통치자 및 나침반 구조 또는 고전 건축으로도 알려진 나침반 및 직선 자 구조는 이상적인 통치자 및 나침반 만 사용하여 길이, 각도 및 기타 기하학적 인 도형을 구성합니다.
직선 자로 알려진 이상화 된 눈금자는 길이가 무한하다고 가정하고 가장자리에는 단 하나의 표시가 없습니다. 나침반은 페이지에서 들어올 때 “붕괴”되는 것으로 가정되므로 거리를 전송하는 데 직접 사용되지 않을 수 있습니다. (이것은 다단계 절차를 사용하기 때문에 나침반이 붕괴 된 경우에도 거리를 전송할 수 있으므로 나침반 등가 정리를 참조하십시오.)보다 공식적으로 허용 가능한 유일한 구성은 유클리드의 처음 세 가지 가정에 의해 부여 된 것입니다.
직선 자와 나침반을 사용하여 구성 가능한 모든 점을 나침반만으로도 만들 수있는 경우가 있습니다.
고대 그리스의 수학자들은 처음에는 나침반과 직선의 구조를 고안했으며 비행기 기하학에 관한 많은 고대 문제가이 제한을 부과합니다. 고대 그리스인들은 많은 건축물을 개발했으나 어떤 경우에는 그렇게 할 수 없었습니다. Gauss는 일부 폴리곤은 구성 가능하지만 대부분은 그렇지 않다는 것을 보여주었습니다. 가장 유명한 직선 및 나침반 문제 중 일부는 1837 년 Pierre Wantzel이 필드의 수학 이론을 사용하여 불가능한 것으로 입증되었습니다.
불가능성에 대한 기존의 증거에도 불구하고 일부는 이러한 문제를 해결하려고 노력하고 있습니다. 예를 들어, 큐브를 두 배로 만드는 것은 기하학적 구조를 사용하여 가능하지만 직선 자와 나침반만으로는 불가능합니다. 이러한 문제 중 많은 부분은 쉽게 해결할 수 있습니다.
대수학의 경우, 길이는 구성 가능한 수를 나타낼 때만 구성 가능하며, 코사인이 구성 가능한 수인 경우에만 각도가 구성 가능합니다. 수는 네 가지 기본 산술 연산과 제곱근의 추출을 사용하여 작성 될 수 있지만 고차원 루트가없는 경우에만 구성 가능합니다.
나침반 및 직선 도구
나침반과 직선 자 구조의 “나침반”과 “직선 자”는 현실 세계에서 통치자와 나침반의 이상화입니다.
나침반은 임의로 넓게 열 수 있지만 (실제 컴퍼스와 달리) 표시가 없습니다. 서클은 주어진 두 점, 즉 중심과 원 위에있는 점에서부터 그려 질 수 있습니다. 나침반이 원을 그리지 않을 때 접을 수도 있고 접을 수도 없습니다.
직선 자 (straightedge)는 무한히 길지만, 보통 눈금자와 달리 단 하나의 직선 자국이 있습니다. 두 점 사이에 선분을 그리거나 기존 선분을 연장하는 데에만 사용할 수 있습니다.
현대 나침반은 일반적으로 붕괴되지 않으며 여러 현대 건축물에서이 기능을 사용합니다. 현대의 나침반은 고대의 붕괴 된 나침반보다 “더 강력한”도구 인 것으로 보입니다. 그러나 Euclid ‘s Elements의 Book 1 Proposition 2에 따르면 붕괴하는 나침반을 사용하면 전력이 손실되지 않습니다. 명제가 정확하지만, 그 증명은 길고 바둑판 난 역사가 있습니다.
각 공사가 정확해야합니다. “눈으로 볼 때”(본질적으로 정확도로 구조와 추측을 보거나 통치자에 대한 측정 단위와 같은 일부 형태의 측정을 사용하여) 닫히는 것은 해결책으로 간주되지 않습니다.
각 구성은 종료되어야합니다. 즉, 유한 수의 단계가 있어야하며 근사치의 한계가 없어야합니다.
이런 식으로 표현하면 나침반과 직선 자 구조는 심각한 실용적인 문제가 아니라 팔러 게임처럼 보입니다. 그러나 제한의 목적은 구조가 정확히 정확함을 입증 할 수 있도록하는 것입니다.
역사
고대 그리스 수학자들은 처음에는 나침반과 직선의 구조를 시도했으며, 주어진 길이의 합, 차이, 곱, 비율 및 제곱근을 만드는 방법을 발견했습니다. 1 주어진 각도의 절반, 다른 사각형의 면적의 두 배인 정사각형, 주어진 다각형과 같은 면적을 갖는 정사각형, 3, 4 또는 5면을 가진 정다각형을 만들 수도 있습니다. p. xi (또는 주어진 폴리곤의 두 변의 두 배가있는 것 : pp. 49-50). 그러나 특정한 경우를 제외하고는 주어진 각도의 3 분의 1을 만들 수 없으며 주어진 원과 같은 면적을 갖는 정사각형이나 다른면을 가진 정다각형을 만들 수 없습니다. xi도 아니다 주어진 양 옆에 입방체의 양 두번 일 것입니다 입방체의 측을 건설 할 수 있었다 :
Hippocrates와 Menaechmus는 쌍곡선과 포물선의 교차점을 발견함으로써 입방체의 면적을 두 배로 늘릴 수 있음을 보여 주었지만 나침반과 직선으로는 만들 수 없습니다. 기원전 5 세기에 Hippias는 두 사각형 기원전 2 세기의 니코 메데스 (Nicomedes)는 사각뿔을 사용하여 임의의 각도를 삼각형 화하는 방법을 보여 주었지만,이 방법도 나침반과 직선으로 만 따라갈 수는 없습니다.
2 천년 동안 미해결 문제에 대한 진전이 없었으며, 1796 년 가우스 (Gauss)에서 17면이있는 정다각형이 만들어 질 수있을 때까지 진행되었다. 5 년 후에 그는 n면의 규칙적인 다각형이 구성 가능하다는 충분한 기준을 보여 주었다. 51 ff.
1837 년 Pierre Wantzel은 길이의 입방근을 구성 할 수 없다는 사실에 기반하여 임의의 각도를 삼각형 화하거나 입방체의 배수를 늘릴 수 없다는 증거를 발표했습니다. 그는 또한 가우스가 규칙적인 다각형을 구성 할 수있는 충분한 조건을 필요로한다는 것을 보여 주었다.
1882 년 Lindemann은 
기본 구조
모든 나침반과 직선 자 구성은 이미 구축 된 점, 선 및 원을 사용하여 다섯 가지 기본 구성을 반복하여 적용하는 것으로 구성됩니다. 이것들은:
두 개의 기존 점을 통해 선 만들기
한 점을 중심으로 다른 점을 중심으로 원 만들기
기존의 비평 행선 두 개가 교차하는 점 만들기
선과 원이 교차하는 경우 하나 또는 두 점 만들기
두 원의 교차점에 하나 또는 두 점을 생성합니다 (교차하는 경우).
예를 들어, 두 개의 별개 점으로 시작하여 선 또는 두 개의 원을 만들 수 있습니다 (차례대로 각 점을 중심으로 사용하고 다른 점을 통과). 두 원을 모두 그릴 경우 두 개의 새로운 점이 교차점에 만들어집니다. 원래의 두 지점과이 새로운 지점 중 하나 사이의 선을 그리면 정삼각형이 완성됩니다.
그러므로 어떤 기하학적 문제에서 우리는 초기 기호 집합 (점과 선), 알고리즘 및 몇 가지 결과를가집니다. 이 관점에서, 기하학은 공리 적 대수학과 동일하며, 그 요소를 기호로 대체합니다. 아마 Gauss는 이것을 처음으로 깨닫고 그것을 몇몇 구조의 불가능 성을 증명하는 데 사용했습니다. 힐베르트는 기하학에 대한 완전한 공리를 발견했다.
많이 사용 된 나침반 및 직선 구조
가장 많이 사용되는 나침반 및 직선 기둥 구조는 다음과 같습니다.
세그먼트에서 수직 이등분선 만들기
세그먼트의 중간 점 찾기.
점에서 선으로 수직선 그리기.
각도를 Bisecting
행의 한 점 미러링
원에 접하는 점을 지나는 선 만들기
3 개의 비선형 점을 통해 원을 만들기
건설 가능한 지점과 길이
정식 증명
불가능한 것을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 보다 엄격한 증거는 가능한 한도를 한정하고 이러한 문제를 해결하기 위해서는 한계를 넘어서야한다는 것을 보여줍니다. 생성 될 수있는 것의 대부분은 절편 이론에 포함되어 있습니다.
우리는 두 개의 선으로 구성된 데카르트 좌표계를 사용하여 대수를 우리의 지오메트리에 연관시킬 수 있으며 벡터에 의해 우리 평면의 점을 나타낼 수 있습니다. 마지막으로이 벡터들을 복소수로 쓸 수 있습니다.
선과 원에 대한 방정식을 사용하면 선이 교차하는 점이 선상의 두 점, 원의 중심 및 원의 반경을 포함하는 최소 필드 F의 2 차 연장에 있음을 알 수 있습니다. 즉, 이들은 x + y ^ k의 형식을 취합니다. x, y 및 k는 F에 있습니다.
구성 가능한 점의 필드는 제곱근으로 닫혀 있기 때문에 합리적인 계수를 갖는 복소수 필드의 2 차 확장의 유한 시퀀스에 의해 얻을 수있는 모든 점을 포함합니다. 위의 단락에 의해, 어떤 구성 가능한 점이 그러한 일련의 확장에 의해 얻어 질 수 있다는 것을 보여줄 수있다. 이 결과로 구성 가능한 점 (따라서 구성 가능한 길이)에 대한 최소 다항식의 차수는 2의 거듭 제곱이라는 것을 알 수 있습니다. 특히 구성 가능한 점 (또는 길이)은 대수입니다. 모든 대수적 숫자는 구성 가능합니다. 예를 들어, 3√2는 대수적이지만 구성 가능하지 않습니다.
건설 가능한 각도
구성 가능한 각도와 구성 가능한 원에서 구성 가능한 점 사이에는 쌍방이 있습니다. 구성 가능한 각도는 2π를 더해 아벨 (abelian) 그룹을 형성합니다 (이는 복소수로 본 단위 원상의 점의 곱에 해당함). 구성 가능한 각도는 접선 (또는 등가 사인 또는 코사인)을 숫자로 구성 할 수있는 각도입니다. 예를 들어, 정규의 7 각형 (17면의 정다각형)은 구성 가능합니다.
가우스가 발견 한
구성 가능한 각도의 그룹은 각도를 반으로 줄인 연산 (복소수에서 제곱근을 취하는 것과 같습니다)에 따라 닫힙니다. 2 개의 포인트로 시작하는 유한 순서의 유일한 각도는 2의 거듭 제곱 또는 2의 거듭 제곱의 제품과 별개의 페르마 소수의 세트입니다. 또한 무한 순서의 구성 가능한 각도의 조밀 한 집합이 있습니다.
복잡한 산술로 나침반과 직선형 구성
유클리드 평면에서 점들의 집합이 주어지면, 임의의 방위의 선택과 함께 그들 중 하나를 0으로, 다른 하나를 1로 선택하면 점을 복소수의 집합으로 간주 할 수 있습니다.
복소수와 같은 점 집합의 이러한 해석을 감안할 때 올바른 나침반과 직선형 구성 만 사용하여 구성 가능한 점은 원래 점 집합을 포함하는 가장 작은 영역의 요소이며 복소 공역 및 제곱근 연산에서 닫힙니다 (피하기 위해 모호함, π보다 작은 복합 인수를 갖는 제곱근을 지정할 수 있음). 이 필드의 요소는 더하기, 빼기, 곱셈, 나누기, 복소 공액 및 제곱근 연산 만 사용하여 원래 점의 수식으로 표현 될 수있는 요소입니다.이 요소는 쉽게 계산할 수있는 고밀도 하위 집합의 것으로 볼 수 있습니다. 비행기. 이 6 가지 작업은 각각 간단한 나침반과 직선 자 구성에 해당합니다. 이러한 공식으로부터, 산술 연산의 각각의 구성을 결합함으로써 대응하는 점의 구성을 생성하는 것은 간단하다. 특정 지점 세트의보다 효율적인 구성은 그러한 계산의 지름길에 해당합니다.
등가 적으로 (그리고 임의로 두 점을 선택할 필요가 없음) 우리는 방향의 임의적 선택을 감안할 때 점들의 집합이 임의의 두 쌍의 점 사이의 차이의 비율에 의해 주어진 복소 비율의 집합을 결정한다고 말할 수 있습니다. 이러한 비율의 세트에서 나침반과 직선자를 사용하여 구성 가능한 비율의 세트는 원래 비율을 포함하는 가장 작은 필드이고 복소 공액 및 제곱근을 취하는 조건에서 닫힙니다.
예를 들어, 위의 두 가지 관점 중 하나를 취하는 점 또는 비율 z의 실수 부, 허수 부 및 모듈러스는 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.
</ span>
</ span>
큐브와 각도의 삼각형을 두배로 늘리면 (φ / 2π가 3으로 나눌 수없는 분모를 갖는 유리수와 같은 특별한 각도를 제외하고) 큐브 방정식에 대한 해답 인 비율이 필요하지만 원의 제곱에는 초월 적 비율. 이들 중 어느 것도 기술 된 분야에 있지 않으므로, 이것들을위한 나침반과 일직선 구조가 존재하지 않습니다.
불가능한 구조물
고대 그리스인들은 해결할 수없는 건설 문제가 단순히 완고하고 풀리지 않는 것이 아니라고 생각했습니다. 그러나 현대의 방법으로는 이러한 나침반과 직선형 구성이 논리적으로 수행이 불가능한 것으로 나타났습니다. 그러나 문제는 스스로 해결할 수 있으며 그리스인은 직선 자와 나침반 만 사용하는 제약없이 그 문제를 해결할 수있는 방법을 알고있었습니다.
서클을 squaring
원의 직각 좌표로도 알려져있는 원을 제곱하는 이러한 문제 중 가장 유명한 것은 직선과 나침반 만 사용하여 주어진 원과 동일한 영역으로 정사각형을 구성하는 것입니다.
원을 제곱하는 것은 초월적인 수 즉 √π를 생성하는 것을 포함하여 불가능하다는 것이 판명되었습니다. 오직 대수적 인 숫자 만이 눈금자와 나침반만으로 구성 될 수 있습니다. 즉, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 제곱근을 취하는 유한 순서의 정수로 구성된 정수입니다. “원을 제곱하다 (squaring the circle)”라는 말은 종종 “불가능한 일을하는 것”을 의미하는 데 사용됩니다.
통치자와 나침반만으로 해결할 필요가 없다는 제약이 없으면 문제는 다양한 기하 및 대수 수단으로 쉽게 해결할 수 있으며 여러 번 고대에서 해결되었습니다.
“원의 구적법 (quadrature of the circle)”에 가깝게 접근하는 방법은 케플러 (Kepler) 삼각형을 사용하여 얻을 수 있습니다.
큐브를 두 배로 늘림
주요 기사 : 큐브 두 배로하기
큐브를 두 배로 만드는 것은 주어진 가장자리가있는 큐브의 두 배 볼륨을 가진 큐브 가장자리의 직선형 및 나침반 만 사용하여 구성하는 것입니다. 이는 대수적이지만 2의 입방근이 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 제곱근을 가져 와서 정수에서 계산 될 수 없기 때문에 불가능합니다. 이는 이성에 대한 최소 다항식의 차수가 3이기 때문에 가능합니다.이 구조는 두 개의 자국이있는 직선 자와 나침반을 사용하여 가능합니다.
각도 삼축법
주요 기사 : 각 삼각형
각 삼각형은 직선 자와 나침반을 사용하여 주어진 임의의 각도의 3 분의 1 각도의 구성입니다. 이것은 일반적인 경우 불가능합니다. 예를 들어, π / 3 라디안 (60 °)의 각도는 3 분 할 할 수 없지만 2π / 5 라디안 (72 ° = 360 ° / 5)은 삼각 분할 될 수 있습니다. 일반적인 3 분할 문제는 두 개의 자국이있는 직선자를 허용하면 쉽게 해결할 수 있습니다 (네우스 구조).
규칙적인 다각형 만들기
일부 정다각형 (예 : 5 각형)은 직선 자 및 나침반으로 쉽게 구성 할 수 있습니다. 다른 사람들은 그렇지 않습니다. 이것은 질문에 도달했습니다 : 직선 자와 나침반이있는 모든 정다각형을 구성 할 수 있습니까?
1796 년 칼 프리드리히 가우스 (Carl Friedrich Gauss)는 규칙적인 17면 다각형을 만들 수 있다는 것을 보여 주었고, 5 년 후 n의 이상한 요소가 서로 다른 페르마 소수 인 경우 직선면과 다각형으로 일반면이있는 다각형을 만들 수 있음을 보여주었습니다. 가우스 (Gauss)는이 조건이 또한 필요하다고 추측했지만 그는 1837 년 Pierre Wantzel이 제공 한이 사실에 대한 증거를 제시하지 못했다.
처음 몇 가지 구성 가능한 규칙적인 다각형은 다음과 같은면을 가지고 있습니다 :
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (OEIS의 시퀀스 A003401)
(규칙적인 n-gon이 생성 가능하다면 규칙적인 2n-gon과 그러므로 규칙적인 4n-gon, 8n-gon 등이 있기 때문에 측면이 짝수 인 구성 가능한 정다각형의 무한한 것으로 알려져있다. ). 그러나, 단지 31 개의 알려진 구성 가능한 정규 n-gons가 있으며, 홀 수가 홀수입니다.
3 개의 주어진 특징 점 또는 길이로부터 삼각형 만들기
삼각형의 핵심 포인트는 꼭지점, 그 변의 중간 점, 고도 피트, 내부 각 이등분선, 외심, 중심, 정 중심 및 진입 점입니다. 3 가지 점에서 삼각형을 만드는 139 가지 중요한 문제를 산출하기 위해 한 번에 3 가지를 사용할 수 있습니다. 이러한 문제 중 세 가지는 다른 두 점에서 고유하게 구성 할 수있는 점을 포함합니다. 23 점의 위치가 특정 제약 조건을 준수하는 경우에만 (실제로는 무한히 많은 솔루션을 위해) 비 고유하게 구성 될 수 있습니다. 74에서 문제는 일반적인 경우에 구성 가능하다; 39에서 필요한 삼각형이 존재하지만 구성 가능하지 않다.
삼각형의 키 길이는 3 개의 측면 길이, 3 개의 고도, 3 개의 중앙값 및 3 개의 각 이등분선입니다. 세 각도와 함께, 이것들은 95 개의 구별 된 조합을 제공하는데, 그 중 63 개는 구성 가능한 삼각형을 발생시키고, 30 개는 구성 할 수없는 삼각형을 생기게하고, 그 중 2 개는 미정입니다. 201-203
타원까지의 거리
평면의 임의 점에서 원의 가장 가까운 점까지의 선분을 구성 할 수 있지만 평면의 임의 점에서 양의 이심률 타원의 가장 가까운 점까지의 선분은 일반적으로 구성 할 수 없습니다.
통치자 또는 나침반만으로 구성
mohr-Mascheroni 정리에 따르면, 나침반과 나침반으로 구성 할 수있는 경우 나침반 만 있으면 어떤 것도 만들 수 있습니다. 단, 주어진 데이터와 찾을 데이터는 개별 점 (선이나 원이 아닌)으로 구성되어야합니다 ). 이 정리의 진실은 1 차적으로 성질이 아닌 아르키메데스의 공리의 진리에 달려 있다는 것을 알아야한다. 통치자와 함께 제곱근을 갖는 것은 불가능하기 때문에 통치자와 함께 만들 수없는 것들은 나침반으로 만들 수 있습니다. 단 하나의 원과 그 중심이 주어지면 (Poncelet-Steiner 정리에 의해), 그들은 구성 될 수 있습니다.
확장 된 구조물
고대 그리스인들은 솔루션에 필요한 도구의 복잡성에 따라 구조를 세 가지 주요 범주로 분류했습니다. 건축물이 직선 자와 나침반 만 사용한 경우 평면이라고 불렀습니다. 원이 아닌 하나 이상의 원추 곡선을 필요로하는 경우에는 원뿔이라고도합니다. 세 번째 범주는 다른 두 범주 중 하나에 속하지 않는 모든 구성을 포함합니다. 이 분류는 현대의 대수적 관점과 잘 조화를 이룹니다. 필드 연산과 제곱근만을 사용하여 표현할 수있는 복소수는 평면 구조를 갖습니다. 큐브의 뿌리 추출을 포함하는 복잡한 수는 견고한 구조입니다.
필드의 언어에서 평면 인 복소수는 2의 거듭 제곱을 가지며 필드 확장자에 속하며 필드 확장자는 각 확장자가 2 도인 필드 타워로 나눌 수 있습니다. 단단한 구조를 갖는 복소수는 단지 2와 3의 소수 요소로도를 가지며 각 확장이 2 또는 3 차가있는 필드 타워의 맨 위에있는 필드 확장에 놓입니다.
견고한 구조
점은 직선 자, 나침반 및 이미 구성된 포커스, 다이렉트릭 및 편심으로 원추 곡선을 그리는 원추형 드로잉 도구를 사용하여 구성 할 수있는 경우 견고한 구성을 갖습니다. 작은 세트의 도구를 사용하여 동일한 점 집합을 구성 할 수 있습니다. 예를 들어, 나침반, 직선 자 및 점 (0,0)과 점 (1,0)과 함께 포물선 y = x2가있는 종이를 사용하면 단단한 구성을 갖는 복소수를 구성 할 수 있습니다 . 마찬가지로, 이미 구축 된 촛점과 장축을 가진 타원을 그릴 수있는 도구 (두 개의 핀과 문자열을 생각하는 것)도 마찬가지로 강력합니다.
고대 그리스인들은 입방체를 두 배로 늘리거나 임의의 각도를 삼각 화하는 것이 모두 단단한 구조임을 알고있었습니다. 아르키메데스는 정규 7 온스의 단단한 구조를 만들었습니다. 원의 구적법은 단단한 구조를 가지고 있지 않습니다.
정규 n-gon은 n = 2j3km 인 경우에만 견고한 구조를가집니다. 여기서 m은 별개의 Pierpont 소수 (2r3s + 1 형식의 소수)의 결과입니다. 그러한 n의 집합은 시퀀스이다.
7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (OEIS의 시퀀스 A051913)
정규 n-gon이 솔리드 구성이없는 n 개 세트는 시퀀스입니다.
11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (OEIS의 서열 A048136)
페르마 (Fermat) 소수와 관련된 질문과 마찬가지로, 피어 폰트 소수 (Pierpont primes)가 무한대인지 여부는 아직 공개되지 않은 질문이다.
각도 삼축법
직선 자와 나침반과 함께 임의의 각도를 삼각형화할 수있는 도구가 있다면 어떨까요? 이러한 구조는 견고한 구조이지만 이러한 도구를 사용하여 구성 할 수없는 견고한 구조의 숫자가 있습니다. 예를 들어, 우리는 그러한 도구로 큐브를 두 배로 늘릴 수 없습니다. 반면에, 단단한 구조를 가진 모든 정규 n-gon은 그런 도구를 사용하여 만들 수 있습니다.
종이 접기
종이 접기의 수학 이론은 나침반과 직선 자 건설보다 강력합니다. Huzita-Hatori 공리를 만족하는 접기는 나침반과 원뿔 그리기 도구를 사용하여 확장 된 구조물과 동일한 점 집합을 정확하게 구성 할 수 있습니다. 따라서 종이 접기는 또한 3 차 방정식 (따라서 4 차 방정식)을 풀기 위해 사용될 수 있으므로 고전적인 문제 중 2 개를 풀 수 있습니다.
눈에 띄는 눈금자
주요 기사 : Neusis 건축
아르키메데스 (Archimedes), 니코 메데스 (Nicomedes), 아폴로 니 우스 (Apollonius)는 마킹 가능한 통치자 (markable ruler)의 사용과 관련된 구성을 제시했다. 예를 들어 선분, 두 선 (또는 원) 및 점을 찍을 수 있습니다. 그 다음 주어진 점을 통과하고 세 개의 선을 교차하는 선을 그려서 교차점 사이의 거리가 주어진 선분과 같도록합니다. 그리스인들은 neusis ( “성향”, “경향”또는 “verging”)이라고 부르는데, 왜냐하면 새로운 라인이 그 경향이 있기 때문입니다. 이 확장 된 체계에서, 우리는 임의의 각도를 트리시트 (Archimedes ‘trisection 참조)하거나 (Nicomedes로 인해) 임의의 큐브 루트를 추출 할 수 있습니다. 따라서 기존 거리에 대한 비율이 3 차 또는 4 차 방정식의 해가되는 거리는 구성 가능합니다. heptagon과 같은 견고한 구조를 가진 보통의 다각형은 구성 가능합니다. John H. Conway와 Richard K. Guy는 그들 중 몇 명을 위해 건축물을 제공합니다.
Neusis 구조는 원뿔 그리기 도구보다 강력합니다. 단단한 구조가없는 복소수를 만들 수 있기 때문입니다. 사실,이 도구를 사용하면 급진주의자를 사용하여 해결할 수없는 일부 퀸틱을 해결할 수 있습니다. neusis 구조를 사용하여 7 이상의 기약 다항식을 해결할 수 없으므로이 도구를 사용하여 일반 23-gon 또는 29-gon을 구성 할 수 없다는 것이 알려져 있습니다. 벤자민 (Benjamin)과 스나이더 (Snyder)는 규칙적인 11-gon을 만드는 것이 가능하다는 것을 증명했지만 구조는주지 않았다. 이 공구를 사용하여 25 온 (gon) 또는 31 (gon)을 만들 수 있는지 여부는 여전히 열려 있습니다.
이진수 계산
1998 년 Simon Plouffe는 특정 숫자의 이진수를 계산하는 데 사용할 수있는 눈금자 및 나침반 알고리즘을 제공했습니다. 이 알고리듬은 각도의 반복 된 배수를 포함하고 약 20 개의 2 진수 이후에 물리적으로 비실용적이된다.