Una teselación de una superficie plana es el mosaico de un plano utilizando una o más formas geométricas, llamadas mosaicos, sin superposiciones y sin espacios. En matemáticas, las teselaciones se pueden generalizar a dimensiones más altas y una variedad de geometrías.

Comparación de la relación área-perímetro entre triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular. El hex divide el plano con el perímetro mínimo utilizado para la porción de superficie cubierta. En la geometría plana, se denomina oscurecimiento (a veces inclinado o suelo) las formas de cubrir el plano con una o más figuras geométricas repetidas infinitamente sin superposición.

Estas figuras geométricas (llamadas «clavijas») a menudo son polígonos, regulares o no, pero también pueden tener lados curvos o no tienen vértice. La única condición que generalmente surge es que están conectados, simplemente conectados (es decir, son una sola pieza y no tienen agujeros).

Aunque esta condición puede parecer muy restrictiva, es prácticamente respetada por cualquier piso que pueda imaginarse. La razón por la cual es útil es que permite comparar toneladas de apariencia diferente entre sí.

La plantilla básica de paralelogramo, sin embargo, no es la forma más completa de clasificar los puntos regulares; conocer las medidas de sus ángulos y lados no nos permite certificar con certeza las características geométricas de nuestro oscurecimiento: puede suceder que haya una porción más pequeña del paralelogramo (más precisamente, una proporción del paralelogramo) con la cual es posible para reconstruir toda la decoración (ya no con la traducción única, sino también con otros isométricos).

Un mosaico periódico tiene un patrón de repetición. Algunos tipos especiales incluyen azulejos regulares con azulejos poligonales regulares todos de la misma forma, e inclinaciones semirregulares con azulejos regulares de más de una forma y con cada esquina idénticamente dispuesta. Los patrones formados por los ajustes periódicos se pueden categorizar en 17 grupos de fondos de pantalla. Un mosaico que carece de un patrón repetitivo se denomina «no periódico». Un mosaico aperiódico utiliza un pequeño conjunto de formas de teselas que no pueden formar un patrón repetitivo. En la geometría de dimensiones más altas, un relleno de espacio o nido de abeja también se llama teselación del espacio.

Un pavimento o pavimento es una partición de un espacio (generalmente un espacio euclidiano como el plano o espacio tridimensional) por elementos de un conjunto finito, llamados mosaicos (más precisamente, son compactos interiores no vacíos). En general, consideramos las imágenes incrustadas por las traducciones, es decir, que dos mosaicos de pavimentación iguales son siempre deducibles entre sí mediante una traducción (excluidas rotaciones o simetrías). También hay teselaciones de espacios no euclidianos, siendo el más famoso sin duda las numerosas aceras de M.C. Escher (teselaciones uniformes del plano hiperbólico (in)).

Una teselación física real es un mosaico hecho de materiales como cuadrados de cerámica cementada o hexágonos. Tales revestimientos pueden ser patrones decorativos, o pueden tener funciones tales como proporcionar pavimentos duraderos y resistentes al agua, revestimientos de pisos o paredes. Históricamente, las teselaciones se usaban en la Antigua Roma y en el arte islámico, como en el revestimiento geométrico decorativo del palacio de la Alhambra. En el siglo XX, el trabajo de M. C. Escher utilizó a menudo teselaciones, tanto en geometría euclidiana ordinaria como en geometría hiperbólica, para efectos artísticos. Las teselaciones se emplean a veces para efectos decorativos en el acolchado. Las teselaciones forman una clase de patrones en la naturaleza, por ejemplo, en las matrices de células hexagonales que se encuentran en los panales.

Los sumerios usaron essellations (alrededor de 4000 aC) para construir decoraciones de paredes formadas por patrones de baldosas de arcilla.

Los mosaicos decorativos hechos de pequeños bloques cuadrados llamados teselas se emplearon ampliamente en la antigüedad clásica, a veces mostrando patrones geométricos.

En 1619, Johannes Kepler realizó un estudio temprano documentado de mosaicos. Escribió sobre teselaciones regulares y semirregulares en su Harmonices Mundi; posiblemente fue el primero en explorar y explicar las estructuras hexagonales de nido de abeja y copos de nieve.

Unos doscientos años después, en 1891, el cristalógrafo ruso Yevgraf Fyodorov demostró que cada mosaico periódico del avión presenta uno de los diecisiete grupos diferentes de isometrías. El trabajo de Fyodorov marcó el comienzo no oficial del estudio matemático de teselaciones. Otros contribuidores prominentes incluyen Shubnikov y Belov (1964), y Heinrich Heesch y Otto Kienzle (1963).

En latín, tessella es una pequeña pieza cúbica de arcilla, piedra o vidrio utilizada para hacer mosaicos. La palabra «tessella» significa «cuadrado pequeño» (de tessera, cuadrado, que a su vez proviene de la palabra griega τέσσερα para cuatro). Corresponde al término común embaldosado, que se refiere a aplicaciones de teselaciones, a menudo hechas de arcilla vidriada.

La teselación o el mosaico en dos dimensiones es un tema en geometría que estudia cómo las formas, conocidas como mosaicos, se pueden organizar para llenar un plano sin espacios vacíos, de acuerdo con un conjunto dado de reglas. Estas reglas pueden ser variadas. Los más comunes son que no debe haber espacios entre los mosaicos, y que ninguna esquina de un azulejo puede estar a lo largo del borde de otro. Las teselaciones creadas por ladrillos unidos no obedecen esta regla. Entre los que sí lo tienen, un teselado regular tiene azulejos regulares idénticos e idénticas esquinas o vértices regulares, que tienen el mismo ángulo entre los bordes adyacentes para cada azulejo. Solo hay tres formas que pueden formar tales teselaciones regulares: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Cualquiera de estas tres formas se puede duplicar infinitamente para llenar un plano sin espacios vacíos.

Muchos otros tipos de teselación son posibles bajo diferentes restricciones. Por ejemplo, hay ocho tipos de teselados semi regulares, hechos con más de un tipo de polígono regular pero que aún tienen la misma disposición de polígonos en cada esquina. Las teselaciones irregulares también se pueden hacer a partir de otras formas, como pentágonos, poliminoides y, de hecho, casi cualquier tipo de forma geométrica. El artista M. C. Escher es famoso por hacer mosaicos con azulejos irregulares entrelazados, en forma de animales y otros objetos naturales. Si se eligen colores de contraste adecuados para las baldosas de diferentes formas, se forman patrones llamativos que pueden usarse para decorar superficies físicas, como los pisos de las iglesias.

Más formalmente, una teselación o mosaico es una cubierta del plano euclidiano por un número contable de conjuntos cerrados, llamados mosaicos, de modo que los mosaicos se cruzan solo en sus límites. Estas fichas pueden ser polígonos o cualquier otra forma. Muchas teselaciones se forman a partir de un número finito de prototipos en el que todas las teselas en la teselación son congruentes con los prototipos dados. Si se puede usar una forma geométrica como un prototipo para crear una teselación, se dice que la forma es de mosaico o de mosaico del plano. El criterio de Conway es un conjunto suficiente pero no necesario de reglas para decidir si una forma determinada le da al plano un plano periódicamente sin reflejos: algunos mosaicos no cumplen con el criterio pero siguen marcando el plano. No se ha encontrado ninguna regla general para determinar si una forma determinada puede formar o no un mosaico en el plano, lo que significa que hay muchos problemas no resueltos relacionados con los teselados.

los diseños mínimos respectivos tienen la misma forma
las transformaciones que deben aplicarse a los diseños mínimos para obtener cada uno de los dos tacos son los mismos
Por ejemplo, en la imagen al costado vemos un punto con su paralelogramo base (un cuadrado) y su diseño mínimo (un triángulo rectangular). El punteado puede obtenerse traduciendo el cuadrado, pero también traduciendo y reflejando el único rectángulo triangular. En cambio, no hay una porción más pequeña del triángulo con la que se pueda recrear toda la borla.

Está demostrado que las clases regulares de doblaje son exactamente 17. Para catalogar cualquier duplicación, es suficiente conocer las transformaciones necesarias para generarlo desde el diseño mínimo, como se muestra en la siguiente tabla:

Puntear en arte figurativo, abstracto y arquitectura siempre ha sido una forma de combinar la estética,

Matemáticamente, los teselados pueden extenderse a espacios distintos del plano euclidiano. El geómetra suizo Ludwig Schläfli fue pionero al definir los polischemas, que los matemáticos hoy en día llaman polítopos. Estos son los análogos a polígonos y poliedros en espacios con más dimensiones. Además, definió la notación de símbolos Schläfli para que sea más fácil describir los politopos. Por ejemplo, el símbolo Schläfli para un triángulo equilátero es {3}, mientras que para un cuadrado es {4}. La notación Schläfli hace posible describir las incrustaciones de manera compacta. Por ejemplo, un mosaico de hexágonos regulares tiene tres polígonos de seis lados en cada vértice, por lo que su símbolo Schläfli es {6,3}.

También existen otros métodos para describir revestimientos poligonales. Cuando el teselado está hecho de polígonos regulares, la notación más común es la configuración del vértice, que es simplemente una lista del número de lados de los polígonos alrededor de un vértice. El mosaico cuadrado tiene una configuración de vértice de 4.4.4.4 o 44. El mosaico de hexágonos regulares se anota 6.6.6 o 6.

En matemáticas:
Los matemáticos usan algunos términos técnicos cuando hablan de las cosas. Un borde es la intersección entre dos fichas adyacentes; a menudo es una línea recta. Un vértice es el punto de intersección de tres o más mosaicos adyacentes. Usando estos términos, un mosaico isogonal o vertex-transitivo es un mosaico donde cada punto de vértice es idéntico; es decir, la disposición de los polígonos sobre cada vértice es la misma. La región fundamental es una forma como un rectángulo que se repite para formar la teselación. Por ejemplo, una teselación regular del plano con cuadrados tiene una reunión de cuatro cuadrados en cada vértice.

Los lados de los polígonos no son necesariamente idénticos a los bordes de los mosaicos. Un mosaico de borde a borde es cualquier mosaico poligonal donde los mosaicos adyacentes solo comparten un lado completo, es decir, ningún mosaico comparte un lado parcial o más de un lado con cualquier otro mosaico. En un mosaico de borde a borde, los lados de los polígonos y los bordes de los mosaicos son los mismos. El mosaico familiar de «pared de ladrillos» no es de borde a borde porque el lado largo de cada ladrillo rectangular se comparte con dos ladrillos adyacentes.

Un mosaico normal es un teselado para el cual cada mosaico es topológicamente equivalente a un disco, la intersección de dos mosaicos es un único conjunto conectado o el conjunto vacío, y todos los mosaicos están uniformemente delimitados. Esto significa que se puede usar un solo radio de circunscripción y un solo radio de inscripción para todas las baldosas en todo el mosaico; la condición no permite baldosas que son patológicamente largas o delgadas.

Un mosaico monohúmedo es un teselado en el que todos los mosaicos son congruentes; tiene solo un prototipo. Un tipo de teselado monohédrico particularmente interesante es el mosaico en monohilo espiral. Heinz Voderberg descubrió el primer mosaico espiral monoédrico en 1936; el mosaico de Voderberg tiene un mosaico unitario que es un eneágono no convexo. El mosaico de Hirschhorn, publicado por Michael D. Hirschhorn y DC Hunt en 1985, es un mosaico del Pentágono que utiliza pentágonos irregulares: los pentágonos regulares no pueden formar el plano euclidiano como el ángulo interno de un pentágono regular, 3π / 5, no es un divisor de 2π .

Un mosaico isohédrico es una variación especial de un mosaico monohédrico en el que todos los mosaicos pertenecen a la misma clase de transitividad, es decir, todos los mosaicos son transformaciones del mismo prototipo bajo el grupo de simetría del mosaico. Si un prototipo admite un mosaico, pero dicho mosaico no es isoédrico, entonces el prototipo se denomina anisédrico y forma mosaicos anisoédricos.

Un teselado regular es un mosaico muy simétrico, de borde a borde formado por polígonos regulares, todos de la misma forma. Solo hay tres mosaicos regulares: los formados por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. Los tres elementos son isogonales y monohédricos.

Algunas de las incrustaciones aperiódicas son menos que otras … en otras palabras, el grado de aperiodicidad puede ser cuantificado.

De esta forma, podemos citar, por ejemplo, las nociones de recurrencia y recurrencia uniforme (o cuasiperiodicidad).

Se dice que un mosaico es recurrente si, cuando aparece un patrón (conjunto finito de mosaicos) una vez, aparece en cualquier área suficientemente grande. Si, además, uno puede fijar el tamaño de esta zona de acuerdo con el tamaño del patrón, entonces el pavimento se dice uniformemente recurrente (o cuasiperiódico).

Por lo tanto, un mosaico uniformemente recurrente del plano es tal que si consideramos que cualquier patrón aparece en un círculo de radio r trazado en el mosaico, entonces existe un número R tal que podemos estar seguros de que este patrón reaparece en cualquier círculo de radio R trazado en el pavimento.

En particular, las incrustaciones periódicas son uniformemente recurrentes (a fortiori recurrentes). Este es también el caso con pavimentación Penrose. De hecho, se puede demostrar que si un conjunto de mosaicos allana el plano, también puede pavimentarlo de manera uniformemente recurrente (la prueba se basa en un argumento diagonal).

Una teselación semi-regular (o arquimediana) usa más de un tipo de polígono regular en una disposición isogonal. Hay ocho mosaicos semi-regulares (o nueve si el par de mosaicos de la imagen especificada cuenta como dos). Estos pueden describirse por su configuración de vértices; por ejemplo, un mosaico semirregular que usa cuadrados y octágonos regulares tiene la configuración de vértice 4.82 (cada vértice tiene un cuadrado y dos octágonos). Muchos mosaicos no borde a borde del plano euclidiano son posibles, incluida la familia de mosaicos pitagóricos, teselados que usan dos tamaños (parametrizados) de cuadrados, cada cuadrado toca cuatro cuadrados del otro tamaño. Una teselación de borde es aquella en la que cada tesela se puede reflejar sobre un borde para tomar la posición de una tesela contigua, como en una matriz de triángulos equiláteros o isósceles.

Las inclinaciones con simetría traslacional en dos direcciones independientes se pueden categorizar por grupos de fondos de pantalla, de los cuales 17 existen. Se ha afirmado que los diecisiete de estos grupos están representados en el palacio de la Alhambra en Granada, España. Aunque esto se disputa, la variedad y la sofisticación de las tejas de la Alhambra han sorprendido a los investigadores modernos. De los tres mosaicos regulares, dos están en el grupo de fondo de pantalla de p6m y uno en p4m. Las inclinaciones en 2D con simetría de traslación en una sola dirección se pueden clasificar por los siete grupos de frisos que describen los posibles patrones de friso. La notación de Orbifold se puede usar para describir grupos de fondos de pantalla del plano euclidiano.

Los mosaicos de Penrose, que usan dos cuadriláteros diferentes, son el ejemplo más conocido de mosaicos que crean forzosamente patrones no periódicos. Pertenecen a una clase general de mosaicos aperiódicos, que utilizan mosaicos que no pueden teselarse periódicamente. El proceso recursivo de mosaico de sustitución es un método para generar incrustaciones aperiódicas. Una clase que se puede generar de esta manera es el rep-tiles; estos mosaicos tienen sorprendentes propiedades autorreplicantes. Las inserciones de molinete son no periódicas, usando una construcción de rep azulejo; las fichas aparecen en infinitas orientaciones. Se podría pensar que un patrón no periódico sería completamente sin simetría, pero esto no es así. Los mosaicos aperiódicos, aunque carecen de simetría traslacional, tienen simetrías de otros tipos, mediante la repetición infinita de cualquier parche delimitado del mosaico y en ciertos grupos finitos de rotaciones o reflejos de esos parches. Una regla de sustitución, como la que se puede usar para generar algunos patrones de Penrose utilizando conjuntos de mosaicos llamados rombos, ilustra la simetría de escala. Una palabra de Fibonacci puede usarse para construir un mosaico aperiódico y para estudiar cuasicristales, que son estructuras con un orden aperiódico.

Los cuadros de Wang son cuadrados coloreados en cada borde, y colocados de modo que los bordes contiguos de los mosaicos adyacentes tengan el mismo color; por lo tanto, a veces se llaman dominós Wang. Un juego adecuado de dominós Wang puede embaldosar el avión, pero solo de forma aperiódica. Esto se conoce porque cualquier máquina de Turing se puede representar como un conjunto de fichas de dominó de Wang que marcan el plano si y solo si la máquina de Turing no se detiene. Dado que el problema de detención es indecidible, el problema de decidir si un conjunto de dominó de Wang puede embaldosar el avión también es indecidible.

Las baldosas Truchet son baldosas cuadradas decoradas con patrones para que no tengan simetría rotacional; en 1704, Sébastien Truchet utilizó una baldosa cuadrada dividida en dos triángulos de colores contrastantes. Estos pueden proyectar el plano de forma periódica o aleatoria.

A veces, el color de un mosaico se entiende como parte del mosaico; en otras ocasiones, se pueden aplicar colores arbitrarios más adelante. Cuando se habla de un mosaico que se muestra en colores, para evitar la ambigüedad se debe especificar si los colores son parte del mosaico o solo parte de su ilustración. Esto afecta si las fichas con la misma forma pero diferentes colores se consideran idénticas, lo que a su vez afecta las cuestiones de simetría. El teorema de cuatro colores establece que para cada teselación de un plano euclidiano normal, con un conjunto de cuatro colores disponibles, cada mosaico se puede colorear en un color de forma tal que no se encuentren mosaicos de igual color en una curva de longitud positiva. La coloración garantizada por el teorema de cuatro colores generalmente no respeta las simetrías de la teselación. Para producir una coloración que sí lo haga, es necesario tratar los colores como parte de la teselación. Aquí, pueden necesitarse hasta siete colores, como en la imagen de la derecha.

Junto a los diversos mosaicos por polígonos regulares, también se han estudiado los mosaicos de otros polígonos.

Cualquier triángulo o cuadrilátero (incluso no convexo) se puede utilizar como un prototipo para formar una teselación monohúmeda, a menudo en más de una forma. Las copias de un cuadrilátero arbitrario pueden formar una teselación con simetría traslacional y simetría rotacional doble con centros en los puntos medios de todos los lados. Para un cuadrilátero asimétrico, este mosaico pertenece al grupo de fondos p2. Como dominio fundamental tenemos el cuadrilátero. Equivalentemente, podemos construir un paralelogramo subtendido por un conjunto mínimo de vectores de traducción, comenzando desde un centro de rotación. Podemos dividir esto por una diagonal, y tomar la mitad (un triángulo) como dominio fundamental. Dicho triángulo tiene la misma área que el cuadrilátero y puede construirse a partir de él cortando y pegando.

Si solo se permite una forma de mosaico, existen teselas con N-gons convexos para N igual a 3, 4, 5 y 6. Para N = 5, vea mosaico pentagonal y para N = 6, consulte Mosaico hexagonal.

Para obtener resultados sobre el mosaico del plano con poliminoides, consulte Polyomino § Usos de los poliminoides.

Los mosaicos de Voronoi o Dirichlet son mosaicos en los que cada mosaico se define como el conjunto de puntos más cercano a uno de los puntos en un conjunto discreto de puntos de definición. (Piense en las regiones geográficas donde cada región se define como todos los puntos más cercanos a una ciudad u oficina postal determinada). La celda de Voronoi para cada punto de definición es un polígono convexo. La triangulación de Delaunay es una teselación que es el gráfico dual de una teselación de Voronoi. Las triangulaciones de Delaunay son útiles en la simulación numérica, en parte porque entre todas las posibles triangulaciones de los puntos de definición, las triangulaciones de Delaunay maximizan el mínimo de los ángulos formados por los bordes. Las construcciones de Voronoi con puntos colocados al azar se pueden usar para construir revestimientos aleatorios del plano.

La teselación se puede extender a tres dimensiones. Ciertos poliedros se pueden apilar en un patrón de cristal regular para rellenar (o formar mosaicos) el espacio tridimensional, incluido el cubo (el único poliedro platónico para hacerlo), el rombododecaedro rómbico, el octaedro truncado y los prismas triangulares, cuadriláteros y hexagonales , entre otros. Cualquier poliedro que se ajuste a este criterio se conoce como plesioedro y puede tener entre 4 y 38 caras. Los dodecaedros rómbicos de origen natural se encuentran en forma de cristales de andradita (un tipo de granate) y fluorita.

Un triángulo de Schwarz es un triángulo esférico que se puede usar para formar una esfera.

Las teselaciones en tres o más dimensiones se llaman panales. En tres dimensiones, solo hay un panal de abejas regular, que tiene ocho cubos en cada vértice del poliedro. De manera similar, en tres dimensiones solo hay un panal cuasiregular, que tiene ocho tetraedros y seis octaedros en cada vértice del poliedro. Sin embargo, hay muchos posibles panales semirregulares en tres dimensiones. Los poliedros uniformes se pueden construir usando la construcción Wythoff.

El biprism de Schmitt-Conway es un poliedro convexo con la propiedad de embaldosar solo en forma aperiódica.

Es posible teselar en geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica. Un mosaico uniforme en el plano hiperbólico (que puede ser regular, cuasiregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico, con polígonos regulares como caras; estos son vértice-transitivos (transitivos en sus vértices) e isogonales (hay una isometría que mapea cualquier vértice en cualquier otro).

Un panal uniforme en el espacio hiperbólico es una teselación uniforme de células poliédricas uniformes. En el espacio hiperbólico tridimensional hay nueve familias del grupo Coxeter de panales uniformes convexos compactos, generados como construcciones Wythoff, y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia.

En Arquitectura:
En arquitectura, las teselaciones se han utilizado para crear motivos decorativos desde la antigüedad. Mosaicos mosaicos a menudo tenían patrones geométricos. Las civilizaciones posteriores también usaron baldosas más grandes, ya sea simples o decoradas individualmente. Algunos de los elementos más decorativos fueron los revestimientos de las paredes árabes de la arquitectura islámica, utilizando tejas Girih y Zellige en edificios como la Alhambra y La Mezquita.

Amasar en el Museo Arqueológico de Estambul: no es una coincidencia que el pavimento también se llame pavimento: de hecho, cada forma posible de cubrir un piso con fechas de azulejo en forma no es más que una borla. Es por eso que los mosaicos están necesariamente presentes en la mayoría de los edificios hechos en el curso de la historia. En particular, los pasadores coloreados a menudo se han visto como un medio de animar un piso o una pared.

Famosas son las borlas que cubren muchas paredes del complejo Alhambra en Granada, el fruto del arte árabe y los gustos de la dinastía naciente: los árabes siempre han sido grandes estudiosos de las matemáticas y la geometría, y ese conocimiento también impregna su arte, por lo que el arabesco todavía se usa comúnmente para indicar motivos geométricos decorativos.

En arte:
Gran parte de las obras del artista holandés Maurits Cornelis Escher son borlas, cuyos puntos suelen ser peces, pájaros, caballos, murciélagos, pero también figuras antropomórficas. Escher no solo dedicó gran atención a la realización de dagas que realmente se parecían a los animales que quería representar, sino también al estudio matemático y la catalogación de puntos, comparándose con los matemáticos de su época.

Desde su punto de vista matemático, sus obras más atrevidas son probablemente aquellas en las que representa puntos distribuidos no en un plano euclidiano ordinario sino que se mueven sobre una geometría no euclidiana. Aunque no están formalmente punteados (dado que los pasadores no solo se repiten sino que también se escalan), el razonamiento geométrico básico es el mismo, adaptado al modelo de geometría no euclidiana elegido. Por ejemplo, en la famosa serie Circle Limit puedes reconocer los postulados del plan hiperbólico estudiado por Henri Poincaré.

También es destacable la serie Metamorphosis, en la que Escher concatena en una tira larga diferentes atenuaciones alternando con otros motivos geométricos o dibujados a mano, dando así la idea de que las reglas geométricas simples en la base de los tacos están presentes en todas partes y en la base de la naturaleza misma.

Las teselaciones frecuentemente aparecían en el arte gráfico de M. C. Escher; se inspiró en el uso de la simetría de los moriscos en lugares como la Alhambra cuando visitó España en 1936. Escher hizo cuatro dibujos «Circle Limit» de mosaicos que usan geometría hiperbólica. Para su grabado en madera «Circle Limit IV» (1960), Escher preparó un estudio de lápiz y tinta que muestra la geometría requerida. Escher explicó que «ningún componente individual de todas las series, que desde un lugar infinitamente lejano se elevan como cohetes perpendicularmente desde el límite y finalmente se pierden en él, siempre llega a la línea límite».

Los diseños teselados a menudo aparecen en los textiles, ya sean tejidos, cosidos o impresos. Los patrones de teselación se han utilizado para diseñar motivos entrelazados de formas de parches en edredones.

Las teselaciones son también un género principal en el origami (plegado de papel), donde los pliegues se utilizan para conectar moléculas como pliegues de torsión juntas de forma repetida.

En la fabricación:
La teselación se usa en la industria manufacturera para reducir el desperdicio de material (pérdidas de rendimiento) como la chapa metálica al cortar formas para objetos como puertas de automóviles o latas de bebidas.

La teselación es aparente en el agrietamiento tipo mudcrack de películas delgadas, con un grado de autoorganización que se observa utilizando micro y nanotecnologías.

En naturaleza:
El panal proporciona un ejemplo bien conocido de teselación en la naturaleza con sus células hexagonales.

En botánica, el término «tessellate» describe un patrón a cuadros, por ejemplo, en un pétalo de una flor, corteza de árbol o fruta. Las flores que incluyen el fritillary y algunas especies de Colchicum son característicamente teseladas.

Muchos patrones en la naturaleza están formados por grietas en láminas de materiales. Estos patrones pueden describirse mediante teselaciones de Gilbert, también conocidas como redes de crack aleatorio. El teselado de Gilbert es un modelo matemático para la formación de mudcracks, cristales en forma de aguja y estructuras similares. El modelo, que lleva el nombre de Edgar Gilbert, permite que se formen grietas a partir de dispersas al azar en el plano; cada grieta se propaga en dos direcciones opuestas a lo largo de una línea a través del punto de inicio, su pendiente elegida al azar, creando una teselación de polígonos convexos irregulares. Los flujos de lava basáltica a menudo muestran una unión columnar como resultado de fuerzas de contracción que causan grietas a medida que la lava se enfría. Las extensas redes de crack que se desarrollan a menudo producen columnas hexagonales de lava. Un ejemplo de este tipo de columnas es el Giant’s Causeway en Irlanda del Norte. El pavimento teselado, un ejemplo característico del cual se encuentra en Eaglehawk Neck en la península de Tasmania en Tasmania, es una rara formación de roca sedimentaria donde la roca se ha fracturado en bloques rectangulares.

Otros patrones naturales ocurren en las espumas; estos se embalan según las leyes de Plateau, que requieren superficies mínimas. Tales espumas presentan un problema en cómo empacar las celdas lo más apretadamente posible: en 1887, Lord Kelvin propuso una empaquetadura usando solo un sólido, el panal cúbico bitruncado con caras ligeramente curvadas. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan propusieron la estructura Weaire-Phelan, que usa menos área superficial para separar celdas de igual volumen que la espuma de Kelvin.

En acertijos y matemática recreativa:
Las teselaciones han dado lugar a muchos tipos de rompecabezas de mosaico, desde rompecabezas tradicionales (con trozos irregulares de madera o cartón) y el tangram a acertijos más modernos que a menudo tienen una base matemática. Por ejemplo, polyiamonds y polyominoes son figuras de triángulos y cuadrados regulares, a menudo utilizados en acertijos de mosaico. Autores como Henry Dudeney y Martin Gardner han hecho muchos usos del teselado en matemáticas recreativas. Por ejemplo, Dudeney inventó la disección con bisagras, mientras que Gardner escribió sobre el rep-tile, una forma que puede diseccionarse en copias más pequeñas de la misma forma. Inspirada en los artículos de Gardner en Scientific American, la matemática amateur Marjorie Rice encontró cuatro nuevos teselados con pentágonos. Cuadrar el cuadrado es el problema de embaldosar un cuadrado integral (uno cuyos lados tienen una longitud entera) usando solo otros cuadrados integrales. Una extensión cuadra el plano, alicantándolo con cuadrados cuyos tamaños son todos números naturales sin repeticiones; James y Frederick Henle demostraron que esto era posible.