Dinamica

La dinamica è il ramo della matematica applicata (in particolare la meccanica classica) che si occupa dello studio delle forze e delle coppie e del loro effetto sul movimento, al contrario della cinematica, che studia il moto degli oggetti senza riferimento a queste forze. Isaac Newton definì le leggi fisiche fondamentali che governano la dinamica in fisica, in particolare la sua seconda legge del moto.

Storia
Una delle prime riflessioni sulle cause del movimento è dovuta al filosofo greco Aristotele; che ha definito il movimento, la dinamica, come:.:
L’atto di realizzazione, di una capacità o possibilità di essere potere, mentre viene aggiornato.

D’altra parte, a differenza dell’attuale approccio, Aristotele inverte lo studio della cinematica e della dinamica, studiando prima le cause del movimento e poi il movimento dei corpi. Questo approccio ostacolò il progresso nella conoscenza del fenomeno del movimento fino a quando, in prima istanza, S. Alberto Magno, fu colui che indicò questa difficoltà, e in definitiva a Galileo Galilei e Isaac Newton.Infatti, Thomas Bradwardine, nel 1328, presentò nel suo De proportionibus velocitatum in motibusa la legge matematica che collegava la velocità con il rapporto tra motivi e forze di resistenza; la sua opera ha influenzato la dinamica medievale per due secoli, ma, per quello che è stato definito un incidente matematico nella definizione di “aumento”, il suo lavoro è stato scartato e ai suoi giorni non è stato dato alcun riconoscimento storico.

Gli esperimenti di Galileo su corpi uniformemente accelerati portarono Newton a formulare le sue leggi fondamentali del moto, che presentò nella sua opera principale Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Gli scienziati attuali credono che le leggi di Newton diano le giuste risposte alla maggior parte dei problemi relativi ai corpi in movimento, ma ci sono delle eccezioni. In particolare, le equazioni per descrivere il movimento non sono adatte quando un corpo viaggia a velocità elevate rispetto alla velocità della luce o quando gli oggetti sono di dimensioni estremamente piccole paragonabili alle dimensioni.

I principi
In generale, i ricercatori coinvolti nelle dinamiche studiano come un sistema fisico potrebbe svilupparsi o modificarsi nel tempo e studiare le cause di tali cambiamenti. Inoltre, Newton ha stabilito le leggi fisiche fondamentali che governano la dinamica in fisica. Studiando il suo sistema di meccanica, la dinamica può essere compresa. In particolare, la dinamica è principalmente correlata alla seconda legge del moto di Newton. Tuttavia, tutte e tre le leggi del movimento sono prese in considerazione perché sono correlate in ogni osservazione o esperimento.

Dinamica lineare e rotazionale
Lo studio della dinamica rientra in due categorie: lineare e rotazionale. La dinamica lineare riguarda oggetti che si muovono in una linea e coinvolge quantità come forza, massa / inerzia, spostamento (in unità di distanza), velocità (distanza per unità di tempo), accelerazione (distanza per unità di tempo al quadrato) e quantità di moto (tempi di massa unità di velocità). La dinamica rotazionale riguarda oggetti che ruotano o si muovono in un percorso curvo e coinvolgono quantità quali la coppia, momento d’inerzia / inerzia rotazionale, spostamento angolare (in radianti o meno spesso, gradi), velocità angolare (radianti per unità di tempo), angolare accelerazione (radianti per unità di tempo al quadrato) e momento angolare (momento di inerzia per unità di velocità angolare). Molto spesso, gli oggetti mostrano movimento lineare e rotatorio.

Per l’elettromagnetismo classico, le equazioni di Maxwell descrivono la cinematica. Le dinamiche dei sistemi classici che coinvolgono sia la meccanica che l’elettromagnetismo sono descritte dalla combinazione delle leggi di Newton, delle equazioni di Maxwell e della forza di Lorentz.

Vigore
Da Newton, la forza può essere definita come uno sforzo o una pressione che può far accelerare un oggetto. Il concetto di forza è usato per descrivere un’influenza che fa accelerare un corpo (oggetto) libero. Può essere una spinta o una trazione, che fa sì che un oggetto cambi direzione, abbia nuova velocità o si deformi temporaneamente o permanentemente. In generale, la forza fa cambiare lo stato di movimento di un oggetto.

Le leggi di Newton
Newton descrisse la forza come la capacità di accelerare una massa. Le sue tre leggi possono essere riassunte come segue:

Prima legge: se non c’è forza netta su un oggetto, la sua velocità è costante. O l’oggetto è a riposo (se la sua velocità è uguale a zero), o si muove con velocità costante in un’unica direzione.

Seconda legge: la velocità di variazione della quantità di moto lineare P di un oggetto è uguale alla forza n rete F , ovvero d P / dt = F netto .

Terza legge: quando un primo corpo esercita una forza F 1 su un secondo corpo, il secondo corpo esercita contemporaneamente una forza F 2 = – F 1 sul primo corpo. Ciò significa che F 1 e F 2 sono uguali in grandezza e opposti in direzione.

Le leggi del moto di Newton sono valide solo in un sistema di riferimento inerziale.

Calcolo in dinamica
Nella meccanica classica e nella meccanica relativistica, attraverso i concetti di spostamento, velocità e accelerazione è possibile descrivere i movimenti di un corpo o di un oggetto senza considerare come sono stati prodotti, una disciplina nota come cinematica. Al contrario, la meccanica si occupa dello studio del movimento dei corpi sottoposti all’azione delle forze. Nei sistemi quantistici le dinamiche richiedono un approccio diverso a causa delle implicazioni del principio di indeterminazione.

Il calcolo dinamico si basa sull’approccio dell’equazione del movimento e della sua integrazione. Per problemi estremamente semplici vengono utilizzate le equazioni della meccanica newtoniana direttamente aiutate dalle leggi di conservazione. Nella meccanica classica e relativistica, l’equazione essenziale della dinamica è la seconda legge di Newton (o la legge di Newton-Eulero) nella forma:

dove F è la somma delle forze e p la quantità di movimento. L’equazione precedente è valida per una particella rigida o solida, per un mezzo continuo è possibile scrivere un’equazione basata su di essa che deve essere soddisfatta localmente. In teoria della relatività generale non è banale definire il concetto di forza risultante dalla curvatura dello spazio-tempo. Nella meccanica quantistica non relativistica, se il sistema è conservativo l’equazione fondamentale è l’equazione di Schrödinger:

Leggi di conservazione
Le leggi di conservazione possono essere formulate in termini di teoremi che stabiliscono in quali condizioni concrete una data quantità è “conservata” (cioè, rimane costante nel valore nel tempo man mano che il sistema si muove o cambia nel tempo). Oltre alla legge di conservazione dell’energia, le altre importanti leggi di conservazione prendono la forma di teoremi vettoriali. Questi teoremi sono:

Il teorema della quantità di moto, che per un sistema di particelle puntuali richiede che le forze delle particelle dipendano solo dalla distanza tra loro e siano dirette in base alla linea che le unisce. Nella meccanica dei media continui e della meccanica del solido rigido, possono essere formulati teoremi vettoriali di conservazione del momento.

Il teorema del momento cinetico stabilisce che in condizioni simili al precedente teorema vettoriale, la somma dei momenti di forza rispetto ad un asse è uguale alla variazione temporale del momento angolare. In particolare, la Lagrangiana del sistema.

Questi teoremi stabiliscono in quali condizioni l’energia, la quantità di movimento o il momento cinetico sono magnitudini conservate. Queste leggi di conservazione a volte permettono di trovare in modo più semplice l’evoluzione dello stato fisico di un sistema, spesso senza la necessità di integrare direttamente le equazioni differenziali del movimento.

Equazioni di movimento
Esistono diversi modi di proporre equazioni di movimento che consentono di predire l’evoluzione nel tempo di un sistema meccanico basato sulle condizioni iniziali e sulle forze che agiscono. Nella meccanica classica ci sono diverse possibili formulazioni per proporre equazioni:

La meccanica newtoniana che ricorre alla scrittura di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine in termini di forze e in coordinate cartesiane. Questo sistema porta a equazioni difficili da integrare con mezzi elementari e viene utilizzato solo in problemi estremamente semplici, solitamente utilizzando sistemi di riferimento inerziali.

La meccanica lagrangiana, questo metodo usa anche ordinarie equazioni differenziali del secondo ordine, ma consente l’uso di coordinate totalmente generali, chiamate coordinate generalizzate, che sono più adatte alla geometria del problema. Inoltre, le equazioni sono valide in qualsiasi sistema di riferimento, che si tratti di inerzia o meno. Oltre ad ottenere sistemi integrabili più facilmente, il teorema di Noether e le trasformazioni di coordinate, possiamo trovare integrali di movimento, chiamati anche leggi di conservazione, più semplicemente dell’approccio newtoniano.

La meccanica hamiltoniana è simile alla precedente, ma in essa le equazioni del moto sono equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Inoltre, la gamma di trasformazioni di coordinate consentite è molto più ampia rispetto alla meccanica lagrangiana, il che rende ancora più facile trovare integrali di movimento e quantità conservate.
Il metodo Hamilton-Jacobi è un metodo basato sulla risoluzione di un’equazione differenziale in derivate parziali mediante il metodo di separazione delle variabili, che è il mezzo più semplice quando è noto un insieme appropriato di integrali di movimento.

Nella meccanica relativistica sono possibili gli ultimi tre approcci, oltre ad un approccio diretto ai problemi semplici che è analogo a molti metodi della meccanica newtoniana. Allo stesso modo, i meccanismi dei media continui ammettono approcci lagrangiano e hamiltoniano, sebbene il formalismo sottostante sia un sistema classico o relativistico, è notevolmente più complicato che nel caso di sistemi rigidi di particelle e solidi (questi ultimi hanno un numero finito di gradi). libertà, a differenza di un mezzo continuo). Infine, la meccanica quantistica, sia non relativistica che relativistica, richiede anche un formalismo matematico notevolmente più complesso che di solito comporta l’uso di spazi di Hilbert anche per sistemi con un numero finito di gradi di libertà.

Dinamica dei sistemi meccanici
In fisica ci sono due tipi importanti di sistemi fisici: sistemi e campi di particelle finiti. L’evoluzione nel tempo del primo può essere descritta da un insieme finito di equazioni differenziali ordinarie, motivo per cui si dice che abbia un numero finito di gradi di libertà. D’altra parte, l’evoluzione nel tempo dei campi richiede un insieme di equazioni complesse. In derivate parziali, e in un certo senso informale, si comportano come un sistema di particelle con un numero infinito di gradi di libertà.
La maggior parte dei sistemi meccanici sono del primo tipo, sebbene esistano anche sistemi meccanici descritti più semplicemente come campi, come con fluidi o solidi deformabili. Accade anche che alcuni sistemi meccanici idealmente formati da un numero infinito di punti materiali, come i solidi rigidi, possano essere descritti da un numero finito di gradi di libertà.

Dinamica della particella
La dinamica del punto materiale è una parte della meccanica newtoniana in cui i sistemi vengono analizzati come sistemi di particelle puntiformi e le forze istantanee vengono esercitate a distanza.

Nella teoria della relatività non è possibile trattare un insieme di particelle cariche nell’interazione reciproca, semplicemente usando le posizioni delle particelle in ogni istante, poiché in tale quadro si considera che le azioni remote violano la causalità fisica. In queste condizioni la forza su una particella, dovuta alle altre, dipende dalle posizioni passate della stessa.

Dinamica del solido rigido
La meccanica di un solido rigido è quella che studia il movimento e l’equilibrio dei solidi materiali ignorando le loro deformazioni. È, quindi, un modello matematico utile per studiare una parte della meccanica dei solidi, poiché tutti i solidi reali sono deformabili. Il solido rigido è inteso come un insieme di punti dello spazio che si muovono in modo tale che le distanze tra di loro non siano alterate, qualunque sia la forza che agisce (matematicamente, il movimento di un solido rigido è dato da un gruppo uniparamtrico di isometrie).

Dinamica dei media continua e teoria dei campi
In fisica ci sono altre entità come i media continui (deformabili e solidi fluidi) o campi (gravitazionali, elettromagnetici, ecc.) Che non possono essere descritti da un numero finito di coordinate che caratterizzano lo stato del sistema. In generale, sono necessarie funzioni definite su un dominio o una regione a quattro domini. Il trattamento della meccanica classica e la meccanica relativistica dei media continui richiede l’uso di equazioni differenziali nelle derivate parziali, il che fa sì che le difficoltà analitiche siano molto più evidenti di quelle che si trovano in sistemi con un numero finito di coordinate o gradi di libertà (che spesso possono essere trattati come sistemi di equazioni differenziali ordinarie).

Concetti relativi alla dinamica

Inerzia
L’inerzia è la proprietà dei corpi di non modificare il loro stato di riposo o di movimento uniforme, se non sono influenzati da altri corpi o se l’azione di altri corpi è compensata.

In fisica si dice che un sistema ha più inerzia quando è più difficile ottenere un cambiamento nello stato fisico di esso. I due usi più frequenti in fisica sono l’inerzia meccanica e l’inerzia termica. Il primo di essi appare in meccanica ed è una misura della difficoltà a cambiare lo stato di movimento o il riposo di un corpo. L’inerzia meccanica dipende dalla quantità di massa e di inerzia del corpo.L’inerzia termica misura la difficoltà con cui un corpo cambia la sua temperatura essendo in contatto con altri corpi o riscaldato. L’inerzia termica dipende dalla quantità di massa e dalla capacità termica.

Le cosiddette forze inerziali sono forze fittizie o apparenti per un osservatore in un sistema di riferimento non inerziale.

La massa inerziale è una misura della resistenza di una massa al cambiamento di velocità in relazione a un sistema di riferimento inerziale. Nella fisica classica la massa inerziale delle particelle puntiformi è definita mediante la seguente equazione, dove la particella 1 è presa come unità (  ):

dove m i è la massa inerziale della particella i, e i1 è l’accelerazione iniziale della particella i, nella direzione della particella i verso la particella 1, in un volume occupato solo dalle particelle i e 1, dove entrambe le particelle sono inizialmente a riposo e a distanza. Non ci sono forze esterne ma le particelle esercitano forze l’una sull’altra.

Lavoro ed energia
Il lavoro e l’energia mostrati dai teoremi dell’energia meccanica. Il principio, e da cui derivano gli altri teoremi, è il teorema dell’energia cinetica. Questo teorema può essere affermato in una versione differenziale o in una versione integrale. D’ora in poi, si farà riferimento al Teorema dell’energia cinetica come TEC.

Grazie a TEC, è possibile stabilire una relazione tra la meccanica e altre scienze, come la chimica e l’ingegneria elettrica, da cui deriva la sua importanza vitale.

Forza e potenziale
I meccanismi delle particelle o dei media continui hanno formulazioni leggermente diverse nella meccanica classica, nella meccanica relativistica e nella meccanica quantistica. In tutte queste, le cause del cambiamento sono rappresentate da forze o concetti derivati ​​come l’energia potenziale associata al sistema di forze. Nei primi due il concetto di forza è usato fondamentalmente, mentre nella meccanica quantistica è più frequente porre i problemi in termini di energia potenziale. La forza risultante  su un sistema meccanico classico è correlata alla variazione della quantità di movimento  dalla semplice relazione:

Quando il sistema meccanico è anche conservatore dell’energia potenziale  è correlato all’energia cinetica  Associato al movimento attraverso la relazione:

Nella meccanica relativistica le relazioni di cui sopra non sono valide se t si riferisce alla componente temporale misurata da un qualsiasi osservatore, ma se t è interpretato come il tempo proprio dell’osservatore, allora sono validi. Nella meccanica classica, dato il carattere assoluto del tempo, non vi è alcuna reale differenza tra il tempo dell’osservatore e la sua coordinata temporale.

Sistemi dinamici
La teoria dei sistemi dinamici è una branca della matematica, strettamente correlata alla teoria delle equazioni differenziali e alla teoria del caos che studia le proprietà qualitative delle equazioni dell’evoluzione dinamica.

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