Kompass-und-Lineal-Konstruktion, auch bekannt als Lineal-und-Kompass-Konstruktion oder klassische Konstruktion, ist die Konstruktion von Längen, Winkeln und anderen geometrischen Figuren mit nur einem idealisierten Lineal und Kompass.

Das idealisierte Lineal, bekannt als Lineal, wird als unendlich lang angenommen und hat keine Markierungen mit nur einer Kante. Es wird angenommen, dass der Kompass beim Abheben von der Seite „kollabiert“ und daher nicht direkt zur Übertragung von Entfernungen verwendet werden kann. (Dies ist eine unwichtige Einschränkung, da mit einem mehrstufigen Verfahren eine Entfernung auch mit kollabierendem Kompass übertragen werden kann, siehe Compass Equivalence Theorem.) Formal sind die einzigen zulässigen Konstruktionen diejenigen, die von Euklids ersten drei Postulaten gewährt werden.

Es stellt sich heraus, dass jeder Punkt, der mit Lineal und Kompass konstruiert werden kann, auch nur mit Kompass konstruiert werden kann.

Die altgriechischen Mathematiker konzipierten zunächst Zirkel- und Linealkonstruktionen, und eine Reihe von antiken Problemen in der ebenen Geometrie setzen diese Einschränkung durch. Die alten Griechen entwickelten viele Konstruktionen, aber in einigen Fällen waren sie dazu nicht in der Lage. Gauss zeigte, dass einige Polygone konstruierbar sind, aber die meisten nicht. Einige der berühmtesten Probleme von Lineal und Kompass wurden von Pierre Wantzel im Jahr 1837 mit der mathematischen Feldtheorie als unmöglich erwiesen.

Trotz bestehender Beweise der Unmöglichkeit bestehen einige darauf, diese Probleme zu lösen. Viele dieser Probleme sind leicht lösbar, vorausgesetzt, dass andere geometrische Transformationen erlaubt sind: Beispielsweise ist das Verdoppeln des Würfels mit geometrischen Konstruktionen möglich, aber mit Lineal und Kompass allein nicht möglich.

In Bezug auf die Algebra ist eine Länge genau dann konstruierbar, wenn sie eine konstruierbare Zahl darstellt, und ein Winkel ist genau dann konstruierbar, wenn sein Kosinus eine konstruierbare Zahl ist. Eine Zahl ist genau dann konstruierbar, wenn sie mit den vier Grundrechenarten und der Extraktion von Quadratwurzeln, aber ohne Wurzeln höherer Ordnung geschrieben werden kann.

Kompass und Lineal-Tools
Der „Kompass“ und „Lineal“ der Zirkel- und Linealkonstruktionen sind Idealisierungen von Herrschern und Kompassen in der realen Welt:

Der Kompass lässt sich beliebig weit öffnen, hat aber (im Gegensatz zu einigen echten Kompassen) keine Markierungen. Kreise können nur ausgehend von zwei gegebenen Punkten gezeichnet werden: der Mitte und einem Punkt auf dem Kreis. Der Kompass kann zusammenbrechen oder nicht, wenn er keinen Kreis zeichnet.
Das Lineal ist unendlich lang, aber es hat keine Markierungen und hat nur eine gerade Kante, im Gegensatz zu gewöhnlichen Linealen. Es kann nur zum Zeichnen eines Liniensegments zwischen zwei Punkten oder zum Erweitern eines vorhandenen Segments verwendet werden.
Der moderne Kompass bricht im Allgemeinen nicht zusammen und mehrere moderne Konstruktionen verwenden dieses Merkmal. Es scheint, dass der moderne Kompass ein „stärkeres“ Instrument als der alte kollabierende Kompass ist. Durch Proposition 2 von Buch 1 von Euklids Elementen geht jedoch durch den Gebrauch eines kollabierenden Kompasses keine Kraft verloren. Obwohl der Satz richtig ist, haben seine Beweise eine lange und wechselvolle Geschichte.

Jede Konstruktion muss exakt sein. „Augäpfel“ (das Betrachten der Konstruktion und das Erraten ihrer Genauigkeit, oder das Verwenden einer Form der Messung, wie die Maßeinheiten auf einem Lineal) und das Annähern an sie zählen nicht als Lösung.

Jede Konstruktion muss enden. Das heißt, es muss eine endliche Anzahl von Schritten haben und nicht die Grenze immer näherer Annäherungen sein.

Auf diese Weise ausgedrückt, scheinen Zirkel- und Linealkonstruktionen eher ein Gesellschaftsspiel als ein ernsthaftes praktisches Problem zu sein; Der Zweck der Beschränkung besteht jedoch darin, zu gewährleisten, dass Konstruktionen genau richtig sind.

Geschichte
Die antiken griechischen Mathematiker versuchten zuerst, Zirkel und Lineale zu konstruieren, und sie entdeckten, wie man Summen, Differenzen, Produkte, Verhältnisse und Quadratwurzeln gegebener Länge konstruierte. 1 Sie könnten auch die Hälfte eines gegebenen Winkels konstruieren, ein Quadrat, dessen Fläche das Doppelte eines anderen Quadrats ist, ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein gegebenes Polygon und ein reguläres Polygon mit 3, 4 oder 5 Seiten: p. xi (oder eins mit der doppelten Anzahl von Seiten eines gegebenen Polygons: S. 49-50). Aber sie konnten nicht ein Drittel eines gegebenen Winkels konstruieren, außer in besonderen Fällen, oder ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein gegebener Kreis oder ein reguläres Polygon mit einer anderen Anzahl von Seiten. xi Sie könnten auch nicht die Seite eines Würfels konstruieren, dessen Volumen das Doppelte des Volumens eines Würfels mit einer gegebenen Seite wäre:

Hippokrates und Menaechmus zeigten, dass die Fläche des Würfels verdoppelt werden konnte, indem die Schnittpunkte von Hyperbeln und Parabeln gefunden wurden, aber diese können nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Im fünften Jahrhundert v. Chr. Verwendete Hippias eine Kurve, die er Quadratrix nannte tristect den allgemeinen Winkel und Quadrat den Kreis, und Nikomedes im zweiten Jahrhundert v. Chr. zeigte, wie man ein Conchoid verwenden, um einen beliebigen Winkel zu trisect ;: aber diese Methoden können auch nicht mit nur Kompass und Lineal verfolgt werden.

Über die ungelösten Probleme wurde für zwei Jahrtausende kein Fortschritt gemacht, bis Gauss 1796 zeigte, dass ein regelmäßiges Polygon mit 17 Seiten konstruiert werden konnte; fünf Jahre später zeigte er das genügende Kriterium, um ein regelmäßiges Vieleck von n Seiten konstruierbar zu machen.:pp. 51 ff.

Im Jahr 1837 veröffentlichte Pierre Wantzel einen Beweis für die Unmöglichkeit, einen willkürlichen Winkel zu trizen oder das Volumen eines Würfels zu verdoppeln, weil es unmöglich war, Kubikwurzeln aus Längen zu konstruieren. Er zeigte auch, dass Gauss ‚ausreichende Konstruierbarkeit für reguläre Polygone ebenfalls notwendig ist.

Dann zeigte Lindemann 1882, dass eine transzendentale Zahl ist und es daher unmöglich ist, mit Lineal und Zirkel ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein gegebener Kreis zu konstruieren.:p. 47

Die grundlegenden Konstruktionen
Alle Zirkel- und Linealkonstruktionen bestehen aus der wiederholten Anwendung von fünf Grundkonstruktionen unter Verwendung der bereits konstruierten Punkte, Linien und Kreise. Diese sind:

Erstellen der Linie durch zwei bestehende Punkte
Erstellen des Kreises durch einen Punkt mit der Mitte eines anderen Punktes
Erstellen des Punktes, der der Schnittpunkt zweier bestehender, nicht paralleler Linien ist
Erstellen der ein oder zwei Punkte im Schnittpunkt einer Linie und eines Kreises (wenn sie sich schneiden)
Erstellen Sie den einen oder die zwei Punkte im Schnittpunkt zweier Kreise (wenn sie sich schneiden).
Zum Beispiel können wir ausgehend von nur zwei verschiedenen Punkten eine Linie oder einen von zwei Kreisen erzeugen (wiederum mit jedem Punkt als Mittelpunkt und durch den anderen Punkt). Wenn wir beide Kreise zeichnen, werden an ihren Schnittpunkten zwei neue Punkte erzeugt. Das Zeichnen von Linien zwischen den beiden ursprünglichen Punkten und einem dieser neuen Punkte vervollständigt die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks.

Daher haben wir in jedem geometrischen Problem eine erste Menge von Symbolen (Punkte und Linien), einen Algorithmus und einige Ergebnisse. Aus dieser Perspektive entspricht die Geometrie einer axiomatischen Algebra und ersetzt ihre Elemente durch Symbole. Vermutlich hat Gauß dies zuerst erkannt und damit die Unmöglichkeit einiger Konstruktionen bewiesen; erst viel später fand Hilbert einen vollständigen Satz von Axiomen für die Geometrie.

Viel benutzte Kompass-und-Lineal-Konstruktionen
Die am häufigsten verwendeten Zirkel- und Linealkonstruktionen umfassen:

Konstruieren der Mittelsenkrechten aus einem Segment
Den Mittelpunkt eines Segments finden.
Zeichnen einer senkrechten Linie von einem Punkt zu einer Linie.
Einen Winkel halbieren
Einen Punkt in einer Linie spiegeln
Konstruieren einer Linie durch einen tangentialen Punkt zu einem Kreis
Konstruieren eines Kreises durch 3 nicht-kollineare Punkte
Konstruierbare Punkte und Längen
Formaler Beweis
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten zu beweisen, dass etwas unmöglich ist. Ein strengerer Beweis wäre, die Grenze des Möglichen abzugrenzen und aufzuzeigen, dass man diese Grenze überschreiten muss, um diese Probleme zu lösen. Viel von dem, was konstruiert werden kann, ist in der Abfangtheorie abgedeckt.

Wir könnten unserer Geometrie eine Algebra unter Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems aus zwei Linien zuordnen und Punkte unserer Ebene durch Vektoren darstellen. Schließlich können wir diese Vektoren als komplexe Zahlen schreiben.

Unter Verwendung der Gleichungen für Linien und Kreise kann man zeigen, dass die Punkte, an denen sie sich schneiden, in einer quadratischen Erweiterung des kleinsten Feldes F liegen, das zwei Punkte auf der Linie, den Mittelpunkt des Kreises und den Radius des Kreises enthält. Das heißt, sie haben die Form x + y√k, wobei x, y und k in F sind.

Da das Feld der konstruierbaren Punkte unter Quadratwurzeln geschlossen ist, enthält es alle Punkte, die durch eine endliche Folge von quadratischen Erweiterungen des Feldes komplexer Zahlen mit rationalen Koeffizienten erhalten werden können. Durch den obigen Absatz kann man zeigen, dass jeder konstruierbare Punkt durch eine solche Folge von Erweiterungen erhalten werden kann. Daraus folgt, dass der Grad des minimalen Polynoms für einen konstruierbaren Punkt (und daher für jede konstruierbare Länge) eine Potenz von 2 ist. Insbesondere ist jeder konstruierbare Punkt (oder Länge) eine algebraische Zahl, wenn auch nicht jede algebraische Zahl ist konstruierbar; zum Beispiel ist 3√2 algebraisch, aber nicht konstruierbar.

Konstruierbare Winkel
Es gibt eine Bijektion zwischen den konstruierbaren Winkeln und den Punkten, die auf irgendeinem konstruierbaren Kreis konstruiert werden können. Die konstruierbaren Winkel bilden eine zusätzliche abelsche Gruppe unter Modulo 2π (was der Multiplikation der Punkte auf dem Einheitskreis entspricht, die als komplexe Zahlen betrachtet werden). Die Winkel, die konstruierbar sind, sind genau diejenigen, deren Tangente (oder äquivalent, Sinus oder Kosinus) als Zahl konstruierbar ist. Zum Beispiel ist das reguläre Heptadecagon (das siebzehnseitige reguläre Polygon) konstruierbar, weil

wie von Gauß entdeckt.

Die Gruppe der konstruierbaren Winkel ist unter der Operation geschlossen, die die Winkel halbiert (was dem Quadratwurzeln in den komplexen Zahlen entspricht). Die einzigen Winkel der endlichen Ordnung, die konstruiert werden können, beginnend mit zwei Punkten, sind jene, deren Ordnung entweder eine Potenz von zwei ist, oder ein Produkt einer Potenz von zwei und eine Menge von verschiedenen Fermat-Primzahlen. Zusätzlich gibt es eine dichte Menge konstruierbarer Winkel unendlicher Ordnung.

Kompass und Linealkonstruktionen als komplexe Arithmetik
Bei einer Menge von Punkten in der euklidischen Ebene erlaubt die Auswahl eines beliebigen von ihnen, 0 genannt zu werden, und eines anderen, das mit 1 bezeichnet wird, zusammen mit einer willkürlichen Wahl der Orientierung, die Punkte als eine Menge komplexer Zahlen zu betrachten.

Wenn man eine solche Interpretation einer Menge von Punkten als komplexe Zahlen betrachtet, sind die Punkte, die mit gültigen Kompaß- und Linealkonstruktionen konstruiert werden, genau die Elemente des kleinsten Feldes, das die ursprüngliche Menge von Punkten enthält und unter den komplexen konjugierten und Quadratwurzeloperationen geschlossen ist Mehrdeutigkeit, können wir die Quadratwurzel mit komplexen Argument weniger als π) angeben. Die Elemente dieses Feldes sind genau diejenigen, die als eine Formel in den ursprünglichen Punkten ausgedrückt werden können, wobei nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, komplexes Konjugieren und Quadratwurzel verwendet werden, was leicht als eine zählbare dichte Untergruppe von angesehen wird das Flugzeug. Jede dieser sechs Operationen entspricht einer einfachen Kompass- und Linealkonstruktion. Aus einer solchen Formel ist es einfach, eine Konstruktion des entsprechenden Punktes durch Kombinieren der Konstruktionen für jede der arithmetischen Operationen zu erzeugen. Effizientere Konstruktionen einer bestimmten Menge von Punkten entsprechen Abkürzungen in solchen Berechnungen.

Äquivalent (und ohne die Notwendigkeit, zwei Punkte willkürlich zu wählen) können wir sagen, dass bei einer willkürlichen Wahl der Orientierung eine Menge von Punkten eine Menge komplexer Verhältnisse bestimmt, die durch die Verhältnisse der Unterschiede zwischen zwei beliebigen Paaren von Punkten gegeben sind. Der Satz von Verhältnissen, der unter Verwendung von Zirkel und Lineal aus einem solchen Satz von Verhältnissen konstruierbar ist, ist genau das kleinste Feld, das die ursprünglichen Verhältnisse enthält, und schließt unter der Aufnahme von komplexen Konjugaten und Quadratwurzeln.

Zum Beispiel sind der Realteil, der Imaginärteil und der Modul eines Punktes oder Verhältnisses z (wobei einer der beiden obigen Betrachtungspunkte genommen wird) konstruierbar, da diese ausgedrückt werden können als

Verdoppelung des Würfels und Dreiteilung eines Winkels (außer für spezielle Winkel wie φ / 2π ist eine rationale Zahl mit Nenner, die nicht durch 3 teilbar ist) erfordern Verhältnisse, die die Lösung für kubische Gleichungen sind, während die Quadratur des Kreises eine transzendente erfordert Verhältnis. Keine davon ist auf den beschriebenen Gebieten, daher gibt es keine Kompass- und Linealkonstruktion für diese.

Unmögliche Konstruktionen
Die alten Griechen dachten, dass die Konstruktionsprobleme, die sie nicht lösen konnten, einfach hartnäckig und nicht unlösbar waren. Mit modernen Methoden wurde jedoch gezeigt, dass diese Zirkel- und Linealkonstruktionen logisch unmöglich auszuführen sind. (Die Probleme selbst sind jedoch lösbar, und die Griechen wussten, wie man sie löst, ohne die Einschränkung, nur mit Lineal und Zirkel zu arbeiten.)

Quadratur des Kreises
Das bekannteste dieser Probleme, die Quadratur des Kreises, die auch als Quadratur des Kreises bekannt ist, beinhaltet die Konstruktion eines Quadrats mit der gleichen Fläche wie bei einem gegebenen Kreis, wobei nur Lineal und Kompass verwendet werden.

Die Quadratur des Kreises hat sich als unmöglich erwiesen, da es eine transzendentale Zahl erzeugt, dh √π. Nur bestimmte algebraische Zahlen können mit Lineal und Zirkel allein konstruiert werden, nämlich solche, die aus den ganzen Zahlen mit einer endlichen Folge von Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen und Quadratwurzeln konstruiert werden. Der Ausdruck „Quadratur des Kreises“ wird oft verwendet, um aus diesem Grund „das Unmögliche zu tun“.

Ohne den Zwang, allein durch Lineal und Zirkel eine Lösung zu finden, ist das Problem durch eine Vielzahl geometrischer und algebraischer Mittel leicht lösbar und wurde in der Antike vielfach gelöst.

Eine Methode, die der Annäherung der „Quadratur des Kreises“ sehr nahe kommt, kann mit einem Kepler-Dreieck erreicht werden.

Verdoppelung des Würfels
Hauptartikel: Verdoppelung des Würfels
Verdoppeln des Würfels ist die Konstruktion, mit nur einer geraden Kante und einem Kompass, der Kante eines Würfels, der das doppelte Volumen eines Würfels mit einer bestimmten Kante hat. Dies ist nicht möglich, da die Kubikwurzel von 2, obwohl sie algebraisch ist, nicht aus ganzen Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und unter Verwendung von Quadratwurzeln berechnet werden kann. Dies folgt, weil sein minimales Polynom über den Rationalen Grad 3 hat. Diese Konstruktion ist möglich mit einem Lineal mit zwei Markierungen und einem Kompass.

Winkel Trisektion
Hauptartikel: Winkel Trisection
Die Winkelsektion ist die Konstruktion, bei der nur ein Lineal und ein Kompass mit einem Winkel von einem Drittel eines beliebigen Winkels verwendet werden. Dies ist im allgemeinen Fall unmöglich. Zum Beispiel kann, obwohl der Winkel von & pgr; / 3 Radianten (60 °) nicht geteilt werden kann, der Winkel 2 & pgr; / 5 Radiant (72 ° = 360 ° / 5) geteilt werden. Das allgemeine Dreiteilungsproblem wird auch leicht gelöst, wenn ein Lineal mit zwei Markierungen darauf erlaubt ist (eine Neusis-Konstruktion).

Konstruieren regulärer Polygone
Einige regelmäßige Polygone (z. B. ein Fünfeck) sind mit Lineal und Kompass leicht zu konstruieren; andere sind nicht. Dies führte zu der Frage: Ist es möglich, alle regulären Polygone mit Lineal und Kompass zu konstruieren?

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass ein regelmäßiges 17-seitiges Polygon konstruiert werden kann, und zeigte fünf Jahre später, dass ein regelmäßiges n-seitiges Polygon mit Lineal und Kompass konstruiert werden kann, wenn die ungeraden Primfaktoren von n verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Gauss vermutete, dass diese Bedingung auch notwendig war, aber er bot keinen Beweis für diese Tatsache, die von Pierre Wantzel im Jahr 1837 zur Verfügung gestellt wurde.

Die ersten paar regulierbaren Polygone haben die folgende Anzahl von Seiten:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (Sequenz A003401 im OEIS)
Es ist bekannt, dass eine Unendlichkeit von regulierbaren Polygonen mit einer geraden Anzahl von Seiten existiert (denn wenn ein reguläres n-Gon konstruierbar ist, dann ist es auch ein reguläres 2n-Gon und daher ein reguläres 4n-Gon, 8n-Gon, etc. ). Es gibt jedoch nur 31 bekannte regulierbare n-gons mit einer ungeraden Anzahl von Seiten.

Konstruieren eines Dreiecks aus drei gegebenen charakteristischen Punkten oder Längen
Sechzehn Schlüsselpunkte eines Dreiecks sind seine Eckpunkte, die Mittelpunkte seiner Seiten, die Füße seiner Höhen, die Füße seiner inneren Winkelhalbierenden und sein Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt, Orthofentakt und Mittelpunkt. Diese können drei auf einmal genommen werden, um 139 verschiedene nichttriviale Probleme zu ergeben, ein Dreieck aus drei Punkten zu konstruieren. Von diesen Problemen beziehen sich drei auf einen Punkt, der aus den anderen beiden Punkten eindeutig konstruiert werden kann; 23 kann nicht eindeutig konstruiert sein (tatsächlich für unendlich viele Lösungen), aber nur dann, wenn die Orte der Punkte gewissen Beschränkungen unterliegen; in 74 ist das Problem im allgemeinen Fall konstruierbar; und in 39 existiert das erforderliche Dreieck, ist aber nicht konstruierbar.

Zwölf Schlüssellängen eines Dreiecks sind die drei Seitenlängen, die drei Höhen, die drei Mittellinien und die drei Winkelhalbierenden. Zusammen mit den drei Winkeln ergeben diese 95 verschiedene Kombinationen, von denen 63 ein konstruierbares Dreieck ergeben, von denen 30 nicht und zwei nicht definiert sind.:pp. 201-203

Entfernung zu einer Ellipse
Das Liniensegment von irgendeinem Punkt in der Ebene zu dem nächsten Punkt auf einem Kreis kann konstruiert werden, aber das Segment von irgendeinem Punkt in der Ebene zu dem nächsten Punkt auf einer Ellipse mit positiver Exzentrizität kann im Allgemeinen nicht konstruiert werden.

Konstruieren mit nur Lineal oder nur Kompass
Es ist möglich (nach dem Mohr-Mascheroni-Theorem), alles nur mit einem Kompass zu konstruieren, wenn es mit einem Lineal und einem Kompass konstruiert werden kann, vorausgesetzt, die gegebenen Daten und die zu findenden Daten bestehen aus diskreten Punkten (keine Linien oder Kreise) ). Es sollte angemerkt werden, dass die Wahrheit dieses Theorems von der Wahrheit des Archimedes-Axioms abhängt, die in der Natur nicht erster Ordnung ist. Es ist unmöglich, eine Quadratwurzel mit nur einem Lineal zu nehmen, also können einige Dinge, die nicht mit einem Lineal konstruiert werden können, mit einem Kompass konstruiert werden; aber (nach dem Poncelet-Steiner-Theorem) mit einem einzigen Kreis und seiner Mitte können sie konstruiert werden.

Erweiterte Konstruktionen
Die alten Griechen klassifizierten Konstruktionen in drei Hauptkategorien, abhängig von der Komplexität der Werkzeuge, die für ihre Lösung benötigt wurden. Wenn eine Konstruktion nur ein Lineal und einen Zirkel verwendet, wird sie als planar bezeichnet. Wenn es auch einen oder mehrere konische Abschnitte (außer dem Kreis) benötigt, dann heißt es solid; Die dritte Kategorie umfasste alle Konstruktionen, die nicht in eine der beiden anderen Kategorien fielen. Diese Kategorisierung passt gut zu unserer modernen algebraischen Sichtweise. Eine komplexe Zahl, die unter Verwendung nur der Feldoperationen und Quadratwurzeln (wie oben beschrieben) ausgedrückt werden kann, hat eine planare Konstruktion. Eine komplexe Zahl, die auch die Extraktion von Kubikwurzeln einschließt, ist solide konstruiert.

In der Sprache der Felder hat eine komplexe Zahl, die eben ist, eine Zweierpotenz und liegt in einer Felderweiterung, die in einen Turm von Feldern zerlegt werden kann, wobei jede Erweiterung Grad zwei hat. Eine komplexe Zahl, die eine solide Konstruktion hat, hat einen Grad mit Primfaktoren von nur zwei und drei und liegt in einer Felderweiterung, die an der Spitze eines Turms von Feldern liegt, wo jede Erweiterung den Grad 2 oder 3 hat.

Feste Konstruktionen
Ein Punkt hat eine solide Konstruktion, wenn er mit einem Lineal, einem Kompass und einem (möglicherweise hypothetischen) konischen Zeichenwerkzeug konstruiert werden kann, das jeden Kegel mit bereits konstruiertem Fokus, Leitlinie und Exzentrizität zeichnen kann. Die gleiche Menge von Punkten kann oft unter Verwendung eines kleineren Satzes von Werkzeugen konstruiert werden. Mit einem Zirkel, einem Lineal und einem Blatt Papier, auf dem wir die Parabel y = x2 zusammen mit den Punkten (0,0) und (1,0) haben, kann man eine komplexe Zahl konstruieren, die eine solide Konstruktion hat . Ebenso ist ein Werkzeug, das jede Ellipse mit bereits konstruierten Brennpunkten und Hauptachsen zeichnen kann (denke an zwei Stifte und ein Stück Schnur), genauso leistungsfähig.

Die alten Griechen wussten, dass die Verdoppelung des Würfels und die Triskierung eines beliebigen Winkels beide solide Konstruktionen hatten. Archimedes gab eine solide Konstruktion des regulären 7-Gon. Die Quadratur des Kreises hat keine feste Konstruktion.

Ein reguläres n-gon hat genau dann eine solide Konstruktion, wenn n = 2j3km, wobei m ein Produkt verschiedener Pierpont-Primzahlen ist (Primzahlen der Form 2r3s + 1). Die Menge von solchen n ist die Sequenz

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (Sequenz A051913 in der OEIS)
Die Menge von n, für die ein reguläres n-gon keine feste Konstruktion hat, ist die Folge

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (Sequenz A048136 in der OEIS)
Wie bei den Fermat-Primzahlen ist es eine offene Frage, ob es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt.

Winkel Trisektion
Was wäre, wenn wir zusammen mit dem Lineal und dem Kompass ein Werkzeug hätten, das (nur) einen beliebigen Winkel schneiden könnte? Solche Konstruktionen sind solide Konstruktionen, aber es gibt Zahlen mit soliden Konstruktionen, die mit einem solchen Werkzeug nicht konstruiert werden können. Zum Beispiel können wir den Würfel mit einem solchen Werkzeug nicht verdoppeln. Auf der anderen Seite kann jedes reguläre n-gon, das eine solide Konstruktion hat, unter Verwendung eines solchen Werkzeugs konstruiert werden.

Origami
Die mathematische Theorie des Origami ist mächtiger als die Konstruktion von Kompass und Lineal. Falten, die die Huzita-Hatori-Axiome erfüllen, können mit Hilfe eines Zirkel- und Kegelzeichens exakt die gleichen Punkte wie die erweiterten Konstruktionen konstruieren. Daher kann Origami auch verwendet werden, um kubische Gleichungen (und damit quartäre Gleichungen) zu lösen und somit zwei der klassischen Probleme zu lösen.

Markierbare Lineale
Hauptartikel: Neusis Konstruktion
Archimedes, Nikomedes und Apollonius gaben Konstruktionen, bei denen ein markierbares Lineal verwendet wurde. Dies würde es ihnen beispielsweise erlauben, ein Liniensegment, zwei Linien (oder Kreise) und einen Punkt zu nehmen; Zeichnen Sie dann eine Linie, die durch den gegebenen Punkt verläuft und drei Linien schneidet, und so, dass der Abstand zwischen den Schnittpunkten gleich dem gegebenen Segment ist. Dies nannten die Griechen neusis („Neigung“, „Tendenz“ oder „Rand“), weil die neue Linie auf den Punkt zielt. In diesem erweiterten Schema können wir einen beliebigen Winkel (siehe Archimedes-Trisektion) oder eine beliebige Kubikwurzel (aufgrund von Nikomedes) extrahieren. Daher ist jede Entfernung, deren Verhältnis zu einer existierenden Entfernung die Lösung einer kubischen oder quartären Gleichung ist, konstruierbar. Reguläre Polygone mit festen Konstruktionen, wie das Siebeneck, sind konstruierbar; und John H. Conway und Richard K. Guy geben Konstruktionen für mehrere von ihnen ;.

Die Neusis-Konstruktion ist mächtiger als ein konisches Zeichenwerkzeug, da man komplexe Zahlen konstruieren kann, die keine festen Konstruktionen haben. Tatsächlich kann man mit diesem Werkzeug einige Quintiken lösen, die mit Radikalen nicht lösbar sind. Es ist bekannt, dass man ein irreduzibles Polynom mit einem Primzahlgrad größer oder gleich 7 unter Verwendung der Neusis-Konstruktion nicht lösen kann, so dass es nicht möglich ist, ein reguläres 23-Gon oder 29-Gon mit diesem Werkzeug zu konstruieren. Benjamin und Snyder haben gezeigt, dass es möglich ist, das reguläre 11-gon zu bauen, aber hat keine Konstruktion gegeben. Es ist noch offen, ob ein reguläres 25-Gon oder 31-Gon mit diesem Werkzeug konstruierbar ist.

Berechnung von Binärziffern
Im Jahr 1998 gab Simon Plouffe einen Lineal und Kompass-Algorithmus, mit dem Binärzahlen bestimmter Zahlen berechnet werden können. Der Algorithmus beinhaltet die wiederholte Verdoppelung eines Winkels und wird nach etwa 20 Binärstellen physikalisch unpraktisch.