Dinámica

La dinámica es la rama de las matemáticas aplicadas (específicamente la mecánica clásica) relacionada con el estudio de las fuerzas y los pares y su efecto en el movimiento, a diferencia de la cinemática, que estudia el movimiento de objetos sin hacer referencia a estas fuerzas. Isaac Newton definió las leyes físicas fundamentales que gobiernan la dinámica en la física, especialmente su segunda ley del movimiento.

Historia
Una de las primeras reflexiones sobre las causas del movimiento se debe al filósofo griego Aristóteles; que definía el movimiento, la dinámica, como:.

El acto de realización, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, mientras se está actualizando.

Por otro lado, a diferencia del enfoque actual, Aristóteles invierte el estudio de la cinemática y la dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y luego el movimiento de los cuerpos. Este enfoque obstaculizó el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento hasta que, en primera instancia, San Alberto Magno, quien fue quien señaló esta dificultad, y finalmente a Galileo Galilei e Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su De Proporibus velocitatum en motibusa la ley matemática que vinculaba la velocidad con la proporción de motivos y fuerzas de resistencia; Su trabajo influyó en la dinámica medieval durante dos siglos, pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición de “aumento”, su trabajo fue descartado y no se le dio reconocimiento histórico en su época.

Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton a formular sus leyes fundamentales del movimiento, que presentó en su trabajo principal, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Los científicos actuales creen que las leyes de Newton dan las respuestas correctas a la mayoría de los problemas relacionados con los cuerpos en movimiento, pero hay excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeño en comparación con los tamaños.

Principios
En términos generales, los investigadores involucrados en la dinámica estudian cómo un sistema físico podría desarrollarse o alterarse con el tiempo y estudiar las causas de esos cambios. Además, Newton estableció las leyes físicas fundamentales que gobiernan la dinámica en la física. Al estudiar su sistema de mecánica, se puede entender la dinámica. En particular, la dinámica está relacionada principalmente con la segunda ley del movimiento de Newton. Sin embargo, las tres leyes del movimiento se tienen en cuenta porque están interrelacionadas en cualquier observación o experimento dado.

Dinámica lineal y rotacional
El estudio de la dinámica se divide en dos categorías: lineal y rotacional. La dinámica lineal pertenece a los objetos que se mueven en una línea e involucra cantidades tales como fuerza, masa / inercia, desplazamiento (en unidades de distancia), velocidad (distancia por unidad de tiempo), aceleración (distancia por unidad de tiempo al cuadrado) y momento (masa por tiempo). unidad de velocidad). La dinámica rotacional pertenece a los objetos que giran o se mueven en una trayectoria curva e involucran cantidades tales como torque, momento de inercia / inercia rotacional, desplazamiento angular (en radianes o menos a menudo, grados), velocidad angular (radianes por unidad de tiempo), angular aceleración (radianes por unidad de tiempo al cuadrado) y momento angular (momento de inercia por unidad de velocidad angular). Muy a menudo, los objetos exhiben movimiento lineal y rotacional.

Para el electromagnetismo clásico, las ecuaciones de Maxwell describen la cinemática. La dinámica de los sistemas clásicos que involucran tanto la mecánica como el electromagnetismo se describen mediante la combinación de las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz.

Fuerza
De Newton, la fuerza se puede definir como un esfuerzo o presión que puede hacer que un objeto se acelere. El concepto de fuerza se usa para describir una influencia que hace que un cuerpo libre (objeto) se acelere. Puede ser un empuje o un tirón, lo que hace que un objeto cambie de dirección, tenga una nueva velocidad o se deforme temporal o permanentemente. En términos generales, la fuerza hace que cambie el estado de movimiento de un objeto.

Las leyes de
Newton Newton describió la fuerza como la capacidad de hacer que una masa se acelere. Sus tres leyes se pueden resumir de la siguiente manera:

Primera ley: si no hay fuerza neta en un objeto, entonces su velocidad es constante. O bien el objeto está en reposo (si su velocidad es igual a cero), o se mueve con velocidad constante en una sola dirección.
Segunda ley: la tasa de cambio del momento lineal P de un objeto es igual a la fuerza neta F neta, es decir, P / dt = F neta.
Tercera ley: cuando un primer cuerpo ejerce una fuerza F 1 en un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce simultáneamente una fuerza F 2 = – F 1 en el primer cuerpo. Esto significa que F 1 y F 2 son iguales en magnitud y opuestos en dirección.

Las leyes del movimiento de Newton solo son válidas en un marco de referencia inercial.

Cálculo en dinámica
En mecánica clásica y mecánica relativista, mediante los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo se han producido, una disciplina conocida como cinemática. Por el contrario, la mecánica se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas. En los sistemas cuánticos, la dinámica requiere un enfoque diferente debido a las implicaciones del principio de incertidumbre.

El cálculo dinámico se basa en el enfoque de la ecuación del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente simples, se utilizan las ecuaciones de la mecánica newtoniana ayudadas directamente por las leyes de conservación. En la mecánica clásica y relativista, la ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) en la forma:

donde F es la suma de las fuerzas y p la cantidad de movimiento. La ecuación anterior es válida para una partícula rígida o un sólido. Para un medio continuo, puede escribir una ecuación basada en ella que debe cumplirse localmente. En teoría de la relatividad general, no es trivial definir el concepto de fuerza resultante de la curvatura del espacio-tiempo. En la mecánica cuántica no relativista, si el sistema es conservador, la ecuación fundamental es la ecuación de Schrödinger:

Leyes de conservación Las leyes de
conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué condiciones concretas se “conserva” una cantidad determinada (es decir, se mantiene constante en valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la ley de conservación de la energía, las otras leyes de conservación importantes toman la forma de teoremas vectoriales. Estos teoremas son:

El teorema del momento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas dependan solo de la distancia entre ellas y se dirijan de acuerdo con la línea que las une. En la mecánica de medios continuos y la mecánica del sólido rígido, se pueden formular teoremas vectoriales de conservación del momento.

El teorema del momento cinético establece que bajo condiciones similares al teorema vectorial anterior, la suma de los momentos de fuerza con respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular. En particular, el lagrangiano del sistema.

Estos teoremas establecen bajo qué condiciones la energía, la cantidad de movimiento o el momento cinético son magnitudes conservadas. Estas leyes de conservación a veces permiten encontrar de manera más sencilla la evolución del estado físico de un sistema, a menudo sin la necesidad de integrar directamente las ecuaciones diferenciales del movimiento.

Ecuaciones de movimiento
Hay varias formas de proponer ecuaciones de movimiento que permiten predecir la evolución a lo largo del tiempo de un sistema mecánico basado en las condiciones iniciales y las fuerzas que actúan. En mecánica clásica hay varias formulaciones posibles para proponer ecuaciones:

La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema lleva a ecuaciones difíciles de integrar por medios elementales y solo se usa en problemas extremadamente simples, generalmente usando sistemas de referencia inerciales.

En la mecánica lagrangiana, este método también utiliza ecuaciones diferenciales de segundo orden ordinarias, pero permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adaptan mejor a la geometría del problema. Además, las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia, ya sea inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables, el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas, podemos encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más simplemente que el enfoque newtoniano.
La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior, pero en ella las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Además, el rango de transformaciones de coordenadas permitidas es mucho más amplio que en la mecánica lagrangiana, lo que hace que sea aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.

El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que es el medio más simple cuando se conoce un conjunto apropiado de integrales de movimiento.

En la mecánica relativista, los tres últimos enfoques son posibles, además de un enfoque directo a problemas simples que es análogo a muchos métodos de la mecánica newtoniana. Asimismo, la mecánica de los medios continuos admite enfoques lagrangianos y hamiltonianos, aunque el formalismo subyacente es un sistema clásico o relativista, es notablemente más complicado que en el caso de las partículas rígidas y los sistemas sólidos (estos últimos tienen un número finito de grados). libertad, a diferencia de un medio continuo). Finalmente, la mecánica cuántica, tanto no relativista como relativista, también requiere un formalismo matemático notablemente más complejo que usualmente involucra el uso de espacios de Hilbert incluso para sistemas con un número finito de grados de libertad.

Dinámica de los sistemas mecánicos
En física hay dos tipos importantes de sistemas físicos: sistemas y campos de partículas finitas. La evolución en el tiempo de la primera se puede describir mediante un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, por lo que se dice que tiene un número finito de grados de libertad. Por otro lado, la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal, se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad.

La mayoría de los sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también hay sistemas mecánicos que se describen más simplemente como campos, como con fluidos o sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos de material, como los sólidos rígidos, pueden describirse por un número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula
La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y las fuerzas instantáneas se ejercen a distancia.

En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en interacción mutua, simplemente usando las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones remotas violan la causalidad física. En estas condiciones, la fuerza sobre una partícula, debido a las otras, depende de las posiciones pasadas de la misma.

Dinámica del sólido rígido
La mecánica de un sólido rígido es una que estudia el movimiento y el equilibrio de los sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Es, por lo tanto, un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de los sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Sólido rígido se entiende como un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que las distancias entre ellos no se alteran, sea cual sea la fuerza que actúe (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Dinámica continua de los medios y teoría de campos
En física, existen otras entidades, como los medios continuos (sólidos deformables y fluidos) o campos (gravitacionales, electromagnéticos, etc.) que no se pueden describir mediante un número finito de coordenadas que caracterizan el estado del sistema. . En general, se requieren funciones definidas sobre un dominio o región de cuatro dominios. El tratamiento de la mecánica clásica y la mecánica relativista de los medios continuos requiere el uso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo que causa dificultades analíticas mucho más notables que las encontradas en sistemas con un número finito de coordenadas o grados de libertad (que a menudo pueden ser tratados como sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias).

Conceptos relacionados con la dinámica.

Inercia La
inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento uniforme, si no están influenciados por otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos es compensada.

En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando es más difícil lograr un cambio en su estado físico. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia térmica. El primero de ellos aparece en la mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia del cuerpo. La inercia térmica mide la dificultad con que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o calentarse. La inercia térmica depende de la cantidad de masa y capacidad de calor.

Las llamadas fuerzas inerciales son fuerzas ficticias o aparentes para un observador en un sistema de referencia no inercial.

La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio de velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En la física clásica, la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como unidad ( ):


donde mi es la masa inercial de la partícula i, e i1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado solo por las partículas i y 1, donde ambas partículas están inicialmente en reposo y en una unidad de distancia. No hay fuerzas externas, pero las partículas ejercen fuerzas unas sobre otras.

Trabajo y energía
El trabajo y la energía mostrados por los teoremas de energía mecánica. El principal, y de donde se derivan los otros teoremas, es el teorema de la energía cinética. Este teorema puede establecerse en una versión diferencial o en una versión integral. A partir de ahora, se hará referencia al Teorema de la energía cinética como TEC.

Gracias a TEC, se puede establecer una relación entre la mecánica y otras ciencias, como la química y la ingeniería eléctrica, de la que deriva su importancia vital.

Fuerza y ​​potencial

La mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica. En todos ellos, las causas del cambio están representadas por fuerzas o conceptos derivados, como la energía potencial asociada con el sistema de fuerzas. En los dos primeros, el concepto de fuerza se usa fundamentalmente, mientras que en la mecánica cuántica es más frecuente plantear los problemas en términos de energía potencial. La fuerza resultante sobre un sistema mecánico clásico está relacionada con la variación de la cantidad de movimiento por la relación simple:

Cuando el sistema mecánico también es conservador, la energía potencial está relacionada con la energía cinética asociada con el movimiento a través de la relación:

En la mecánica relativista, las relaciones anteriores no son válidas si t se refiere al componente temporal medido por cualquier observador, pero si t se interpreta como el propio tiempo del observador, entonces son válidas. En la mecánica clásica, dado el carácter absoluto del tiempo, no hay una diferencia real entre el propio tiempo del observador y su coordenada temporal.

Sistemas dinámicos
La teoría de los sistemas dinámicos es una rama de las matemáticas, estrechamente relacionada con la teoría de las ecuaciones diferenciales y la teoría del caos que estudia las propiedades cualitativas de las ecuaciones de la evolución dinámica.

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