कम्पास-एंड-सीधीज निर्माण, शासक-और-कंपास निर्माण या शास्त्रीय निर्माण के रूप में भी जाना जाता है, केवल एक आदर्शीकृत शासक और कंपास का उपयोग करके लंबाई, कोण और अन्य ज्यामितीय आंकड़ों का निर्माण होता है।

आदर्शीकृत शासक, जिसे सीधीज के रूप में जाना जाता है, को लंबाई में अनंत माना जाता है, और इसमें केवल एक किनारे के साथ कोई निशान नहीं है। पृष्ठ से उठाए जाने पर कंपास को “पतन” माना जाता है, इसलिए दूरी को स्थानांतरित करने के लिए सीधे उपयोग नहीं किया जा सकता है। (यह एक बहु-चरण प्रक्रिया का उपयोग करते हुए एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध है, एक दूरी को ढहने वाले कंपास के साथ भी स्थानांतरित किया जा सकता है; कंपास समकक्ष प्रमेय देखें।) अधिक औपचारिक रूप से, केवल स्वीकार्य निर्माण यूक्लिड के पहले तीन postulates द्वारा प्रदान किए जाते हैं।

यह मामला सामने आता है कि अकेले कंपास का उपयोग करके सीधा और कंपास का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु का निर्माण किया जा सकता है।

प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों ने पहली बार कंपास-और-सीधी निर्माण की कल्पना की, और विमान ज्यामिति में कई प्राचीन समस्याएं इस प्रतिबंध को लागू करती हैं। प्राचीन यूनानियों ने कई निर्माण विकसित किए, लेकिन कुछ मामलों में ऐसा करने में असमर्थ थे। गॉस ने दिखाया कि कुछ बहुभुज रचनात्मक हैं लेकिन अधिकांश नहीं हैं। 1837 में फ़ील्ड के गणितीय सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुछ सबसे प्रसिद्ध सीधी-और-कंपास समस्याओं में से कुछ पियरे वांटेल द्वारा असंभव साबित हुए थे।

असंभवता के मौजूदा प्रमाणों के बावजूद, कुछ इन समस्याओं को हल करने की कोशिश में बने रहते हैं। इनमें से कई समस्याएं आसानी से सुलभ हो सकती हैं बशर्ते कि अन्य ज्यामितीय परिवर्तनों की अनुमति है: उदाहरण के लिए, घन को दोगुना करना ज्यामितीय निर्माण का उपयोग करना संभव है, लेकिन अकेले सीधे और कंपास का उपयोग करके संभव नहीं है।

बीजगणित के मामले में, एक लंबाई रचनात्मक होती है यदि केवल और यदि यह एक रचनात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, और एक कोण रचनात्मक होता है और केवल तभी होता है जब इसकी कोसाइन एक रचनात्मक संख्या हो। एक संख्या रचनात्मक है अगर केवल चार मूल अंकगणितीय परिचालनों और वर्ग की जड़ों के निष्कर्षण का उपयोग करके लिखा जा सकता है लेकिन उच्च क्रम की जड़ें नहीं हैं।

कम्पास और सीधा उपकरण
कंपास और सीधीज निर्माण के “कंपास” और “सीधीज” वास्तविक दुनिया में शासकों और कंपास के आदर्शीकरण हैं:

कंपास को मनमाने ढंग से चौड़ा खोला जा सकता है, लेकिन (कुछ असली कंपास के विपरीत) इसमें कोई निशान नहीं है। मंडल केवल दो दिए गए बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है: केंद्र और सर्कल पर एक बिंदु। जब यह सर्कल नहीं खींचता है तो कंपास गिर सकता है या नहीं।
सीधा असीम रूप से लंबा है, लेकिन इसमें कोई निशान नहीं है और साधारण शासकों के विपरीत, केवल एक सीधा किनारा है। इसका उपयोग केवल दो बिंदुओं के बीच या मौजूदा सेगमेंट का विस्तार करने के लिए लाइन सेगमेंट बनाने के लिए किया जा सकता है।
आधुनिक कंपास आम तौर पर पतन नहीं होता है और कई आधुनिक निर्माण इस सुविधा का उपयोग करते हैं। ऐसा लगता है कि आधुनिक कंपास प्राचीन ढहने वाले कंपास की तुलना में एक “अधिक शक्तिशाली” उपकरण है। हालांकि, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 1 ​​के प्रस्ताव 2 द्वारा, एक ढहने वाले कंपास का उपयोग करके कोई शक्ति खो जाती है। हालांकि प्रस्ताव सही है, इसके सबूतों का लंबा और चौंकाने वाला इतिहास है।

प्रत्येक निर्माण सटीक होना चाहिए। “नेत्रगोलिंग” (अनिवार्य रूप से इसकी शुद्धता पर निर्माण और अनुमान लगाना, या माप के कुछ रूपों का उपयोग करना, जैसे कि शासक पर माप की इकाइयां) और घनिष्ठ होना समाधान के रूप में नहीं गिना जाता है।

प्रत्येक निर्माण को समाप्त करना होगा। यही है, इसमें एक सीमित संख्या में कदम होना चाहिए, और नजदीकी अनुमानों की सीमा नहीं होनी चाहिए।

इस तरह से बताया गया है, एक गंभीर व्यावहारिक समस्या के बजाय कंपास और सीधा निर्माण एक पार्लर गेम प्रतीत होता है; लेकिन प्रतिबंध का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि निर्माण बिल्कुल सही साबित हो सके।

इतिहास
प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले कंपास-और-सीधी निर्माण का प्रयास किया, और उन्होंने पाया कि दी गई लंबाई, मतभेद, उत्पाद, अनुपात, और दी गई लंबाई की वर्ग जड़ों का निर्माण कैसे किया जाए .:p। 1 वे एक दिए गए कोण का आधा भी बना सकते हैं, एक वर्ग जिसका क्षेत्र दूसरे वर्ग के दोगुना होता है, एक वर्ग जिसमें दिए गए बहुभुज के समान क्षेत्र होता है, और नियमित बहुभुज 3, 4, या 5 पक्षों के साथ होता है: पी। xi (या किसी दिए गए बहुभुज के पक्षों की संख्या दोगुना है: पीपी। 49-50)। लेकिन वे किसी विशेष कोण को छोड़कर किसी दिए गए कोण के एक तिहाई का निर्माण नहीं कर सकते थे, या किसी दिए गए सर्कल के समान क्षेत्र वाले वर्ग या अन्य पक्षों के साथ नियमित बहुभुज .:p। xi न ही वे एक घन के पक्ष का निर्माण कर सकते हैं जिसका वॉल्यूम किसी दिए गए पक्ष के साथ घन की मात्रा से दोगुना होगा .:

हिप्पोक्रेट्स और मीनेचमुस ने दिखाया कि क्यूब के क्षेत्र को हाइपरबोलस और पैराबोलस के चौराहे को ढूंढकर दोगुना किया जा सकता है, लेकिन इन्हें कंपास और सीधा द्वारा नहीं बनाया जा सकता है .: पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, हिप्पियास ने एक वक्र का उपयोग किया जिसे उन्होंने दोनों के लिए क्वाड्रेट्रिक्स कहा सामान्य कोण को घुमाएं और सर्कल को चौकोर करें, और दूसरी शताब्दी ईसीई में निकोमेडिस ने दिखाया कि कैसे एक मनमाने ढंग से कोण को ट्राइसेक्ट करने के लिए एक कन्कोइड का उपयोग करना है ;: लेकिन इन तरीकों का भी कम्पास और सीधाई के साथ पालन नहीं किया जा सकता है।

अनसुलझा समस्याओं पर कोई प्रगति दो सहस्राब्दी के लिए नहीं की गई थी, जब तक 17 9 6 में गॉस ने दिखाया कि 17 पक्षों के साथ नियमित बहुभुज का निर्माण किया जा सकता है; पांच साल बाद उन्होंने एन पक्षों के नियमित बहुभुज के लिए रचनात्मक होने के लिए पर्याप्त मानदंड दिखाया .:pp। 51 एफएफ

1837 में पियरे वेटज़ेल ने लम्बाई की घन जड़ें बनाने की असंभवता के आधार पर एक मनमानी कोण को छेड़छाड़ करने या घन की मात्रा को दोगुना करने की असंभवता का सबूत प्रकाशित किया। उन्होंने यह भी दिखाया कि नियमित बहुभुज के लिए गॉस की पर्याप्त रचनात्मकता शर्त भी आवश्यक है।

फिर 1882 में लिंडमैन ने दिखाया कि एक अनुवांशिक संख्या है, और इस प्रकार यह एक दिए गए सर्कल के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग बनाने के लिए सीधा और कंपास द्वारा असंभव है .:p। 47

बुनियादी निर्माण
सभी कंपास और सीधी किनारों के निर्माण में पहले से ही बनाए गए बिंदुओं, रेखाओं और मंडलियों का उपयोग करके पांच बुनियादी निर्माणों का बार-बार आवेदन शामिल है। य़े हैं:

दो मौजूदा बिंदुओं के माध्यम से लाइन बनाना
केंद्र के साथ एक बिंदु के माध्यम से एक बिंदु के माध्यम से सर्कल बनाना
उस बिंदु को बनाना जो दो मौजूदा, गैर समांतर रेखाओं का अंतर है
एक रेखा और एक सर्कल के चौराहे में एक या दो बिंदु बनाना (यदि वे छेड़छाड़ करते हैं)
दो सर्कल के चौराहे में एक या दो बिंदु बनाना (यदि वे छेड़छाड़ करते हैं)।
उदाहरण के लिए, केवल दो अलग-अलग बिंदुओं से शुरू होने पर, हम एक रेखा या दो मंडलियों में से एक बना सकते हैं (बदले में, प्रत्येक बिंदु को केंद्र के रूप में उपयोग करके और दूसरे बिंदु से गुज़रना)। यदि हम दोनों सर्किलों को आकर्षित करते हैं, तो उनके चौराहे पर दो नए अंक बनाए जाते हैं। दो मूल बिंदुओं और इन नए बिंदुओं में से एक के बीच रेखाचित्र रेखाएं एक समतुल्य त्रिकोण के निर्माण को पूरा करती हैं।

इसलिए, किसी भी ज्यामितीय समस्या में हमारे पास प्रतीक (अंक और रेखाएं), एक एल्गोरिदम का प्रारंभिक सेट होता है, और कुछ परिणाम होते हैं। इस परिप्रेक्ष्य से, ज्यामिति एक सिद्धांतमय बीजगणित के बराबर है, जो इसके तत्वों को प्रतीकों से बदलती है। शायद गॉस ने पहले इसे महसूस किया, और कुछ निर्माणों की असंभवता साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया; केवल बाद में हिल्बर्ट ने ज्यामिति के लिए सिद्धांतों का एक पूरा सेट पाया।

अधिक इस्तेमाल किया कंपास और सीधा निर्माण
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कंपास-और-सीधी निर्माण में शामिल हैं:

एक सेगमेंट से लंबवत द्विभाजक का निर्माण
एक सेगमेंट के मध्य बिंदु ढूँढना।
एक बिंदु से एक रेखा तक एक लम्बवत रेखा रेखाचित्र।
एक कोण को विभाजित करना
एक पंक्ति में एक बिंदु मिररिंग
एक सर्कल में एक बिंदु टेंगेंट के माध्यम से एक रेखा का निर्माण
3 noncollinear अंक के माध्यम से एक सर्कल का निर्माण
रचनात्मक अंक और लंबाई
औपचारिक सबूत
कुछ साबित करने के कई तरीके हैं असंभव है। एक और कठोर सबूत संभव है कि सीमा की सीमा का निर्धारण करें, और दिखाएं कि इन समस्याओं को हल करने के लिए किसी को उस सीमा को पार करना होगा। निर्माण में से अधिकांश को अवरोध सिद्धांत में शामिल किया गया है।

हम एक बीजगणित को हमारी ज्यामिति में दो पंक्तियों से बना कार्टेसियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके जोड़ सकते हैं, और वैक्टर द्वारा हमारे विमान के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंत में हम इन वैक्टरों को जटिल संख्या के रूप में लिख सकते हैं।

रेखाओं और सर्किलों के लिए समीकरणों का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि जिन बिंदुओं पर वे छेड़छाड़ करते हैं, वे छोटे क्षेत्र के वर्ग के चौकोर विस्तार में झूठ बोलते हैं, जिसमें रेखा पर दो बिंदु, सर्कल का केंद्र और सर्कल का त्रिज्या होता है। यही है, वे फॉर्म x + ykk के रूप में हैं, जहां एक्स, वाई, और के एफ में हैं।

चूंकि रचनात्मक बिंदुओं के क्षेत्र को वर्ग की जड़ों के नीचे बंद कर दिया गया है, इसमें सभी बिंदु शामिल हैं जिन्हें तर्कसंगत गुणांक वाले जटिल संख्याओं के क्षेत्र के वर्गबद्ध विस्तार के एक सीमित अनुक्रम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। उपरोक्त अनुच्छेद के अनुसार, कोई दिखा सकता है कि एक्सटेंशन के ऐसे अनुक्रम द्वारा कोई भी रचनात्मक बिंदु प्राप्त किया जा सकता है। इस के एक सारांश के रूप में, एक को पता चलता है कि एक रचनात्मक बिंदु (और इसलिए किसी भी रचनात्मक लंबाई के लिए) न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की शक्ति है। विशेष रूप से, कोई भी रचनात्मक बिंदु (या लंबाई) एक बीजगणितीय संख्या है, हालांकि नहीं प्रत्येक बीजगणितीय संख्या रचनात्मक है; उदाहरण के लिए, 3√2 बीजगणित है लेकिन रचनात्मक नहीं है।

रचनात्मक कोण
रचनात्मक कोणों और किसी भी रचनात्मक सर्कल पर रचनात्मक बिंदुओं के बीच एक विभाजन है। कोण जो रचनात्मक होते हैं, एक मॉडेलियो समूह के अलावा एक अबेलियन समूह बनाते हैं (जो जटिल संख्या के रूप में देखे गए यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के गुणा के अनुरूप होता है)। कोण जो रचनात्मक हैं वे बिल्कुल वही हैं जिनके स्पर्शक (या समकक्ष, साइन या कोसाइन) एक संख्या के रूप में रचनात्मक है। उदाहरण के लिए, नियमित हेप्टाडेकैगन (सत्रह-पक्षीय नियमित बहुभुज) रचनात्मक है क्योंकि

जैसा कि गॉस द्वारा खोजा गया था।

रचनात्मक कोणों का समूह ऑपरेशन के तहत बंद होता है जो कोण को रोकता है (जो जटिल संख्याओं में वर्ग की जड़ें लेता है)। दो बिंदुओं से शुरू होने वाले सीमित आदेश का एकमात्र कोण वे हैं जिनके आदेश या तो दो की शक्ति है, या दो की शक्ति का उत्पाद और अलग फर्मेट प्राइम्स का एक सेट है। इसके अलावा अनंत आदेश के रचनात्मक कोणों का एक घना सेट है।

जटिल अंकगणितीय के रूप में कम्पास और सीधा निर्माण
यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं के एक सेट को देखते हुए, उनमें से किसी एक को 0 कहा जाता है और दूसरे को 1 कहा जाता है, साथ ही अभिविन्यास की मनमाने ढंग से पसंद के साथ हमें जटिल संख्याओं के सेट के रूप में अंक पर विचार करने की अनुमति मिलती है।

जटिल संख्याओं के रूप में बिंदुओं के एक सेट की ऐसी किसी भी व्याख्या को देखते हुए, वैध कंपास और सीधा निर्माण का उपयोग करके रचनात्मक बिंदु अकेले बिंदुओं के मूल सेट वाले छोटे क्षेत्र के तत्व होते हैं और जटिल संयुग्म और वर्ग रूट परिचालन के तहत बंद होते हैं (इससे बचने के लिए अस्पष्टता, हम π से कम जटिल तर्क के साथ वर्ग रूट निर्दिष्ट कर सकते हैं)। इस क्षेत्र के तत्व ठीक वही हैं जिन्हें मूल बिंदुओं में एक सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, केवल अतिरिक्त, घटाव, गुणा, विभाजन, जटिल संयुग्म, और वर्ग रूट के संचालन का उपयोग करके, जिसे आसानी से एक गणनीय घने सबसेट के रूप में देखा जाता है विमान। इनमें से प्रत्येक छह ऑपरेशन एक साधारण कंपास और सीधा निर्माण के अनुरूप है। इस तरह के सूत्र से यह अंकगणितीय परिचालनों के निर्माण के संयोजन के साथ इसी बिंदु के निर्माण का उत्पादन करने के लिए सीधा है। अंक के एक विशेष सेट के अधिक कुशल निर्माण ऐसी गणनाओं में शॉर्टकट से मेल खाते हैं।

समान रूप से (और मनमाने ढंग से दो बिंदुओं को चुनने की आवश्यकता के बिना) हम कह सकते हैं कि, अभिविन्यास की मनमानी पसंद को देखते हुए, अंक का एक सेट अंक के किसी भी दो जोड़े के बीच मतभेदों के अनुपात द्वारा दिए गए जटिल अनुपात का एक सेट निर्धारित करता है। अनुपात के इस सेट से कंपास और सीधा का उपयोग करके रचनात्मक अनुपात का सेट मूल अनुपात वाले सबसे छोटे क्षेत्र और जटिल संयुग्म और वर्ग की जड़ें लेने के तहत बंद होता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और बिंदु या अनुपात जेड के मॉड्यूलस (ऊपर दिए गए दो दृष्टिकोणों में से एक लेना) रचनात्मक हैं क्योंकि इन्हें व्यक्त किया जा सकता है

एक कोण के घन और ट्राइक्शन को दोगुना करना (किसी भी φ जैसे विशेष कोणों को छोड़कर, φ / 2π एक तर्कसंगत संख्या है जो denominator 3 से विभाजित नहीं है) अनुपात की आवश्यकता होती है जो घन समीकरणों का समाधान होता है, जबकि सर्कल को घुमाने के लिए एक अनुवांशिक आवश्यकता होती है अनुपात। इनमें से कोई भी वर्णित फ़ील्ड में नहीं है, इसलिए इनके लिए कोई कंपास और सीधा निर्माण नहीं है।

असंभव निर्माण
प्राचीन यूनानियों ने सोचा था कि जिन निर्माण समस्याओं को वे हल नहीं कर सके वे आसानी से परेशान थे, असफल नहीं थे। आधुनिक तरीकों के साथ, हालांकि, इन कंपास-और-सीधी निर्माणों को प्रदर्शन करने के लिए तर्कसंगत रूप से असंभव दिखाया गया है। (हालांकि, समस्याएं स्वयं हल करने योग्य हैं, और यूनानियों को पता था कि उन्हें कैसे हल किया जाए, केवल सीधी और कंपास के साथ काम करने की बाधा के बिना।)

सर्कल स्क्वायरिंग
इन समस्याओं में से सबसे मशहूर, सर्कल को घुमाते हुए, अन्यथा सर्कल के चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, जिसमें केवल सीधी और कंपास का उपयोग करके दिए गए सर्कल के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण होता है।

सर्कल को स्क्वायर करना असंभव साबित हुआ है, क्योंकि इसमें एक अनुवांशिक संख्या उत्पन्न करना शामिल है, यानी, √π। केवल कुछ बीजगणितीय संख्याओं का निर्माण केवल शासक और कंपास के साथ किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक से निर्मित, घटाव, गुणा, विभाजन, और वर्ग की जड़ों को ले जाने के परिमित अनुक्रम के साथ पूर्णांक से निर्मित। “सर्कल स्क्वायरिंग” वाक्यांश का अर्थ अक्सर इस कारण से “असंभव करना” का अर्थ होता है।

अकेले शासक और कंपास द्वारा समाधान की आवश्यकता के बाध्यता के बिना, समस्या को विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय और बीजगणितीय माध्यमों से आसानी से सुलभ किया जा सकता है, और प्राचीन काल में कई बार हल किया गया था।

एक विधि जो “सर्कल के चौकोर” को अनुमानित करने के करीब आती है, एक केप्लर त्रिभुज का उपयोग करके हासिल की जा सकती है।

घन को दोगुना करना
मुख्य लेख: घन को दोगुना करना
घन को दोगुना करना एक घन के किनारे के केवल एक सीधी किनारे और कंपास का उपयोग करके निर्माण होता है, जिसमें दिए गए किनारे के साथ घन की मात्रा दोगुनी होती है। यह असंभव है क्योंकि 2 की घन रूट, हालांकि बीजगणित, को जोड़ों, घटाव, गुणा, विभाजन, और वर्ग की जड़ों को लेकर पूर्णांक से गणना नहीं की जा सकती है। यह इस प्रकार है क्योंकि राशनल्स पर इसके न्यूनतम बहुपद की डिग्री 3 है। यह निर्माण एक सीधा का उपयोग करके संभव है जिसमें दो अंक और एक कंपास है।

कोण trisection
मुख्य लेख: कोण trisection
कोण त्रिज्या निर्माण है, केवल एक सीधीज और एक कंपास का उपयोग करके, कोण के एक तिहाई कोण के विपरीत कोण। सामान्य मामले में यह असंभव है। उदाहरण के लिए, हालांकि π / 3 रेडियंस (60 डिग्री) के कोण को त्रिकोणीय नहीं किया जा सकता है, कोण 2π / 5 रेडियंस (72 डिग्री = 360 डिग्री / 5) को ट्राइक्टेड किया जा सकता है। सामान्य ट्राइज़क्शन समस्या को आसानी से हल किया जाता है जब उस पर दो अंकों वाले सीधीज की अनुमति होती है (एक न्यूसिस निर्माण)।

नियमित बहुभुज का निर्माण
कुछ नियमित बहुभुज (उदाहरण के लिए एक पेंटगोन) सीधे सीधा और कंपास के साथ निर्माण करना आसान है; अन्य नहीं हैं। इससे सवाल उठ गया: क्या सीधी और कंपास के साथ सभी नियमित बहुभुज बनाना संभव है?

17 9 6 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने दिखाया कि एक नियमित 17-पक्षीय बहुभुज का निर्माण किया जा सकता है, और पांच साल बाद दिखाया गया है कि नियमित रूप से एन-तरफा बहुभुज सीधा और कंपास के साथ बनाया जा सकता है यदि एन के विषम प्रमुख कारक अलग-अलग फर्मेट प्राइम होते हैं। गॉस ने अनुमान लगाया कि यह शर्त भी जरूरी थी, लेकिन उन्होंने इस तथ्य का कोई सबूत नहीं दिया, जिसे 1837 में पियरे वांटज़ेल द्वारा प्रदान किया गया था।

पहले कुछ रचनात्मक नियमित बहुभुजों में निम्नलिखित पक्ष हैं:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 1 9 2, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (ओईआईएस में अनुक्रम A003401)
कई पक्षों के साथ रचनात्मक नियमित बहुभुजों का एक अविनाशी माना जाता है (क्योंकि यदि नियमित एन-गॉन रचनात्मक होता है, तो नियमित नियमित रूप से 2 एन-गॉन होता है और इसलिए नियमित रूप से 4 एन-गॉन, 8 एन-गॉन इत्यादि होता है। )। हालांकि, पक्षों की एक विषम संख्या के साथ केवल 31 ज्ञात रचनात्मक नियमित एन-गन्स हैं।

तीन दिए गए विशेष बिंदुओं या लंबाई से त्रिकोण का निर्माण
त्रिभुज के सोलह मुख्य बिंदु इसके शिखर होते हैं, इसके किनारों के मध्य बिंदु, इसकी ऊंचाई के पैर, इसके आंतरिक कोण द्विभाजक के पैर, और इसके circumcenter, centroid, ऑर्थोसेन्टर, और प्रोत्साहन। इन्हें तीन बिंदुओं से त्रिभुज बनाने की 13 9 विशिष्ट अनौपचारिक समस्याओं को उत्पन्न करने के लिए तीन बार लिया जा सकता है। इन समस्याओं में से तीन में एक बिंदु शामिल है जिसे विशिष्ट रूप से अन्य दो बिंदुओं से बनाया जा सकता है; 23 गैर-विशिष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है (वास्तव में असीमित कई समाधानों के लिए) लेकिन केवल तभी जब बिंदुओं के स्थान कुछ बाधाओं का पालन करते हैं; 74 में समस्या सामान्य मामले में रचनात्मक है; और 39 में आवश्यक त्रिभुज मौजूद है लेकिन रचनात्मक नहीं है।

एक त्रिकोण की बारह लंबाई लंबाई तीन तरफ लंबाई, तीन ऊंचाई, तीन medians, और तीन कोण bisectors हैं। तीन कोणों के साथ, ये 95 विशिष्ट संयोजन देते हैं, जिनमें से 63 एक रचनात्मक त्रिकोण को जन्म देते हैं, जिनमें से 30 नहीं हैं, और जिनमें से दो कम परिभाषित हैं .:pp। 201-203

एक अंडाकार से दूरी
विमान में किसी भी बिंदु से रेखा सेगमेंट को किसी सर्कल पर निकटतम बिंदु तक बनाया जा सकता है, लेकिन विमान में किसी भी बिंदु से सेगमेंट को सकारात्मक सनकी के अंडाकार पर निकटतम बिंदु से बनाया जा सकता है।

केवल शासक या केवल कंपास के साथ निर्माण
यह संभव है (मोहर-मास्चेरोनी प्रमेय के मुताबिक) केवल एक कंपास के साथ कुछ भी बनाने के लिए यदि इसे शासक और कंपास के साथ बनाया जा सकता है, बशर्ते दिया गया डेटा और डेटा पाया जाए तो अलग-अलग बिंदुएं हों (रेखाएं या मंडल नहीं )। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस प्रमेय की सत्य आर्किमिडीज के वसंत की सच्चाई पर निर्भर करती है, जो प्रकृति में पहला क्रम नहीं है। केवल एक शासक के साथ एक वर्ग जड़ लेना असंभव है, इसलिए कुछ चीजें जिन्हें शासक के साथ नहीं बनाया जा सकता है, एक कंपास के साथ बनाया जा सकता है; लेकिन (पोंसलेट-स्टीनर प्रमेय द्वारा) एक सर्कल और उसके केंद्र को देखते हुए, उनका निर्माण किया जा सकता है।

विस्तारित निर्माण
प्राचीन यूनानियों ने अपने समाधान के लिए आवश्यक उपकरणों की जटिलता के आधार पर तीन प्रमुख श्रेणियों में वर्गीकृत वर्गीकृत किया। यदि एक निर्माण केवल एक सीधी और कंपास का उपयोग करता है, तो इसे प्लानर कहा जाता था; अगर इसे एक या अधिक शंकु वर्गों (सर्कल के अलावा) की भी आवश्यकता होती है, तो इसे ठोस कहा जाता है; तीसरी श्रेणी में सभी निर्माण शामिल थे जो अन्य दो श्रेणियों में से किसी एक में शामिल नहीं हुए थे। यह वर्गीकरण हमारे आधुनिक बीजगणितीय दृष्टिकोण के साथ अच्छी तरह से मेल खाता है। एक जटिल संख्या जिसे केवल फील्ड ऑपरेशंस और स्क्वायर जड़ों (ऊपर वर्णित अनुसार) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, में एक प्लानर निर्माण होता है। एक जटिल संख्या जिसमें घन जड़ों का निष्कर्षण भी ठोस निर्माण होता है।

खेतों की भाषा में, प्लानर की एक जटिल संख्या में दो की शक्ति होती है, और एक फील्ड एक्सटेंशन में निहित है जिसे फ़ील्ड के टॉवर में विभाजित किया जा सकता है जहां प्रत्येक एक्सटेंशन की डिग्री दो होती है। एक जटिल संख्या जिसमें ठोस निर्माण होता है, केवल दो और तीन के प्रमुख कारकों के साथ डिग्री है, और फ़ील्ड एक्सटेंशन में निहित है जो खेतों के एक टावर के शीर्ष पर है जहां प्रत्येक एक्सटेंशन की डिग्री 2 या 3 होती है।

ठोस निर्माण
एक बिंदु का ठोस निर्माण होता है यदि इसे सीधे सीधा, कंपास, और एक (संभवतः काल्पनिक) शंकु चित्रकारी उपकरण का उपयोग करके बनाया जा सकता है जो पहले से ही निर्मित फोकस, डायरेक्ट्रिक्स और सनकी के साथ किसी भी शंकु को आकर्षित कर सकता है। बिंदुओं का एक ही सेट अक्सर उपकरणों के एक छोटे से सेट का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कंपास, सीधीज, और कागज़ का एक टुकड़ा जिसका उपयोग करते हुए हमारे पास पैराबॉला वाई = x2 अंक (0,0) और (1,0) के साथ मिलकर होता है, कोई भी ठोस परिसर बना सकता है जिसमें ठोस निर्माण होता है । इसी प्रकार, एक उपकरण जो पहले से निर्मित फॉसी और प्रमुख धुरी (दो पिन और स्ट्रिंग का एक टुकड़ा) के साथ किसी भी अंडाकार को आकर्षित कर सकता है, उतना ही शक्तिशाली है।

प्राचीन यूनानियों को पता था कि घन को दोगुना करना और मनमाने ढंग से कोण को छेड़छाड़ करना ठोस निर्माण था। आर्किमिडीज ने नियमित 7-गॉन का ठोस निर्माण किया। सर्कल के चतुर्भुज में ठोस निर्माण नहीं होता है।

एक नियमित एन-गॉन का ठोस निर्माण होता है यदि केवल और यदि n = 2j3km जहां मी विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स (फॉर्म 2r3s + 1 के प्राइम) का उत्पाद है। इस तरह का एन अनुक्रम अनुक्रम है

7, 9, 13, 14, 18, 1 9, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 3 9, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 9 0, 9 1, 9 5, 9 7 … (ओईआईएस में अनुक्रम ए051913)
एन का सेट जिसके लिए एक नियमित एन-गॉन का कोई ठोस निर्माण नहीं है अनुक्रम है

11, 22, 23, 25, 2 9, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 9 3, 9 4, 98, 99, 100 … (ओईआईएस में अनुक्रम A048136)
फर्मेट प्राइम्स के साथ सवाल की तरह, यह एक खुला प्रश्न है कि क्या पियरपोंट प्राइम की अनंत संख्या है या नहीं।

कोण trisection
क्या होगा, सीधी और कंपास के साथ, हमारे पास एक ऐसा टूल था जो (केवल) एक मनमाना कोण को खोज सकता है? इस तरह के निर्माण ठोस निर्माण होते हैं, लेकिन ठोस निर्माण के साथ संख्याएं मौजूद होती हैं जिन्हें ऐसे उपकरण का उपयोग करके नहीं बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम इस तरह के उपकरण के साथ घन को दोगुना नहीं कर सकते हैं। दूसरी तरफ, हर नियमित एन-गॉन जिसमें ठोस निर्माण होता है, ऐसे उपकरण का उपयोग करके बनाया जा सकता है।

origami
ओरिगामी का गणितीय सिद्धांत कंपास और सीधा निर्माण से अधिक शक्तिशाली है। हुजिता-हटोरी सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले फोल्ड एक कंपास और शंकु चित्रकारी उपकरण का उपयोग करके विस्तारित निर्माण के रूप में सटीक बिंदुओं का एक ही सेट बना सकते हैं। इसलिए, उत्पत्ति का उपयोग क्यूबिक समीकरणों (और इसलिए क्वार्टिक समीकरण) को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, और इस प्रकार दो शास्त्रीय समस्याओं को हल किया जा सकता है।

चिह्नित शासकों
मुख्य लेख: न्यूसिस निर्माण
आर्किमिडीज, निकोमेडीस और अपोलोनियस ने एक चिन्हनीय शासक के उपयोग से जुड़े निर्माणों को दिया। यह उन्हें अनुमति देगा, उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड, दो रेखाएं (या मंडल), और एक बिंदु लेने के लिए; और फिर एक रेखा खींचें जो दिए गए बिंदु से गुजरती है और तीन पंक्तियों को छेड़छाड़ करती है, और इस तरह कि चौराहे के बिंदुओं के बीच की दूरी दिए गए सेगमेंट के बराबर होती है। यह यूनानी जिन्हें न्यूसिस (“झुकाव”, “प्रवृत्ति” या “सत्यापन” कहा जाता है), क्योंकि नई रेखा बिंदु पर जाती है। इस विस्तारित योजना में, हम एक मनमाने ढंग से कोण को खोज सकते हैं (आर्किमिडीज ‘ट्राइसेक्शन देखें) या एक मनमानी घन रूट निकालें (निकोमेडिस के कारण)। इसलिए, किसी भी दूरी का अनुपात जो मौजूदा दूरी तक होता है वह घन या क्वार्टिक समीकरण का समाधान होता है। ठोस निर्माण के साथ नियमित बहुभुज, हेपटागन की तरह, रचनात्मक होते हैं; और जॉन एच। कॉनवे और रिचर्ड के। गाय ने उनमें से कई के लिए निर्माण दिया;

न्यूसिस निर्माण एक शंकु चित्रकारी उपकरण से अधिक शक्तिशाली है, क्योंकि कोई जटिल संख्या बना सकता है जिसमें ठोस निर्माण नहीं है। वास्तव में, इस उपकरण का उपयोग करने से कोई कुछ क्विंटिक्स हल कर सकता है जो रेडिकल का उपयोग करके हल करने योग्य नहीं होते हैं। यह ज्ञात है कि कोई भी न्यूसिस निर्माण का उपयोग करके 7 से अधिक या प्राइम डिग्री के एक irreducible बहुपद को हल नहीं कर सकता है, इसलिए इस उपकरण का उपयोग कर नियमित 23-गॉन या 2 9-गॉन बनाना संभव नहीं है। बेंजामिन और स्नाइडर ने साबित किया कि नियमित 11-गॉन बनाना संभव है, लेकिन निर्माण नहीं किया। यह अभी भी खुला है कि नियमित रूप से 25-गॉन या 31-गॉन इस उपकरण का उपयोग करके रचनात्मक है या नहीं।

बाइनरी अंकों की गणना
1 99 8 में साइमन प्लौफ ने एक शासक और कंपास एल्गोरिदम दिया जिसे कुछ संख्याओं के बाइनरी अंकों की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। एल्गोरिदम में एक कोण की बार-बार दोगुनी होती है और लगभग 20 बाइनरी अंकों के बाद शारीरिक रूप से अव्यवहारिक हो जाती है।