토폴로지 최적화

토폴로지 최적화 (TO)는 시스템의 성능을 극대화한다는 목적으로 주어진 하중 집합, 경계 조건 및 제약 조건에 대해 주어진 설계 공간 내에서 재료 레이아웃을 최적화하는 수학적 방법입니다. TO는 사전 정의 된 구성을 다루는 대신 디자인이 디자인 공간 내에서 어떤 모양을 얻을 수 있다는 점에서 모양 최적화 및 사이징 최적화와 다릅니다.

기존의 TO 공식은 유한 요소법 [FEM]을 사용하여 설계 성능을 평가합니다. 디자인은 최적 성 기준 알고리즘과 같은 그라디언트 기반 수학 프로그래밍 기술과 점진적 방법 또는 유전 알고리즘과 같은 비 그라디언트 기반 알고리즘을 사용하는 방법을 사용하여 최적화됩니다.

토폴로지 최적화는 항공 우주, 기계, 생화학 및 토목 공학 분야의 광범위한 응용 분야를 보유하고 있습니다. 현재 엔지니어는 설계 프로세스의 개념 수준에서 TO를 주로 사용합니다. 자연스럽게 발생하는 자유로운 형태로 인해 결과를 제조하기가 어렵습니다. 이러한 이유로 TO에서 나오는 결과는 종종 제조 가능성에 맞게 조정됩니다. 제조 가능성을 높이기 위해 제제에 제약 조건을 추가하는 것이 연구의 활발한 분야입니다. 경우에 따라 첨가제 제조를 통해 TO의 결과를 직접 제조 할 수 있습니다. TO는 첨가제 제조를위한 핵심 설계 부분입니다.

역사
수학에서 파생 된이 방법은 Ole Sigmund의 창립자 기사와 함께 2000 년대 역학에 대해 명확하게 정의되고 설명되어 사용 가능하도록 만들어졌습니다.

점차 고도화 된 토폴로지 최적화 소프트웨어를 사용하여 엔지니어는 강점이나 유연성을 유지 또는 향상시키면서 (필요한 경우) 객체에 가능한 재료를 절약 할 수 있으며 이전에 직감을 기반으로 한 작업을 고려할 수 있습니다. 시행 착오 및 / 또는 제작자 및 / 또는 제조 엔지니어의 천재성을 포함 할 수 있습니다.

아주 간단한 예는 자전거 바퀴의 쐐기 수의 최적화 된 감소입니다. 지금까지 단순한 형태 만이 고려되었는데, 왜냐하면이 소프트웨어는 계산에서 매우 욕심이 많거나 요청 된 작업의 복잡성으로 인해 신속하게 제한되기 때문입니다

2017 년 10 월 네이처 (Nature) 지에서 덴마크 대학의 연구자들은 큰 물체에 대해이 작업을 수행하여 가능한 해상도를 향상시키는 방법을 제시합니다 (이미지 2d는 픽셀로 구성되는 반면 3D 이미지는 보셀로 구성됩니다. 최적화 된 3D 모델의 해상도는 500 만개의 보셀로 제한되었지만, 새로운 프로그램은 개체를 최대 10 억 보셀로 최적화하여 내부에서 보강하면서 보잉 777 라이터의 날개를 5 % 가량 최적화하는 모델링 및 재 설계가 가능합니다 그리드보다는 오히려 구부러진 세로 및 대각선 갈비로 … 연간 200 톤의 등유를 절약 할 수 있습니다. 이것은 수퍼 컴퓨터에 의한 계산 일을 필요로합니다.이 디자인은 일부 뼈나 내부의 내부를 연상시킵니다 곤충 외골격)은 현재 “다루기 힘든”것이지만, 3D 인쇄의 진전은 곧 우리의 손에 넣을 수있을 것입니다.

문제 설명
토폴로지 최적화 문제는 다음과 같은 일반적인 형태의 최적화 문제로 작성할 수 있습니다.

$& F = F (\ mathbf {u (\ rho), \ rho}) = \ int _ {\ omega} f {\ displaystyle {\ begin {aligned} G_ {0} (\ rho) = \ int _ {\ 오메가} \ rho \와 같은 연산자를 사용할 수 있습니다 (\ mathbf {u (\ rho), \ rho}) \ mathrm { mathrm {d} V-V_ {0} \ leq 0 \\ &&& G_ {j} (\ mathbf {\}, \ rho) \ leq 0 {\ text {with}} j = 1, ... , m \ end {aligned}}}$

문제 문은 다음을 포함합니다.

목적 함수 ${\ displaystyle F (\ mathbf {u (\ rho), \ rho})}$ . 이 함수는 최상의 성능을 위해 최소화되는 양을 나타냅니다. 가장 일반적인 목적 함수는 컴플라이언스입니다. 컴플라이언스를 최소화하면 구조의 강성이 극대화됩니다.

문제가되는 변수로서의 물질 분포. 이것은 각 위치에서 재료의 밀도로 설명됩니다 ${\ displaystyle \ scriptstyle \ rho (\ mathbf {u})}$ . 물질은 존재하거나 1로 표시되거나 존재하지 않으며 0으로 표시됩니다.

디자인 공간 $\ scriptstyle (\ Omega)$ . 이는 설계가 존재할 수있는 허용 가능한 볼륨을 나타냅니다. 조립 및 포장 요구 사항, 사람 및 도구 접근성은이 공간을 식별 할 때 고려해야 할 몇 가지 요소입니다. 디자인 공간의 정의에 따라 최적화 과정에서 수정할 수없는 모델의 영역 또는 구성 요소는 비 디자인 영역으로 간주됩니다.

$\ scriptstyle m$ 제약 ${\ displaystyle \ scriptstyle G_ {j} (\ mathbf {u} (\ rho), \ rho) \ leq 0}$ 해결책이 만족시켜야하는 특성. 예를 들어, 분배 할 재료의 최대량 (용적 제약) 또는 최대 응력 값이 있습니다.

평가 중

{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {u (\ rho)}}

종종 미분 방정식을 푸는 것을 포함합니다. 이 방정식은 알려진 분석 솔루션이 없기 때문에 유한 요소법을 사용하여 가장 일반적으로 수행됩니다.

구현 방법론
TO 문제를 해결하는 데 사용 된 다양한 구현 방법론이 있습니다. 역학에서, 토폴로지 최적화 문제를 해결하는 것은 유한 요소 방법을 사용하여 파트 또는 파트 세트를 최적화하는 것을 포함합니다. 토폴로지 최적화의 고전적인 방법은 최적화 볼륨의 모든 지점에서 물질의 밀도를 고려하는 것입니다 다른 방법은 재료의 국부적 배향 (비 등방성 재료의 경우) 또는 다른 특성을 고려합니다. 이 방법들에서, 최적화는 일반적으로 구조의 변형 에너지를 최소화하는 것을 포함하며, 이는 대략 가능한 가장 견고한 구조를 대략적으로 찾는 것에 해당한다. 우리는 최적의 형태를 강조하고, 그렇지 않은 경우 설계 및 최적화를 안내하기 위해 사용되는 재료의 양을 설정하거나 초과하지 않는 제약을 존중하면서 최대 구조를 최소화하도록 구현할 재료를 최소화하는 양식을 직접 정의 할 수 있습니다. 실제로, 그리고 thresholding, 특히 제조 공정과 관련된 특정 기하학적 제약 조건 (대칭, 중공 볼륨의 허가 여부, …, 관절면).

극복해야 할 주요 단계와 어려움은 일반적으로 다음과 같습니다.

설계 할 부품의 규격을 정의하십시오.
실제 사용 가능한 공간 : 가능한 경우 기존 공간보다 훨씬 큰 경우가 많으며이 공간을 채우려는 기능과이 공간을 둘러싼 제한 또는 다시 디자인 할 방 집합을 다시 배치하여 추가로 확장 할 수 있습니다. 우리는 물질이 부과되거나 금지 된 영역을 (기능적 또는 미적 이유로) 잊어서는 안됩니다.
환경과의 기계적 연결 : 인접 구역과 가능한 연결을 평평하게 놓을 필요가 있습니다. 왜냐하면 선착 구역보다 고정 구역에 훨씬 더 많은 자유가 있기 때문입니다. 어떤 영역을 차단할지, 어떤 영역을 강제로로드할지 명확하지 않을 수 있습니다. 예를 들어 고정 링크와 잭을 사용하여 테스트 벤치에서 부품을 테스트하는 방법을 상상해 보는 것이 가장 실용적인 방법입니다.
기계적 힘이 겪었습니다 : 주요 기능을 넘어 부품이 보는 모든 기계적 하중을 고려해야합니다. (가공 포함), 작업 물 취급 (작업 물의 조립 / 분해, 운송), 우발적 인 노력 (충격)과 관련된 노력 등이 포함됩니다.
대칭 및 제조 조건 (컴퓨터 소프트웨어에 의해 점차 고려됨).

토폴로지 최적화 계산을 시작합니다. 메시의 정밀도는 원하는 공간 정밀도와 사용 가능한 컴퓨터 리소스에 맞게 조정되어야합니다. 계산이 길어질 수 있으므로 몇 분 만에 첫 번째 계산을 시도한 다음 수정합니다. 또한 알고리즘에 의한 다양한 로딩 케이스가 어떻게 고려되는지를 점검 할 필요가있다. 실제로 주어진 질량에 대해 가능한 가장 견고한 구조를 찾는다면, 서로 다른 하중의 에너지는 단순히 합쳐지며, 따라서 함께 무게를 가할 필요가 있습니다. 반면에, 목표가 깨지지 않는 가장 가벼운 조각을 얻는 것이라면 가중치를 줄 필요가 없습니다.
결과 분석 : 쉽게 이해할 수있는 부분 (잘 정의 된 진공도와 충만 함)을 보여주기 위해 결과는 일반적으로 소프트웨어에 의해 필터링되어 표시됩니다 (예 : 전체가 50 % 이상의 재료 밀도 영역에 해당, 그렇지 않으면 비어 있음). 따라서 일반적으로 알고리즘에 의해 실제로 고려되는 다소 조밀 한 / 다공성 물질이며, 나머지와 관련이없는 가능한 영역은 동시에 가능하다는 점을 고려해야합니다. 그들은 저밀도 물질에 의해 나머지에 연결되어 있기 때문에 표시되지 않습니다. 따라서 결과는 알고리즘이 제안하는 것과 더 가깝고 빈으로 만들어진 조각을 정의하는 것처럼 가장합니다.

이 미묘한 부분을 자세히 조사하기위한 매개 변수가 있습니다 (일반적으로 기본 50 %). 처벌 (약 50 %의 밀도 영역을 제한하는 매개 변수이지만 알고리즘의 수렴성을 떨어 뜨릴 수 있음), 필터링 / smoothing (필터가 너무 작다고 여겨지는 부분을 제거 할 수있게 해주는 필터), 물론 mesh의 섬세함 (fine이나 fine 세부 사항을 드러내는 것을 허용). 이 단계에서 얻은 형식은 일반적으로 큰 제약을 없애거나, 문제가 잘못 제기 되었기 때문에 (예를 들어 방을 유지하기 위해 프레임에 연결이 충분하지 않거나 막힘 또는 자료가 금지 된 지역에 노력을 기울여야 함). 그러나 알고리즘의 수렴성을 떨어 뜨릴 수 있습니다), 필터링 / 스무딩 (필터가 너무 작은 것으로 간주되는 세부 사항을 제거 할 수있게 해주는 필터), 물론 메쉬의 정밀도 (미세한 세부 사항을 드러내는 것이 가능합니다).

이 단계에서 얻은 형식은 일반적으로 큰 제약을 없애거나, 문제가 잘못 제기 되었기 때문에 (예를 들어 방을 유지하기 위해 프레임에 연결이 충분하지 않거나 막힘 또는 자료가 금지 된 지역에 노력을 기울여야 함). 그러나 알고리즘의 수렴성을 떨어 뜨릴 수 있습니다), 필터링 / 스무딩 (필터가 너무 작은 것으로 간주되는 세부 사항을 제거 할 수있게 해주는 필터), 물론 메쉬의 정밀도 (미세한 세부 사항을 드러내는 것이 가능합니다). 이 단계에서 얻은 형식은 일반적으로 큰 제약을 없애거나, 문제가 잘못 제기 되었기 때문에 (예를 들어 방을 유지하기 위해 프레임에 연결이 충분하지 않거나 막힘 또는 자료가 금지 된 지역에 노력이 가해 졌음).

드로잉 및 검증 : 일단 결과의 해석이 통합되면 조각은 얻어진 토폴로지 (바 / 플레이트 수, 방향, 상대적 두께)에 최대한 가깝게 그려 지지만 눈에 더 즐거워 할 수 있습니다. 토폴로지 최적화로 얻은 소위 “유기적 인”형태가 항상 적합한 것은 아닙니다. 이러한 이유로 우리는 가벼운 (안보이는 부분) 실내에서만 토폴로지 최적화를 제한함으로써 때때로 방 (가시 부분) 외부에 스킨을 적용하는 것입니다. 가능하다면 중간 밀도 물질을 넣으려면 계산과 같이 나타낼 수 있도록 격자 (예 : 거품과 같은 단단한 광선 또는 벽의 네트워크)를 사용하는 것이 가장 좋습니다 (c ‘

연속 및 이산 토폴로지 최적화
연속 및 이산 토폴로지 최적화에서 구별 할 수 있습니다. 연속 토폴로지 최적화에서 설치 공간의 재료 분배가 필요합니다. 이산 토폴로지 최적화에서 이산 요소는 시공 공간의 범위로 추구됩니다. 예를 들어, 최적의 프레임 워크가 검색 될 수 있으며 궁극적으로 전체 객체의 토폴로지를 나타냅니다.

지속적인 토폴로지 최적화
실제로 토폴로지 최적화는 설계 프로세스에서 구성 요소의 초기 설계에 대한 제안을 얻는 데 사용됩니다. 그렇게 할 때 디자이너는 먼저 사용 가능한 최대 공간과 경계 조건 (하중 및 구속)을 결정해야합니다. 이러한 데이터는 FE 모델 (FE = 유한 요소)로 변환됩니다.

기본적으로 재료 및 기하학적 토폴로지 최적화에 따라 구별됩니다. 기하학적 토폴로지 최적화에서 구성 요소의 형상은 외부 경계의 모양, 즉 모서리와 표면으로 설명됩니다. 또한이 오목한 부분은 구성 요소 경계 내에서 만들어지며 모양이 다양합니다. 재료 토폴로지 최적화는 설계 공간에서 부품의 형상을 설명합니다. 여기서, 설계 공간의 각 유한 요소에는 밀도가 지정됩니다. 최적화 기준 (예 : 완전 강조 설계)과 같은 간단한 최적화 알고리즘의 경우 밀도는 간단한 켜기 / 끄기 스위치처럼 0 또는 100 %로 설정됩니다. Fully Stressed Design은 최대 허용 응력 근처에서 응력을받는 요소를 유지하므로 최적화가 끝날 때 FE 메쉬의 거의 모든 요소가 강도 측면에서 완전히 활용됩니다. 수학 프로그래밍은 목적 함수의 편미분을 사용하여 다음 반복을위한 개별 매개 변수의 변경을 결정하는 최적화 알고리즘입니다. 따라서, 차별화를 위해 연속적인 밀도 분포가 있어야합니다. 소위 Homogenisierungsmethode에서 밀도의 변화는 유한 요소 각각의 미소 중공 체에 의해 기술 된 다음 탄성 계수의 변화에서 비선형, 거시적 물질 법칙을 통해 전달됩니다. 결과적으로 구성 요소의 응력과 변형을 계산할 수 있습니다. 이러한 토폴로지 최적화의 결과로 튼튼하고 다공성 인 설계 모델을 얻을 수 있습니다.이 모델은 뼈와 같은 구조로 인해 모양을 찾는 데 도움을주고 제조 제한을 무시합니다. 결과를 향상시키는 한 가지 방법은 FE 모델을 매끄러운 한 CAD 표면 모델로 반환하는 것입니다. 필요한 경우 제조 제한도 고려할 수 있습니다.

이산 토폴로지 최적화
첫 번째 토폴로지 최적화 중 하나가 Anthony George Maldon Michell에 의해 수행되었습니다. 그러나 오늘날에도 토폴로지 최적화는 트러스로 수행됩니다. 그 이유는 계산 시간이 짧기 때문입니다. 현실에 대한 근접성은 연속 토폴로지 최적화의 경우보다 훨씬 더 멀리 떨어져 있습니다.

불연속적인 문제를 해결하려면 설계 영역을 유한 요소로 분리해야합니다. 이 요소 내부의 재료 밀도는 문제 변수로 취급됩니다. 이 경우 1의 재료 밀도는 재료의 존재를 나타내고 0은 재료의 부재를 나타냅니다. 디자인의 달성 가능한 토폴로지 복잡성으로 인해 요소의 양에 의존하기 때문에 많은 양이 선호됩니다. 많은 양의 유한 요소는 달성 가능한 위상 학적 복잡성을 증가 시키지만 비용은 발생합니다. 첫째, FEM 시스템을 해결하는 것이 더 비쌉니다. 둘째, 여러 제약 조건을 가진 이산 변수를 대량으로 처리 할 수있는 알고리즘 (수천 개의 요소가 흔하지 않음)을 사용할 수 없습니다. 또한 매개 변수 변화에 비실용적입니다. 문학에서는 최대 30000 개의 변수가있는 문제가보고되었습니다.

연속 변수로 문제 해결
이진 변수를 사용하여 TO 문제를 해결함으로써 이전에 언급 된 복잡성으로 인해 커뮤니티는 다른 옵션을 검색하게되었습니다. 하나는 연속 변수로 밀도를 모델링하는 것입니다. 재료 밀도는 이제 0과 1 사이의 값을 얻을 수 있습니다. 다량의 연속 변수 및 다중 구속 조건을 처리하는 그래디언트 기반 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 그러나 재료 속성은 연속 설정으로 모델링해야합니다. 이것은 보간을 통해 수행됩니다. 가장 보간 된 보간 방법 중 하나는 SIMP 방법 (단점이있는 단색 등방성 재료)입니다.이 보간은 본질적으로 멱승 법칙입니다. $E_ {0} \, + \, \ rho ^ {p} (E_ {1} -E_ {0})} {\ displaystyle \$ . 스칼라 선택 필드에 머티리얼의 영 계수를 보간합니다. 벌점 매개 변수의 값 $피$ 일반적으로 ${\ displaystyle \ scriptstyle [1, \, 3]}$ . 이것은 재료의 미세 구조를 확인하는 것으로 나타났습니다. SIMP 방법에서 영 계수에 대한 하한이 더해지며, ${\ 표시 스타일 \ 스크립트 스타일 E_ {0}}$ , 밀도가 0이 될 때 목적 함수의 미분이 0이 아닌지 확인하십시오. 불이익 요인이 높을수록 SIMP는 비 2 진 밀도의 사용에서 알고리즘을 불이익을 받는다. 불행히도 벌점 매개 변수는 또한 볼록하지 않음을 도입합니다.

형상 미분
토폴로지 파생 상품
레벨 세트
위상 필드
진화 구조 최적화
상용 소프트웨어
시장에 상용 토폴로지 최적화 소프트웨어가 몇 가지 있습니다. 대부분의 경우 토폴로지 최적화를 사용하여 최적의 디자인이 어떻게 보이는지 수동 힌지 재구성이 필요합니다. 첨가제 제조를위한 최적의 디자인을 생산하는 몇 가지 솔루션이 있습니다.

예제들
구조적 컴플라이언스
딱딱한 구조는 특정 경계 조건 세트가 주어질 때 가능한 최소 변위를 갖는 구조입니다. 변위의 전체 측정은 규정 된 경계 조건 하에서 구조물의 변형 에너지 (컴플라이언스라고도 함)입니다. 변형 에너지가 낮을수록 구조의 강성이 높아집니다. 그래서 문제의 진술은 최소화되어야하는 변형 에너지의 객관적인 기능을 포함합니다.

넓은 차원에서 하중을 견디는 재료가 많을수록 재료가 많을수록 편향이 적다는 것을 시각화 할 수 있습니다. 따라서 최적화에는 반대 제약 조건 인 볼륨 제약이 필요합니다. 이것은 실제로 자료에 많은 돈을 쓰고 싶지 않기 때문에 비용 요소입니다. 사용 된 전체 재료를 얻으려면 볼륨 위에 선택 필드를 통합 할 수 있습니다.

마지막으로 최종 미분 방정식을 얻기 위해 미분 방정식을 제어하는 탄성이 연결됩니다.

$\ min _ {\ rho} \; \ int \ {\ omega} \ frac {1} {2} \ mathbf {\ sigma} : \ mathbf {\ varepsilon} \, \ mathrm {d} \ Omega$

대상 :
$\ scriptstyle \ rho \, \ in \, [0, \, 1]$
$\ scriptstyle \ int _ {\ Omega} \ rho \, \ mathrm {d} \ Omega \; \ leq \; V ^ *$
$\ scriptstyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ sigma} \, + \, \ mathbf {F} \; = \; {\ mathbf {0}}$
$\ scriptstyle \ mathbf {\ sigma} \; = \; \ mathsf {C} : \ mathbf {\ varepsilon}$

그러나 Finite Element Framework에서 이러한 문제에 대한 직접적인 구현은 다음과 같은 문제로 인해 여전히 실행 불가능합니다.

메쉬 의존성 – 메쉬 의존성은 한 메쉬에서 얻은 디자인이 다른 메쉬에서 얻을 수있는 디자인이 아니라는 것을 의미합니다. 메쉬가 세련되면서 디자인의 기능이 더욱 복잡해집니다.
수치 적 불안정성 – 체스 보드 형태의 지역 선택.

이미지 처리를 기반으로하는 필터링과 같은 일부 기술은 현재 이러한 문제 중 일부를 완화하는 데 사용됩니다.

3F3D 모양은 힘 3D 인쇄를 따른다
현재 3D 프린터 기술의 확산으로 디자이너와 엔지니어는 신제품을 설계 할 때 토폴로지 최적화 기술을 이용할 수있게되었습니다.

3D 인쇄와 결합 된 토폴로지 최적화는 상당한 경량화, 향상된 구조 성능 및 단축 된 설계와 제조주기를 제공합니다.

다중 물리학 문제
유체 – 구조 상호 작용
열전기

HiSoUR – 안녕하세요.

HiSoUR – 가상 투어, 삽화전, 디스커버리 역사, 세계 문화 온라인.