Dynamique

La dynamique est la branche des mathématiques appliquées (en particulier la mécanique classique) consacrée à l’étude des forces et des couples et de leurs effets sur le mouvement, par opposition à la cinématique, qui étudie le mouvement des objets sans référence à ces forces. Isaac Newton a défini les lois physiques fondamentales qui régissent la dynamique de la physique, en particulier sa deuxième loi du mouvement.

Histoire
L’une des premières réflexions sur les causes du mouvement est due au philosophe grec Aristote; qui définit le mouvement, la dynamique, comme:.:

L’acte de réalisation, d’une capacité ou possibilité d’être du pouvoir, pendant qu’il est mis à jour.

En revanche, contrairement à l’approche actuelle, Aristote inverse l’étude de la cinématique et de la dynamique en étudiant d’abord les causes du mouvement, puis le mouvement des corps. Cette approche a entravé l’avancée de la connaissance du phénomène du mouvement jusqu’à, en premier lieu, Saint Albert le Grand, qui a signalé cette difficulté, et finalement à Galilée Galilée et à Isaac Newton. En effet, Thomas Bradwardine, en 1328, a présenté dans son De proportionibus velocitatum in motibusa une loi mathématique qui liait la vitesse au rapport des motifs aux forces de résistance; son travail a influencé la dynamique médiévale pendant deux siècles, mais, pour ce que l’on a appelé un accident mathématique dans la définition du mot «augmenter», son travail a été abandonné et n’a pas été reconnu historiquement de son temps.

Les expériences de Galilée sur des corps uniformément accélérés ont amené Newton à formuler ses lois fondamentales du mouvement, qu’il a présentées dans son ouvrage principal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Les scientifiques actuels pensent que les lois de Newton apportent les bonnes réponses à la plupart des problèmes liés aux corps en mouvement, mais il existe des exceptions. En particulier, les équations pour décrire le mouvement ne conviennent pas lorsqu’un corps se déplace à grande vitesse par rapport à la vitesse de la lumière ou lorsque la taille des objets est extrêmement petite, comparable à celle de la taille.

Principes
En général, les chercheurs impliqués dans la dynamique étudient la manière dont un système physique pourrait se développer ou se modifier au fil du temps et étudient les causes de ces changements. De plus, Newton a établi les lois physiques fondamentales qui régissent la dynamique de la physique. En étudiant son système de mécanique, la dynamique peut être comprise. En particulier, la dynamique est principalement liée à la deuxième loi du mouvement de Newton. Cependant, les trois lois du mouvement sont prises en compte car elles sont liées dans une observation ou une expérience donnée.

Dynamique linéaire et rotationnelle
L’étude de la dynamique relève de deux catégories: linéaire et rotationnelle. La dynamique linéaire concerne les objets se déplaçant dans une ligne et implique des quantités telles que la force, la masse / l’inertie, le déplacement (en unités de distance), la vitesse (distance par unité de temps), l’accélération (distance par unité de temps au carré) et la quantité de mouvement unité de vitesse). La dynamique rotationnelle concerne les objets qui tournent ou se déplacent dans une trajectoire courbe et fait intervenir des quantités telles que couple, moment d’inertie / inertie de rotation, déplacement angulaire (en radians ou moins souvent, degrés), vitesse angulaire (radians par unité de temps), accélération (radians par unité de temps au carré) et moment cinétique (moment d’inertie fois unité de vitesse angulaire). Très souvent, les objets présentent un mouvement linéaire et en rotation.

Pour l’électromagnétisme classique, les équations de Maxwell décrivent la cinématique. La dynamique des systèmes classiques impliquant à la fois la mécanique et l’électromagnétisme est décrite par la combinaison des lois de Newton, des équations de Maxwell et de la force de Lorentz.

Force de
Newton, la force peut être définie comme un effort ou une pression pouvant entraîner l’accélération d’un objet. Le concept de force est utilisé pour décrire une influence qui accélère un corps (objet) libre. Il peut s’agir d’une poussée ou d’une traction, qui fait qu’un objet change de direction, a une nouvelle vitesse ou se déforme de manière temporaire ou permanente. De manière générale, la force provoque un changement d’état de mouvement d’un objet.

Les lois de
Newton Newton a décrit la force comme la capacité de provoquer l’accélération d’une masse. Ses trois lois peuvent être résumées comme suit:

Première loi: S’il n’y a pas de force nette sur un objet, sa vitesse est constante. Soit l’objet est au repos (si sa vitesse est égale à zéro), soit il se déplace à vitesse constante dans une seule direction.
Deuxième loi: le taux de variation de la quantité de mouvement linéaire P d’un objet est égal à la force nette F net, c’est-à-dire, P / dt = F net.
Troisième loi: lorsqu’un premier corps exerce une force F 1 sur un deuxième corps, le deuxième corps exerce simultanément une force F 2 = – F 1 sur le premier corps. Cela signifie que F 1 et F 2 sont égaux en magnitude et opposés en direction.

Les lois du mouvement de Newton ne sont valables que dans un cadre de référence inertiel.

Calcul en dynamique
Dans la mécanique classique et la mécanique relativiste, au moyen des concepts de déplacement, de vitesse et d’accélération, il est possible de décrire les mouvements d’un corps ou d’un objet sans tenir compte de la façon dont ils ont été produits, une discipline appelée cinématique. Au contraire, la mécanique s’occupe de l’étude du mouvement des corps soumis à l’action des forces. Dans les systèmes quantiques, la dynamique nécessite une approche différente en raison des implications du principe d’incertitude.

Le calcul dynamique est basé sur l’approche par équation du mouvement et son intégration. Pour des problèmes extrêmement simples, les équations de la mécanique newtonienne directement assistées par des lois de conservation sont utilisées. En mécanique classique et relativiste, l’équation essentielle de la dynamique est la deuxième loi de Newton (ou loi de Newton-Euler) sous la forme:

où F est la somme des forces et p la quantité de mouvement. L’équation ci-dessus est valable pour une particule rigide ou un solide. Pour un support continu, vous pouvez écrire une équation basée sur celle-ci qui doit être remplie localement. En théorie de la relativité générale, il n’est pas trivial de définir le concept de force résultant de la courbure de l’espace-temps. En mécanique quantique non relativiste, si le système est conservateur, l’équation fondamentale est l’équation de Schrödinger:

Lois de conservation Les lois de
conservation peuvent être formulées en termes de théorèmes établissant dans quelles conditions concrètes une quantité donnée est “conservée” (c’est-à-dire que sa valeur reste constante au fil du temps, à mesure que le système bouge ou change avec le temps). Outre la loi de conservation de l’énergie, les autres lois de conservation importantes prennent la forme de théorèmes vectoriels. Ces théorèmes sont:

Le théorème de la quantité de mouvement, qui exige, pour un système de particules ponctuelles, que les forces des particules ne dépendent que de la distance qui les sépare et soient dirigées en fonction de la ligne qui les relie. En mécanique des milieux continus et en mécanique du solide rigide, des théorèmes vectoriels de conservation de la quantité de mouvement peuvent être formulés.

Le théorème du moment cinétique établit que dans des conditions similaires au précédent théorème vectoriel, la somme des moments de force par rapport à un axe est égale à la variation temporelle du moment cinétique. En particulier, le lagrangien du système.

Ces théorèmes établissent dans quelles conditions l’énergie, la quantité de mouvement ou le moment cinétique sont des grandeurs conservées. Ces lois de conservation permettent parfois de trouver plus simplement l’évolution de l’état physique d’un système, souvent sans qu’il soit nécessaire d’intégrer directement les équations différentielles du mouvement.

Equations de mouvement
Il existe plusieurs façons de proposer des équations de mouvement permettant de prédire l’évolution dans le temps d’un système mécanique en fonction des conditions initiales et des forces en jeu. En mécanique classique, plusieurs formulations sont possibles pour proposer des équations:

La mécanique newtonienne qui recourt à l’écriture directe d’équations différentielles ordinaires du second ordre en termes de forces et de coordonnées cartésiennes. Ce système conduit à des équations difficiles à intégrer par des moyens élémentaires et n’est utilisé que dans des problèmes extrêmement simples, utilisant généralement des systèmes de référence inertiels.

En mécanique lagrangienne, cette méthode utilise également des équations différentielles ordinaires du second ordre, mais permet l’utilisation de coordonnées totalement générales, appelées coordonnées généralisées, qui conviennent mieux à la géométrie du problème. De plus, les équations sont valables dans tout système de référence, qu’il s’agisse d’une inertie ou non. En plus d’obtenir des systèmes plus facilement intégrables, le théorème de Noether et des transformations de coordination, nous pouvons trouver des intégrales de mouvement, également appelées lois de conservation, plus simplement que l’approche newtonienne.
La mécanique hamiltonienne est semblable à la précédente, mais les équations du mouvement sont des équations différentielles ordinaires du premier ordre. En outre, le nombre de transformations de coordonnées autorisées est beaucoup plus large que dans la mécanique lagrangienne, ce qui facilite encore la recherche d’intégraux de mouvement et de quantités conservées.

La méthode Hamilton-Jacobi est une méthode basée sur la résolution d’une équation différentielle en dérivées partielles par la méthode de séparation des variables, qui est le moyen le plus simple lorsqu’un ensemble approprié d’intégrales de mouvement est connu.

En mécanique relativiste, les trois dernières approches sont possibles, en plus d’une approche directe de problèmes simples, analogue à de nombreuses méthodes de la mécanique newtonienne. De même, la mécanique des médias continus admet les approches lagrangienne et hamiltonienne, bien que le formalisme sous-jacent soit un système classique ou relativiste, il est nettement plus compliqué que dans le cas des systèmes rigides à particules et solides (ces derniers ont un nombre fini de degrés). la liberté, contrairement à un milieu continu). Enfin, la mécanique quantique, à la fois non-relativiste et relativiste, requiert également un formalisme mathématique remarquablement plus complexe qui implique généralement l’utilisation d’espaces de Hilbert, même pour les systèmes à nombre de degrés de liberté fini.

Dynamique des systèmes mécaniques
En physique, il existe deux types importants de systèmes physiques: les systèmes à particules finies et les champs. L’évolution temporelle de la première peut être décrite par un ensemble fini d’équations différentielles ordinaires, c’est pourquoi on dit qu’elle a un nombre fini de degrés de liberté. D’autre part, l’évolution dans le temps des champs nécessite un ensemble d’équations complexes. Dans les dérivées partielles, et dans un certain sens informel, elles se comportent comme un système de particules avec un nombre infini de degrés de liberté.

La plupart des systèmes mécaniques sont du premier type, bien qu’il existe également des systèmes mécaniques décrits plus simplement comme des champs, comme pour les fluides ou les solides déformables. Il arrive également que certains systèmes mécaniques formés idéalement par un nombre infini de points matériels, tels que les solides rigides, puissent être décrits par un nombre fini de degrés de liberté.

Dynamique de la particule
La dynamique du point matériel fait partie de la mécanique newtonienne dans laquelle les systèmes sont analysés en tant que systèmes de particules ponctuelles et où des forces instantanées sont exercées à distance.

Dans la théorie de la relativité, il n’est pas possible de traiter un ensemble de particules chargées dans une interaction mutuelle, en utilisant simplement la position des particules à chaque instant, car dans ce cadre, on considère que les actions à distance violent la causalité physique. Dans ces conditions, la force exercée sur une particule, due aux autres, dépend des positions passées de la même.

Dynamique du solide rigide
La mécanique d’un solide rigide étudie le mouvement et l’équilibre des solides, en ignorant leurs déformations. C’est donc un modèle mathématique utile pour étudier une partie de la mécanique des solides, car tous les solides réels sont déformables. Par solide rigide, on entend un ensemble de points d’espace qui se déplacent de telle sorte que les distances qui les séparent ne sont pas modifiées, quelle que soit la force qui s’exerce (mathématiquement, le mouvement d’un solide rigide est donné par un groupe uniparamtrique d’isométries).

Dynamique des milieux continus et théorie des champs
En physique, il existe d’autres entités telles que les milieux continus (solides déformables et fluides) ou les champs (gravitationnel, électromagnétique, etc.) qui ne peuvent pas être décrites par un nombre fini de coordonnées qui caractérisent l’état du système. . En général, des fonctions définies sont requises sur un domaine ou une région de quatre domaines. Le traitement de la mécanique classique et de la mécanique relativiste des milieux continus nécessite l’utilisation d’équations différentielles en dérivées partielles, ce qui pose des difficultés d’analyse bien plus perceptibles que celles rencontrées dans les systèmes à nombre de coordonnées ou degrés de liberté finis (qu’ils peuvent souvent traités comme des systèmes d’équations différentielles ordinaires).

Concepts liés à la dynamique

Inertie L’
inertie est la propriété des corps de ne pas modifier leur état de repos ou leur mouvement uniforme s’ils ne sont pas influencés par d’autres corps ou si l’action d’autres corps est compensée.

En physique, on dit qu’un système a plus d’inertie lorsqu’il est plus difficile de modifier son état physique. Les deux utilisations les plus fréquentes en physique sont l’inertie mécanique et l’inertie thermique. Le premier d’entre eux apparaît dans la mécanique et est une mesure de la difficulté à changer l’état de mouvement ou de repos d’un corps. L’inertie mécanique dépend de la quantité de masse et du tenseur d’inertie du corps. L’inertie thermique mesure la difficulté avec laquelle un corps change de température en étant en contact avec d’autres corps ou en étant chauffé. L’inertie thermique dépend de la masse et de la capacité calorifique.

Les forces dites inertielles sont des forces fictives ou apparentes pour un observateur dans un système de référence non inertiel.

La masse inertielle est une mesure de la résistance d’une masse au changement de vitesse par rapport à un système de référence inertiel. En physique classique, la masse inertielle de particules ponctuelles est définie au moyen de l’équation suivante, où la particule 1 est prise comme unité ( ):


où mi est la masse d’inertie de la particule i et i1 l’accélération initiale de la particule i, dans la direction de la particule i vers la particule 1, dans un volume occupé uniquement par les particules i et 1, où les deux particules sont initialement au repos et en une unité de distance. Il n’y a pas de forces externes mais les particules exercent des forces les unes sur les autres.

Travail et énergie
Le travail et l’énergie affichés par les théorèmes de l’énergie mécanique. Le principal, et à partir duquel les autres théorèmes sont dérivés, est le théorème de l’énergie cinétique. Ce théorème peut être énoncé dans une version différentielle ou dans une version intégrale. A partir de maintenant, il sera fait référence au théorème de l’énergie cinétique en tant que TEC.

Grâce à TEC, une relation peut être établie entre la mécanique et d’autres sciences, telles que la chimie et le génie électrique, d’où son importance vitale.

Force et potentiel

La mécanique des particules ou des milieux continus a des formulations légèrement différentes en mécanique classique, relativiste et quantique. Dans chacun d’eux, les causes du changement sont représentées par des forces ou des concepts dérivés tels que l’énergie potentielle associée au système de forces. Dans les deux premiers cas, le concept de force est utilisé à la base, alors qu’en mécanique quantique, il est plus fréquent de poser les problèmes d’énergie potentielle. La force résultante sur un système mécanique classique est liée à la variation de la quantité de mouvement par la relation simple:

Lorsque le système mécanique est également conservateur, l’énergie potentielle est liée à l’énergie cinétique. Associée au mouvement dans la relation:

En mécanique relativiste, les relations ci-dessus ne sont pas valides si t fait référence à la composante temporelle mesurée par un observateur, mais si t est interprété comme le temps de l’observateur, alors elles sont valides. En mécanique classique, étant donné le caractère absolu du temps, il n’y a pas de réelle différence entre le temps de l’observateur et ses coordonnées temporelles.

Systèmes dynamiques
La théorie des systèmes dynamiques est une branche des mathématiques étroitement liée à la théorie des équations différentielles et à la théorie du chaos qui étudie les propriétés qualitatives des équations d’évolution dynamique.

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