البناء بالبوصلة والمسطرة ، والمعروف أيضًا ببناء المسطرة والبوصلة أو البناء الكلاسيكي ، هو بناء الأطوال والزوايا والشخصيات الهندسية الأخرى باستخدام المسطرة والبوصلة المثالية فقط.

من المفترض أن يكون المسطرة المثالية ، والمعروفة باسم المسطرة ، غير محدودة الطول ، وليس لها علامات عليها بحافة واحدة فقط. يفترض أن البوصلة “تنهار” عند رفعها من الصفحة ، لذلك قد لا يتم استخدامها مباشرة لنقل المسافات. (هذا تقييد غير مهم لأنه ، باستخدام إجراء متعدد الخطوات ، يمكن نقل المسافة حتى مع البوصلة المنهارة ؛ انظر نظرية تكافؤ البوصلة.) وبشكل أكثر رسمية ، فإن الإنشاءات المسموح بها فقط هي تلك التي تمنحها إفسدات إقليدس الثلاثة الأولى.

وتبين أنها الحالة التي يمكن فيها بناء كل نقطة قابلة للتنفيذ باستخدام البوصلة المستقيمة والبوصلة باستخدام البوصلة وحدها.

علماء الرياضيات اليونانيين القدماء تصوروا أولا البوصلة ، وبنية استقامة ، وعدد من المشاكل القديمة في الهندسة الطائرة يفرض هذا القيد. طور اليونانيون القدماء العديد من المنشآت ، ولكن في بعض الحالات لم يتمكنوا من القيام بذلك. أظهر غاوس أن بعض المضلعات قابلة للتنفيذ ولكن معظمها غير قابل للتنفيذ. ثبت أن بيير وانتزل قد استحال بعض أشهر مشاكل البوصلة والاستقامة في عام 1837 باستخدام النظرية الرياضية للحقول.

على الرغم من البراهين القائمة على الاستحالة ، يستمر البعض في محاولة حل هذه المشاكل. كثير من هذه المشاكل قابلة للحل بسهولة بشرط أن تكون التحويلات الهندسية الأخرى مسموح بها: على سبيل المثال ، مضاعفة المكعب ممكن باستخدام تركيبات هندسية ، ولكن ليس ممكنًا باستخدام أداة البوصلة و البوصلة وحدها.

من حيث الجبر ، فإن الطول قابل للتنفيذ إذا وفقط إذا كان يمثل رقمًا قابلًا للتنفيذ ، وزاوية قابلة للتنفيذ إذا وفقط إذا كان جيب التمام هو رقم قابل للتنفيذ. الرقم قابل للتنفيذ فقط إذا كان يمكن كتابته باستخدام العمليات الحسابية الأساسية الأربعة واستخراج جذور مربعة ولكن بدون جذور أعلى مرتبة.

البوصلة وأدوات straightedge
إن “البوصلة” و “استقامة” البوصلة و “البناء المستقيم” هما مثالان مثاليان للحكام والبوصلات في العالم الحقيقي:

يمكن فتح البوصلة بشكل تعسفي ، ولكن (على عكس بعض البوصلات الحقيقية) ليس لها علامات على ذلك. يمكن رسم الدوائر فقط من نقطتين محددتين: المركز ونقطة على الدائرة. قد تنهار البوصلة أو لا تنهار عندما لا ترسم دائرة.
يكون المسطرة طويلة للغاية ، ولكن ليس لها علامات عليها ، ولها حافة واحدة على التوالي ، على عكس الحكام العاديين. يمكن استخدامه فقط لرسم جزء من الخط بين نقطتين أو توسيع جزء موجود.
البوصلة الحديثة عموما لا تنهار والعديد من المنشآت الحديثة تستخدم هذه الميزة. يبدو أن البوصلة الحديثة هي أداة “أكثر قوة” من البوصلة القديمة المنهارة. ومع ذلك ، من خلال الاقتراح 2 من الكتاب 1 من عناصر إقليدس ، يتم فقدان أي سلطة باستخدام بوصلة الانهيار. على الرغم من أن الاقتراح صحيح ، إلا أن البراهين لها تاريخ طويل ومدقق.

يجب أن يكون كل بناء على وجه الدقة. لا يعتبر “Eyeballing” (النظر بشكل أساسي في البناء والتخمين في دقتها ، أو استخدام بعض أشكال القياس ، مثل وحدات القياس على المسطرة) والاقتراب كحل.

يجب أن ينتهي كل بناء. بمعنى ، يجب أن يكون لها عدد محدد من الخطوات ، وليس الحد الأقصى لتقريب التقريب.

على هذا النحو ، يبدو أن البوصلة ومبنى الاستقامة هي لعبة صالون ، وليس مشكلة عملية خطيرة. لكن الغرض من التقييد هو التأكد من أنه يمكن إثبات الإنشاءات على أنها صحيحة تمامًا.

التاريخ
حاول علماء الرياضيات اليونانيون الأوائل أولاً إنشاء البوصلة والموازنة ، واكتشفوا كيفية بناء الكميات والاختلافات والمنتجات والنسب والجذور المربعة لأطوال معينة. 1 يمكن أن يقوموا أيضًا ببناء نصف زاوية معينة ، مربع بها مساحة ضعف مساحة مربع آخر ، وساحة بها نفس مساحة مضلع معين ، ومضلع منتظم مع 3 أو 4 أو 5 جوانب: p. xi (أو واحد مع ضعف عدد جوانب المضلع المعطى: ص. 49-50). لكنهم لم يتمكنوا من بناء ثلث زاوية معينة باستثناء حالات معينة ، أو مربع له نفس مساحة دائرة معينة ، أو مضلع منتظم مع أعداد أخرى من الجوانب. xi ولا يمكنهم بناء جانب المكعب الذي حجمه ضعف حجم مكعب مع جانب معين:

أظهر أبقراط وميناكيموس أن مساحة المكعب يمكن أن تتضاعف من خلال إيجاد تقاطعات الزوائد و القطوع المكافئة ، لكن لا يمكن بناء هذه البوصلة و البوصلة: في القرن الخامس قبل الميلاد ، استخدم هيبياس منحنى سماه كرابراتريكس قم بتدوير الزاوية العامة ومربع الدائرة ، وأظهرت نيكوميدس في القرن الثاني قبل الميلاد كيفية استخدام كونكويد لتطهير زاوية تعسفية ؛ ولكن هذه الطرق لا يمكن اتباعها فقط بالبوصلة والمسطرة.

لم يتم إحراز أي تقدم في المشاكل التي لم تحل منذ ألفي عام ، حتى في عام 1796 أظهر غاوس أنه يمكن بناء مضلع منتظم مع 17 جانبًا ؛ بعد مرور خمس سنوات ، أظهر معيارًا كافيًا لمضلع منتظم من الجوانب n ليكون قابلاً للانشاء. 51 صص.

في عام 1837 ، نشر بيير فينتزيل دليلاً على استحالة تقسيم زاوية تعسفية أو مضاعفة حجم مكعب ، استناداً إلى استحالة إنشاء جذور المكعب من الأطوال. كما أظهر أيضًا أن حالة قابلية البناء الكافية لمضلعات منتظمة ضرورية أيضًا.

ثم في عام 1882 أظهر ليندمان أن هو رقم متعالي ، وبالتالي فإنه من المستحيل من خلال البوصلة المستقيمة والبوصلة لبناء مربع مع نفس المنطقة كدائرة معينة:. 47

الانشاءات الأساسية
تتكون جميع البوصلة ومبنى المسطرة من التطبيق المتكرر لخمسة منشآت أساسية باستخدام النقاط والخطوط والدوائر التي تم بناؤها بالفعل. هؤلاء هم:

إنشاء الخط من خلال نقطتين موجودتين
إنشاء الدائرة من خلال نقطة واحدة مع نقطة مركز أخرى
إنشاء النقطة التي هي تقاطع بين خطين حاليين وغير متوازيين
إنشاء نقطة واحدة أو نقطتين في نقطة التقاطع بين خط ودائرة (إذا كانتا متقاطعتين)
إنشاء نقطة أو نقطتين في تقاطع دائرتين (إذا تقاطعتا).
على سبيل المثال ، بدءًا من نقطتين منفصلتين فقط ، يمكننا إنشاء خط أو أي من دائرتين (في المقابل ، استخدام كل نقطة كمركز والمرور عبر النقطة الأخرى). إذا استخلصنا كلا الدائرتين ، يتم إنشاء نقطتين جديدتين عند تقاطعاتهما. يكمل رسم الخطوط بين النقطتين الأصليتين وأحد هذه النقاط الجديدة بناء مثلث متساوي الأضلاع.

لذلك ، في أي مشكلة هندسية لدينا مجموعة أولية من الرموز (النقاط والخطوط) ، خوارزمية ، وبعض النتائج. من هذا المنظور ، فإن الهندسة تعادل الجبر البدهي ، لتحل محل عناصرها بالرموز. ربما أدرك غاوس هذا أولاً ، واستخدمه لإثبات استحالة بعض الإنشاءات ؛ بعد ذلك بقليل ، وجد هيلبرت مجموعة كاملة من البديهيات للهندسة.

تستخدم الكثير من البوصلة و المسطرة
تشمل البُنى الأكثر استخدامًا والبوصلة المستقيمة:

بناء المنصف متعامد من قطعة
العثور على نقطة الوسط للقطعة.
رسم خط عمودي من نقطة إلى خط.
تصويب زاوية
يعكس نقطة في خط
بناء خط من خلال نقطة الظل إلى دائرة
بناء دائرة من خلال 3 نقاط noncollinear
نقاط وأطوال قابلة للإنشاء
دليل رسمي
هناك العديد من الطرق المختلفة لإثبات شيء مستحيل. هناك دليل أكثر صرامة على ترسيم الحدود المحتملة ، وإظهار أنه لحل هذه المشاكل يجب على المرء تجاوز هذا الحد. يتم تغطية الكثير من ما يمكن بناؤه في نظرية الاعتراض.

يمكننا ربط الجبر بهندستها باستخدام نظام إحداثيات ديكارتية يتكون من خطين ، وتمثل نقاط طائرتنا عن طريق المتجهات. وأخيرًا ، يمكننا كتابة هذه المتجهات كأرقام معقدة.

باستخدام المعادلات الخاصة بالخطوط والدوائر ، يمكن للمرء أن يثبت أن النقاط التي يتقاطع عندها تكمن في امتداد تربيعي لأصغر حقل F يحتوي على نقطتين على الخط ، ومركز الدائرة ، ونصف قطر الدائرة. بمعنى ، أنها من النموذج x + y ،k ، حيث توجد x و y و k في F.

بما أن مجال النقاط القابلة للبناء مغلق تحت جذور مربعة ، فإنه يحتوي على كل النقاط التي يمكن الحصول عليها بواسطة تسلسل محدد من الامتدادات التربيعية لحقل الأرقام المركبة مع المعاملات العقلانية. في الفقرة السابقة ، يمكن للمرء أن يُظهر أنه يمكن الحصول على أي نقطة قابلة للبناء من خلال سلسلة من التمديدات. وكنتيجة طبيعية لهذا ، يجد المرء أن درجة الحد الأدنى من الحدود لنقطة قابلة للبناء (وبالتالي أي طول قابل للتنفيذ) هي قوة 2. على وجه الخصوص ، أي نقطة (أو طول) قابلة للبناء هي رقم جبري ، ولكن ليس كل رقم جبري قابل للتنفيذ ؛ على سبيل المثال ، 3-2 هي جبري ولكن غير قابل للانشاء.

زوايا البناء
هناك نزاع بين الزوايا التي يمكن البناء عليها والنقاط التي يمكن البناء عليها في أي دائرة قابلة للانشاء. تشكل الزوايا التي تكون قابلة للبناء مجموعة أبيليان تحت إضافة modulo 2π (الذي يطابق ضرب النقاط على دائرة الوحدة التي تُرى كأرقام معقدة). إن الزوايا التي يمكن البناء عليها هي بالضبط تلك التي يكون ظلها (أو مكافئ له ، جيب أو جيب التمام) قابلاً للبناء كرقم. على سبيل المثال ، heptadecagon العادي (المضلع العادي السبعة جوانب) قابل للانشاء

كما اكتشفها غاوس.

يتم إغلاق مجموعة الزوايا القابلة للتشييد تحت العملية التي تقلل من الزوايا (والتي تقابل أخذ الجذور المربعة في الأعداد المركبة). إن الزوايا الوحيدة للنظام المنتهي التي يمكن بناؤها بداية بنقطتين هي تلك التي يكون ترتيبها إما قوة اثنين ، أو منتج من قوة اثنين ومجموعة من الأعداد الأولية الفيرماتية المميزة. بالإضافة إلى ذلك ، هناك مجموعة كثيفة من الزوايا القابلة للتعديل من أجل غير محدود.

البوصلة والإنشاءات straightedge كما حساب معقد
وبالنظر إلى مجموعة من النقاط في المستوى الإقليدي ، فإن اختيار أي واحد منهم ليتم استدعاؤه 0 والآخر ليتم استدعاؤه 1 ، إلى جانب اختيار التوجيه التعسفي يسمح لنا بالنظر في النقاط كمجموعة من الأعداد المركبة.

بالنظر إلى مثل هذا التفسير لمجموعة من النقاط كأرقام معقدة ، فإن النقاط القابلة للبناء باستخدام البوصلة الصالحة ومخططات الاستقامة وحدها هي على وجه التحديد عناصر أصغر حقل يحتوي على مجموعة النقاط الأصلية ومغلقة تحت عمليات الجذر التربيعي المعقدة (لتجنب الغموض ، يمكننا تحديد الجذر التربيعي بوسيطة معقدة أقل من π). عناصر هذا الحقل هي بالتحديد تلك التي يمكن التعبير عنها كصيغة في النقاط الأصلية باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والاقتران المركب والجذر التربيعي ، والتي يمكن رؤيتها بسهولة كمجموعة فرعية كثيفة محسوبة الطائرة. كل من هذه العمليات الستة المقابلة لبوصلة بسيطة و البناء المستقيم. من هذه الصيغة ، من السهل إنشاء بناء للنقطة المقابلة من خلال الجمع بين الإنشاءات لكل من العمليات الحسابية. تتوافق الإنشاءات الأكثر كفاءة لمجموعة معينة من النقاط مع الاختصارات في مثل هذه الحسابات.

وبصورة متساوية (وبدون الحاجة إلى اختيار نقطتين بشكل تعسفي) يمكننا أن نقول إنه ، في ضوء اختيار تعسفي للتوجيه ، تحدد مجموعة من النقاط مجموعة من النسب المعقدة التي تعطى بنسب الاختلافات بين أي زوجين من النقاط. إن مجموعة النسب القابلة للبناء باستخدام البوصلة والموازنة من مثل هذه المجموعة من النسب هي بالتحديد أصغر حقل يحتوي على النسب الأصلية ومغلقة تحت إتحادات متقاربة وجذور مربعة.

على سبيل المثال ، الجزء الواقعي ، الجزء التخيلي والمعامل لنقطة أو نسبة z (أخذ أحد وجهتي النظر أعلاه) قابل للتنفيذ حيث يمكن التعبير عن هذه

مضاعفة مكعب وتقطيع زاوية (ما عدا الزوايا الخاصة مثل أي φ بحيث أن φ / 2π هو عدد منطقي مع مقام غير قابل للقسمة بواسطة 3) تتطلب نسبًا وهي حل المعادلات التكعيبية ، في حين يتطلب تربيع الدائرة وجود متعالي نسبة. لا شيء من هذه في الحقول الموضحة ، وبالتالي لا يوجد البوصلة ومباشرة البناء لهذا موجود.

الإنشاءات المستحيلة
اعتقد الإغريق القدماء أن مشاكل البناء التي لم يتمكنوا من حلها كانت ببساطة عنيدة وليس غير قابلة للحل. مع الطرق الحديثة ، ومع ذلك ، فقد ثبت أن هذه الهياكل البوصلة المستقيمة يكون من المستحيل منطقيا لأداء. (ومع ذلك ، فإن المشاكل نفسها قابلة للحل ، وكان الإغريق يعرفون كيف يحلونها ، دون قيود العمل فقط مع المسطرة والبوصلة).

تربيع الدائرة
تتضمن أشهر هذه المشكلات ، وهي تربيع الدائرة ، والمعروفة باسم تربيع الدائرة ، إنشاء مربع بنفس المساحة التي توجد بها دائرة معينة باستخدام المسطرة والبوصلة فقط.

لقد ثبت أن استدارة الدائرة مستحيلة ، لأنها تنطوي على توليد رقم متعالي ، أي ، √π. يمكن بناء بعض الأعداد الجبرية فقط باستخدام المسطرة والبوصلة فقط ، أي تلك التي تم إنشاؤها من الأعداد الصحيحة مع تسلسل محدد من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور المربعة. وغالبًا ما تُستخدم عبارة “تربيع الدائرة” لتعني “القيام بالمستحيل” لهذا السبب.

وبدون القيد الذي يتطلب الحل من خلال المسطرة والبوصلة وحدها ، يمكن حل المشكلة بسهولة بواسطة مجموعة واسعة من الوسائل الهندسية والجبرية ، وقد تم حلها عدة مرات في العصور القديمة.

يمكن تحقيق الطريقة التي تقترب جدًا من تقريب “تربيع الدائرة” باستخدام مثلث كبلر.

مضاعفة المكعب
المقال الرئيسي: مضاعفة المكعب
مضاعفة حجم المكعب هي البناء ، باستخدام فقط بوصلة مستقيمة وبوصلة ، لحافة مكعب يحتوي ضعف حجم مكعب ذي حافة معينة. هذا مستحيل لأن الجذر التكعيبي 2 ، على الرغم من أنه جبري ، لا يمكن حسابه من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور المربعة. هذا يتبع لأن الحد الأدنى من الحدود على العقلاء لديه درجة 3. هذا البناء ممكن باستخدام أداة مباشرة مع علامتين عليه وبوصلة.

تقطير زاوية
المادة الرئيسية: تقوس زاوية
تقوس زاوية هو البناء ، وذلك باستخدام فقط المسطرة والبوصلة ، من الزاوية التي هي ثلث زاوية تعسفية معينة. هذا مستحيل في الحالة العامة. على سبيل المثال ، على الرغم من أن زاوية rad / 3 راديان (60 °) لا يمكن تقطيعها ، فإن الزاوية 2π / 5 راديان (72 ° = 360 ° / 5) يمكن أن يتم فصلها. كما يمكن حل مشكلة التثلث العام بسهولة عندما يُسمح باستعمال مسطرة بعلامات اثنين عليها (بناء نيوسيس).

بناء المضلعات العادية
من السهل إنشاء بعض المضلعات المنتظمة (مثل البنتاغون) باستخدام المسطرة والبوصلة ؛ الآخرين ليسوا كذلك. أدى هذا إلى السؤال: هل من الممكن بناء جميع المضلعات المنتظمة مع المسطرة والبوصلة؟

أظهر كارل فريدريش غاوس في عام 1796 أنه يمكن بناء مضلع عادي من 17 جانبًا ، وبعد خمس سنوات أظهر أنه يمكن بناء مضلع منتظم من جانب n باستخدام البوصلة المستقيمة والبوصلة إذا كانت العوامل الأولية الغريبة لـ n هي فيرما الأولية المميزة. ظن غاوس أن هذا الشرط ضروري أيضا ، لكنه لم يقدم أي دليل على هذه الحقيقة ، التي قدمها بيير وانتزل في عام 1837.

تحتوي المضلعات العادية القليلة القابلة للبناء على الأعداد التالية للجوانب:

3 و 4 و 5 و 6 و 8 و 10 و 12 و 15 و 16 و 17 و 20 و 24 و 30 و 32 و 34 و 40 و 48 و 51 و 60 و 64 و 68 و 80 و 85 و 96 و 102 120 ، 128 ، 136 ، 160 ، 170 ، 192 ، 204 ، 240 ، 255 ، 256 ، 257 ، 272 … (تسلسل A003401 في OEIS)
من المعروف أن هناك عددًا لا حصر له من المضلعات العادية القابلة للبناء مع عدد زوجي من الأضلاع (لأنه إذا كان n-gon عاديًا قابلًا للبناء ، فهذا يعني أيضًا أن 2n-gon عادية ، وبالتالي 4n-gon عادية ، 8n-gon ، إلخ. ). ومع ذلك ، لا يوجد سوى 31 نون gons عادية قابلة للتنفيذ معروفة مع عدد فردي من الجوانب.

بناء مثلث من ثلاث نقاط أو أطوال مميزة
ستة عشر نقطة رئيسية من المثلث هي القمم ، ونقاط المنتصف من جوانبها ، وأقدام ارتفاعاتها ، وقدمي من المنمنمات زاوية الداخلية ، و circumcenter ، centroid ، orthocenter ، و incenter. يمكن أن تؤخذ هذه ثلاثة في وقت واحد لإعطاء 139 مشاكل بديهية متميزة لبناء مثلث من ثلاث نقاط. من بين هذه المشاكل ، تشتمل ثلاثة نقاط على نقطة يمكن بناؤها بشكل فريد من النقطتين الأخريين. 23 يمكن أن تكون غير مبنية بشكل فريد (في الواقع للعديد من الحلول غير المحدودة) ولكن فقط إذا كانت مواقع النقاط تخضع لبعض القيود ؛ في 74 المشكلة هي قابلة للتنفيذ في الحالة العامة ؛ وفي 39 يوجد المثلث المطلوب ولكنه غير قابل للتنفيذ.

اثنا عشر طولا رئيسيا للمثلث هي أطوال الأطراف الثلاثة ، والارتفاعات الثلاثة ، والوسطى الثلاثة ، ومنظورات الزوايا الثلاث. إلى جانب الزوايا الثلاث ، تعطي هذه 95 مجموعة متميزة ، 63 منها تؤدي إلى مثلث قابل للتأليف ، 30 منها لا ، واثنتان منها غير محدّدة. 201-203

المسافة إلى القطع الناقص
يمكن بناء مقطع الخط من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على دائرة ، ولكن لا يمكن بناء المقطع من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على قطع ناقص من الانحراف الإيجابي بشكل عام.

البناء مع الحاكم فقط أو البوصلة فقط
من الممكن (وفق نظرية Mohr-Mascheroni) بناء أي شيء ببوصلة فقط إذا كان من الممكن بناؤه باستخدام مسطرة وبوصلة ، شريطة أن تكون البيانات المعطاة والبيانات التي يتم العثور عليها تتكون من نقاط منفصلة (لا خطوط أو دوائر ). تجدر الإشارة إلى أن حقيقة هذه النظرية تعتمد على حقيقة بديهية أرخميدس ، وهي ليست من الدرجة الأولى في الطبيعة. من المستحيل أخذ جذر تربيعي بمسطرة فقط ، لذلك يمكن بناء بعض الأشياء التي لا يمكن بناؤها باستخدام مسطرة باستخدام البوصلة ؛ ولكن (من خلال نظرية بونسيليه – شتاينر) التي يمكن إعطاؤها دائرة واحدة ومركزها.

البناء الموسعة
صنفت الإغريق القديمة الإنشاءات إلى ثلاث فئات رئيسية ، اعتمادا على تعقيد الأدوات المطلوبة لحلها. إذا كان البناء يستخدم فقط المسطرة والبوصلة ، وكان يطلق عليه مستو. إذا تطلب الأمر أيضًا مقطعًا مخروطيًا واحدًا أو أكثر (بخلاف الدائرة) ، فقد كان يُسمى صلبة ؛ وشملت الفئة الثالثة جميع الإنشاءات التي لم تندرج في أي من الفئتين الأخريين. ينسجم هذا التصنيف بشكل جيد مع وجهة نظرنا الجبرية الحديثة. الرقم المعقد الذي يمكن التعبير عنه باستخدام العمليات الميدانية والجذور المربعة فقط (كما هو موضح أعلاه) له بنية مستوية. يحتوي الرقم المركب الذي يتضمن أيضًا استخراج جذور المكعبات على بنية صلبة.

في لغة الحقول ، يكون العدد المركب المستوي درجة قوة اثنين ، ويكمن في ملحق حقل يمكن تقسيمه إلى برج من الحقول حيث يكون لكل ملحق درجة اثنين. الرقم المركب الذي يحتوي على بنية صلبة له درجة مع عوامل أولية فقط من اثنين وثلاثة ، ويقع في ملحق حقل موجود في أعلى برج من الحقول حيث يكون لكل ملحق درجة 2 أو 3.

الانشاءات الصلبة
تحتوي النقطة على بنية صلبة إذا أمكن بناءها باستخدام أداة استقامة وبوصلة وأداة رسم مخروطية (ربما افتراضية) يمكن أن ترسم أي مخروط مع التركيز المبني بالفعل ، و directrix ، وغريب الأطوار. يمكن إنشاء نفس مجموعة النقاط باستخدام مجموعة أصغر من الأدوات. على سبيل المثال ، باستخدام البوصلة ، والمقصورة ، وقطعة من الورق التي لدينا فيها القطع المكافئ y = x2 مع النقاط (0،0) و (1،0) ، يمكن للمرء بناء أي رقم مركب له بنية صلبة . وبالمثل ، فإن الأداة التي يمكنها رسم أي شكل بيضاوي مع بؤر تم بناؤها بالفعل ومحور رئيسي (أعتقد أن دبابتين وقطعة من الخيط) هي بنفس القدر من القوة.

عرف الإغريق القدماء أن مضاعفة المكعب وتطويق زاوية تعسفية لهما بنى صلبة. أعطى أرخميدس بناء متين من 7-gon العادية. تربيع الدائرة لا يحتوي على بنية صلبة.

نون gon العادي له بنية صلبة إذا وفقط إذا كان n = 2j3km حيث m هو نتاج بريمونت بريم متميزة (الأولية من النموذج 2r3s + 1). مجموعة هذه n هي التسلسل

7 و 9 و 13 و 14 و 18 و 19 و 21 و 26 و 27 و 28 و 35 و 36 و 37 و 38 و 39 و 42 و 45 و 52 و 54 و 56 و 57 و 63 و 65 و 70 و 72 73 و 74 و 76 و 78 و 81 و 84 و 90 و 91 و 95 و 97 … (تسلسل A051913 في OEIS)
مجموعة n التي لا يوجد بها بنية n-gon عادية هي التسلسل

11 و 22 و 23 و 25 و 29 و 31 و 33 و 41 و 43 و 44 و 46 و 47 و 49 و 50 و 53 و 55 و 58 و 59 و 61 و 62 و 66 و 67 و 69 و 71 و 75 77 و 79 و 82 و 83 و 86 و 87 و 88 و 89 و 92 و 93 و 94 و 98 و 99 و 100 … (التسلسل A048136 في OEIS)
مثل السؤال مع الأعداد الأولية من Fermat ، إنه سؤال مفتوح حول ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من Pierpont الأولية.

تقطير زاوية
ماذا لو كان لدينا ، إلى جانب البوصلة المستقيمة والبوصلة ، أداة يمكنها (فقط) تعديل زاوية عشوائية؟ مثل هذه الإنشاءات هي عبارة عن منشآت صلبة ، لكن توجد أرقام ذات بنى صلبة لا يمكن بناؤها باستخدام مثل هذه الأداة. على سبيل المثال ، لا يمكننا مضاعفة المكعب بمثل هذه الأداة. من ناحية أخرى ، يمكن بناء كل n-gon العادي الذي يحتوي على بنية صلبة باستخدام هذه الأداة.

فن قص الورق
النظرية الرياضية للأوريجامي أقوى من البوصلة و البناء المستقيم. الطيات التي ترضي بديهيات هوزيتا – هاتوري يمكنها أن تبني بالضبط نفس المجموعة من النقاط مثل التركيبات الممتدة باستخدام أداة البوصلة والمخروطية. لذلك ، يمكن أيضًا استخدام الأوريجامي في حل المعادلات التكعيبية (ومن ثم معادلات الدرجة الرابعة) ، وبالتالي حل مشكلتين كلاسيكيتين.

الحكام ملحوظ
المقال الرئيسي: بناء Neusis
أعطت أرخميدس ونيكوميديس وأبولونيوس منشآت تنطوي على استخدام حاكم ملحوظ. هذا من شأنه أن يسمح لهم ، على سبيل المثال ، اتخاذ جزء من الخط ، وخطان (أو دوائر) ، ونقطة ؛ ثم رسم خط يمر عبر نقطة معينة ويتقاطع مع ثلاثة أسطر ، بحيث تكون المسافة بين نقاط التقاطع مساوية للقطعة المحددة. هذا الإغريق يدعون neusis (“ميل” ، “ميل” أو “verging”) ، لأن الخط الجديد يميل إلى النقطة. في هذا المخطط الموسع ، يمكننا تقطيع زاوية اعتباطية (انظر تقسيمات أرخميدس) أو استخراج جذر تكعيبي عشوائي (بسبب نيكوميدس). ومن ثم ، فإن أي مسافة تكون نسبةها إلى مسافة قائمة هي حل معادلة تكعيبية أو معادلة ربعية قابلة للبناء. المضلعات المنتظمة ذات الإنشاءات الصلبة ، مثل المضلع ، هي قابلة للانشاء. وجون كونواي وريتشارد ك. جاي يعطي الانشاءات للعديد منهم ؛.

إن بنية neusis أقوى من أداة الرسم المخروطي ، حيث يمكن بناء الأرقام المركبة التي ليس لها بنى صلبة. في الواقع ، باستخدام هذه الأداة يمكن حل بعض الخماسيات التي لا يمكن حلها باستخدام الجذور. من المعروف أن المرء لا يستطيع أن يحل كثير الحدود غير القابل للاختزال بدرجة أولية أكبر أو يساوي 7 باستخدام بنية neusis ، لذلك ليس من الممكن إنشاء 23-gon أو 29-gon باستخدام هذه الأداة. أثبت بنيامين وسنايدر أنه من الممكن بناء 11-غون العادية ، ولكن لم يعط البناء. ما زال مفتوحًا لمعرفة ما إذا كان 25-gon أو 31 gon عاديًا يمكن الاعتماد عليه باستخدام هذه الأداة.

حساب الأرقام الثنائية
في عام 1998 ، أعطى سيمون بلوف حاكمًا وخوارزمية بوصلة يمكن استخدامها لحساب أرقام ثنائية لأرقام معينة. تتضمن الخوارزمية المضاعفة المتكررة لزاوية ما وتصبح غير عملية عمليا بعد حوالي 20 رقم ثنائي.