Topologie-Optimierung

Topologie-Optimierung (TO) ist eine mathematische Methode, die das Materiallayout innerhalb eines gegebenen Entwurfsraums für eine gegebene Menge von Lasten, Randbedingungen und Beschränkungen optimiert, um die Leistung des Systems zu maximieren. TO unterscheidet sich von der Optimierung der Form und der Größenoptimierung in dem Sinne, dass das Design innerhalb des Entwurfsraums eine beliebige Form annehmen kann, anstatt sich mit vordefinierten Konfigurationen zu befassen.

Die herkömmliche TO-Formulierung verwendet eine Finite-Elemente-Methode [FEM], um die Entwurfsleistung zu bewerten. Das Design wird optimiert, indem entweder gradientenbasierte mathematische Programmiertechniken wie der Optimalitätskriterien-Algorithmus und die Methode der Bewegung von Asymptoten oder nicht gradientenbasierte Algorithmen wie genetische Algorithmen verwendet werden.

Topologie-Optimierung hat eine breite Palette von Anwendungen in der Luft- und Raumfahrt, Maschinenbau, Bio-Chemie und Bauingenieurwesen. Derzeit verwenden Ingenieure TO hauptsächlich auf der Konzeptstufe eines Designprozesses. Aufgrund der natürlich auftretenden freien Formen ist das Ergebnis oft schwierig herzustellen. Aus diesem Grund ist das Ergebnis von TO oft auf die Herstellbarkeit abgestimmt. Das Hinzufügen von Beschränkungen zu der Formulierung, um die Herstellbarkeit zu erhöhen, ist ein aktives Forschungsgebiet. In einigen Fällen können Ergebnisse von TO direkt unter Verwendung der additiven Fertigung hergestellt werden; TO ist somit ein wichtiger Bestandteil des Designs für die additive Fertigung.

Geschichte
Diese aus der Mathematik abgeleitete Methode wurde in den 2000er Jahren klar definiert, erklärt und für die Mechanik nutzbar gemacht, insbesondere mit dem Gründungsartikel von Ole Sigmund.

Immer ausgefeiltere topologische Optimierungssoftware ermöglicht es den Ingenieuren, das für ein Objekt mögliche Material zu speichern und dabei seine Festigkeit oder Flexibilität (falls erforderlich) zu erhalten oder zu verbessern und die Einschränkungen zu berücksichtigen, die früher auf der Intuition, der Methode von Versuch und Irrtum und / oder das Genie von Schöpfern und / oder Fertigungsingenieuren.

Ein sehr einfaches Beispiel ist die optimierte Verringerung der Anzahl der Speichen eines Fahrradrades. Bisher waren nur einfache Formulare betroffen, da diese Software sehr gierig in der Berechnung ist oder schnell durch die Komplexität der angeforderten Arbeit eingeschränkt wurde

Im Oktober 2017 stellen Forscher einer dänischen Universität in der Zeitschrift Nature eine Methode vor, mit der diese Arbeit für große Objekte durchgeführt werden kann, wobei die Auflösung verbessert wird. Ein Bild 2d besteht aus Pixeln, während ein 3D-Bild aus Voxeln besteht Die Auflösung optimierter 3D-Modelle war auf 5 Millionen Voxel begrenzt, aber ein neues Programm optimiert Objekte bis zu 1 Milliarde Voxel, was beispielsweise die Optimierung und Optimierung eines Flügels von Boeing 777 um 5% ermöglicht, während es von innen verstärkt wird durch gekrümmte Längs- und Diagonalrippen anstatt in einem Gitter … mit einer erwarteten Einsparung von 200 Tonnen Kerosin / Jahr, das hat Tage der Berechnung durch einen Supercomputer erfordert und dieses Design (das das Innere einiger Knochen oder innerer Teile von Insektenexoskelette) ist derzeit „nicht handhabbar“, aber der Fortschritt des 3D-Drucks könnte uns bald in unsere Reichweite bringen.

Problemstellung
Ein Topologieoptimierungsproblem kann in der allgemeinen Form eines Optimierungsproblems geschrieben werden als:

Die Problembeschreibung umfasst Folgendes:

Eine Zielfunktion  . Diese Funktion stellt die Menge dar, die für die beste Leistung minimiert wird. Die häufigste Zielfunktion ist die Compliance, bei der die Minimierung der Compliance zur Maximierung der Steifigkeit einer Struktur führt.

Die Materialverteilung als Problemvariable. Dies wird durch die Dichte des Materials an jedem Ort beschrieben  . Material ist entweder vorhanden, angezeigt durch eine 1, oder abwesend, angezeigt durch eine 0.

Der Gestaltungsraum  . Dies gibt das zulässige Volumen an, innerhalb dessen das Design existieren kann. Die Anforderungen an Montage und Verpackung, die Zugänglichkeit von Mensch und Werkzeug sind einige der Faktoren, die bei der Identifizierung dieses Raums berücksichtigt werden müssen. Bei der Definition des Entwurfsraums werden Regionen oder Komponenten im Modell, die im Verlauf der Optimierung nicht geändert werden können, als Nicht-Entwurfsregionen betrachtet.

 Einschränkungen  eine Eigenschaft, die die Lösung erfüllen muss. Beispiele sind die maximale Menge an zu verteilendem Material (Volumenbeschränkung) oder maximale Spannungswerte.

Bewertung  beinhaltet oft das Lösen einer Differentialgleichung. Dies geschieht am häufigsten mit der Methode der finiten Elemente, da diese Gleichungen keine bekannte analytische Lösung haben.

Implementierungsmethoden
Es gibt verschiedene Implementierungsmethoden, die verwendet wurden, um TO-Probleme zu lösen. In der Mechanik besteht die Lösung eines Problems der topologischen Optimierung darin, das zu optimierende Teil oder die Menge der Teile mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode zu modellieren. Eine klassische Methode der topologischen Optimierung besteht dann darin, in jedem Punkt des Optimierungsvolumens eine Dichte der Materie zu berücksichtigen variiert zwischen 0 und 1. Andere Methoden berücksichtigen die lokale Orientierung des Materials (für nichtisotrope Materialien) oder sogar anderer Eigenschaften. Bei diesen Verfahren beinhaltet das Optimieren im Allgemeinen das Minimieren der Spannungsenergie der Struktur, was dazu führt, dass ungefähr die starrste Struktur gefunden wird, die möglich ist. Wir können entweder die Menge an Material festlegen, die verwendet wird, um optimale Formen hervorzuheben, um ein Design und eine Optimierung zu leiten, oder direkt ein Formular definieren, das das zu implementierende Material minimiert, um die maximale Struktur zu minimieren und dabei eine Beschränkung zu beachten. In der Praxis, und Schwellenbildung, insbesondere bestimmte geometrische Einschränkungen im Zusammenhang mit dem Herstellungsprozess (Symmetrien, Genehmigung von Hohlvolumen oder nicht, …, gemeinsame Ebene) auferlegen.

Die wichtigsten Schritte und Schwierigkeiten zu überwinden sind im Allgemeinen die folgenden:

Definieren Sie die Spezifikationen des zu entwerfenden Teils:
Wirklich verfügbarer Raum: Er ist oft viel größer als der möglicherweise vorhandene Raum und kann noch weiter vergrößert werden, indem man die tatsächlich zu füllende Funktion und die Einschränkungen, die diesen Raum umgeben, oder den Satz von Räumen neu gestaltet. Wir dürfen die Bereiche nicht vergessen, in denen das Material aufgezwungen oder verboten ist (aus funktionellen oder ästhetischen Gründen).
Mechanische Verbindungen mit der Umgebung: Es ist notwendig, die Verbindungen mit den benachbarten Teilen flach zu halten, weil die Befestigungszonen oft viel mehr Freiheit haben als die a priori vorgesehenen. Es ist manchmal nicht klar, welche Bereiche blockiert werden müssen oder welche Zonen durch Kräfte belastet werden. Am pragmatischsten ist es dann, sich vorzustellen, wie das Bauteil auf einem Prüfstand getestet werden kann, zum Beispiel mit festen Verbindungen und Hebeböcken.
Die mechanischen Kräfte haben gelitten: Es ist notwendig, alle mechanischen Belastungen zu berücksichtigen, die das Teil jenseits der Hauptfunktion, d. Anstrengungen in Bezug auf Herstellungsschritte (einschließlich der Bearbeitung), Anstrengungen in Bezug auf die Handhabung des Werkstücks (Montage / Demontage des Werkstücks, Transport), zufällige Anstrengungen (Schocks), zum Beispiel.
Symmetrien und Herstellungsbedingungen (dies wird zunehmend von Computersoftware berücksichtigt).

Start der topologischen Optimierungsrechnung: Die Feinheit des Netzes muss an die gewünschte räumliche Genauigkeit und an die verfügbaren Computerressourcen angepasst werden; Die Berechnungen können lang sein, daher versuchen wir, die ersten Berechnungen im Maßstab von einigen Minuten durchzuführen und sie dann zu verfeinern. Es ist auch zu prüfen, wie die verschiedenen Lastfälle durch den Algorithmus berücksichtigt werden. In der Tat, wenn man nur nach der starrsten Struktur sucht, die für eine gegebene Masse möglich ist, werden die Energien der verschiedenen Lasten einfach summiert, es ist dann notwendig, sie möglicherweise zusammen zu wiegen. Auf der anderen Seite, wenn das Ziel ist, das leichteste mögliche Stück, das nicht bricht, keine Notwendigkeit für die Gewichtung.
Analyse des Ergebnisses: Um einen leicht verständlichen Teil (mit klar definiertem Vakuum und Fülle) darzustellen, wird das Ergebnis in der Regel zur Anzeige durch die Software gefiltert (zB voll entspricht Bereichen mit einer Materialdichte größer als 50%, ansonsten ist es leer). Es ist daher zu berücksichtigen, dass es sich im Allgemeinen um eine mehr oder weniger dichte / poröse Materie handelt, die vom Algorithmus wirklich berücksichtigt wird, und dass die möglichen Bereiche der Materie, die nicht mit dem Rest zusammenhängen, gleichzeitig möglich sind. Anzeige, weil sie mit dem Rest von Low-Density-Material verknüpft sind, nicht angezeigt. Das Ergebnis ist daher so zu tun, als ob man ein Stück aus leer und voll definieren würde, näher an dem, was der Algorithmus vorschlägt.

Es gibt Parameter (manchmal versteckt), um diese Feinheiten im Detail zu erforschen: Schwelle des Materials (standardmäßig 50% im Allgemeinen), Bestrafung (Parameter, die Zonen von Dichten um 50% begrenzen, die aber die Konvergenz der Algorithmen verschlechtern können), Filterung / Glättung (Filter, um zu verhindern, dass Details als zu klein betrachtet werden) und natürlich die Feinheit des Netzes (die mehr oder weniger feine Details sichtbar macht). Es wird oft in diesem Stadium realisiert, dass die erhaltene Form absurd ist, in der Regel nach dem Weglassen einer großen Einschränkung, oder weil das Problem schlecht gestellt wurde (zum Beispiel wenn es nicht genügend Verbindungen zum Rahmen gibt, um den Raum zu halten, oder wegen Blockaden oder es wurden Anstrengungen in einem Bereich unternommen, in dem das Material verboten ist). aber kann die Konvergenz der Algorithmen verschlechtern), Filterung / Glättung (Filter, um zu verhindern, dass Details als zu klein angesehen werden) und natürlich die Feinheit des Gitters (was es ermöglicht, mehr oder weniger feine Details zu offenbaren).

Es wird oft in diesem Stadium realisiert, dass die erhaltene Form absurd ist, in der Regel nach dem Weglassen einer großen Einschränkung, oder weil das Problem schlecht gestellt wurde (zum Beispiel wenn es nicht genügend Verbindungen zum Rahmen gibt, um den Raum zu halten, oder wegen Blockaden oder es wurden Anstrengungen in einem Bereich unternommen, in dem das Material verboten ist). aber kann die Konvergenz der Algorithmen verschlechtern), Filterung / Glättung (Filter, um zu verhindern, dass Details als zu klein angesehen werden) und natürlich die Feinheit des Gitters (was es ermöglicht, mehr oder weniger feine Details zu offenbaren). Es wird oft in diesem Stadium realisiert, dass die erhaltene Form absurd ist, in der Regel nach dem Weglassen einer großen Einschränkung, oder weil das Problem schlecht gestellt wurde (zum Beispiel wenn es nicht genügend Verbindungen zum Rahmen gibt, um den Raum zu halten, oder wegen Blockaden oder es wurden Anstrengungen in einem Bereich unternommen, in dem das Material verboten ist).

Zeichnen und Verifizieren: Sobald die Interpretation der Ergebnisse konsolidiert ist, kann das Stück so nah wie möglich an der erhaltenen Topologie (Anzahl der Stäbe / Platten, Orientierung, relative Dicke) gezeichnet werden, aber möglicherweise angenehmer für das Auge, weil so „organische“ Formen, die durch topologische Optimierung erhalten werden, sind nicht immer geeignet. Aus diesem Grund werden wir manchmal eine Haut außerhalb des Raumes (den sichtbaren Teil) aufstellen, indem wir die topologische Optimierung nur innerhalb des zu erhellenden Raumes einschränken (unsichtbarer Teil). Wenn möglich, ist es am besten, Gitter zu verwenden (dh ein dichtes Netz von Balken oder Wänden, wie z. B. Schäume), um Material mittlerer Dichte dort zu platzieren, wo die Berechnung es erscheinen lässt (c ‚).

Kontinuierliche und diskrete Topologieoptimierung
Man kann bei der kontinuierlichen und diskreten Topologieoptimierung unterscheiden. Bei der kontinuierlichen Topologieoptimierung wird die Materialverteilung im Einbauraum gesucht. Bei der diskreten Topologieoptimierung werden diskrete Elemente als Abdeckung des Bauraums gesucht.Zum Beispiel kann ein optimaler Rahmen gesucht werden, der letztendlich eine Topologie des Gesamtobjekts darstellt.

Kontinuierliche Topologieoptimierung
In der Praxis wird die Topologieoptimierung im Entwurfsprozess verwendet, um Vorschläge für erste Entwürfe von Komponenten zu erhalten. Der Konstrukteur muss dabei zunächst den maximal verfügbaren Platz und die Randbedingungen (Lasten und Einschränkungen) ermitteln. Diese Daten werden in ein FE-Modell (FE = Finite Elemente) umgewandelt.

Grundsätzlich wird nach einer Optimierung der Material- und Geometrietopologie unterschieden. Bei der geometrischen Topologieoptimierung wird die Geometrie des Bauteils durch die Form der äußeren Begrenzung, also der Kanten und Flächen, beschrieben. Dadurch werden auch Aussparungen innerhalb der Bauteilgrenze hergestellt und in ihrer Form variiert. Die Optimierung der Materialtopologie beschreibt die Geometrie eines Teils im Entwurfsbereich. Hier wird jedem finiten Element im Entwurfsraum eine Dichte zugewiesen. Für einfache Optimierungsalgorithmen wie die Optimalitätskriterien (z. B. Fully Stressed Design) wird die Dichte wie bei einem einfachen Ein- / Ausschalter auf 0 oder 100% gesetzt. Fully Stressed Design hält die Elemente, die nahe der maximal zulässigen Spannung beansprucht werden, so dass am Ende der Optimierung nahezu jedes Element des FE-Netzes hinsichtlich der Festigkeit voll ausgenutzt wird. Mathematische Programmierung ist ein Optimierungsalgorithmus, der die partiellen Ableitungen der Zielfunktion verwendet, um die Änderung der einzelnen Parameter für die nächste Iteration zu bestimmen.Dementsprechend muss eine konstante Dichteverteilung für die Differenzierbarkeit vorhanden sein.Bei der sogenannten Homogenisierungsmethode wird die Dichteänderung durch einen mikroskopischen Hohlkörper in jedem der finiten Elemente beschrieben und dann über ein nichtlineares, makroskopisches Materialgesetz in eine Änderung des Elastizitätsmoduls übertragen.Dadurch können die Spannungen und Verformungen des Bauteils berechnet werden. Als Ergebnis einer solchen Topologieoptimierung erhalten Sie ein robustes, poröses Designmodell, das nur bei der Suche nach einer Form aufgrund der knochenähnlichen Struktur und der Vernachlässigung von Herstellungsbeschränkungen hilft. Eine Möglichkeit, das Ergebnis zu verbessern, besteht darin, das FE-Modell auf ein geglättetes oneCAD-Oberflächenmodell zurückzuführen. Gegebenenfalls können auch Fertigungseinschränkungen berücksichtigt werden.

Diskrete Topologieoptimierung
Eine der ersten Topologieoptimierungen wurde von Anthony George Maldon Michell durchgeführt.Aber auch heute noch werden Topologieoptimierungen von Traversen durchgeführt. Der Grund dafür ist die geringe Rechenzeit; obwohl die Nähe zur Realität wesentlich entfernter ist als bei einer kontinuierlichen Topologieoptimierung.

Das Lösen von TO-Problemen in einem diskreten Sinn erfolgt durch Diskretisieren der Entwurfsdomäne in finite Elemente. Die Materialdichten innerhalb dieser Elemente werden dann als Problemvariablen behandelt. In diesem Fall zeigt die Materialdichte von Eins das Vorhandensein von Material an, während Null die Abwesenheit von Material anzeigt. Aufgrund der erreichbaren topologischen Komplexität des Designs, die von der Menge der Elemente abhängt, ist eine große Menge bevorzugt. Große Mengen von finiten Elementen erhöhen die erreichbare topologische Komplexität, sind jedoch mit Kosten verbunden. Erstens wird die Lösung des FEM-Systems teurer.Zweitens sind Algorithmen, die eine große Menge (einige tausend Elemente sind nicht unüblich) von diskreten Variablen mit mehreren Beschränkungen verarbeiten können, nicht verfügbar. Darüber hinaus sind sie unempfindlich gegenüber Parameterschwankungen. In der Literatur wurden Probleme mit bis zu 30000 Variablen berichtet

Lösung des Problems mit kontinuierlichen Variablen
Die zuvor genannten Schwierigkeiten beim Lösen von TO-Problemen mit binären Variablen haben die Community dazu veranlasst, nach anderen Optionen zu suchen. Eine ist die Modellierung der Dichten mit kontinuierlichen Variablen. Die Materialdichten können nun auch Werte zwischen Null und Eins erreichen. Gradientenbasierte Algorithmen, die große Mengen von kontinuierlichen Variablen und mehreren Nebenbedingungen handhaben, sind verfügbar. Die Materialeigenschaften müssen jedoch in einer kontinuierlichen Umgebung modelliert werden. Dies geschieht durch Interpolation. Eine der am häufigsten implementierten Interpolationsmethoden ist die SIMP-Methode (Solid Isotropic Material with Penalization). Diese Interpolation ist im Wesentlichen ein Potenzgesetz  . Es interpoliert den Elastizitätsmodul des Materials zum skalaren Auswahlfeld. Der Wert des Bestrafungsparameters  wird im Allgemeinen zwischen genommen  . Dies bestätigt die Mikrostruktur der Materialien. In der SIMP-Methode wird eine untere Grenze für den Young-Modul hinzugefügt,  , um sicherzustellen, dass die Ableitungen der Zielfunktion nicht null sind, wenn die Dichte Null wird. Je höher der Bestrafungsfaktor ist, desto mehr benachteiligt SIMP den Algorithmus bei der Verwendung nicht-binärer Dichten. Leider führt der Benachteiligungsparameter auch zu Nichtkonvexitäten.

Form Derivate
Topologische Derivate
Level eingestellt
Phasenfeld
Evolutionäre strukturelle Optimierung
Kommerzielle Software
Es gibt mehrere kommerzielle Topologieoptimierungssoftware auf dem Markt. Die meisten von ihnen verwenden die Topologieoptimierung als Hinweis darauf, wie das optimale Design aussehen sollte, und eine manuelle Neukonstruktion der Geometrie ist erforderlich. Es gibt einige Lösungen, die optimale Designs für die additive Fertigung produzieren.

Beispiele
Strukturelle Übereinstimmung
Eine steife Struktur ist eine, die die geringste Verschiebung hat, wenn bestimmte Randbedingungen gegeben sind. Ein globales Maß für die Verschiebungen ist die Dehnungsenergie (auch Compliance genannt) der Struktur unter den vorgegebenen Randbedingungen. Je niedriger die Spannungsenergie ist, desto höher ist die Steifigkeit der Struktur. Die Problemstellung beinhaltet also die objektive Funktion der Spannungsenergie, die minimiert werden muss.

Auf einer breiten Ebene kann man sich vorstellen, dass je mehr das Material, desto weniger die Durchbiegung, da mehr Material den Belastungen widerstehen wird. Daher erfordert die Optimierung eine entgegengesetzte Beschränkung, die Volumenbeschränkung. Dies ist in Wirklichkeit ein Kostenfaktor, da wir nicht viel Geld für das Material ausgeben möchten. Um das gesamte verwendete Material zu erhalten, kann eine Integration des Auswahlfeldes über das Volumen erfolgen.

Schließlich wird die Elastizität, die Differentialgleichungen regelt, eingesteckt, um die endgültige Problemstellung zu erhalten.

vorbehaltlich:



Eine einfache Implementierung eines solchen Problems im Finite-Elemente-Framework ist jedoch immer noch nicht durchführbar aufgrund von Problemen wie:

Netzabhängigkeit – Netzabhängigkeit bedeutet, dass das auf einem Netz erhaltene Design nicht das ist, das auf einem anderen Netz erhalten wird. Die Merkmale des Designs werden komplizierter, wenn das Netz verfeinert wird.
Numerische Instabilitäten – Die Auswahl der Region in Form eines Schachbretts.

Einige Techniken wie Filterung basierend auf Bildverarbeitung werden derzeit verwendet, um einige dieser Probleme zu beheben.

3F3D Form folgt Force 3D Printing
Die derzeitige Verbreitung der 3D-Druckertechnologie hat Designern und Ingenieuren die Möglichkeit gegeben, bei der Entwicklung neuer Produkte die Vorteile der Topologieoptimierung zu nutzen.

Die Optimierung der Topologie in Kombination mit 3D-Druck ermöglicht eine erhebliche Gewichtsreduzierung, eine verbesserte strukturelle Leistung und einen verkürzten Zyklus von Entwurf zu Fertigung.

Multiphysik Probleme
Fluid-Struktur-Interaktion
Thermoelektrizität