La construction de boussole-et-straightedge, également connue sous le nom de construction de règle-et-boussole ou de construction classique, est la construction des longueurs, des angles, et d’autres figures géométriques utilisant seulement une règle et une boussole idéalisées.

La règle idéalisée, connue sous le nom d’une règle, est supposée être infinie dans la longueur, et n’a aucune marque sur elle avec seulement un bord. La boussole est supposée « s’effondrer » lorsqu’elle est soulevée de la page, elle peut donc ne pas être directement utilisée pour transférer des distances. (Ceci est une restriction sans importance car, en utilisant une procédure en plusieurs étapes, une distance peut être transférée même avec une boussole effondrement, voir théorème d’équivalence boussole.) Plus formellement, les seules constructions autorisées sont celles accordées par les trois premiers postulats d’Euclide.

Il s’avère que chaque point constructible à l’aide de la règle et de la boussole peut également être construit en utilisant la boussole seule.

Les anciens mathématiciens grecs ont d’abord conçu des constructions boussole-et-droites, et un certain nombre de problèmes anciens dans la géométrie plane imposent cette restriction. Les anciens Grecs ont développé de nombreuses constructions, mais dans certains cas, ils ont été incapables de le faire. Gauss a montré que certains polygones sont constructibles mais que la plupart ne le sont pas. Certains des problèmes les plus célèbres de la règle et de la boussole ont été prouvés impossibles par Pierre Wantzel en 1837, en utilisant la théorie mathématique des champs.

Malgré les preuves d’impossibilité existantes, certains persistent à essayer de résoudre ces problèmes. Beaucoup de ces problèmes sont facilement solubles à condition que d’autres transformations géométriques soient autorisées: par exemple, doubler le cube est possible en utilisant des constructions géométriques, mais pas en utilisant la règle et la boussole seules.

En termes d’algèbre, une longueur est constructible si et seulement si elle représente un nombre constructible, et un angle est constructible si et seulement si son cosinus est un nombre constructible. Un nombre est constructible si et seulement s’il peut être écrit en utilisant les quatre opérations arithmétiques de base et l’extraction de racines carrées mais pas de racines d’ordre supérieur.

Boussole et outils de straightedge
La « boussole » et la « ligne droite » des constructions de boussole et de règle sont des idéalisations de règles et de boussoles dans le monde réel:

La boussole peut être ouverte arbitrairement large, mais (contrairement à certains boussoles réelles) elle ne porte aucune marque. Les cercles ne peuvent être tirés qu’à partir de deux points donnés: le centre et un point sur le cercle. La boussole peut ou ne peut pas s’effondrer quand elle ne dessine pas un cercle.
La règle est infiniment longue, mais elle ne porte aucune marque et n’a qu’un seul bord droit, contrairement aux règles ordinaires. Il ne peut être utilisé que pour dessiner un segment de ligne entre deux points ou pour étendre un segment existant.
La boussole moderne ne s’effondre généralement pas et plusieurs constructions modernes utilisent cette fonctionnalité. Il semblerait que la boussole moderne soit un instrument «plus puissant» que l’ancienne boussole qui s’effondre. Cependant, par la proposition 2 du livre 1 des éléments d’Euclide, aucun pouvoir n’est perdu en utilisant une boussole qui s’effondre. Bien que la proposition soit correcte, ses preuves ont une histoire longue et mouvementée.

Chaque construction doit être exacte. « Regarder » (essentiellement regarder la construction et deviner sa précision, ou utiliser une forme de mesure, comme les unités de mesure sur une règle) et se rapprocher ne compte pas comme une solution.

Chaque construction doit se terminer. C’est-à-dire qu’il doit avoir un nombre fini d’étapes, et ne pas être la limite d’approximations toujours plus proches.

De cette façon, les constructions boussole et straightedge semblent être un jeu de salon plutôt qu’un problème pratique sérieux; mais le but de la restriction est de s’assurer que les constructions peuvent être prouvées exactement exactes.

Histoire
Les anciens mathématiciens grecs ont d’abord tenté de construire des compas et des droites, et ils ont découvert comment construire des sommes, des différences, des produits, des rapports et des racines carrées de longueurs données: p. 1 Ils pourraient aussi construire la moitié d’un angle donné, un carré dont la superficie est deux fois celle d’un autre carré, un carré ayant la même superficie qu’un polygone donné, et un polygone régulier avec 3, 4 ou 5 côtés: p. xi (ou une avec deux fois le nombre de côtés d’un polygone donné: pp. 49-50). Mais ils ne pouvaient pas construire un tiers d’un angle donné sauf dans des cas particuliers, ou un carré ayant la même surface qu’un cercle donné, ou un polygone régulier avec d’autres nombres de côtés. xi Ils ne pouvaient pas non plus construire le côté d’un cube dont le volume serait le double du volume d’un cube d’un côté donné.

Hippocrate et Menaechmus ont montré que l’aire du cube pouvait être doublée en trouvant les intersections d’hyperboles et de paraboles, mais celles-ci ne peuvent pas être construites par la boussole et la ligne droite. Au cinquième siècle avant notre ère, Hippias utilisait une courbe qu’il appelait quadratre. trisectez l’angle général et placez le cercle, et Nicomède au IIe siècle avant notre ère a montré comment utiliser un conchoïde pour trisecter un angle arbitraire; mais ces méthodes ne peuvent pas non plus être suivies d’une simple boussole et d’une ligne droite.

Aucun progrès sur les problèmes non résolus a été fait pendant deux millénaires, jusqu’à ce qu’en 1796 Gauss a montré qu’un polygone régulier avec 17 côtés pourrait être construit; cinq ans plus tard, il a montré le critère suffisant pour qu’un polygone régulier de n côtés soit constructible. 51 ff.

En 1837, Pierre Wantzel publie une preuve de l’impossibilité de trisecter un angle arbitraire ou de doubler le volume d’un cube, en raison de l’impossibilité de construire des racines cubiques de longueurs. Il a également montré que la condition de constructibilité suffisante de Gauss pour les polygones réguliers est également nécessaire.

Puis, en 1882, Lindemann a montré que est un nombre transcendantal, et qu’il est donc impossible, par une règle et une boussole, de construire un carré ayant la même surface qu’un cercle donné: p. 47

Les constructions de base
Toutes les constructions de boussole et de règle consistent en l’application répétée de cinq constructions de base en utilisant les points, les lignes et les cercles qui ont déjà été construits. Ceux-ci sont:

Créer la ligne à travers deux points existants
Créer le cercle à travers un point avec le centre un autre point
Création du point qui est l’intersection de deux lignes non parallèles existantes
Créer le ou les deux points à l’intersection d’une ligne et d’un cercle (s’ils se croisent)
Créer le ou les deux points à l’intersection de deux cercles (s’ils se croisent).
Par exemple, en commençant avec seulement deux points distincts, nous pouvons créer une ligne ou l’un des deux cercles (à tour de rôle, en utilisant chaque point comme centre et en passant par l’autre point). Si nous dessinons les deux cercles, deux nouveaux points sont créés à leurs intersections. Tracer des lignes entre les deux points d’origine et l’un de ces nouveaux points complète la construction d’un triangle équilatéral.

Par conséquent, dans tout problème géométrique, nous avons un ensemble initial de symboles (points et lignes), un algorithme et quelques résultats. De ce point de vue, la géométrie est équivalente à une algèbre axiomatique, remplaçant ses éléments par des symboles. Probablement, Gauss s’en rendit d’abord compte et l’utilisa pour prouver l’impossibilité de certaines constructions; Ce n’est que bien plus tard que Hilbert a trouvé un ensemble complet d’axiomes pour la géométrie.

Constructions de compas et de droites très utilisées
Les constructions boussole-et-straightedge les plus utilisées comprennent:

Construire la médiatrice à partir d’un segment
Trouver le milieu d’un segment.
Tracer une ligne perpendiculaire d’un point à une ligne.
Bisecter un angle
Miroir d’un point dans une ligne
Construire une ligne à travers un point tangent à un cercle
Construire un cercle à travers 3 points non colinéaires
Points et longueurs constructibles
Preuve formelle
Il y a plusieurs façons de prouver que quelque chose est impossible. Une preuve plus rigoureuse consisterait à délimiter la limite du possible et à montrer que pour résoudre ces problèmes, il faut transgresser cette limite. Une grande partie de ce qui peut être construit est couverte par la théorie de l’interception.

Nous pourrions associer une algèbre à notre géométrie en utilisant un système de coordonnées cartésiennes composé de deux lignes et représenter les points de notre plan par des vecteurs. Enfin, nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de nombres complexes.

En utilisant les équations pour les lignes et les cercles, on peut montrer que les points où ils se croisent se trouvent dans une extension quadratique du plus petit champ F contenant deux points sur la ligne, le centre du cercle et le rayon du cercle. Autrement dit, ils sont de la forme x + y√k, où x, y et k sont dans F.

Puisque le champ des points constructibles est fermé sous racines carrées, il contient tous les points qui peuvent être obtenus par une suite finie d’extensions quadratiques du corps de nombres complexes à coefficients rationnels. Par le paragraphe ci-dessus, on peut montrer que tout point constructible peut être obtenu par une telle suite d’extensions. Comme corollaire de ceci, on trouve que le degré du polynôme minimal pour un point constructible (et donc de toute longueur constructible) est une puissance de 2. En particulier, tout point constructible (ou longueur) est un nombre algébrique, mais pas tout nombre algébrique est constructible; par exemple, 3√2 est algébrique mais non constructible.

Angles constructibles
Il y a bijection entre les angles constructibles et les points constructibles sur tout cercle constructible. Les angles constructibles forment un groupe abélien sous addition modulo 2π (ce qui correspond à la multiplication des points sur le cercle unitaire considéré comme des nombres complexes). Les angles qui sont constructibles sont exactement ceux dont la tangente (ou de manière équivalente, sinus ou cosinus) est constructible en nombre. Par exemple, l’heptadécagone régulier (le polygone régulier à dix-sept côtés) est constructible parce que

comme l’a découvert Gauss.

Le groupe d’angles constructibles est fermé sous l’opération qui divise par deux les angles (ce qui correspond à prendre des racines carrées dans les nombres complexes). Les seuls angles d’ordre fini qui peuvent être construits à partir de deux points sont ceux dont l’ordre est soit une puissance de deux, soit un produit d’une puissance de deux et un ensemble de nombres premiers distincts de Fermat. En outre, il existe un ensemble dense d’angles constructibles d’ordre infini.

Boussole et constructions en règle comme arithmétique complexe
Étant donné un ensemble de points dans le plan euclidien, sélectionner l’un d’entre eux pour être appelé 0 et un autre pour être appelé 1, avec un choix arbitraire d’orientation nous permet de considérer les points comme un ensemble de nombres complexes.

Étant donné une telle interprétation d’un ensemble de points sous forme de nombres complexes, les points constructibles à l’aide de constructions compas et linéaires valides sont précisément les éléments du plus petit champ contenant l’ensemble original de points et fermés sous les opérations complexe conjuguée et racine carrée. ambiguïté, nous pouvons spécifier la racine carrée avec un argument complexe inférieur à π). Les éléments de ce champ sont précisément ceux qui peuvent être exprimés comme une formule dans les points originaux en utilisant seulement les opérations d’addition, soustraction, multiplication, division, conjugué complexe et racine carrée, qui est facilement considérée comme un sous-ensemble dense dénombrable. l’avion. Chacune de ces six opérations correspond à une simple boussole et à une construction en ligne droite. A partir d’une telle formule, il est simple de produire une construction du point correspondant en combinant les constructions pour chacune des opérations arithmétiques. Des constructions plus efficaces d’un ensemble particulier de points correspondent à des raccourcis dans de tels calculs.

De manière équivalente (et sans avoir besoin de choisir arbitrairement deux points), nous pouvons dire que, en choisissant arbitrairement l’orientation, un ensemble de points détermine un ensemble de rapports complexes donnés par les rapports des différences entre deux paires de points quelconques. L’ensemble des ratios constructibles à l’aide de la boussole et de la règle à partir d’un tel ensemble de rapports est précisément le plus petit champ contenant les rapports initiaux et fermé en prenant des conjugués complexes et des racines carrées.

Par exemple, la partie réelle, la partie imaginaire et le module d’un point ou rapport z (en prenant l’un des deux points de vue ci-dessus) sont constructibles car ils peuvent être exprimés comme

Doubler le cube et la trisection d’un angle (sauf pour des angles spéciaux tels que φ tels que φ / 2π est un nombre rationnel avec dénominateur non divisible par 3) nécessite des rapports qui sont la solution aux équations cubiques, alors que la quadrature du cercle nécessite un transcendantal rapport. Aucun de ceux-ci sont dans les domaines décrits, par conséquent aucune boussole et la construction straightedge pour ceux-ci existe.

Constructions impossibles
Les anciens Grecs pensaient que les problèmes de construction qu’ils ne pouvaient pas résoudre étaient simplement obstinés, pas insolubles. Avec les méthodes modernes, cependant, ces constructions boussole-et-straightedge ont été démontrées être logiquement impossible à effectuer. (Les problèmes eux-mêmes, cependant, sont résolus, et les Grecs ont su les résoudre, sans la contrainte de travailler seulement avec la règle et la boussole.)

La quadrature du cercle
Le plus célèbre de ces problèmes, qui consiste à quadriller le cercle, autrement dit la quadrature du cercle, consiste à construire un carré ayant la même surface qu’un cercle donné en utilisant uniquement la règle et la boussole.

La quadrature du cercle s’est révélée impossible, car elle implique la génération d’un nombre transcendantal, c’est-à-dire √π. Seuls certains nombres algébriques peuvent être construits avec la règle et la boussole seules, à savoir celles construites à partir des entiers avec une séquence finie d’opérations d’addition, de soustraction, de multiplication, de division et de prise de racines carrées. L’expression «quadrature du cercle» est souvent utilisée pour signifier «faire l’impossible» pour cette raison.

Sans la contrainte d’exiger la solution par la règle et la boussole seulement, le problème est facilement résoluble par une grande variété de moyens géométriques et algébriques, et a été résolu plusieurs fois dans l’antiquité.

Une méthode qui est très proche de l’approximation de la « quadrature du cercle » peut être obtenue en utilisant un triangle de Kepler.

Doubler le cube
Article principal: Doubler le cube
Doubler le cube est la construction, en utilisant seulement une règle et une boussole, du bord d’un cube qui a deux fois le volume d’un cube avec un bord donné. Ceci est impossible car la racine cubique de 2, bien qu’algébrique, ne peut pas être calculée à partir d’entiers par addition, soustraction, multiplication, division et prise de racine carrée. Cela résulte du fait que son polynôme minimal sur les rationnels a un degré 3. Cette construction est possible en utilisant une règle avec deux marques et une boussole.

Trisection d’angle
Article principal: Trisection d’angle
La trisection d’angle est la construction, utilisant seulement une règle et une boussole, d’un angle qui est le tiers d’un angle arbitraire donné. C’est impossible dans le cas général. Par exemple, bien que l’angle de π / 3 radians (60 °) ne puisse pas être trisecté, l’angle 2π / 5 radians (72 ° = 360 ° / 5) peut être trisecté. Le problème de trisection générale est également facilement résolu quand une règle avec deux marques est permise (une construction de neusis).

Construire des polygones réguliers
Certains polygones réguliers (par exemple un pentagone) sont faciles à construire avec une règle et une boussole; les autres ne le sont pas. Cela a conduit à la question suivante: est-il possible de construire tous les polygones réguliers avec la règle et la boussole?

Carl Friedrich Gauss en 1796 a montré qu’un polygone régulier à 17 côtés peut être construit et cinq ans plus tard a montré qu’un polygone régulier à n côtés peut être construit avec une règle et une boussole si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers distincts de Fermat. Gauss conjectura que cette condition était également nécessaire, mais il n’offrit aucune preuve de ce fait, fourni par Pierre Wantzel en 1837.

Les premiers polygones réguliers constructibles ont les nombres de côtés suivants:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (séquence A003401 dans l’OEIS)
On sait qu’il y a une infinité de polygones réguliers constructibles avec un nombre pair de côtés (parce que si un n-gon régulier est constructible, il en est de même un 2n-gon régulier et donc un 4n-gon régulier, 8n-gon, etc. ). Cependant, il y a seulement 31 n-gons réguliers constructibles connus avec un nombre impair de côtés.

Construire un triangle à partir de trois points ou longueurs caractéristiques donnés
Seize points clés d’un triangle sont ses sommets, les points médians de ses côtés, les pieds de ses altitudes, les pieds de ses bissectrices internes et son circoncentré, centroïde, orthocentrique et incentatoire. Ceux-ci peuvent être pris trois à la fois pour donner 139 problèmes distincts non triviaux de la construction d’un triangle à partir de trois points. Parmi ces problèmes, trois impliquent un point qui peut être construit de manière unique à partir des deux autres points; 23 peut être construit de façon non unique (en fait pour une infinité de solutions) mais seulement si les emplacements des points obéissent à certaines contraintes; en 74, le problème est constructible dans le cas général; et dans 39 le triangle requis existe mais n’est pas constructible.

Douze longueurs de clé d’un triangle sont les longueurs des trois côtés, les trois altitudes, les trois médianes et les trois médiatrices. Ensemble avec les trois angles, ils donnent 95 combinaisons distinctes, dont 63 donnent naissance à un triangle constructible, dont 30 ne le sont pas, et deux sont sous-définis. 201-203

Distance à une ellipse
Le segment de droite de n’importe quel point du plan au point le plus proche d’un cercle peut être construit, mais le segment de n’importe quel point du plan au point le plus proche sur une ellipse d’excentricité positive ne peut généralement pas être construit.

Construire avec seulement une règle ou seulement une boussole
Il est possible (selon le théorème de Mohr-Mascheroni) de construire n’importe quoi avec seulement une boussole si elle peut être construite avec une règle et une boussole, à condition que les données et les données soient constituées de points discrets (pas de lignes ou de cercles ). Il convient de noter que la vérité de ce théorème dépend de la vérité de l’axiome d’Archimède, qui n’est pas de premier ordre dans la nature. Il est impossible de prendre une racine carrée avec juste une règle, donc certaines choses qui ne peuvent pas être construites avec une règle peuvent être construites avec une boussole; mais (selon le théorème de Poncelet-Steiner) étant donné un seul cercle et son centre, ils peuvent être construits.

Constructions étendues
Les anciens Grecs classaient les constructions en trois grandes catégories, selon la complexité des outils nécessaires à leur solution. Si une construction n’utilisait qu’une règle et une boussole, elle était appelée planaire; si elle nécessitait aussi une ou plusieurs sections coniques (autres que le cercle), alors elle était appelée solide; la troisième catégorie comprenait toutes les constructions qui ne faisaient partie d’aucune des deux autres catégories. Cette catégorisation correspond bien à notre point de vue algébrique moderne. Un nombre complexe qui peut être exprimé en utilisant seulement les opérations de terrain et les racines carrées (comme décrit ci-dessus) a une construction plane. Un nombre complexe qui inclut également l’extraction de racines cubiques a une construction solide.

Dans le langage des champs, un nombre complexe qui est planaire a un degré de puissance de deux et se trouve dans une extension de champ qui peut être décomposée en une tour de champs où chaque extension a un degré deux. Un nombre complexe qui a une construction solide a un degré avec des facteurs premiers de seulement deux et trois, et réside dans une extension de champ qui est au sommet d’une tour de champs où chaque extension a un degré 2 ou 3.

Constructions solides
Un point a une construction solide s’il peut être construit en utilisant une règle, une boussole et un outil de dessin conique (éventuellement hypothétique) qui peut dessiner n’importe quelle conique avec une mise au point, une directrice et une excentricité déjà construites. Le même ensemble de points peut souvent être construit en utilisant un plus petit ensemble d’outils. Par exemple, en utilisant une boussole, une règle et un morceau de papier sur lequel on a la parabole y = x2 avec les points (0,0) et (1,0), on peut construire n’importe quel nombre complexe qui a une construction solide . De même, un outil qui peut dessiner n’importe quelle ellipse avec des foyers déjà construits et un axe majeur (pensez à deux broches et à un morceau de corde) est tout aussi puissant.

Les anciens Grecs savaient que doubler le cube et trisecter un angle arbitraire avaient tous deux des constructions solides. Archimède a donné une construction solide du 7-gon régulier. La quadrature du cercle n’a pas de construction solide.

Un n-gon régulier a une construction solide si et seulement si n = 2j3km où m est un produit de nombres premiers distincts de Pierpont (nombres premiers de la forme 2r3s + 1). L’ensemble de tels n est la séquence

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (séquence A051913 dans l’OEIS)
L’ensemble de n pour lequel un n-gon régulier n’a pas de construction solide est la séquence

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (séquence A048136 dans l’OEIS)
Comme la question avec les nombres premiers de Fermat, la question de savoir s’il existe un nombre infini de nombres premiers de Pierpont est ouverte.

Trisection d’angle
Que se passerait-il si, avec la règle et la boussole, nous disposions d’un outil qui pourrait tracer un angle arbitraire? De telles constructions sont des constructions solides, mais il existe des nombres avec des constructions solides qui ne peuvent pas être construites en utilisant un tel outil. Par exemple, nous ne pouvons pas doubler le cube avec un tel outil. D’autre part, chaque n-gon régulier qui a une construction solide peut être construit en utilisant un tel outil.

Origami
La théorie mathématique de l’origami est plus puissante que la construction de la boussole et de la règle. Les plis satisfaisant les axiomes de Huzita-Hatori peuvent construire exactement le même ensemble de points que les constructions étendues en utilisant une boussole et un outil de dessin conique. Par conséquent, l’origami peut également être utilisé pour résoudre des équations cubiques (et donc des équations quartiques), et ainsi résoudre deux des problèmes classiques.

Règles marquables
Article principal: construction de Neusis
Archimède, Nicomède et Apollonius ont donné des constructions impliquant l’utilisation d’une règle marquable. Cela leur permettrait, par exemple, de prendre un segment de ligne, deux lignes (ou cercles) et un point; puis tracez une ligne passant par le point donné et coupant trois lignes, de telle sorte que la distance entre les points d’intersection soit égale au segment donné. C’est ce que les Grecs appellent neusis («inclination», «tendance» ou «verging»), parce que la nouvelle ligne tend au but. Dans ce schéma étendu, nous pouvons trisecter un angle arbitraire (voir la trisection d’Archimède) ou extraire une racine cubique arbitraire (due à Nicomède). Par conséquent, toute distance dont le rapport à une distance existante est la solution d’une équation cubique ou quartique est constructible. Les polygones réguliers avec des constructions solides, comme l’heptagone, sont constructibles; et John H. Conway et Richard K. Guy donnent des constructions pour plusieurs d’entre eux.

La construction de neusis est plus puissante qu’un outil de dessin conique, car on peut construire des nombres complexes qui n’ont pas de constructions solides. En fait, en utilisant cet outil, on peut résoudre certains problèmes qui ne peuvent pas être résolus en utilisant des radicaux. On sait que l’on ne peut pas résoudre un polynôme irréductible de degré supérieur supérieur ou égal à 7 en utilisant la construction de neusis, il n’est donc pas possible de construire un 23-gon ou 29-gon régulier en utilisant cet outil. Benjamin et Snyder ont prouvé qu’il est possible de construire le 11-gon régulier, mais n’a pas donné de construction. Il est toujours possible de savoir si un 25-gon ou 31-gon normal est constructible en utilisant cet outil.

Calcul des chiffres binaires
En 1998, Simon Plouffe a donné un algorithme de règle et de boussole qui peut être utilisé pour calculer les chiffres binaires de certains nombres. L’algorithme implique le doublement répété d’un angle et devient physiquement impraticable après environ 20 chiffres binaires.