多标准决策（Multiple-criteria decision analysis MCDM）或多标准决策分析（Multiple-criteria decision analysis MCDA）是运营研究的一个子学科，它明确评估决策中的多个冲突标准（在日常生活和商业，政府和医学等环境中） ）。 在评估选项时，冲突标准是典型的：成本或价格通常是主要标准之一，而某些质量标准通常是另一个标准，很容易与成本相冲突。 在购买汽车时，成本，舒适性，安全性和燃油经济性可能是我们考虑的一些主要标准 – 最便宜的汽车是最舒适和最安全的汽车是不寻常的。 在投资组合管理中，我们有兴趣获得高回报但同时降低风险，但有可能带来高回报的股票通常也会带来高额亏损风险。 在服务行业，客户满意度和提供服务的成本是基本的冲突标准。
在我们的日常生活中，我们通常会隐含地权衡多个标准，我们可能会对这些基于直觉的决策的后果感到满意。 另一方面，当赌注很高时，正确构建问题并明确评估多个标准非常重要。 在决定是否建造核电厂以及在何处建造核电厂时，不仅涉及多个标准的非常复杂的问题，而且还有多方受到后果的深刻影响。
很好地构建复杂问题并明确考虑多个标准可以产生更明智和更好的决策。 自20世纪60年代早期现代多标准决策学科开始以来，这一领域取得了重要进展。 许多方法和方法，其中许多是由专业决策软件实施的，已经开发出来，用于各种学科，从政治和商业到环境和能源。
基础，概念，定义
MCDM或MCDA是用于多标准决策和多标准决策分析的众所周知的首字母缩略词; Stanley Zionts用他1979年的文章“MCDM – 如果不是罗马数字，然后是什么？”帮助推广这个缩写，专为创业观众而设。
MCDM关注的是构建和解决涉及多个标准的决策和计划问题。 目的是支持面临这些问题的决策者。 通常，对于此类问题不存在唯一的最优解决方案，并且必须使用决策者的偏好来区分解决方案。
“解决”可以用不同的方式解释。 它可以对应于从一组可用的替代方案中选择“最佳”替代方案（其中“最佳”可以被解释为决策者的“最优选的替代方案”）。 对“解决”的另一种解释可能是选择一小组好的替代方案，或将替代方案分组到不同的偏好集中。 一种极端的解释可能是找到所有“有效”或“非支配”的替代品（我们将在稍后定义）。
问题的困难源于存在多个标准。 对于MCDM问题不再是唯一的最佳解决方案，可以在不合并偏好信息的情况下获得。 最优解决方案的概念通常被一组非支配解决方案所取代。 非支配解决方案具有以下特性：在不牺牲至少一个标准的情况下不可能从其移动到任何其他解决方案。 因此，决策者从非支配集合中选择解决方案是有意义的。 否则，她/他可以在部分或全部标准方面做得更好，而不会在任何标准中做得更糟。 然而，一般而言，这组非支配解决方案太大而无法呈现给决策者以进行最终选择。 因此，我们需要能够帮助决策者专注于首选解决方案（或替代方案）的工具。 通常，必须为其他人“权衡”某些标准。
自20世纪70年代以来，MCDM一直是一个活跃的研究领域。 有几个与MCDM有关的组织，包括国际多标准决策协会，欧洲MCDA工作组和关于MCDM的INFORMS部分。 有关历史，请参阅：Köksalan，Wallenius和Zionts（2011年）。 MCDM利用许多领域的知识，包括：
数学
决策分析
经济学
计算机技术
软件工程
信息系统
一种类型学
MCDM问题和方法有不同的分类。 MCDM问题之间的主要区别在于是否明确或隐含地定义了解决方案。
多标准评估问题：这些问题包括有限数量的替代方案，在解决方案流程的开头明确知道。 每种替代方案都以其在多个标准中的表现来表示。 问题可能被定义为为决策者（DM）找到最佳替代方案，或找到一组好的替代方案。 人们也可能对“分类”或“分类”替代品感兴趣。 排序是指将备选方案放置在一组优先顺序排序的类别中（例如为国家分配信用评级），分类是指为非有序集合分配替代方案（例如根据其症状诊断患者）。 这一类中的一些MCDM方法已经在Triantaphyllou关于这一主题的书中以比较的方式进行了研究，2000年。
多标准设计问题（多目标数学规划问题）：在这些问题中，替代方案并未明确知晓。 通过求解数学模型可以找到替代方案（解决方案）。 替代方案的数量要么是无限的，要么不可数（当某些变量是连续的时），或者如果可数则通常非常大（当所有变量都是离散的时）。
无论是评估问题还是设计问题，都需要DM的偏好信息以区分解决方案。 用于MCDM问题的解决方法通常基于从DM获得的偏好信息的定时来分类。
有些方法在流程开始时需要DM的偏好信息，将问题转化为基本上单一的标准问题。 据说这些方法通过“先前的偏好表达”来操作。 基于估计价值函数或使用“排名关系”概念，分析层次结构过程和一些基于决策规则的方法的方法试图利用先前的偏好表达来解决多个标准评估问题。 类似地，存在通过构建价值函数使用先前的偏好清晰度来解决多标准设计问题的方法。 也许这些方法中最着名的是目标编程。 一旦构造了值函数，就解决得到的单目标数学程序以获得优选的解。
一些方法在整个解决方案过程中需要来自DM的偏好信息。 这些被称为需要“逐步表达偏好”的交互式方法或方法。 这些方法已经很好地用于多标准评估（参见例如Geoffrion，Dyer和Feinberg，1972，以及Köksalan和Sagala，1995）和设计问题（参见Steuer，1986）。
多标准设计问题通常需要解决一系列数学规划模型，以揭示隐式定义的解决方案。 对于这些问题，“有效解决方案”的表示或近似也可能是有意义的。 这个类别被称为“偏好的后向关联”，暗示DM的参与开始于“有趣”解决方案的明确揭示之后（参见例如Karasakal和Köksalan，2009）。
当数学规划模型包含整数变量时，设计问题变得难以解决。 多目标组合优化（MOCO）构成了这类问题的一个特殊类别，带来了巨大的计算难度（参见Ehrgott和Gandibleux，2002，供审阅）。
表述和定义
MCDM问题可以在标准空间或决策空间中表示。 或者，如果通过加权线性函数组合不同的标准，则还可以表示权重空间中的问题。 以下是标准和权重空间的演示以及一些正式定义。
标准空间表示
让我们假设我们使用几个标准评估特定问题情况下的解决方案。 让我们进一步假设每个标准中的越多越好。 然后，在所有可能的解决方案中，我们对那些在所有考虑的标准中表现良好的解决方案非常感兴趣。 但是，在所有考虑的标准中，单个解决方案不太可能表现良好。 通常，某些解决方案在某些标准中表现良好，而在某些标准中表现良好。 找到一种在标准之间进行权衡的方法是MCDM文献中的主要努力之一。
在数学上，与上述参数对应的MCDM问题可以表示为
“最大”q
受制于
q∈Q
其中q是k个标准函数（目标函数）的向量，Q是可行集，Q⊆Rk。
如果明确定义Q（通过一组备选方案），则产生的问题称为多标准评估问题。
如果Q是隐式定义的（通过一组约束），则产生的问题称为多标准设计问题。
引号用于指示向量的最大化不是明确定义的数学运算。 这与我们必须找到一种方法来解决标准之间的权衡（通常基于决策者的偏好）在不存在所有标准中表现良好的解决方案的论点相对应。
决策空间表示
决策空间对应于我们可用的一组可能决策。 标准值将是我们做出的决定的结果。 因此，我们可以在决策空间中定义相应的问题。 例如，在设计产品时，我们决定设计参数（决策变量），每个设计参数都会影响我们评估产品的性能指标（标准）。
在数学上，多标准设计问题可以在决策空间中表示如下：
“max”q = f（x）=（f1（x），…，fk（x））
受制于
q∈Q= {f（x）：x∈X，X⊆Rn}，
其中X是可行集，x是大小为n的决策变量向量。
当X是由线性不等式和等式定义的多面体时，获得了一个完善的特殊情况。 如果所有目标函数在决策变量方面都是线性的，则这种变化会导致多目标线性规划（MOLP），这是MCDM问题的重要子类。
有几个定义是MCDM的核心。 两个密切相关的定义是非主导（基于标准空间表示定义）和效率（基于决策变量表示定义）的定义。
定义1.如果不存在另一个q∈Q使得q≥q*且q≠q *，则q *∈Q是非支配的。
粗略地说，解决方案是非支配的，只要它在所有考虑的标准中都不逊于任何其他可用的解决方案。
定义2.如果不存在另一个x∈X使得f（x）≥f（x *）且f（x）≠f（x *），则x *∈X是有效的。
如果MCDM问题很好地代表决策情况，那么DM的最优选解决方案必须是决策空间中的有效解决方案，并且其图像是标准空间中的非支配点。 以下定义也很重要。
定义3.如果不存在另一个q∈Q使得q> q *，则q *∈Q是非弱的非支配的。
定义4.如果不存在另一个x∈X使得f（x）> f（x *），则x *∈X是弱有效的。
弱无支配点包括所有非支配点和一些特殊支配点。 这些特殊支配点的重要性来自这样一个事实，即它们通常出现在实践中，需要特别小心才能将它们与非支配点区分开来。 例如，如果我们最大化单个目标，我们最终可能会得到一个主导的弱非支配点。 弱非支配集的主导点位于标准空间中的垂直或水平平面（超平面）上。
理想点:(在标准空间中）表示每个目标函数的最佳（最大化问题的最大值和最小化问题的最小值），并且通常对应于不可行的解决方案。
最低点:(在标准空间中）表示非支配集中各点之间的每个目标函数的最差（最大化问题的最小值和最小化问题的最大值），并且通常是支配点。
理想点和最低点对于DM来说是有用的，可以获得解决方案范围的“感觉”（尽管找到具有两个以上标准的设计问题的最低点并不简单）。
决策和标准空间的插图
决策变量空间中的以下双变量MOLP问题将有助于以图形方式展示一些关键概念。
最大值f1（x）= – x1 + 2×2
最大值f2（x）= 2×1 – x2
受制于
x1≤4
x2≤4
x1 +x2≤7
-x1 +x2≤3
x1 – x2≤3
x1，x2≥0
在图1中，极值点“e”和“b”分别使第一和第二目标最大化。 这两个极值点之间的红色边界代表有效集。 从图中可以看出，对于有效集之外的任何可行解，可以通过有效集上的某些点来改善两个目标。 相反，对于有效集合上的任何点，通过转向任何其他可行解决方案都不可能改善这两个目标。 在这些解决方案中，必须牺牲其中一个目标以改进另一个目标。
由于其简单性，上述问题可以用标准空间表示，方法是将x替换为f，如下所示：
最大f1
最大f2
受制于
f1 +2f2≤12
2f1 +f2≤12
f1 +f2≤7
f1 – f2≤9
-f1 +f2≤9
f1 +2f2≥0
2f1 +f2≥0
我们在图2中以图形方式呈现标准空间。在标准空间中检测非支配点（对应于决策空间中的有效解决方案）更容易。 可行空间的东北地区构成了一组非支配点（用于最大化问题）。
生成非支配解决方案
有几种方法可以生成非支配解决方案。 我们将讨论其中的两个。 第一种方法可以生成一类特殊的非支配解，而第二种方法可以生成任何非支配解。
加权总和（Gass＆Saaty，1955）
如果我们将多个标准组合成单个标准，方法是将每个标准乘以正权重并总结加权标准，那么得到的单一标准问题的解决方案就是一种特殊的有效解决方案。 这些特殊有效的解决方案出现在可用解决方案集的角点。 不在拐角处的有效解决方案具有特殊的特征，并且该方法不能找到这些点。 在数学上，我们可以将这种情况表示为
max wT.q = wT.f（x），w> 0
受制于
x∈X
通过改变权重，加权和可以用于为设计问题生成有效的极值点解，并且支持（凸的非支配）点用于评估问题。
成就标量化功能（Wierzbicki，1980）
成就标量化功能还通过以非常特殊的方式对多个标准进行加权，将多个标准组合成单个标准。 它们创建了矩形轮廓，远离参考点，朝向可用的有效解决方案。 这种特殊结构使得成就标量化功能能够实现任何有效的解决方案。 这是一个强大的属性，使这些功能对MCDM问题非常有用。
在数学上，我们可以将相应的问题表示为
最小s（g，q，w，ρ）= Min {maxi [（gi – qi）/ wi] +ρΣi（gi- qi）}，
受制于
q∈Q
成就标量函数可用于投射有效边界上的任何点（可行或不可行）。 可以到达任何点（支持与否）。 目标函数中的第二项是避免生成低效解决方案所必需的。 图3展示了如何使用成就标量函数沿着方向w将可行点g1和不可行点g2分别投影到非支配点q1和q2上。 虚线和实线轮廓分别对应于具有和不具有目标函数的第二项的目标函数轮廓。
解决MCDM问题
为解决MCDM问题（设计和评估类型）已经形成了不同的思想流派。 对于显示其随时间发展的文献计量学研究，参见Bragge，Korhonen，H.Wallenius和J.Wallenius [2010]。
多目标数学规划学校
（1）向量最大化：向量最大化的目的是近似非支配集; 最初是为多目标线性规划问题而开发的（Evans和Steuer，1973; Yu和Zeleny，1975）。
（2）交互式编程：计算阶段与决策阶段交替进行（Benayoun等，1971; Geoffrion，Dyer和Feinberg，1972; Zionts和Wallenius，1976; Korhonen和Wallenius，1988）。 没有明确的DM值函数的知识。
目标规划学校
目的是为目标设定先验目标值，并最大限度地减少与这些目标的加权偏差。 已经使用了重要性权重以及词典先发制人权重（Charnes和Cooper，1961）。
模糊集理论家
模糊集由Zadeh（1965）引入，作为集合的经典概念的扩展。 这个想法在许多MCDM算法中用于建模和解决模糊问题。
多属性效用理论家
引出多属性效用函数或值函数，用于识别最优选的替代方案或对替代方案进行排序。 使用精心设计的访谈技术来引出线性加性效用函数和乘法非线性效用函数（Keeney和Raiffa，1976）。
法国学校
法国学校专注于决策辅助，特别是1960年代中期起源于法国的ELECTRE系列极端方法。 该方法最初由Bernard Roy提出（Roy，1968）。
进化多目标优化学校（EMO）
EMO算法从初始种群开始，并通过使用旨在模拟自然生存的最适合原则和遗传变异操作符的过程来更新它，以改善从一代到下一代的平均人口。 目标是汇聚到代表非支配集合的解决方案群体（Schaffer，1984; Srinivas和Deb，1994）。 最近，努力将偏好信息纳入EMO算法的解决方案过程（参见Deb和Köksalan，2010）。
层次分析法（AHP）
AHP首先将决策问题分解为子问题的层次结构。 然后决策者通过成对比较评估其各种要素的相对重要性。 AHP将这些评估转换为数值（权重或优先级），用于计算每个备选方案的分数（Saaty，1980）。 一致性指数衡量决策者在答复中的一致程度。 AHP是此处列出的更具争议性的技术之一，MCDA社区的一些研究人员认为它存在缺陷。 基础数学也更复杂，尽管由于商业化软件已经获得了一些普及。
一些论文回顾了MCDM技术在各种学科中的应用，如模糊MCDM，经典MCDM，可持续和可再生能源，VIKOR技术，运输系统，服务质量，TOPSIS方法，能源管理问题，电子学习，旅游和酒店，SWARA和WASPAS方法。
MCDM方法
可以使用以下MCDM方法，其中许多方法由专门的决策软件实施：
聚合指数随机化方法（AIRM）
层次分析法（AHP）
分析网络过程（ANP）
最差的方法（BWM）
特征对象METhod（COMET）
选择优势（CBA）
数据包络分析
决定EXpert（DEX）
分解 – 聚合方法（UTA *，UTAII，UTADIS）
粗糙集（粗糙集方法）
基于优势的粗糙集方法（DRSA）
ELECTRE（Outranking）
基于距离平均解（EDAS）的评估
证据推理方法（ER）
目标规划（GP）
灰色关联分析（GRA）
向量的内积（IPV）
通过基于分类的评估技术测量吸引力（MACBETH）
简单的多属性评级技术（SMART）
多属性全局质量推理（MAGIQ）
多属性效用理论（MAUT）
多属性价值理论（MAVT）
新的评估方法（NATA）
非结构模糊决策支持系统（NSFDSS）
潜在的所有可能替代品的所有成对Rankings（PAPRIKA）
PROMETHEE（Outranking）
随机多标准可接受性分析（SMAA）
优势和劣势排名方法（SIR方法）
与理想解（TOPSIS）相似的优先顺序技术
价值分析（VA）
价值工程（VE）
VIKOR方法
模糊VIKOR方法
加权产品模型（WPM）
加权和模型（WSM）
伦勃朗的方法