Construcción de compás y regla

La construcción de compás y regla, también conocida como construcción de regla y compás o construcción clásica, es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas que utilizan solo una regla y una brújula idealizadas.

Se supone que la regla idealizada, conocida como regla, es de longitud infinita y no tiene marcas con solo un borde. Se supone que la brújula se “colapsará” cuando se levanta de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, usando un procedimiento de varios pasos, una distancia puede transferirse incluso con una compás colapsada, ver el teorema de equivalencia de la brújula). Más formalmente, las únicas construcciones permisibles son las otorgadas por los primeros tres postulados de Euclides.

Resulta que cada punto que se puede construir usando regla y compás también se puede construir usando solo la brújula.

Los antiguos matemáticos griegos concibieron por primera vez construcciones de compás y regla, y una serie de problemas antiguos en geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles pero que la mayoría no lo son. Algunos de los problemas más famosos de la regla y la brújula fueron comprobados por Pierre Wantzel en 1837, utilizando la teoría matemática de los campos.

A pesar de las pruebas existentes de imposibilidad, algunos persisten en tratar de resolver estos problemas. Muchos de estos problemas se pueden resolver fácilmente, siempre que se permitan otras transformaciones geométricas: por ejemplo, es posible doblar el cubo utilizando construcciones geométricas, pero no es posible usar solo regla y compás.

En términos de álgebra, una longitud es constructible si y solo si representa un número constructible, y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número constructible. Un número es constructible si y solo si se puede escribir usando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas pero sin raíces de orden superior.

Brújula y herramientas de regla
La “brújula” y la “regla” de las construcciones de compás y regla no son idealizaciones de reglas y brújulas en el mundo real:

La brújula se puede abrir arbitrariamente de par en par, pero (a diferencia de algunas brújulas reales) no tiene marcas en ella. Los círculos solo se pueden dibujar a partir de dos puntos dados: el centro y un punto en el círculo. La brújula puede colapsar o no cuando no está dibujando un círculo.
La regla es infinitamente larga, pero no tiene marcas y tiene una sola regla, a diferencia de las reglas ordinarias. Solo se puede usar para dibujar un segmento de línea entre dos puntos o para extender un segmento existente.
La brújula moderna generalmente no colapsa y varias construcciones modernas usan esta característica. Parece que la brújula moderna es un instrumento “más poderoso” que la antigua brújula colapsante. Sin embargo, según la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides, no se pierde potencia al usar una brújula que se derrumba. Aunque la proposición es correcta, sus pruebas tienen una historia larga y accidentada.

Cada construcción debe ser exacta. “Observarlo” (esencialmente mirando la construcción y adivinando su precisión, o usando algún tipo de medida, como las unidades de medida en una regla) y acercarse no cuenta como una solución.

Cada construcción debe terminar. Es decir, debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más cercanas.

Dicho de esta manera, las construcciones de compás y regla no parecen ser un problema práctico serio; pero el propósito de la restricción es garantizar que las construcciones puedan ser exactamente correctas.

Historia
Los antiguos matemáticos griegos primero intentaron construir compás-y-regla, y descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, relaciones y raíces cuadradas de longitudes determinadas.: P. 1 También podrían construir la mitad de un ángulo dado, un cuadrado cuya área es el doble de otro cuadrado, un cuadrado que tiene la misma área que un polígono dado, y un polígono regular con 3, 4 o 5 lados: p. xi (o uno con el doble de lados de un polígono dado: pp. 49-50). Pero no pudieron construir un tercio de un ángulo dado excepto en casos particulares, o un cuadrado con la misma área que un círculo dado, o un polígono regular con otros números de lados.: P. xi Tampoco podrían construir el lado de un cubo cuyo volumen sería el doble del volumen de un cubo con un lado dado .:

Hipócrates y Menajemo demostraron que el área del cubo podría duplicarse al encontrar las intersecciones de hipérbolas y parábolas, pero éstas no pueden construirse con compás y regla. En el siglo v a. C., Hipías utilizó una curva que denominó cuadratriz para ambos trisect el ángulo general y el cuadrado del círculo, y Nicomedes en el siglo II AEC mostró cómo usar un concoide para trisecar un ángulo arbitrario; pero estos métodos tampoco pueden seguirse solo con compás y regla.

No se lograron avances en los problemas no resueltos durante dos milenios, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular con 17 lados; cinco años más tarde mostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados sea constructible. 51 ff.

En 1837 Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisectar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, basándose en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También mostró que la condición de constructividad suficiente de Gauss para los polígonos regulares también es necesaria.

Luego, en 1882, Lindemann demostró que es un número trascendental, y por lo tanto es imposible, mediante regla y brújula, construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado .:p. 47

Las construcciones básicas
Todas las construcciones de compás y regla consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas usando los puntos, líneas y círculos que ya han sido construidos. Estos son:

Creando la línea a través de dos puntos existentes
Creando el círculo a través de un punto con el centro de otro punto
Creando el punto que es la intersección de dos líneas existentes, no paralelas
Creando uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan)
Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan).
Por ejemplo, comenzando con solo dos puntos distintos, podemos crear una línea o cualquiera de dos círculos (a su vez, usando cada punto como centro y pasando por el otro punto). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Dibujar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos completa la construcción de un triángulo equilátero.

Por lo tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría es equivalente a un álgebra axiomática, reemplazando sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss primero se dio cuenta de esto, y lo usó para probar la imposibilidad de algunas construcciones; solo mucho más tarde Hilbert encontró un conjunto completo de axiomas para la geometría.

Gran cantidad de construcciones de brújula y regla
Las construcciones de brújula y regla más utilizadas incluyen:

Construyendo la bisectriz perpendicular de un segmento
Encontrar el punto medio de un segmento.
Dibujando una línea perpendicular desde un punto a una línea.
Biseccionar un ángulo
Reflejando un punto en una línea
Construyendo una línea a través de un punto tangente a un círculo
Construyendo un círculo a través de 3 puntos no colineales
Puntos y longitudes constructivos
Prueba formal
Hay muchas formas diferentes de demostrar que algo es imposible. Una prueba más rigurosa sería demarcar el límite de lo posible, y mostrar que para resolver estos problemas uno debe transgredir ese límite. Gran parte de lo que se puede construir está cubierto por la teoría de interceptar.

Podríamos asociar un álgebra a nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesianas formado por dos líneas y representar puntos de nuestro plano por vectores. Finalmente podemos escribir estos vectores como números complejos.

Usando las ecuaciones para líneas y círculos, se puede mostrar que los puntos en los que se cruzan se encuentran en una extensión cuadrática del campo F más pequeño que contiene dos puntos en la línea, el centro del círculo y el radio del círculo. Es decir, son de la forma x + y√k, donde x, y y k están en F.

Dado que el campo de puntos constructivos se cierra bajo raíces cuadradas, contiene todos los puntos que se pueden obtener mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de números complejos con coeficientes racionales. Por el párrafo anterior, se puede mostrar que cualquier punto constructivo se puede obtener mediante dicha secuencia de extensiones. Como corolario de esto, uno encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y por lo tanto de cualquier longitud constructible) es un poder de 2. En particular, cualquier punto (o longitud) constructible es un número algebraico, aunque no cada número algebraico es constructible; por ejemplo, 3√2 es algebraico pero no construible.

Ángulos constructivos
Hay una biyección entre los ángulos que son construibles y los puntos que son construibles en cualquier círculo construible. Los ángulos que son construibles forman un grupo abeliano bajo el módulo de adición 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos en el círculo unitario vistos como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalente, seno o coseno) es construible como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados) es constructible porque


como descubrió Gauss.

El grupo de ángulos que se pueden construir se cierra bajo la operación que divide los ángulos (que corresponde a tomar raíces cuadradas en los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es o bien una potencia de dos, o un producto de una potencia de dos y un conjunto de primos de Fermat distintos. Además, hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Compás de regla y compás como aritmética compleja
Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano, seleccionar uno de ellos para que se llame 0 y otro para llamarlo 1, junto con una elección arbitraria de orientación nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos.

Dada la interpretación de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos constructibles usando construcciones válidas de brújula y regla no son precisamente los elementos del campo más pequeño que contiene el conjunto original de puntos y se cierra bajo las complejas operaciones de raíz cuadrada y conjugada (para evitar ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con argumento complejo menor que π). Los elementos de este campo son precisamente los que pueden expresarse como una fórmula en los puntos originales utilizando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, conjugado complejo y raíz cuadrada, que se ve fácilmente como un subconjunto denso contable de el avión. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una construcción simple de brújula y regla. A partir de tal fórmula, es fácil producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Las construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a accesos directos en tales cálculos.

Equivalentemente (y sin necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos) podemos decir que, dada una elección arbitraria de orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de relaciones complejas dadas por las relaciones de las diferencias entre dos pares de puntos. El conjunto de proporciones que se puede construir usando brújula y regla desde un conjunto de proporciones de este tipo es precisamente el campo más pequeño que contiene las proporciones originales y cerrado bajo la forma de conjugados complejos y raíces cuadradas.

Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o relación z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son constructibles, ya que pueden expresarse como

Doblar el cubo y la trisección de un ángulo (excepto para ángulos especiales tales como cualquier φ tal que φ / 2π es un número racional con denominador no divisible por 3) requieren relaciones que son la solución a ecuaciones cúbicas, mientras que cuadrar el círculo requiere una transcendental proporción. Ninguno de estos se encuentra en los campos descritos, por lo tanto, no existe una construcción de compás y regla para estos.

Construcciones imposibles
Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no insolubles. Con los métodos modernos, sin embargo, estas construcciones de compás y regla han demostrado ser lógicamente imposible de realizar. (Los problemas mismos, sin embargo, son solucionables, y los griegos sabían cómo resolverlos, sin la restricción de trabajar solo con regla y compás).

Cuadrando el círculo
El más famoso de estos problemas, cuadrando el círculo, también conocido como la cuadratura del círculo, implica la construcción de un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solamente regla y compás.

La cuadratura del círculo ha demostrado ser imposible, ya que implica la generación de un número trascendental, es decir, √π. Solo ciertos números algebraicos se pueden construir con la regla y la brújula solos, es decir, aquellos construidos a partir de los enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y toma de raíces cuadradas. La frase “cuadrar el círculo” a menudo se usa para significar “hacer lo imposible” por esta razón.

Sin la restricción de requerir solución solo por regla y compás, el problema es fácilmente solucionable por una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos, y se resolvió muchas veces en la antigüedad.

Un método que se acerca mucho a la aproximación de la “cuadratura del círculo” se puede lograr usando un triángulo de Kepler.

Doblando el cubo
Artículo principal: duplicar el cubo
Doblar el cubo es la construcción, utilizando solo una regla y una brújula, del borde de un cubo que tiene el doble del volumen de un cubo con un borde determinado. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de números enteros por suma, resta, multiplicación, división y tomando raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene un grado 3. Esta construcción es posible usando una regla con dos marcas y una brújula.

Trisección de ángulo
Artículo principal: Trisección de ángulo
La trisección en ángulo es la construcción, usando solo una regla y una brújula, de un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, aunque el ángulo de π / 3 radianes (60 °) no se puede trisectar, el ángulo 2π / 5 radianes (72 ° = 360 ° / 5) se puede trisectar. El problema de trisección general también se resuelve fácilmente cuando se permite una regla con dos marcas (una construcción neusis).

Construyendo polígonos regulares
Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son Esto llevó a la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?

Carl Friedrich Gauss en 1796 demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años más tarde mostró que un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria, pero no ofreció ninguna prueba de este hecho, que fue proporcionada por Pierre Wantzel en 1837.

Los primeros pocos polígonos regulares que se pueden construir tienen los siguientes números de lados:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (secuencia A003401 en el OEIS)
Se sabe que hay una infinitud de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un n-gon regular es construible, entonces también lo es un 2n-gon regular y, por lo tanto, un 4n-gon regular, 8n-gon, etc. ) Sin embargo, solo hay 31 nones regulares constructibles conocidos con un número impar de lados.

Construir un triángulo a partir de tres puntos o longitudes característicos dados
Dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices, los puntos medios de sus lados, los pies de sus altitudes, los pies de sus bisectrices angulares internas, y su circuncentro, centroide, ortocentro e incentro. Se pueden tomar tres a la vez para producir 139 problemas no triviales distintos de construir un triángulo a partir de tres puntos. De estos problemas, tres implican un punto que puede construirse de manera única a partir de los otros dos puntos; 23 pueden construirse de forma no única (de hecho, para infinitas soluciones) pero solo si las ubicaciones de los puntos obedecen a ciertas restricciones; en 74, el problema es constructible en el caso general; y en 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.

Doce longitudes de clave de un triángulo son las tres longitudes de los lados, las tres altitudes, las tres medianas y las tres bisectrices angulares. Junto con los tres ángulos, estos dan 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales dan lugar a un triángulo construible, 30 de las cuales no, y dos de las cuales están subdefinidas.pp. 201-203

Distancia a una elipse
El segmento de línea desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en un círculo puede construirse, pero el segmento desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en una elipse de excentricidad positiva no puede construirse en general.

Construir con una sola regla o solo una brújula
Es posible (de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni) construir cualquier cosa con solo una brújula si puede construirse con una regla y una brújula, siempre que los datos dados y los datos que se encuentran consistan en puntos discretos (no líneas o círculos) ) Debe notarse que la verdad de este teorema depende de la verdad del axioma de Arquímedes, que no es de primer orden en la naturaleza. Es imposible tomar una raíz cuadrada con solo una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se pueden construir con una brújula; pero (por el teorema de Poncelet-Steiner) dado un solo círculo y su centro, pueden ser construidos.

Construcciones extendidas
Los antiguos griegos clasificaron las construcciones en tres categorías principales, según la complejidad de las herramientas requeridas para su solución. Si una construcción solo usaba una regla y una brújula, se llamaba planar; si también requería una o más secciones cónicas (aparte del círculo), entonces se llamaba sólido; la tercera categoría incluye todas las construcciones que no caen en ninguna de las otras dos categorías. Esta categorización encaja muy bien con nuestro punto de vista algebraico moderno. Un número complejo que se puede expresar usando solo las operaciones de campo y las raíces cuadradas (como se describió anteriormente) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye también la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.

En el lenguaje de los campos, un número complejo que es plano tiene un grado de potencia de dos y se encuentra en una extensión de campo que se puede dividir en una torre de campos donde cada extensión tiene un grado dos. Un número complejo que tiene una construcción sólida tiene grado con factores primos de solo dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que se encuentra en la parte superior de una torre de campos donde cada extensión tiene un grado 2 o 3.

Construcciones sólidas
Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir con una regla, una brújula y una herramienta de dibujo cónico (posiblemente hipotética) que puede dibujar cualquier cónica con el foco, directriz y excentricidad ya construidos. El mismo conjunto de puntos a menudo se puede construir usando un conjunto de herramientas más pequeño. Por ejemplo, usando una brújula, una regla y una hoja de papel en la que tenemos la parábola y = x2 junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga una construcción sólida. . Del mismo modo, una herramienta que puede dibujar cualquier elipse con focos ya construidos y ejes principales (piense en dos alfileres y una cuerda) es igual de poderosa.

Los antiguos griegos sabían que doblar el cubo y trisectar un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una construcción sólida del 7-gon regular. La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.

Un n-gon regular tiene una construcción sólida si y solo si n = 2j3km donde m es un producto de distintos primos de Pierpont (primos de la forma 2r3s + 1). El conjunto de tales n es la secuencia

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (secuencia A051913 en el OEIS)
El conjunto de n para el que un n-gon regular no tiene una construcción sólida es la secuencia

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (secuencia A048136 en el OEIS)
Al igual que la pregunta con los números primos de Fermat, es una pregunta abierta si hay un número infinito de primos de Pierpont.

Trisección de ángulo
¿Qué pasaría si, junto con la regla y la brújula, tuviéramos una herramienta que podría (solo) trisectar un ángulo arbitrario? Dichas construcciones son construcciones sólidas, pero existen números con construcciones sólidas que no se pueden construir utilizando dicha herramienta. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con una herramienta de este tipo. Por otro lado, cada n-gon regular que tiene una construcción sólida puede construirse usando dicha herramienta.

Origami
La teoría matemática del origami es más poderosa que la construcción de compás y regla. Los pliegues que satisfacen los axiomas de Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas usando una herramienta de dibujo de brújula y cónica. Por lo tanto, el origami también se puede usar para resolver ecuaciones cúbicas (y, por lo tanto, ecuaciones cuárticas), y así resolver dos de los problemas clásicos.

Reglas marcables
Artículo principal: construcción de Neusis
Arquímedes, Nicomedes y Apolonio dieron construcciones que implican el uso de una regla marcable. Esto les permitiría, por ejemplo, tomar un segmento de línea, dos líneas (o círculos) y un punto; y luego dibuja una línea que pasa por el punto dado e interseca tres líneas, y de tal manera que la distancia entre los puntos de intersección es igual al segmento dado. Esto los griegos llamaron neusis (“inclinación”, “tendencia” o “borde”), porque la nueva línea tiende al punto. En este esquema expandido, podemos trisectar un ángulo arbitrario (ver la trisección de Archimedes) o extraer una raíz de cubo arbitraria (debido a Nicomedes). Por lo tanto, cualquier distancia cuya relación a una distancia existente es la solución de una ecuación cúbica o cuártica es constructible. Los polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono, son constructibles; y John H. Conway y Richard K. Guy dan construcciones para varios de ellos ;.

La construcción de neusis es más poderosa que una herramienta de dibujo cónico, ya que uno puede construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, usando esta herramienta uno puede resolver algunos quínticos que no se pueden resolver usando radicales. Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreductible de grado preferencial mayor o igual a 7 usando la construcción del neusis, por lo que no es posible construir un 23-gon o 29-gon regular usando esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el 11-gon regular, pero no dieron una construcción. Todavía está abierto si se puede construir un 25-gon o 31-gon regular usando esta herramienta.

Cálculo de dígitos binarios
En 1998, Simon Plouffe dio un algoritmo de regla y compás que se puede usar para calcular los dígitos binarios de ciertos números. El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente poco práctico después de aproximadamente 20 dígitos binarios.