Matemáticas y Arte

Las matemáticas y el arte están relacionados en una variedad de formas. Las matemáticas se han descrito como un arte motivado por la belleza. Las matemáticas se pueden discernir en las artes como la música, la danza, la pintura, la arquitectura, la escultura y los textiles. Este artículo se centra, sin embargo, en las matemáticas en las artes visuales.

El arte y las matemáticas a menudo se asocian en la analogía de Platón con la belleza y la verdad. las premisas de esta pregunta a menudo convocan el número de oro. Phi es la constante matemática más asociada al arte a través de su presencia recurrente en las composiciones de escultura y pintura en el arte del Renacimiento. La proporción áurea se considera como la regla para obtener una proporción armónica que satisfaga el gusto del observador. Este paradigma es parcial si se quiere comprender el papel de las matemáticas en la historia del arte y en las revoluciones estéticas contemporáneas. Es más eficiente cuestionar protocolos, estructuras y morfogénesis creativos. Por lo tanto, es necesario abandonar las premisas platónicas en favor de las preguntas sobre las formas y las formas en que aparecen y se perciben. El arte y las matemáticas producen muchos ejes de convergencia en términos de interés que los matemáticos y artistas se apoyan mutuamente, pero también en torno a usos y procesos. Muchos proyectos estéticos contemporáneos provienen de prácticas matemáticas más o menos aparentes, pero todos dan testimonio de una sorprendente extensión de la cultura matemática. Desde la cuestión de la belleza y la armonía hasta las cuestiones de morfologías o estructuras, las matemáticas ofrecen muchas herramientas para investigar la complejidad de la realidad, sus representaciones, pero también la capacidad de inventar estructuras, formas y formas. procesos.

Las matemáticas y el arte tienen una larga relación histórica. Los artistas han usado las matemáticas desde el siglo IV aC cuando el escultor griego Polykleitos escribió su Canon, prescribiendo proporciones basadas en la relación 1: √2 para el desnudo masculino ideal. Se han hecho afirmaciones populares persistentes sobre el uso de la proporción áurea en el arte y la arquitectura antiguos, sin evidencia confiable. En el Renacimiento italiano, Luca Pacioli escribió el influyente tratado De Divina Proportione (1509), ilustrado con xilografías de Leonardo da Vinci, sobre el uso de la proporción áurea en el arte. Otro pintor italiano, Piero della Francesca, desarrolló las ideas de Euclides sobre la perspectiva en tratados como De Prospectiva Pingendi y en sus pinturas. El grabador Albrecht Dürer hizo muchas referencias a las matemáticas en su obra Melencolia I. En los tiempos modernos, el artista gráfico MC Escher hizo un uso intensivo de teselación y geometría hiperbólica, con la ayuda del matemático HSM Coxeter, mientras que el movimiento De Stijl dirigido por Theo van Doesberg y Piet Mondrian abrazaron explícitamente las formas geométricas. Las matemáticas han inspirado las artes textiles como el acolchado, el tejido de punto, el punto de cruz, el ganchillo, el bordado, el tejido, la fabricación de alfombras turcas y de otro tipo, así como el kilim. En el arte islámico, las simetrías son evidentes en formas tan variadas como el girih persa y el azulejo zellige marroquí, las pantallas de piedra perforadas de mohal Mughal y la amplia bóveda de muqarnas.

François Morellet se inspiró constantemente en las matemáticas y la geometría en su trabajo. Cita de su sitio web: Las obras de François Morellet se ejecutan según un sistema: cada elección se define por un principio establecido de antemano. Él quiere dar la impresión de controlar la creación artística mientras deja una parte del azar, lo que da una imagen impredecible. Utiliza formas simples, una pequeña cantidad de colores sólidos y composiciones elementales (yuxtaposición, superposición, posibilidad, interferencia, fragmentación). Él crea así sus primeros «marcos», redes de líneas negras paralelas superpuestas en un orden determinado que cubren toda la superficie de las pinturas. Estos sistemas son una reminiscencia de las estructuras propuestas por el Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) y descritas por Raymond Queneau: «¿Cuál es el propósito de nuestro trabajo? Ofrecer a los escritores nuevas «estructuras», de naturaleza matemática, o incluso inventar nuevos procesos artificiales o artificiales, contribuyendo a la actividad literaria «. Posteriormente, François Morellet continuará utilizando sistemas basados ​​en un universo matemático.

En el siglo XIX, las obras de Gauss, Lobatechevsky y Riemann popularizaron la idea de las dimensiones espaciales y las geometrías exóticas. Albert Einstein, en el desarrollo de la teoría de la relatividad, ofrece al público culto nuevos paradigmas de observación que algunos artistas aprovechan para encontrar otros modos de representación, la idea del espacio-tiempo es fértil y los jóvenes Braque y Piquillo escuche sobre un espacio que ya no es euclidiano sino esférico o hiperbólico. Esto provoca la imaginación y ofrece nuevas formas de describir la escalera de Marcel Duchamp y, en las obras seminales de Braque y Picasso, el cubismo analítico realizado en el Bateau Lavoir durante la primera década del siglo XX. siglo. Esta concepción del espacio se materializará en el trabajo fundamental de la historia del arte del siglo XX «las señoritas de Aviñón».

Las matemáticas han influido directamente en el arte con herramientas conceptuales como la perspectiva lineal, el análisis de la simetría y objetos matemáticos como los poliedros y la tira de Möbius. Magnus Wenninger crea coloridos poliedros estrellados, originalmente como modelos para la enseñanza. Los conceptos matemáticos tales como la recursividad y la paradoja lógica se pueden ver en pinturas de Rene Magritte y en grabados de M. C. Escher. El arte de computadora a menudo hace uso de fractales, incluido el conjunto de Mandelbrot, y algunas veces explora otros objetos matemáticos, como el autómata celular. Controversialmente, el artista David Hockney ha argumentado que los artistas del Renacimiento en adelante hicieron uso de la cámara lúcida para dibujar representaciones precisas de escenas; el arquitecto Philip Steadman también argumentó que Vermeer usó la cámara oscura en sus pinturas distintivamente observadas.

Otras relaciones incluyen el análisis algorítmico de obras de arte por espectroscopía de fluorescencia de rayos X, el hallazgo de que los batiks tradicionales de diferentes regiones de Java tienen distintas dimensiones fractales y estímulos para la investigación matemática, especialmente la teoría de la perspectiva de Filippo Brunelleschi, que finalmente condujo al proyectivo de Girard Desargues. geometría. Una visión persistente, basada en última instancia en la noción pitagórica de armonía en la música, sostiene que todo fue arreglado por Number, que Dios es el geómetra del mundo y que, por lo tanto, la geometría del mundo es sagrada, como se ve en obras de William Blake. Anciano de días.

Matemáticas y Arte en la historia:
Polykleitos el mayor (c.450-420 aC) fue un escultor griego de la escuela de Argos y contemporáneo de Fidias. Sus obras y estatuas consistían principalmente en bronce y eran de atletas. De acuerdo con el filósofo y matemático Jenócrates, Polykleitos está clasificado como uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica por su trabajo en el Doryphorus y la estatua de Hera en el Heraion de Argos. Si bien sus esculturas pueden no ser tan famosas como las de Fidias, son muy admiradas. En el Canon de Polykleitos, un tratado que escribió diseñado para documentar las proporciones anatómicas «perfectas» del desnudo masculino, Polykleitos nos da un enfoque matemático hacia la escultura del cuerpo humano.

Polykleitos utiliza la falange distal del dedo meñique como el módulo básico para determinar las proporciones del cuerpo humano. Polykleitos multiplica la longitud de la falange distal por la raíz cuadrada de dos (√2) para obtener la distancia de las segundas falanges y multiplica la longitud nuevamente por √2 para obtener la longitud de las terceras falanges. A continuación, toma la longitud del dedo y lo multiplica por √2 para obtener la longitud de la palma desde la base del dedo hasta el ulna. Esta serie geométrica de mediciones progresa hasta que Polykleitos ha formado el brazo, el cofre, el cuerpo, etc.

La influencia del Canon de Polykleitos es inmensa en la escultura clásica griega, romana y renacentista, muchos escultores siguiendo la prescripción de Polykleitos. Aunque ninguna de las obras originales de Polykleitos sobrevive, las copias romanas demuestran su ideal de perfección física y precisión matemática. Algunos estudiosos sostienen que el pensamiento pitagórico influyó en el Canon de Policleto. El Canon aplica los conceptos matemáticos básicos de la geometría griega, como la relación, la proporción y la simetría (en griego, «proporciones armoniosas») y lo convierte en un sistema capaz de describir la forma humana a través de una serie de progresiones geométricas continuas.

En la época clásica, en lugar de hacer que las figuras distantes sean más pequeñas con una perspectiva lineal, los pintores clasifican los objetos y las figuras según su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas utilizaron la perspectiva inversa para dar énfasis especial. El matemático musulmán Alhazen (Ibn al-Haytham) describió una teoría de la óptica en su Libro de Óptica en 1021, pero nunca la aplicó al arte. El Renacimiento vio un renacimiento de la cultura y las ideas clásicas griegas y romanas, entre ellas el estudio de las matemáticas para comprender la naturaleza y las artes. Dos motivos principales llevaron a los artistas a finales de la Edad Media y al Renacimiento hacia las matemáticas. En primer lugar, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional. En segundo lugar, tanto los filósofos como los artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y de que todo el universo, incluidas las artes, podía explicarse en términos geométricos.

Los rudimentos de la perspectiva llegaron con Giotto (1266/7 – 1337), quien intentó dibujar en perspectiva usando un método algebraico para determinar la ubicación de líneas distantes. En 1415, el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi y su amigo Leon Battista Alberti demostraron el método geométrico de aplicar la perspectiva en Florencia, utilizando triángulos similares a los formulados por Euclides, para encontrar la altura aparente de los objetos distantes. Las pinturas en perspectiva de Brunelleschi están perdidas, pero la pintura de Masaccio de la Santísima Trinidad muestra sus principios en acción.

El pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) quedó fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de La batalla de San Romano (hacia 1435-1460): las lanzas rotas yacen convenientemente a lo largo de líneas de perspectiva.

El pintor Piero della Francesca (c.1415-1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento renacentista italiano. Era matemático y geómetra experto, y escribió libros sobre geometría y perspectiva sólidas, como De Prospectiva Pingendi (En perspectiva para pintar), Trattato d’Abaco (Tratado de ábaco) y De corporibus regularibus (Sobre sólidos regulares). El historiador Vasari en su Vidas de los pintores llama a Piero el «mayor geómetra de su tiempo, o tal vez de cualquier época». El interés de Piero por la perspectiva se puede ver en sus pinturas, incluyendo el Políptico de Perugia, el retablo de San Agostino y La flagelación de Cristo. Su trabajo en geometría influyó más tarde en matemáticos y artistas, incluyendo a Luca Pacioli en su De Divina Proportione y Leonardo da Vinci. Piero estudió matemáticas clásicas y las obras de Arquímedes. Le enseñaron aritmética comercial en «escuelas de ábaco»; sus escritos están formateados como libros de texto escolares de ábaco, quizás incluyendo el 1202 Liber Abaci de Leonardo Pisano (Fibonacci). La perspectiva lineal acaba de ser introducida en el mundo artístico. Alberti explicó en su 1435 De pictura: «los rayos de luz viajan en líneas rectas desde puntos en la escena observada hasta el ojo, formando una especie de pirámide con el ojo como vértice». Una pintura construida con perspectiva lineal es una sección transversal de esa pirámide.

En De Prospectiva Pingendi, Piero transforma sus observaciones empíricas de la forma en que los aspectos de una figura cambian con el punto de vista en pruebas matemáticas. Su tratado comienza en la línea de Euclides: define el punto como «la cosa más pequeña que el ojo puede comprender». Utiliza la lógica deductiva para llevar al lector a la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional.

El artista David Hockney argumentó en su libro Conocimiento secreto: redescubriendo las técnicas perdidas de los viejos maestros que los artistas comenzaron a usar una cámara lúcida de la década de 1420, lo que provocó un cambio repentino de precisión y realismo, y esta práctica fue continuada por artistas importantes como Ingres, Van Eyck y Caravaggio. Los críticos no están de acuerdo sobre si Hockney estaba en lo cierto. Del mismo modo, el arquitecto Philip Steadman argumentó polémicamente que Vermeer había utilizado un dispositivo diferente, la cámara oscura, para ayudarlo a crear sus pinturas distintivamente observadas.

En 1509, Luca Pacioli (hacia 1447-1517) publicó De divina proportione sobre la proporción matemática y artística, incluso en el rostro humano. Leonardo da Vinci (1452-1519) ilustró el texto con grabados en madera de sólidos regulares mientras estudiaba con Pacioli en la década de 1490. Los dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones de sólidos esqueléticos. Estos, como el rombicuboctaedro, fueron de los primeros que se dibujaron para demostrar la perspectiva al superponerse uno encima del otro. El trabajo discute la perspectiva en las obras de Piero della Francesca, Melozzo da Forlì y Marco Palmezzano. Da Vinci estudió la Summa de Pacioli, de la cual copió tablas de proporciones. En Mona Lisa y The Last Supper, el trabajo de Da Vinci incorporó la perspectiva lineal con un punto de fuga para proporcionar una profundidad aparente. La Última Cena se construye en una estrecha proporción de 12: 6: 4: 3, como la Escuela de Atenas de Raphael, que incluye a Pitágoras con una tableta de proporciones ideales, sagrada para los pitagóricos. En Vitruvian Man, Leonardo expresó las ideas del arquitecto romano Vitruvio, mostrando innovadoramente la figura masculina dos veces, y centrándolo en un círculo y un cuadrado.

Ya en el siglo XV, la perspectiva curvilínea encontró su camino en las pinturas de artistas interesados ​​en las distorsiones de la imagen. El retrato Arnolfini 1434 de Jan van Eyck contiene un espejo convexo con reflejos de las personas en la escena, mientras que el autorretrato de Parmigianino en un espejo convexo, c. 1523-1524, muestra la cara en gran parte sin distorsión del artista en el centro, con un fondo fuertemente curvado y la mano del artista en el borde.

El espacio tridimensional se puede representar convincentemente en el arte, como en el dibujo técnico, por medios distintos de la perspectiva. Las proyecciones oblicuas, incluida la perspectiva caballeresca (utilizada por los artistas militares franceses para representar las fortificaciones en el siglo XVIII), fueron utilizadas de forma continua y omnipresente por artistas chinos del primer o segundo siglo hasta el siglo XVIII. Los chinos adquirieron la técnica de India, que la adquirió de la Antigua Roma. La proyección oblicua se ve en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).

La relación áurea (aproximadamente igual a 1.618) era conocida por Euclid. La proporción áurea ha sido reclamada persistentemente en los tiempos modernos para haber sido utilizada en el arte y la arquitectura por los antiguos en Egipto, Grecia y en otros lugares, sin evidencia confiable. La afirmación puede derivar de confusión con «media dorada», que para los griegos antiguos significaba «evitar el exceso en cualquier dirección», no una relación. Los piramidólogos desde el siglo XIX han argumentado en bases matemáticas dudosas para la proporción áurea en el diseño de pirámides. Se ha afirmado que el Partenón, un templo del siglo V a. C. en Atenas, usa la proporción áurea en su fachada y planta, pero estas afirmaciones también están refutadas por la medición. De manera similar, se ha afirmado que la Gran Mezquita de Kairouan en Túnez usa la proporción áurea en su diseño, pero la relación no aparece en las partes originales de la mezquita. El historiador de la arquitectura Frederik Macody Lund argumentó en 1919 que la Catedral de Chartres (siglo XII), Notre-Dame de Laon (1157-1205) y Notre Dame de Paris (1160) están diseñadas de acuerdo con la proporción áurea, dibujando líneas reguladoras para hacer su caso. Otros eruditos sostienen que hasta el trabajo de Pacioli en 1509, la proporción áurea era desconocida para artistas y arquitectos. Por ejemplo, la altura y el ancho del frente de Notre-Dame of Laon tienen una relación de 8/5 o 1.6, no de 1.618. Tales relaciones de Fibonacci se vuelven rápidamente difíciles de distinguir de la proporción áurea. Después de Pacioli, la proporción áurea es más claramente discernible en obras de arte como la Mona Lisa de Leonardo.

Otra relación, el único otro número mórfico, fue nombrado el número de plástico en 1928 por el arquitecto holandés Hans van der Laan (originalmente llamado nombre radiante en francés). Su valor es la solución de la ecuación cúbica

Las simetrías planas se han explotado durante milenios en obras de arte como alfombras, celosías, textiles y adornos.

Muchas alfombras tradicionales, ya sean alfombras de pelo o kilims de tejido plano, se dividen en un campo central y un borde de encuadre; ambos pueden tener simetrías, aunque en las alfombras tejidas a mano estos se rompen ligeramente con pequeños detalles, variaciones de patrones y cambios de color introducidos por el tejedor. En los kilims de Anatolia, los motivos utilizados suelen ser simétricos. El diseño general, también, suele estar presente, con arreglos tales como rayas, rayas alternadas con filas de motivos y conjuntos empaquetados de motivos aproximadamente hexagonales. El campo se presenta comúnmente como un fondo de pantalla con un grupo de fondos de pantalla como pmm, mientras que el borde se puede presentar como un friso del grupo friso pm11, pmm2 o pma2. Los kilims turcos y de Asia Central a menudo tienen tres o más fronteras en diferentes grupos de frisos. Los tejedores ciertamente tenían la intención de simetría, sin un conocimiento explícito de sus matemáticas. El matemático y teórico de la arquitectura Nikos Salingaros sugiere que la «presencia poderosa» (efecto estético) de una «gran alfombra», como las mejores alfombras de dos medallones de Konya del siglo XVII, se crea mediante técnicas matemáticas relacionadas con las teorías del arquitecto Christopher Alejandro. Estas técnicas incluyen hacer pares opuestos; valores de color opuestos; diferenciando las áreas geométricamente, ya sea mediante el uso de formas complementarias o equilibrando la direccionalidad de los ángulos agudos; proporcionar complejidad a pequeña escala (desde el nivel de nudo hacia arriba) y simetría a pequeña y gran escala; repitiendo elementos en una jerarquía de diferentes escalas (con una relación de aproximadamente 2.7 de cada nivel al siguiente). Salingaros argumenta que «todas las alfombras exitosas satisfacen al menos nueve de las diez reglas anteriores», y sugiere que podría ser posible crear una métrica a partir de estas reglas.

En el trabajo indio de Jaali se encuentran elaborados enrejados, tallados en mármol para adornar tumbas y palacios. Las redes chinas, siempre con cierta simetría, existen en 14 de los 17 grupos de fondos de pantalla; a menudo tienen espejo, doble espejo o simetría rotacional. Algunos tienen un medallón central, y algunos tienen un borde en un grupo de friso. Muchas redes chinas han sido analizadas matemáticamente por Daniel S. Dye; él identifica a Sichuan como el centro de la artesanía.

Las simetrías son prominentes en las artes textiles, incluidos los acolchados, el punto, el punto de cruz, el ganchillo, el bordado y el tejido, donde pueden ser puramente decorativos o pueden ser marcas de estatus. La simetría rotacional se encuentra en estructuras circulares, como las cúpulas; éstos a veces están elaboradamente decorados con patrones simétricos por dentro y por fuera, como en la Mezquita Sheikh Lotfollah de 1619 en Isfahan. Los artículos de bordado y de encaje, tales como manteles y manteles, hechos con bobinas o frivolitos, pueden tener una amplia variedad de simetrías de reflexión y rotación que se están explorando matemáticamente.

El arte islámico explota las simetrías en muchas de sus formas artísticas, especialmente en los ornamentos girih. Estos se forman utilizando un conjunto de cinco formas de azulejos, a saber, un decágono regular, un hexágono alargado, una pajarita, un rombo y un pentágono regular. Todos los lados de estas fichas tienen la misma longitud; y todos sus ángulos son múltiplos de 36 ° (π / 5 radianes), ofreciendo simetrías de cinco y diez veces. Las baldosas están decoradas con líneas de correas (girih), generalmente más visibles que los límites de los azulejos. En 2007, los físicos Peter Lu y Paul Steinhardt argumentaron que girih se parecía a las incrustaciones cuasicristalinas de Penrose. El azulejo de zellige geométrico elaborado es un elemento distintivo en la arquitectura marroquí. Las bóvedas de Muqarnas son tridimensionales pero fueron diseñadas en dos dimensiones con dibujos de celdas geométricas.

Los sólidos platónicos y otros poliedros son un tema recurrente en el arte occidental. Se encuentran, por ejemplo, en un mosaico de mármol con el pequeño dodecaedro estrellado, atribuido a Paolo Uccello, en el piso de la Basílica de San Marcos en Venecia; en los diagramas de Leonardo da Vinci de poliedros regulares dibujados como ilustraciones para el libro de 1509 de Luca Pacioli The Divine Proportion; como rombicuboctaedro de vidrio en el retrato de Pacioli de Jacopo de Barbari, pintado en 1495; en el poliedro truncado (y varios otros objetos matemáticos) en el grabado de Albrecht Durero Melencolia I; y en la pintura de Salvador Dalí, La última cena, en la que se representan a Cristo y sus discípulos dentro de un dodecaedro gigante.

Albrecht Dürer (1471-1528) fue un grabador del Renacimiento alemán que hizo importantes contribuciones a la literatura poliédrica en su libro de 1525, Underweysung der Messung (Educación sobre la medición), destinado a enseñar las asignaturas de perspectiva lineal, geometría en la arquitectura, sólidos platónicos y polígonos regulares. Durero probablemente fue influenciado por los trabajos de Luca Pacioli y Piero della Francesca durante sus viajes a Italia. Si bien los ejemplos de la perspectiva en Underweysung der Messung están subdesarrollados y contienen imprecisiones, hay una discusión detallada de los poliedros. Durero también es el primero en introducir en el texto la idea de redes poliédricas, poliedros desplegados para quedar planos para la impresión. Durero publicó otro influyente libro sobre proporciones humanas llamado Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre la proporción humana) en 1528.

El famoso grabado de Durero Melencolia I representa a un pensador frustrado sentado junto a un trapezoedro triangular truncado y un cuadrado mágico. Estos dos objetos, y el grabado en su conjunto, han sido objeto de una interpretación más moderna que los contenidos de casi cualquier otro grabado, incluido un libro de dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster y una discusión influyente en la monografía de Durero de Erwin Panofsky. . Corpus Hypercubus de Salvador Dalí representa una red tridimensional desplegada para un hipercubo, un poliedro regular tetradimensional.

Los diseños tradicionales de batik cera-resistente de Indonesia sobre tela combinan motivos representativos (como elementos florales y vegetales) con elementos abstractos y algo caóticos, incluida la imprecisión en la aplicación de la resistencia a la cera y la variación aleatoria introducida por el agrietamiento de la cera. Los diseños de Batik tienen una dimensión fractal entre 1 y 2, variando en diferentes estilos regionales. Por ejemplo, el batik de Cirebon tiene una dimensión fractal de 1.1; los batiks de Yogyakarta y Surakarta (Solo) en Java Central tienen una dimensión fractal de 1.2 a 1.5; y los batiks de Lasem en la costa norte de Java y de Tasikmalaya en Java occidental tienen una dimensión fractal entre 1.5 y 1.7.

Las obras de pintura por goteo del artista moderno Jackson Pollock son igualmente distintivas en su dimensión fractal. Su Número 14 de 1948 tiene una dimensión costera de 1.45, mientras que sus pinturas posteriores tuvieron dimensiones fractales sucesivamente más altas y, por consiguiente, patrones más elaborados. Una de sus últimas obras, Blue Poles, tardó seis meses en crearse, y tiene una dimensión fractal de 1,72.

Relación compleja de Matemáticas y Arte:
El astrónomo Galileo Galilei en su Il Saggiatore escribió que «[El universo] está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus personajes son triángulos, círculos y otras figuras geométricas». Los artistas que se esfuerzan y buscan estudiar la naturaleza primero deben, en opinión de Galileo, comprender completamente las matemáticas. Los matemáticos, por el contrario, han intentado interpretar y analizar el arte a través de la lente de la geometría y la racionalidad. El matemático Felipe Cucker sugiere que las matemáticas, y especialmente la geometría, son una fuente de reglas para la «creación artística impulsada por reglas», aunque no la única. Algunas de las muchas líneas de la relación compleja resultante se describen a continuación.

El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte, afirmando que «las claves de las matemáticas son belleza y elegancia y no embotamiento y tecnicidad», y que la belleza es la fuerza motivadora de la investigación matemática. King cita el ensayo del matemático G. H. Hardy de 1940 Apología del matemático. En él, Hardy discute por qué encuentra dos teoremas de los tiempos clásicos como de primera clase, es decir, la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional. King evalúa esto último contra los criterios de Hardy para la elegancia matemática: «seriedad, profundidad, generalidad, inesperada, inevitabilidad y economía» (cursivas del Rey), y describe la prueba como «estéticamente agradable». El matemático húngaro Paul Erdős estuvo de acuerdo en que las matemáticas poseen belleza, pero consideró las razones más allá de la explicación: «¿Por qué los números son bellos? Es como preguntar por qué la Novena Sinfonía de Beethoven es hermosa. Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Lo sé los números son hermosos «.

Las matemáticas se pueden discernir en muchas de las artes, como la música, la danza, la pintura, la arquitectura y la escultura. Cada uno de estos está ricamente asociado con las matemáticas. Entre las conexiones a las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para artistas, como las reglas de perspectiva lineal descritas por Brook Taylor y Johann Lambert, o los métodos de geometría descriptiva, ahora aplicados en modelado de sólidos por software, que se remontan a Albrecht Durero y Gaspard Monge. Artistas de Luca Pacioli en la Edad Media y Leonardo da Vinci y Albrecht Durero en el Renacimiento han utilizado y desarrollado ideas matemáticas en la búsqueda de su trabajo artístico. El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos usos embrionarios en la arquitectura de la antigua Grecia, con pintores italianos como Giotto en el siglo XIII; reglas como el punto de fuga fueron formuladas por primera vez por Brunelleschi alrededor de 1413, su teoría influyendo en Leonardo y Durero. El trabajo de Isaac Newton sobre el espectro óptico influyó en la Teoría de los colores de Goethe y, a su vez, en artistas como Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, Prerrafaelitas y Wassily Kandinsky. Los artistas también pueden elegir analizar la simetría de una escena. Las herramientas pueden ser aplicadas por matemáticos que están explorando el arte o artistas inspirados en las matemáticas, como MC Escher (inspirado en HSM Coxeter) y el arquitecto Frank Gehry, quien argumentó más tenuemente que el diseño asistido por computadora le permitió expresarse de una manera completamente nueva camino.

El artista Richard Wright argumenta que los objetos matemáticos que se pueden construir se pueden ver ya sea como «procesos para simular fenómenos» o como obras de «arte informático». Él considera la naturaleza del pensamiento matemático, observando que los fractales eran conocidos por los matemáticos durante un siglo antes de que fueran reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para «llegar a un acuerdo con los artefactos culturales como el arte, la tensión entre la objetividad y la subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación». Él da como ejemplos una imagen del conjunto de Mandelbrot, una imagen generada por un algoritmo de autómata celular, y una imagen renderizada por computadora, y discute, con referencia a la prueba de Turing, si los productos algorítmicos pueden ser arte. Las matemáticas y el arte de Sasho Kalajdzievski: una introducción a las matemáticas visuales adopta un enfoque similar, al examinar adecuadamente los temas de las matemáticas visuales, como los mosaicos, los fractales y la geometría hiperbólica.

Algunas de las primeras obras de arte de computadora fueron creadas por Desmond Paul Henry «Drawing Machine 1», una máquina análoga basada en una computadora bombsight y expuesta en 1962. La máquina era capaz de crear líneas complejas, abstractas, asimétricas, curvilíneas, pero repetitivas dibujos. Más recientemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creado formas que sugieren objetos del mundo real, como peces y pájaros, utilizando fórmulas que se van variando sucesivamente para dibujar familias de curvas o líneas en ángulo. Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte generativo o algorítmico escribiendo guiones para un sistema de software como Structure Synth: el artista dirige efectivamente el sistema para aplicar una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos elegidos.

El matemático y físico teórico Henri Poincaré’s Science and Hypothesis fue ampliamente leído por los cubistas, incluidos Pablo Picasso y Jean Metzinger. Poincaré veía la geometría euclidiana como una de las muchas configuraciones geométricas posibles, más que como una verdad objetiva absoluta. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a cuestionar la perspectiva renacentista clásica: la geometría no euclidiana se convirtió en una alternativa válida. El concepto de que la pintura podía expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento de arte que condujo al arte abstracto. Metzinger, en 1910, escribió que: «[Picasso] presenta una perspectiva libre y móvil, de la cual ese matemático ingenioso Maurice Princet ha deducido toda una geometría». Más tarde, Metzinger escribió en sus memorias:

Maurice Princet se unió a nosotros a menudo … fue como artista que conceptualizó las matemáticas, como un esteticista que invoca continuums n-dimensional. Le encantaba hacer que los artistas se interesasen por las nuevas vistas del espacio que habían abierto Schlegel y algunos otros. Él tuvo éxito en eso.

El impulso de hacer modelos de enseñanza o investigación de formas matemáticas crea naturalmente objetos que tienen simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de estos han inspirado a artistas como los dadaístas Man Ray, Marcel Duchamp y Max Ernst, y siguiendo a Man Ray, Hiroshi Sugimoto.

Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos en el Institut Henri Poincaré en París, incluyendo Objet mathematique (objeto matemático). Señaló que esto representa superficies de Enneper con curvatura negativa constante, derivada de la pseudoesfera. Esta base matemática era importante para él, ya que le permitía negar que el objeto era «abstracto», en lugar de afirmar que era tan real como el orinal que Duchamp convirtió en una obra de arte. Man Ray admitió que la fórmula [superficie de Enneper] del objeto «no significaba nada para mí, pero las formas mismas eran tan variadas y auténticas como cualquiera en la naturaleza». Utilizó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras de su serie que hizo en las obras de Shakespeare, como su pintura de 1934, Antony and Cleopatra. El periodista de arte Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife, sostiene que Man Ray fotografió «los paraboloides elípticos y los puntos cónicos en la misma luz sensual que sus imágenes de Kiki de Montparnasse», y «reutiliza ingeniosamente los cálculos fríos de las matemáticas para revelar la topología de deseo». Los escultores del siglo XX como Henry Moore, Barbara Hepworth y Naum Gabo se inspiraron en los modelos matemáticos. Moore escribió sobre su 1938 Stringed Mother and Child: «Sin lugar a dudas, la fuente de mis figuras de cuerda fue el Museo de Ciencias … Me fascinaban los modelos matemáticos que vi allí … No era el estudio científico de estos modelos, sino el capacidad de mirar a través de las cuerdas como con una jaula de pájaros y ver una forma dentro de otra que me emocionó «.

Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento De Stijl, que querían «establecer un vocabulario visual compuesto de formas geométricas elementales comprensibles por todos y adaptables a cualquier disciplina». Muchas de sus obras de arte consisten visiblemente en cuadrados y triángulos gobernados, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, muebles, diseño de interiores y arquitectura. Después de la separación de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento Avant-garde Art Concret, describiendo su Composición aritmética de 1929-1930, una serie de cuatro cuadrados negros en la diagonal de un fondo cuadrado, como «una estructura que se puede controlar, una superficie definida sin elementos fortuitos o capricho individual «, sin embargo» no falta de espíritu, no falta lo universal y no … vacio ya que hay todo lo que se ajusta al ritmo interno «. La crítica de arte Gladys Fabre observa que dos progresiones funcionan en la pintura, a saber, el crecimiento de los cuadrados negros y los fondos alternos.

Las matemáticas del teselado, poliedros, la configuración del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) materiales de toda una vida para sus xilografías. En el boceto de la Alhambra, Escher mostró que el arte se puede crear con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. Escher usó polígonos irregulares para revestir el plano y, a menudo, usó reflejos, reflejos de planeo y traducciones para obtener patrones adicionales. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, hechas con objetos geométricos que establecen una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero son agradables a la vista humana. Escher’s Ascending and Descending se basa en la «escalera imposible» creada por el científico médico Lionel Penrose y su hijo el matemático Roger Penrose.

Algunos de los muchos dibujos de teselación de Escher se inspiraron en las conversaciones con el matemático H. S. M. Coxeter sobre geometría hiperbólica. Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su trabajo. Los sólidos platónicos (tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros) son especialmente prominentes en orden y caos y cuatro sólidos regulares. Estas figuras estrelladas a menudo residen dentro de otra figura que distorsiona aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros y proporciona una obra de arte perspectiva multifacética.

La complejidad visual de las estructuras matemáticas tales como mosaicos y poliedros ha inspirado una variedad de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin hace rompecabezas poliédricos en bosques raros y hermosos; George W. Hart trabaja en la teoría de los poliedros y esculpe objetos inspirados por ellos; Magnus Wenninger crea modelos «especialmente bellos» de complejos poliedros estrellados.

Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis se han explorado en el arte desde el siglo XVI, cuando Hans Holbein el Joven incorporó una calavera severamente distorsionada en su pintura de 1553 Los Embajadores. Muchos artistas desde entonces, incluido Escher, han utilizado trucos anamórficos.

Las matemáticas de la topología han inspirado a varios artistas en los tiempos modernos. El escultor John Robinson (1935-2007) creó obras como Gordian Knot y Bands of Friendship, mostrando la teoría del nudo en bronce pulido. Otras obras de Robinson exploran la topología de los toros. Génesis se basa en anillos borromeos, un conjunto de tres círculos, dos de los cuales no están unidos, pero en los que no se puede desarmar toda la estructura sin romper. El escultor Helaman Ferguson crea superficies complejas y otros objetos topológicos. Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; The Eightfold Way se basa en el grupo proyectivo especial lineal PSL (2,7), un grupo finito de 168 elementos. El escultor Bathsheba Grossman basa de manera similar su trabajo en estructuras matemáticas.

Un proyecto de investigación de artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la tira de Möbius, flexiones, origami y fotografía panorámica.

Los objetos matemáticos que incluyen la variedad de Lorenz y el plano hiperbólico han sido elaborados utilizando artes de fibra, incluido el ganchillo. La tejedora estadounidense Ada Dietz escribió una monografía de 1949 Algebraic Expressions in Hand Woven Textiles, que define los patrones de tejido basados ​​en la expansión de polinomios multivariantes. El matemático J. C. P. Miller utilizó el autómata celular Rule 90 para diseñar tapices que representan árboles y patrones abstractos de triángulos. Los «mathekniticians» Pat Ashforth y Steve Plummer usan versiones tricotadas de objetos matemáticos como hexaflexágonos en sus enseñanzas, aunque su esponja Menger resultó ser demasiado problemática para tejer y en su lugar estaba hecha de tela de plástico. Su proyecto «Mathghans» (afganos para las escuelas) introdujo el tejido en el plan de estudios de matemáticas y tecnología británico.

Modelado de Matemáticas:
El modelado está lejos de ser la única forma posible de ilustrar conceptos matemáticos. El Tríptico Stefaneschi de Giotto, 1320, ilustra la recursión en forma de mise en abyme; el panel central del tríptico contiene, abajo a la izquierda, la figura arrodillada del cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico como una ofrenda. Las pinturas metafísicas de Giorgio Chirico, como su Gran Interior Metafísico de 1917, exploran la cuestión de los niveles de representación en el arte al representar pinturas dentro de sus pinturas.

El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como en algunas pinturas del surrealista René Magritte, que pueden leerse como chistes semióticos sobre la confusión entre niveles. En La condición humana (1933), Magritte representa un caballete (en el lienzo real), apoyando sin problemas una vista a través de una ventana que está enmarcada por cortinas «reales» en la pintura. Del mismo modo, Escher’s Print Gallery (1956) es una impresión que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que recursivamente contiene la imagen, y así ad infinitum. Magritte hizo uso de esferas y cuboides para distorsionar la realidad de una manera diferente, pintándola junto con una variedad de casas en su Aritmética mental de 1931 como si fueran bloques de construcción para niños, pero de tamaño de una casa. The Guardian observó que la «imagen misteriosa de la ciudad del juguete» profetizó la usurpación del Modernismo de «formas tradicionales acogedoras», pero también juega con la tendencia humana de buscar patrones en la naturaleza.

La última pintura de Salvador Dalí, The Swallow’s Tail (1983), formaba parte de una serie inspirada en la teoría de la catástrofe de René Thom. El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza. Consistiendo en formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como Angular I y Automnes, Palazuelo se expresó en transformaciones geométricas.

El artista Adrian Gray practica el equilibrio de piedras, explotando la fricción y el centro de gravedad para crear composiciones llamativas y aparentemente imposibles.

Los artistas, sin embargo, no necesariamente toman la geometría literalmente. Como Douglas Hofstadter escribe en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, Gödel, Escher, Bach, a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: «La diferencia entre un dibujo de Escher y una geometría no euclidiana es que en el segundo, comprensible se pueden encontrar interpretaciones para los términos indefinidos, resultando en un sistema comprensible total, mientras que para el primero, el resultado final no es reconciliable con la concepción del mundo de uno, sin importar cuánto tiempo uno mire las imágenes «. Hofstadter discute la aparentemente paradójica litografía Print Gallery de M. C. Escher; representa una ciudad costera que contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, existiendo un «bucle extraño, o jerarquía enredada» a los niveles de realidad en la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no se ve; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. El vacío central de la imagen también atrajo el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra, quienes proponen que podría contener una copia de sí mismo del efecto Droste, rotada y encogida; esto sería una ilustración más de la recursión más allá de lo observado por Hofstadter.

El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo utilizando espectroscopía de fluorescencia de rayos X, puede revelar información sobre el arte. Dichas técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura cubiertas posteriormente por un artista; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra de arte antes de que se agriete o se desvanezca; ayuda a distinguir una copia de un original o distinguir el estilo de pincelada de un maestro de los de sus aprendices.

El estilo de pintura por goteo de Jackson Pollock tiene una dimensión fractal definida; entre los artistas que pudieron haber influido en el caos controlado de Pollock, Max Ernst pintó las figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo perforado de pintura sobre un lienzo.

El científico informático Neil Dodgson investigó si las pinturas de rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente, y concluyó que aunque la distancia de separación podía «proporcionar cierta caracterización» y la entropía global funcionaba en algunas pinturas, la autocorrelación fracasó ya que los patrones de Riley eran irregulares. La entropía local funcionó mejor y se correlacionó bien con la descripción dada por el crítico de arte Robert Kudielka.

El matemático estadounidense George Birkhoff’s 1933 Aesthetic Measure propone una medida cuantitativa de la calidad estética de una obra de arte. No intenta medir las connotaciones de una obra, como lo que podría significar una pintura, sino que se limita a los «elementos de orden» de una figura poligonal. Birkhoff primero combina (como una suma) cinco de esos elementos: si hay un eje vertical de simetría; si hay equilibrio óptico; cuantas simetrías rotacionales tiene; cómo es el papel tapiz, como la figura; y si hay características insatisfactorias como tener dos vértices muy juntos. Esta métrica, O, toma un valor entre -3 y 7. La segunda métrica, C, cuenta elementos de la figura, que para un polígono es el número de líneas rectas diferentes que contienen al menos uno de sus lados. Birkhoff luego define su medida estética de la belleza de un objeto como O / C. Esto se puede interpretar como un equilibrio entre el placer de mirar el objeto y la cantidad de esfuerzo necesario para asimilarlo. La propuesta de Birkhoff ha sido criticada de varias maneras, entre otras cosas por tratar de poner belleza en una fórmula, pero nunca afirmó haber hecho eso.

El arte a veces ha estimulado el desarrollo de las matemáticas, como cuando la teoría de la perspectiva en arquitectura y pintura de Brunelleschi inició un ciclo de investigación que condujo al trabajo de Brook Taylor y Johann Heinrich Lambert sobre los fundamentos matemáticos del dibujo en perspectiva y, finalmente, a las matemáticas de geometría proyectiva de Girard Desargues y Jean-Victor Poncelet.

El arte japonés del papiroflexia ha sido rediseñado matemáticamente por Tomoko Fusé utilizando módulos, papeles congruentes como cuadrados y convirtiéndolos en poliedros o mosaicos. El plegamiento de papel fue utilizado en 1893 por T. Sundara Rao en sus Ejercicios geométricos en papel plegado para demostrar las pruebas geométricas. Las matemáticas del plegamiento de papel se han explorado en el teorema de Maekawa, el teorema de Kawasaki y los axiomas Huzita-Hatori.

Las ilusiones ópticas, como la espiral de Fraser, demuestran de manera sorprendente las limitaciones de la percepción visual humana, creando lo que el historiador del arte Ernst Gombrich llamó un «truco desconcertante». Las cuerdas blancas y negras que parecen formar espirales son en realidad círculos concéntricos. El estilo Op art o arte óptico de mediados del siglo XX de la pintura y los gráficos explotaba tales efectos para crear la impresión de movimiento y los patrones de parpadeo o vibración vistos en el trabajo de artistas como Bridget Riley, Spyros Horemis y Victor Vasarely.

Una línea de arte de la Antigua Grecia en adelante ve a Dios como el geómetra del mundo y, por lo tanto, la geometría del mundo como sagrada. La creencia de que Dios creó el universo de acuerdo con un plan geométrico tiene orígenes antiguos. Plutarco atribuyó la creencia a Platón, escribiendo que «Platón dijo que Dios geometriza continuamente» (Convivialium disputationum, liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico derivaba a su vez de una noción pitagórica de armonía en la música, donde las notas se espaciaban en proporciones perfectas, correspondientes a las longitudes de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba arreglado por Número. De la misma manera, en el pensamiento platónico, los sólidos regulares o platónicos dictan las proporciones que se encuentran en la naturaleza y en el arte. Una ilustración manuscrita medieval puede referirse a un versículo en el Antiguo Testamento: «Cuando estableció los cielos, yo estaba allí; cuando él puso una brújula sobre la faz del abismo» (Proverbios 8:27), mostrando a Dios dibujando el universo con un par de compases. En 1596, el astrónomo matemático Johannes Kepler modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. El Anciano de los días de William Blake y su pintura del físico Isaac Newton, desnudo y dibujando con una brújula, intentan representar el contraste entre el mundo espiritual matemáticamente perfecto y el mundo físico imperfecto, como de manera diferente la Crucifixión de Salvador Dalí de 1954 (Corpus Hipercubo), que representa la cruz como un hipercubo, que representa la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de los tres habituales. En El Sacramento de la Última Cena de Dalí (1955), Cristo y sus discípulos aparecen en el interior de un gigante dodecaedro.