Конструкция компаса и линейки, также известная как конструкция линейки и компаса или классическая конструкция, представляет собой конструкцию длин, углов и других геометрических фигур, используя только идеализированную линейку и компас.

Идеализированная линейка, известная как линейка, считается бесконечной по длине и не имеет на ней никаких разметок только с одним ребром. Предполагается, что компас «сжимается» при снятии со страницы, поэтому его нельзя напрямую использовать для переноса расстояний. (Это несущественное ограничение, поскольку, используя многоступенчатую процедуру, расстояние может передаваться даже с коллапсирующим компасом, см. Теорему эквивалентности компаса.) Более формально единственными допустимыми конструкциями являются те, которые были предоставлены в первых трех постулатах Евклида.

Оказывается, что каждая точка, построенная с помощью линейки и компаса, также может быть построена с использованием только компаса.

Древнегреческие математики сначала задумывали конструкции компаса и прямой, и ряд древних проблем в плоской геометрии налагают это ограничение. Древние греки разработали множество конструкций, но в некоторых случаях не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые полигоны являются конструктивными, но большинство из них не являются. Некоторые из самых известных проблем с прямым и компасом были доказаны невозможным Пьером Хотзелем в 1837 году, используя математическую теорию полей.

Несмотря на существующие доказательства невозможности, некоторые упорствуют в попытке решить эти проблемы. Многие из этих проблем легко разрешимы при условии, что допускаются другие геометрические преобразования: например, удвоение куба возможно с использованием геометрических конструкций, но невозможно использовать только линейку и компас.

В терминах алгебры длина конструктивна тогда и только тогда, когда она представляет собой конструктивное число, а угол конструктивен тогда и только тогда, когда его косинус является конструктивным числом. Число является конструктивным тогда и только тогда, когда оно может быть записано с использованием четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней, но не из корней более высокого порядка.

Компас и линейные инструменты
«Компас» и «линейка» компаса и линейных конструкций — это идеализации правителей и компасов в реальном мире:

Компас можно открыть сколь угодно широко, но (в отличие от некоторых реальных компасов) он не имеет на нем никаких надписей. Круги можно рисовать только из двух заданных точек: центра и точки на круге. Компас может или не рухнет, когда он не рисует круг.
Прямолинейность бесконечно длинная, но на ней нет разметки и имеет только один прямой край, в отличие от обычных правителей. Его можно использовать только для создания сегмента линии между двумя точками или для расширения существующего сегмента.
Современный компас обычно не разрушается, и некоторые современные конструкции используют эту функцию. Казалось бы, современный компас является «более мощным» инструментом, чем древний коллапсирующий компас. Однако по предложению 2 Книги 1 Элементов Евклида никакая сила не теряется при использовании свертывающегося компаса. Хотя предложение верно, его доказательства имеют длинную и клетчатую историю.

Каждая конструкция должна быть точной. «Наблюдение за ним» (по сути, глядя на конструкцию и угадывая ее точность или используя какую-то форму измерения, например единицы измерения на линейке) и приближаясь, не считается решением.

Каждая конструкция должна заканчиваться. То есть он должен иметь конечное число шагов и не быть пределом все более приближенных приближений.

Таким образом, компас и линейные конструкции кажутся игру в гостиную, а не серьезной практической проблемой; но цель ограничения заключается в том, чтобы убедиться, что конструкции могут быть абсолютно точными.

история
Древнегреческие математики сначала попытались построить компас-и-прямолинейные конструкции, и они обнаружили, как строить суммы, различия, продукты, отношения и квадратные корни заданной длины. Они также могли бы построить половину заданного угла, квадрат, площадь которого вдвое больше площади другого квадрата, квадрат с той же площадью, что и заданный многоугольник, и правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами: стр. xi (или один с удвоенным числом сторон данного многоугольника: стр. 49-50). Но они не могли построить одну треть данного угла, кроме как в отдельных случаях, или квадрат с той же площадью, что и заданный круг, или регулярный многоугольник с другими числами сторон.: P. xi Они также не могли построить сторону куба, объем которой был бы вдвое больше объема куба с данной стороной:

Гиппократ и Менахмус показали, что площадь куба можно удвоить, найдя пересечения гиперболы и параболы, но они не могут быть построены компасом и линейкой: в пятом веке до нашей эры Хиппиус использовал кривую, которую он назвал квадратикой для обоих trisect общий угол и квадрат круга, а Nicomedes во втором веке до нашей эры показал, как использовать раковину, чтобы разрезать произвольный угол ;, но эти методы также не могут сопровождаться просто компасом и линейкой.

Никакого прогресса по нерешенным проблемам не было сделано в течение двух тысячелетий, пока в 1796 году Гаусс не показал, что можно построить правильный многоугольник с 17 сторонами; пять лет спустя он показал достаточный критерий для правильного многоугольника n сторон.: pp. 51 ff.

В 1837 году Пьер Хотзель опубликовал доказательство невозможности тривизации произвольного угла или удвоения объема куба, основанного на невозможности построения кубических корней длин. Он также показал, что достаточное условие конструктивности Гаусса для правильных многоугольников также необходимо.

Затем в 1882 году Линдеман показал, что является трансцендентальным числом и, следовательно, невозможно, чтобы линейка и компас могли построить квадрат с той же площадью, что и заданный круг. 47

Основные конструкции
Все компасные и линейные конструкции состоят из повторного применения пяти базовых конструкций с использованием уже построенных точек, линий и кругов. Эти:

Создание линии через две существующие точки
Создание круга через одну точку с центром другой точки
Создание точки, которая является пересечением двух существующих, непараллельных линий
Создание одной или двух точек в пересечении прямой и круга (если они пересекаются)
Создание одной или двух точек на пересечении двух кругов (если они пересекаются).
Например, начиная с двух разных точек, мы можем создать линию или любой из двух кругов (в свою очередь, используя каждую точку как центр и проходящую через другую точку). Если мы рисуем оба круга, на их пересечениях создаются две новые точки. Рисование линий между двумя исходными точками и одной из этих новых точек завершает построение равностороннего треугольника.

Поэтому в любой геометрической задаче мы имеем начальный набор символов (точек и линий), алгоритм и некоторые результаты. С этой точки зрения геометрия эквивалентна аксиоматической алгебре, заменяя ее элементы символами. Вероятно, Гаусс впервые осознал это и использовал его, чтобы доказать невозможность некоторых конструкций; только намного позже Гильберт нашел полный набор аксиом для геометрии.

Многочисленные конструкции с компасом и прямой конструкцией
Наиболее используемые конструкции компаса и линейки включают:

Построение перпендикулярного биссектрисы из сегмента
Поиск середины сегмента.
Рисование перпендикулярной линии от точки к линии.
Разделение угла
Зеркалирование точки в строке
Построение линии через точку, касательную к кругу
Построение круга через 3 неколлинеарные точки
Конструктивные точки и длины
Формальное доказательство
Существует много разных способов доказать, что что-то невозможно. Более строгое доказательство заключалось бы в том, чтобы разграничить предел возможного и показать, что для решения этих проблем нужно преодолеть этот предел. Большая часть того, что может быть построена, рассматривается в теории перехвата.

Мы могли бы связать алгебру с нашей геометрией с помощью декартовой системы координат, состоящей из двух прямых, и представить точки нашей плоскости векторами. Наконец, эти векторы можно записать как комплексные числа.

Используя уравнения для линий и окружностей, можно показать, что точки, в которых они пересекаются, лежат в квадратичном расширении наименьшего поля F, содержащего две точки на прямой, центр круга и радиус окружности. То есть они имеют вид x + y√k, где x, y и k находятся в F.

Так как поле конструктивных точек замкнуто под квадратными корнями, оно содержит все точки, которые могут быть получены конечной последовательностью квадратичных расширений поля комплексных чисел с рациональными коэффициентами. В приведенном выше параграфе можно показать, что любая конструктивная точка может быть получена такой последовательностью расширений. В качестве следствия этого следует, что степень минимального многочлена для конструктивной точки (и, следовательно, любой конструктивной длины) является степенью 2. В частности, любая конструктивная точка (или длина) является алгебраическим числом, хотя и не является каждое алгебраическое число конструктивно; например, 3√2 является алгебраическим, но неконструктивным.

Конструктивные углы
Существует биекция между конструктивными углами и точками, которые можно построить на любом конструктивном круге. Углы, которые являются конструктивными, образуют абелеву группу при добавлении по модулю 2π (что соответствует умножению точек на единичной окружности, рассматриваемых как комплексные числа). Углы, которые являются конструктивными, являются точно такими, что касательная (или, что то же самое, синус или косинус) конструктивна как число. Например, обычный гептадекагон (семнадцатигранный правильный многоугольник) является конструктивным, потому что

как было обнаружено Гаусс.

Группа конструктивных углов закрывается при операции, которая уменьшает углы (что соответствует принятию квадратных корней в комплексных числах). Единственными углами конечного порядка, которые могут быть построены, начиная с двух точек, являются те, порядок которых является либо степенью двух, либо произведением степени два и множества различных простых чисел Ферма. Кроме того, существует плотное множество конструктивных углов бесконечного порядка.

Компас и линейные конструкции как сложная арифметика
Учитывая множество точек в евклидовой плоскости, выбирая любой из них, который следует называть 0, а другой, который будет называться 1, вместе с произвольным выбором ориентации позволяет рассматривать точки как множество комплексных чисел.

При любой такой интерпретации множества точек как комплексных чисел точки, конструктивные с использованием только действующих компасов и линейных конструкций, являются в точности элементами наименьшего поля, содержащего исходный набор точек и замкнутым относительно комплексно сопряженных и квадратичных операций (во избежание двусмысленность, мы можем указать квадратный корень со сложным аргументом меньше, чем π). Элементами этого поля являются те, которые могут быть выражены как формула в исходных точках, используя только операции сложения, вычитания, умножения, деления, комплексного сопряжения и квадратного корня, что легко видеть как счетное плотное подмножество самолет. Каждая из этих шести операций соответствует простой конструкции компаса и линейки. Из такой формулы легко построить конструкцию соответствующей точки, объединив конструкции для каждой из арифметических операций. Более эффективные конструкции определенного набора точек соответствуют ярлыкам в таких вычислениях.

Эквивалентно (и без необходимости произвольно выбирать две точки) можно сказать, что при произвольном выборе ориентации множество точек определяет набор комплексных соотношений, определяемых соотношениями различий между любыми двумя парами точек. Множество соотношений, построенных с использованием компаса и линейки из такого набора коэффициентов, является как раз наименьшим полем, содержащим исходные отношения и закрытым при принятии комплексных сопряженных и квадратных корней.

Например, реальная часть, мнимая часть и модуль точки или отношения z (взяв одну из двух точек зрения выше), являются конструктивными, поскольку они могут быть выражены как

Удвоение куба и трисекция угла (за исключением особых углов, таких как любое φ, что φ / 2π — рациональное число с знаменателем, не делящимся на 3), требуют соотношений, которые являются решением кубических уравнений, а квадратизация круга требует трансцендентного соотношение. Ни одно из них не указано в описанных полях, поэтому для них не существует компаса и конструкции линейки.

Невозможные конструкции
Древние греки считали, что проблемы строительства, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. Однако, используя современные методы, эти конструкции с компасом и прямой конструкцией оказались логически невозможными. (Однако сами проблемы разрешимы, и греки знали, как их решать, без ограничения работы только с линейкой и компасом).

Квадратирование круга
Самая известная из этих проблем, возводимая в квадрат круга, иначе известная как квадратура круга, включает в себя построение квадрата с той же площадью, что и заданный круг, с использованием только линейки и компаса.

Скручивание круга оказалось невозможным, поскольку оно включает в себя создание трансцендентного числа, т. Е. √π. Только некоторые алгебраические числа могут быть построены только с линейкой и компасом, а именно с целыми числами с конечной последовательностью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия квадратных корней. Фраза «возведение в квадрат круга» часто используется для обозначения «делать невозможное» по этой причине.

Без ограничения требовать решения только линейкой и компасом проблема легко разрешима множеством геометрических и алгебраических средств и была решена много раз в древности.

Метод, который приближается к приближению «квадратуры круга», может быть достигнут с помощью треугольника Кеплера.

Удвоение куба
Основная статья: Удвоение куба
Удвоение куба — это конструкция, использующая только прямой край и компас, края куба, который имеет вдвое больше объема куба с заданным ребром. Это невозможно, потому что кубический корень из 2, хотя и алгебраический, не может быть вычислен из целых чисел путем сложения, вычитания, умножения, деления и принятия квадратных корней. Это следует из того, что его минимальный многочлен над рациональными имеет степень 3. Эта конструкция возможна с помощью линейки с двумя метками на ней и компасом.

Угловая трисекция
Основная статья: Угловая трисекция
Угловая трисекция — это конструкция, использующая только линейку и компас, угол которого составляет одну треть от заданного произвольного угла. Это невозможно в общем случае. Например, хотя угол π / 3 радианов (60 °) не может быть разрезан, угол 2π / 5 радиан (72 ° = 360 ° / 5) можно разделить на три. Общая проблема трисекции также легко решается, когда допускается линейка с двумя метками на ней (конструкция neusis).

Построение правильных многоугольников
Некоторые правильные многоугольники (например, пятиугольник) легко построить с помощью линейки и компаса; другие — нет. Это привело к вопросу: возможно ли построить все правильные многоугольники с линейкой и компасом?

Карл Фридрих Гаусс в 1796 году показал, что можно построить обычный 17-гранный многоугольник, и через пять лет можно было бы построить обычный n-сторонний многоугольник с линейной связью и компасом, если нечетные простые множители n являются отдельными пермамами Ферма. Гаусс предположил, что это условие также необходимо, но он не дал никаких доказательств этого факта, который был предоставлен Пьером Хотзелем в 1837 году.

Первые несколько конструктивных правильных многоугольников имеют следующие числа сторон:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (последовательность A003401 в OEIS)
Известно, что существует бесконечность конструктивных правильных многоугольников с четным числом сторон (поскольку, если регулярный n-угольник является конструктивным, то и регулярный 2n-угольник и, следовательно, регулярный 4n-угольник, 8n-угольник и т. Д. ). Однако существует только 31 известных конструктивных регулярных n-угольника с нечетным числом сторон.

Построение треугольника из трех заданных характерных точек или длин
Шестнадцатью ключевыми точками треугольника являются его вершины, середины его сторон, ноги его высот, ноги его внутренних биссектрисов угла и его окружность, центроид, ортоцентр и инцентент. Их можно взять по три за раз, чтобы получить 139 отдельных нетривиальных задач построения треугольника из трех точек. Из этих проблем три включают точку, которая может быть однозначно построена из двух других точек; 23 может быть не однозначно построено (фактически для бесконечного числа решений), но только если местоположения точек подчиняются определенным ограничениям; в 74 проблема строится в общем случае; и в 39 существует требуемый треугольник, но он не является конструктивным.

Двенадцать ключевых длин треугольника — это три стороны длины, три высоты, три медиан и три угла биссектрисы. Вместе с тремя углами они дают 95 различных комбинаций, 63 из которых приводят к конструктивному треугольнику, 30 из которых не соответствуют, а два из них не определены.: Pp. 201-203

Расстояние до эллипса
Можно построить контур линии от любой точки плоскости до ближайшей точки на окружности, но отрезок от любой точки плоскости до ближайшей точки на эллипсе положительного эксцентриситета вообще не может быть построен.

Построение с помощью только линейки или только компаса
Возможно (согласно теореме Мора-Маскерони) построить что-либо только с компасом, если оно может быть построено с линейкой и компасом при условии, что данные и данные, которые должны быть найдены, состоят из дискретных точек (а не линий или кругов ). Следует отметить, что истина этой теоремы зависит от истины аксиомы Архимеда, которая не носит первостепенный характер. Невозможно взять квадратный корень только с правителем, поэтому некоторые вещи, которые нельзя построить с помощью линейки, можно построить с помощью компаса; но (по теореме Понселе-Штейнера), заданной одной окружностью и ее центром, они могут быть построены.

Расширенные конструкции
Древние греки классифицировали конструкции на три основные категории, в зависимости от сложности инструментов, необходимых для их решения. Если конструкция использовала только линейку и компас, она называлась планарной; если он также требовал одного или нескольких конических сечений (кроме круга), то он назывался сплошным; третья категория включала все конструкции, которые не попадали ни в одну из двух других категорий. Эта классификация хорошо сочетается с нашей современной алгебраической точки зрения. Сложное число, которое может быть выражено с использованием только полевых операций и квадратных корней (как описано выше), имеет плоскую конструкцию. Комплексное число, которое включает также извлечение корней куба, имеет прочную конструкцию.

На языке полей сложное число, которое является плоским, имеет степень степени два и лежит в расширении поля, которое может быть разбито на башню полей, где каждое расширение имеет степень два. Комплексное число, имеющее сплошную конструкцию, имеет степень с первичными коэффициентами только двух и трех и лежит в расширении поля, которое находится на вершине башни полей, где каждое расширение имеет степень 2 или 3.

Твердые конструкции
Точка имеет сплошную конструкцию, если ее можно построить с помощью линейки, компаса и (возможно, гипотетического) инструмента рисования коники, который может нарисовать любую конику с уже сконструированным фокусом, директрисом и эксцентриситетом. Тот же набор точек часто может быть построен с использованием меньшего набора инструментов. Например, используя компас, линейку и лист бумаги, на котором у нас есть парабола y = x2 вместе с точками (0,0) и (1,0), можно построить любое комплексное число, имеющее сплошную конструкцию , Аналогично, инструмент, который может нарисовать любой эллипс с уже построенными фокусами и большой осью (думаю, два булавки и кусок струны), так же эффективен.

Древние греки знали, что удвоение куба и тривитация произвольного угла имеют сплошные конструкции. Архимед дал прочную конструкцию обычного 7-гона. Квадратура круга не имеет сплошной конструкции.

Правильный n-угольник имеет сплошную конструкцию тогда и только тогда, когда n = 2j3km, где m — произведение различных простых чисел Пирпонта (простые числа вида 2r3s + 1). Множество таких n является последовательностью

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (последовательность A051913 в OEIS)
Множество n, для которого регулярный n-угольник не имеет сплошной конструкции, представляет собой последовательность

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (последовательность A048136 в OEIS)
Как вопрос с простыми словами Ферма, остается открытым вопрос о том, существует ли бесконечное число простых чисел Пьерпонта.

Угловая трисекция
Что, если бы вместе с линейкой и компасом у нас был инструмент, который мог бы (только) разрезать произвольный угол? Такие конструкции являются сплошными конструкциями, но существуют числа с твердыми конструкциями, которые не могут быть построены с использованием такого инструмента. Например, мы не можем удвоить куб с помощью такого инструмента. С другой стороны, каждый правильный n-угольник, имеющий сплошную конструкцию, может быть построен с использованием такого инструмента.

Оригами
Математическая теория оригами более мощна, чем компас и конструкция линейки. Складки, удовлетворяющие аксиомам Huzita-Hatori, могут построить точно такой же набор точек, что и расширенные конструкции, используя инструмент для компаса и конического рисования. Поэтому оригами можно также использовать для решения кубических уравнений (и, следовательно, четвертичных уравнений) и, таким образом, решить две из классических задач.

Знаменитые правители
Основная статья: строительство Neusis
Архимед, Никомед и Аполлоний дали конструкции с использованием знаковой линейки. Это позволило бы, например, взять сегмент линии, две линии (или круги) и точку; а затем нарисуйте линию, проходящую через данную точку и пересекающую три линии и такую, что расстояние между точками пересечения равно заданному отрезку. Это греки называли neusis («склонность», «тенденция» или «граничащая»), потому что новая линия имеет тенденцию к точке. В этой расширенной схеме мы можем разрезать произвольный угол (см. Треугольник Архимеда) или извлечь произвольный корень куба (из-за Никомеда). Следовательно, любое расстояние, отношение которого к существующему расстоянию является решением кубического или квартирного уравнения, является конструктивным. Правильные многоугольники с твердыми конструкциями, как и семиугольник, конструктивны; и Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай дают конструкции для нескольких из них ;.

Конструкция neusis более мощная, чем инструмент для рисования конуса, поскольку можно построить сложные числа, которые не имеют сплошных конструкций. Фактически, используя этот инструмент, можно решить некоторые квинтики, которые не разрешаются с использованием радикалов. Известно, что невозможно решить неприводимый многочлен простой степени, большей или равной 7, используя конструкцию neusis, поэтому с помощью этого инструмента невозможно построить обычный 23-угольник или 29-угольник. Бенджамин и Снайдер доказали, что можно построить обычный 11-угольник, но не давали конструкции. По-прежнему остается открытым вопрос о том, является ли обычный 25-горон или 31-угольник конструктивным с использованием этого инструмента.

Вычисление двоичных цифр
В 1998 году Саймон Плуфф дал алгоритм линейки и компаса, который можно использовать для вычисления двоичных цифр некоторых чисел. Алгоритм включает повторное удвоение угла и становится физически непрактичным после примерно 20 двоичных цифр.