Dynamik

Dynamik ist der Zweig der angewandten Mathematik (speziell der klassischen Mechanik), der sich mit der Untersuchung von Kräften und Drehmomenten und ihrer Wirkung auf die Bewegung befasst, im Gegensatz zur Kinematik, die die Bewegung von Objekten ohne Bezug zu diesen Kräften untersucht. Isaac Newton definierte die grundlegenden physikalischen Gesetze, die die Dynamik in der Physik bestimmen, insbesondere sein zweites Bewegungsgesetz.

Geschichte
Eine der ersten Überlegungen zu den Bewegungsursachen geht auf den griechischen Philosophen Aristoteles zurück; welche die Bewegung, die Dynamik definiert als:.:

Der Erkenntnisakt einer Fähigkeit oder Möglichkeit, Macht zu sein, während sie aktualisiert wird.

Andererseits kehrt Aristoteles im Gegensatz zum derzeitigen Ansatz das Studium der Kinematik und Dynamik um und untersucht zunächst die Ursachen der Bewegung und dann die Bewegung des Körpers. Diese Herangehensweise behinderte den Fortschritt in der Kenntnis des Bewegungsphänomens, bis zunächst der hl. Albert der Große, der auf diese Schwierigkeit hinwies, und schließlich Galileo Galilei und Isaac Newton. In der Tat stellte Thomas Bradwardine im Jahre 1328 in seinem mathematischen Gesetz “De proportionibus velocitatum” mathematische Gesetze vor, die Geschwindigkeit mit dem Verhältnis der Motive zu den Widerstandskräften in Verbindung brachten; sein Werk beeinflusste die mittelalterliche Dynamik für zwei Jahrhunderte, aber wegen eines mathematischen Unfalls in der Definition von “Zunahme” wurde sein Werk verworfen und erhielt zu seiner Zeit keine historische Anerkennung.

Galileos Experimente an gleichmäßig beschleunigten Körpern führten Newton dazu, seine grundlegenden Bewegungsgesetze zu formulieren, die er in seinem Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica vorstellte.

Aktuelle Wissenschaftler glauben, dass die Newtonschen Gesetze die richtigen Antworten auf die meisten Probleme im Zusammenhang mit sich bewegenden Körpern geben, es gibt jedoch Ausnahmen. Insbesondere sind Gleichungen zur Beschreibung der Bewegung nicht geeignet, wenn sich ein Körper mit hoher Geschwindigkeit in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit bewegt oder wenn Objekte extrem klein sind, vergleichbar mit Größen.

Prinzipien Im
Allgemeinen untersuchen Forscher, die sich mit Dynamik befassen, wie ein physisches System sich im Laufe der Zeit entwickeln oder verändern kann, und untersuchen die Ursachen dieser Veränderungen. Darüber hinaus hat Newton die grundlegenden physikalischen Gesetze aufgestellt, die die Dynamik in der Physik bestimmen. Durch das Studium seines Systems der Mechanik kann Dynamik verstanden werden. Insbesondere hängt die Dynamik hauptsächlich mit dem zweiten Bewegungsgesetz von Newton zusammen. Alle drei Bewegungsgesetze werden jedoch berücksichtigt, da diese in einer bestimmten Beobachtung oder einem bestimmten Experiment miteinander verknüpft sind.

Linear- und Rotationsdynamik
Die Untersuchung der Dynamik fallen unter zwei Kategorien: Linear- und Rotations. Die lineare Dynamik bezieht sich auf Objekte, die sich in einer Linie bewegen, und umfasst Größen wie Kraft, Masse / Trägheit, Verschiebung (in Abstandseinheiten), Geschwindigkeit (Abstand pro Zeiteinheit), Beschleunigung (Abstand pro Zeiteinheit) und Impuls (Massenzeiten) Geschwindigkeitseinheit). Die Rotationsdynamik bezieht sich auf Objekte, die sich auf einer gekrümmten Bahn drehen oder bewegen, und umfasst Größen wie Drehmoment, Trägheitsmoment / Rotationsträgheit, Winkelverschiebung (im Bogenmaß oder weniger, Grad), Winkelgeschwindigkeit (Radiant pro Zeiteinheit), Winkel Beschleunigung (Bogenmaß pro Zeiteinheit) und Drehimpuls (Trägheitsmoment mal Einheit der Winkelgeschwindigkeit). Sehr oft zeigen Objekte eine lineare und rotatorische Bewegung.

Für den klassischen Elektromagnetismus beschreiben die Maxwellschen Gleichungen die Kinematik. Die Dynamik klassischer Systeme mit Mechanik und Elektromagnetismus wird durch die Kombination der Newtonschen Gesetze, der Maxwellschen Gleichungen und der Lorentz-Kraft beschrieben.

Kraft
Von Newton aus kann Kraft als Belastung oder Druck definiert werden, durch die ein Objekt beschleunigt werden kann. Der Begriff der Kraft wird verwendet, um einen Einfluss zu beschreiben, durch den ein freier Körper (Objekt) beschleunigt wird. Dies kann ein Stoß oder ein Zug sein, der bewirkt, dass ein Objekt die Richtung ändert, eine neue Geschwindigkeit hat oder sich vorübergehend oder dauerhaft verformt. Im Allgemeinen bewirkt Kraft, dass sich der Bewegungszustand eines Objekts ändert.

Newtons Gesetze
Newton bezeichnete die Kraft als die Fähigkeit, eine Masse zu beschleunigen. Seine drei Gesetze lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Erster Satz: Wenn auf ein Objekt keine Nettokraft wirkt, ist seine Geschwindigkeit konstant. Entweder befindet sich das Objekt im Ruhezustand (wenn seine Geschwindigkeit gleich Null ist) oder es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung.
Zweiter Satz: Die Änderungsrate des linearen Impulses P eines Objekts ist gleich der Nettokraft F net, dh P / dt = F net.
Dritter Satz: Wenn ein erster Körper eine Kraft F 1 auf einen zweiten Körper ausübt, übt der zweite Körper gleichzeitig eine Kraft F 2 = – F 1 auf den ersten Körper aus. Dies bedeutet, dass F 1 und F 2 gleich groß und entgegengesetzt sind.

Newtons Bewegungsgesetze gelten nur in einem Inertialsystem.

Berechnung in der Dynamik
In der klassischen Mechanik und der relativistischen Mechanik ist es mit den Begriffen Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung möglich, die Bewegungen eines Körpers oder Objekts zu beschreiben, ohne zu berücksichtigen, wie sie erzeugt wurden. Diese Disziplin wird als Kinematik bezeichnet. Im Gegenteil, die Mechanik beschäftigt sich mit der Untersuchung der Bewegung von Körpern, die der Krafteinwirkung ausgesetzt sind. In Quantensystemen erfordert die Dynamik aufgrund der Implikationen des Unsicherheitsprinzips einen anderen Ansatz.

Die dynamische Berechnung basiert auf dem Gleichungsansatz der Bewegung und ihrer Integration. Für extrem einfache Probleme werden die Gleichungen der Newtonschen Mechanik verwendet, die direkt durch Erhaltungssätze unterstützt werden. In der klassischen und relativistischen Mechanik ist die wesentliche Gleichung der Dynamik das zweite Newtonsche Gesetz (oder Newton-Euler-Gesetz) in der Form:

Dabei ist F die Summe der Kräfte und p der Bewegungsbetrag. Die obige Gleichung gilt für ein starres Teilchen oder einen Feststoff, für ein kontinuierliches Medium können Sie eine darauf basierende Gleichung schreiben, die lokal erfüllt sein muss. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist es nicht trivial, den aus der Krümmung der Raumzeit resultierenden Begriff der Kraft zu definieren. In der nicht-relativistischen Quantenmechanik ist die grundlegende Gleichung, wenn das System konservativ ist, die Schrödinger-Gleichung:

Erhaltungssätze
Erhaltungsgesetze können in Form von Theoremen formuliert werden, die festlegen, unter welchen konkreten Bedingungen eine bestimmte Menge “konserviert” ist (dh sie bleibt im Zeitverlauf konstant, wenn sich das System im Laufe der Zeit bewegt oder ändert). Neben dem Energieerhaltungssatz haben andere wichtige Erhaltungssätze die Form vektorieller Theoreme. Diese Sätze sind:

Der Satz des Impulses, der für ein System von Punktpartikeln erfordert, dass die Kräfte der Partikel nur von der Entfernung zwischen ihnen abhängen und entsprechend der Verbindungslinie gerichtet sind. In der Mechanik der kontinuierlichen Medien und der Mechanik des starren Festkörpers können vektorielle Sätze der Impulserhaltung formuliert werden.

Der Satz des kinetischen Moments legt fest, dass unter Bedingungen, die dem vorherigen Vektorsatz ähnlich sind, die Summe der Kraftmomente bezüglich einer Achse gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ist. Insbesondere der Lagrange des Systems.

Diese Theoreme legen fest, unter welchen Bedingungen die Energie, das Ausmaß der Bewegung oder das kinetische Moment die erhaltenen Größen sind. Diese Erhaltungssätze erlauben es manchmal, auf einfachere Weise die Entwicklung des physischen Zustands eines Systems zu finden, oft ohne dass die Differentialgleichungen der Bewegung direkt integriert werden müssen.

Bewegungsgleichungen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Bewegungsgleichungen vorzuschlagen, die es ermöglichen, die Entwicklung eines mechanischen Systems über die Zeit basierend auf den Anfangsbedingungen und den wirkenden Kräften vorherzusagen. In der klassischen Mechanik gibt es mehrere mögliche Formulierungen, um Gleichungen vorzuschlagen:

Die Newtonsche Mechanik schreibt direkt gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung in Kraft und in kartesischen Koordinaten. Dieses System führt zu Gleichungen, die mit elementaren Mitteln schwer zu integrieren sind, und wird nur in extrem einfachen Problemen verwendet, die normalerweise Inertialreferenzsysteme verwenden.

Bei der Lagrange – Mechanik werden bei dieser Methode auch gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung verwendet, wobei jedoch die Verwendung allgemeiner Koordinaten, so genannter generalisierter Koordinaten, möglich ist, die für die Geometrie des Problems besser geeignet sind. Darüber hinaus gelten die Gleichungen in jedem Bezugssystem, unabhängig davon, ob dies inert ist oder nicht. Neben der Erlangung leicht integrierbarer Systeme, des Noether-Theorems und der Koordinatentransformationen, können wir Integrale von Bewegungen, auch Erhaltungssätze genannt, einfacher finden als den Newtonschen Ansatz.
Die Hamiltonsche Mechanik ist der vorherigen ähnlich, aber die Bewegungsgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Darüber hinaus ist der Bereich zulässiger Koordinatentransformationen viel breiter als in der Lagrange-Mechanik, was das Auffinden von Bewegungsintegralen und konservierten Größen noch einfacher macht.

Das Hamilton-Jacobi-Verfahren ist ein Verfahren, das auf der Auflösung einer Differentialgleichung in partiellen Ableitungen durch das Verfahren der Trennung von Variablen basiert. Dies ist das einfachste Mittel, wenn ein geeigneter Satz von Bewegungsintegralen bekannt ist.

In der relativistischen Mechanik sind die letzten drei Ansätze möglich, zusätzlich zu einem direkten Zugang zu einfachen Problemen, der vielen Methoden der Newtonschen Mechanik analog ist. Auch die Mechanik kontinuierlicher Medien lässt Lagrange- und Hamiltonsche Ansätze zu, obwohl der zugrunde liegende Formalismus ein klassisches oder relativistisches System ist, jedoch wesentlich komplizierter als bei starren Teilchen- und Festkörpersystemen (letztere haben eine endliche Gradzahl). Freiheit, im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Medium). Schließlich erfordert die Quantenmechanik, sowohl die nichtrelativistische als auch die relativistische, einen bemerkenswert komplexeren mathematischen Formalismus, der normalerweise die Verwendung von Hilbert-Räumen auch für Systeme mit einer begrenzten Anzahl von Freiheitsgraden beinhaltet.

Dynamik mechanischer Systeme
In der Physik gibt es zwei wichtige Arten physikalischer Systeme: Systeme mit endlichen Partikeln und Felder. Die zeitliche Entwicklung der ersten kann durch eine endliche Menge gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben werden, weshalb gesagt wird, dass sie eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden hat. Auf der anderen Seite erfordert die zeitliche Entwicklung der Felder einen Satz komplexer Gleichungen. In partiellen Ableitungen und in einem gewissen informellen Sinne verhalten sie sich wie ein Partikelsystem mit unendlich vielen Freiheitsgraden.

Die meisten mechanischen Systeme sind vom ersten Typ, obwohl es auch mechanische Systeme gibt, die einfacher als Felder beschrieben werden, wie bei Flüssigkeiten oder verformbaren Festkörpern. Es kommt auch vor, dass einige mechanische Systeme, die idealerweise aus einer unendlichen Anzahl von Materialpunkten wie starren Körpern gebildet werden, durch eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden beschrieben werden können.

Dynamik des Teilchens
Die Dynamik des Materialpunktes ist Teil der Newtonschen Mechanik, in der Systeme als Punktteilchensysteme analysiert werden und Momentankräfte aus der Ferne ausgeübt werden.

In der Relativitätstheorie ist es nicht möglich, einen Satz geladener Teilchen in wechselseitiger Wechselwirkung zu behandeln, indem einfach die Positionen der Teilchen zu jedem Zeitpunkt verwendet werden, da in diesem Rahmen angenommen wird, dass entfernte Handlungen die physische Kausalität verletzen. Unter diesen Bedingungen hängt die Kraft auf ein Teilchen aufgrund der anderen von den früheren Positionen desselben ab.

Dynamik des starren Körpers
Die Mechanik eines starren Körpers untersucht die Bewegung und das Gleichgewicht von Festkörpern und ignoriert deren Verformungen. Es ist daher ein mathematisches Modell, das nützlich ist, um einen Teil der Festkörpermechanik zu studieren, da alle realen Festkörper verformbar sind. Unter starrem Festkörper wird eine Menge von Raumpunkten verstanden, die sich so bewegen, dass die Abstände zwischen ihnen unabhängig von der wirkenden Kraft nicht verändert werden (mathematisch ist die Bewegung eines starren Festkörpers durch eine uniparamtrische Gruppe von Isometrien gegeben).

Kontinuierliche Mediendynamik und Feldtheorie
In der Physik gibt es andere Entitäten wie kontinuierliche Medien (verformbare und fluide Körper) oder Felder (Schwerkraft, elektromagnetische Felder usw.), die nicht durch eine endliche Anzahl von Koordinaten beschrieben werden können, die den Zustand des Systems kennzeichnen . Im Allgemeinen sind definierte Funktionen für eine Domäne oder Region mit vier Domänen erforderlich. Die Behandlung der klassischen Mechanik und der relativistischen Mechanik kontinuierlicher Medien erfordert die Verwendung von Differentialgleichungen in partiellen Ableitungen, was zu analytischen Schwierigkeiten führt, die viel auffälliger sind als in Systemen mit einer endlichen Anzahl von Koordinaten oder Freiheitsgraden (was oft der Fall sein kann) behandelt als Systeme der Differentialgleichungen).

Konzepte im Zusammenhang mit der Dynamik

Trägheit
Trägheit ist die Eigenschaft von Körpern, ihren Ruhezustand oder ihre gleichmäßige Bewegung nicht zu verändern, wenn sie nicht von anderen Körpern beeinflusst werden oder wenn die Wirkung anderer Körperschaften kompensiert wird.

In der Physik wird gesagt, dass ein System eine größere Trägheit besitzt, wenn es schwieriger ist, eine Änderung seines physischen Zustands zu erreichen. Die zwei häufigsten Anwendungen in der Physik sind mechanische Trägheit und thermische Trägheit. Der erste von ihnen erscheint in der Mechanik und ist ein Maß für die Schwierigkeit, den Bewegungszustand oder den Ruhezustand eines Körpers zu ändern. Die mechanische Trägheit hängt von der Masse und dem Trägheitstensor des Körpers ab. Die thermische Trägheit misst die Schwierigkeit, mit der ein Körper seine Temperatur ändert, indem er mit anderen Körpern in Kontakt kommt oder erhitzt wird. Die thermische Trägheit hängt von der Masse und der Wärmekapazität ab.

Die sogenannten Trägheitskräfte sind fiktive oder scheinbare Kräfte für einen Beobachter in einem Nicht-Trägheitsreferenzsystem.

Die Trägheitsmasse ist ein Maß für den Widerstand einer Masse gegen die Änderung der Geschwindigkeit in Bezug auf ein Trägheitsreferenzsystem. In der klassischen Physik wird die Trägheitsmasse von Punktpartikeln mit Hilfe der folgenden Gleichung definiert, wobei Partikel Eins als Einheit ( ) gilt:


Dabei ist mi die Trägheitsmasse des Partikels i und i1 die anfängliche Beschleunigung des Partikels i in Richtung des Partikels i in Richtung des Partikels 1 in einem Volumen, das nur von den Partikeln i und 1 eingenommen wird, wobei sich beide Partikel anfänglich in Ruhe befinden eine Entfernungseinheit. Es gibt keine äußeren Kräfte, aber die Teilchen üben Kräfte auf einander aus.

Arbeit und Energie
Die Arbeit und Energie, die von den mechanischen Energiesätzen angezeigt werden. Das Prinzip und von dem die anderen Sätze abgeleitet werden, ist der Satz der kinetischen Energie. Dieser Satz kann in einer differentiellen Version oder in einer integrierten Version angegeben werden. Von nun an wird auf den Satz kinetischer Energie als TEC verwiesen.

Dank TEC kann eine Beziehung zwischen Mechanikern und anderen Wissenschaften wie Chemie und Elektrotechnik hergestellt werden, aus denen sie ihre entscheidende Bedeutung gewinnt.

Stärke und Potenzial

Die Mechanik von Partikeln oder kontinuierlichen Medien hat in der klassischen Mechanik, der relativistischen Mechanik und der Quantenmechanik leicht unterschiedliche Formulierungen. In allen von ihnen werden die Ursachen der Veränderung durch Kräfte oder abgeleitete Konzepte wie etwa die mit dem Kräftesystem verbundene potentielle Energie dargestellt. In den ersten beiden Fällen wird der Begriff der Kraft grundlegend verwendet, während es in der Quantenmechanik häufiger ist, die Probleme hinsichtlich der potentiellen Energie aufzuwerfen. Die resultierende Kraft eines klassischen mechanischen Systems hängt mit der Variation des Bewegungsumfangs durch die einfache Beziehung zusammen:

Wenn das mechanische System auch konservativ ist, hängt die potentielle Energie von der kinetischen Energie ab, die mit der Bewegung durch die Beziehung zusammenhängt:

In der relativistischen Mechanik sind die obigen Beziehungen nicht gültig, wenn sich t auf die von einem Beobachter gemessene Zeitkomponente bezieht, aber wenn t als die eigene Zeit des Beobachters interpretiert wird, sind sie gültig. In der klassischen Mechanik gibt es angesichts des absoluten Charakters der Zeit keinen wirklichen Unterschied zwischen der eigenen Zeit des Beobachters und seiner zeitlichen Koordinate.

Dynamische Systeme
Die Theorie dynamischer Systeme ist ein Zweig der Mathematik, der eng mit der Theorie der Differentialgleichungen und der Theorie des Chaos verknüpft ist, in der die qualitativen Eigenschaften der Gleichungen der dynamischen Evolution untersucht werden.

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