي تيسلاتيونس حيث يتم تعريف كل البلاط كمجموعة من النقاط الأقرب إلى واحدة من النقاط في مجموعة منفصلة من نقاط تحديد. (فكر في المناطق الجغرافية حيث يتم تعريف كل منطقة على أنها جميع النقاط الأقرب إلى مدينة معينة أو مكتب بريد معين). خلية فورونوي لكل نقطة تعريف هي مضلع محدب. التثليث ديلوناي هو تيسلاتيون الذي هو الرسم البياني المزدوج من تيسلاتيون فورونوي. ديلاوناي تريانغولاتيونس مفيدة في المحاكاة العددية، ويرجع ذلك جزئيا لأنه بين جميع المثلثات الممكنة من النقاط المحددة، تريانونغولاتيونس ديلوناي تعظيم الحد الأدنى من الزوايا التي شكلتها الحواف. يمكن استخدام تيلينغس فورونوي مع نقاط وضعت عشوائيا لبناء تيلينغس عشوائية من الطائرة.

ويمكن تمديدها إلى ثلاثة أبعاد. ويمكن تكديس بعض الأقطاب المتعددة في نمط بلوري منتظم لملء الفراغ ثلاثي الأبعاد (أو البلاط)، بما في ذلك المكعب (متعدد الأضلاع الأفلاطوني الوحيد للقيام بذلك)، و دودكاهدرون المعين، وثماني أوكتاهدرون، والمثلثات، الرباعية، والسداسية ، من بين أمور أخرى. أي بولهيدرون الذي يناسب هذا المعيار هو المعروف بليزيوهدرون، ويمكن أن تمتلك ما بين 4 و 38 وجوه. وجدت دوديكاهدرا المعين طبيعيا كما بلورات أندراديت (نوع من العقيق) و فلوريت.

مثلث شوارتز هو المثلث الكروي الذي يمكن استخدامه لبلاط المجال.

تيسيلاتيونس في ثلاثة أو أكثر من أبعاد تسمى العسل. في ثلاثة أبعاد هناك واحد فقط العسل العادية، الذي يحتوي على ثمانية مكعبات في كل قمة متعددة الأطراف. وبالمثل، في ثلاثة أبعاد هناك واحد فقط العسل العسل، الذي يحتوي على ثمانية تيترايدرا وستة أوكتاهيدرا في كل قمة متعدد الأوجه. ومع ذلك، هناك العديد من العسل النحاسي ممكن في ثلاثة أبعاد. يمكن بناء بوليهيدرا موحدة باستخدام البناء ويثوف.

شميت كونواي ثنائية المحور هو محدب متعدد السطوح مع خاصية تبليط الفضاء فقط أبيريوديكالي.

ومن الممكن أن تيسلات في هندسية غير الإقليدية مثل الهندسة القطعي. إن التزييت المنتظم في المستوي القطعي (الذي قد يكون عاديا أو شبه دائري أو شبه دائري) هو ملء حافة القطعي من طرف إلى طرف، مع مضلعات منتظمة كوجوه؛ هذه هي عابر-متعدية (متعدية على القمم)، و إيسوغونال (هناك إيسوميتري رسم أي قمة الرأس على أي دولة أخرى).

العسل الموحد في الفضاء القطعي هو تيسلاتيون موحدة من خلايا متعددة السطوح موحدة. في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد هناك تسع عائلات مجموعة كوكسيتر من أقراص العسل المدمجة محدبة المدمجة، ولدت كما البناء ويثوف، ويمثلها التباديل من حلقات مخططات كوكسيتر لكل أسرة.

في العمارة:
في العمارة، وقد استخدمت تيسلاتيونس لخلق الزخارف الزخرفية منذ العصور القديمة. وكان الفسيفساء تيلينغس في كثير من الأحيان أنماط هندسية. كما استخدمت الحضارات في وقت لاحق بلاطا أكبر، إما عادي أو مزين بشكل فردي. وكان من أكثر الزخارف الزخرفية الجدار المعماري المغاربي للعمارة الإسلامية، وذلك باستخدام بلاط جيريه وزليج في مبان مثل قصر الحمراء ولا مزكيتا.

العجن في متحف إسطنبول للآثار: ليس من قبيل المصادفة أن الأرضيات تسمى أيضا الرصيف: في الواقع كل وسيلة ممكنة لتغطية أرضية مع تواريخ البلاط على شكل ليست أكثر من شرابة. هذا هو السبب في البلاط موجودة بالضرورة في معظم المباني المصنوعة في مسار التاريخ. على وجه الخصوص، وغالبا ما ينظر المسامير الملونة كوسيلة لتنشيط أرضية، أو جدار.

تشتهر الشرابة التي تغطي العديد من جدران مجمع الحمراء في غرناطة، ثمرة الفن العربي وأذواق الأسرة الوليدة: كان العرب دائما علماء عظيمين في الرياضيات والهندسة، وهذه المعرفة أيضا تنتشر فنهم، بحيث أرابيسك لا يزال يستخدم عادة للإشارة إلى الزخارف الزخرفية الهندسية.

في الفن:
الكثير من أعمال الفنان الهولندي موريتس كورنيليس إيشر هي شرابات، والتي عادة ما تكون النقاط الأسماك والطيور والخيول والخفافيش، ولكن أيضا الأرقام مجسم. لم يكرس إيشر قدرا كبيرا من الاهتمام فقط لتحقيق الخناجر التي تشبه في الواقع الحيوانات التي أراد تمثيلها، ولكن أيضا الدراسة الرياضية وفهرسة الدوتات، مقارنة نفسه مع علماء الرياضيات من وقته.

من وجهة نظره الرياضية، أعماله الأكثر جرأة هي على الأرجح تلك التي يصور الدوتات رتبت ليس على مستوى الإقليدية العادية ولكن تتحرك على الهندسة غير الإقليدية. على الرغم من أن هذه ليست منقط رسميا (منذ المسامير لا تتكرر فقط ولكن أيضا تحجيم)، المنطق الهندسي الأساسي هو نفسه، وتكييفها مع نموذج الهندسة غير الإقليدية المختار. على سبيل المثال، في سلسلة الحد دائرة الشهيرة يمكنك التعرف على مفاهيم خطة القطعي درسها هنري Poincaré.

ومن الملحوظ أيضا سلسلة “التحول”، التي يتلخص فيها إيشر في شريط طويل يعتم بالتناوب مع أشكال هندسية أخرى أو مرسومة باليد، مما يعطي فكرة أن القواعد الهندسية البسيطة في قاعدة المسامير موجودة في كل مكان وفي القاعدة من الطبيعة نفسها.

ظهرت تيسلاتيونس في كثير من الأحيان في فن الرسم من M. سيشر؛ كان مستوحى من الاستخدام المغاربي للتناظر في أماكن مثل قصر الحمراء عندما زار إسبانيا في عام 1936. وقدم إيشر أربعة رسومات “حدود الدائرة” من تيلينغس التي تستخدم الهندسة القطعي. بالنسبة لقطعته الخشبية “دائرة الحد الرابع” (1960)، أعد إيشر دراسة بالقلم الرصاص والحبر تبين الهندسة المطلوبة. وأوضح إيشر أنه “لا يوجد مكون واحد من كل هذه السلسلة، التي من ارتفاع لا نهائي بلا حدود مثل الصواريخ بشكل متعامد من الحد، وهي في الماضي فقدت في ذلك، تصل إلى خط الحدود”.

تصاميم تيسلاتد غالبا ما تظهر على المنسوجات، سواء المنسوجة، مخيط في أو المطبوعة. وقد استخدمت أنماط تيسيلاتيون لتصميم الأشكال المتشابكة من الأشكال التصحيح في لحاف.

تيسلاتيونس هي أيضا النوع الرئيسي في اوريغامي (طي الورق)، حيث يتم استخدام الطيات لربط الجزيئات مثل طيات تويست معا بطريقة متكررة.

في التصنيع:
ويستخدم تيسلاتيون في الصناعة التحويلية للحد من هدر المواد (خسائر الغلة) مثل الصفائح المعدنية عند قطع الأشكال للأشياء مثل أبواب السيارات أو علب المشروبات.

تيسلاتيون هو واضح في تشقق مودراك مثل الأفلام الرقيقة – مع وجود درجة من التنظيم الذاتي لوحظ باستخدام الصغرى والتكنولوجيا النانوية.

في الطبيعة:
العسل يوفر مثالا جيدا من تيسلاتيون في الطبيعة مع خلايا سداسية لها.

في علم النبات، مصطلح “تيسيلات” يصف نمط متقلب، على سبيل المثال على البتلة زهرة، لحاء شجرة، أو الفاكهة. الزهور بما في ذلك فريتيلاري وبعض أنواع كولشيكوم تيسيلات مميزة.

يتم تشكيل العديد من الأنماط في الطبيعة عن طريق الشقوق في صفائح من المواد. ويمكن وصف هذه الأنماط من قبل جيلبرت تيسلاتيونس، المعروف أيضا باسم شبكات الكراك العشوائية. و جيلبرت تيسلاتيون هو نموذج رياضي لتشكيل مودكراكس، بلورات إبرة مثل، وهياكل مماثلة. النموذج، واسمه إدغار جيلبرت، يسمح الشقوق لتشكيل بدءا من مبعثرة عشوائيا على متن الطائرة. ينشر كل شرخ في اتجاهين متعاكسين على طول خط من خلال نقطة البدء، ويتم تحديد منحدره عشوائيا، مما يؤدي إلى وجود تبلط مضلع محدب غير منتظم. تدفقات الحمم البازلتية غالبا ما تظهر ربط عمودي نتيجة لقوى الانكماش تسبب الشقوق كما يبرد الحمم البركانية. شبكات الكراك واسعة النطاق التي تطور غالبا ما تنتج أعمدة سداسية من الحمم البركانية. ومن الأمثلة على هذه المجموعة من الأعمدة جسر جيانت في أيرلندا الشمالية. الرصيف المخلوط، الذي يعتبر مثالا مميزا منها في إيغلهاوك نيك في شبه جزيرة تسمان في تسمانيا، هو تكوين صخري نادر رسوبي حيث تكسر الصخور في كتل مستطيلة الشكل.

تحدث أنماط طبيعية أخرى في الرغاوي. هذه هي معبأة وفقا لقوانين هضبة، والتي تتطلب الأسطح الدنيا. هذه الرغاوي تمثل مشكلة في كيفية حزم الخلايا بأقصى قدر ممكن: في عام 1887، اقترح لورد كلفن التعبئة باستخدام صلبة واحدة فقط، العسل مكعب بيترونكاتد مع وجوه منحنية قليلا. في عام 1993، اقترح دينيس وير وروبرت فيلان هيكل وير-فيلان، والذي يستخدم مساحة أقل لفصل الخلايا من حجم متساوي من رغوة كلفن.

في الألغاز والرياضيات الترفيهية:
وقد أدت تيسلاتيونس إلى العديد من أنواع لغز البلاط، من الألغاز بانوراما التقليدية (مع قطع غير منتظمة من الخشب أو الورق المقوى) و تانغرام إلى الألغاز أكثر حداثة التي غالبا ما يكون لها أساس رياضي. على سبيل المثال، بولياموندز و بوليومينويس هي الأرقام من المثلثات العادية والساحات، وغالبا ما تستخدم في الألغاز التبليط. وقد قام مؤلفون مثل هنري دوديني ومارتن غاردنر بالعديد من استخدامات تيسلاتيون في الرياضيات الترفيهية. على سبيل المثال، اخترع دوديني تشريح يتوقف، في حين كتب غاردنر عن ريب البلاط، وهو الشكل الذي يمكن تشريحها في نسخ أصغر من نفس الشكل. مستوحاة من مقالات غاردنر في سسينتيفيك أمريكان، وجد عالم الرياضيات الهواة مارجوري رايس أربعة تيسلاتيونس جديدة مع خماسي. تربع مربع هو مشكلة تبليط مربع متكامل (واحد الذي الجانبين طول صحيح) فقط باستخدام الساحات الأخرى متكاملة. تمديد هو تربيع الطائرة، وتبليط عليه من قبل الساحات التي أحجامها هي جميع الأرقام الطبيعية دون التكرار. أثبت جيمس وفريدريك هنلي أن هذا كان ممكنا.