Matemática e Arte

Matemática e arte estão relacionadas de várias maneiras. A matemática tem sido descrita como uma arte motivada pela beleza. A matemática pode ser discernida em artes como música, dança, pintura, arquitetura, escultura e têxteis. Este artigo enfoca, no entanto, a matemática nas artes visuais.

A arte e a matemática são freqüentemente associadas à analogia de Platão com a beleza e a verdade. As premissas desta questão freqüentemente convocam o número de ouro. Phi é a constante matemática mais associada à arte através da sua presença recorrente em composições de escultura e pintura na arte renascentista. A razão dourada é considerada como a regra para obter uma proporção harmônica que satisfaça o gosto do observador. Este paradigma é parcial se se deseja entender o papel da matemática na história da arte e nas revoluções estéticas contemporâneas. É mais eficiente questionar protocolos criativos, estruturas e morfogeneses. Portanto, é necessário abandonar as instalações platônicas em favor de questões sobre as formas e as formas em que aparecem e são percebidas. Arte e matemática produzem muitos eixos de convergência em termos de interesse que matemáticos e artistas se apoiam mutuamente, mas também em torno de usos e processos. Muitos projetos estéticos contemporâneos provêm de práticas matemáticas mais ou menos aparentes, mas todos testemunham uma extensão surpreendente da cultura matemática. Da questão da beleza e da harmonia às questões de morfologias ou estruturas, a matemática oferece muitas ferramentas para investigar a complexidade da realidade, suas representações, mas também a capacidade de inventar estruturas, formas e formas. processo.

Matemática e arte têm um longo relacionamento histórico. Os artistas usaram a matemática desde o século IV aC quando o escultor grego Polykleitos escreveu seu Canon, prescrevendo proporções baseadas na razão 1: √2 para o nude masculino ideal. Reivindicações populares persistentes foram feitas para o uso da razão de ouro na arte e arquitetura antigas, sem evidências confiáveis. No Renascimento italiano, Luca Pacioli escreveu o influente tratado De Divina Proportione (1509), ilustrado com gravuras em madeira de Leonardo da Vinci, sobre o uso da razão de ouro no art. Outro pintor italiano, Piero della Francesca, desenvolveu as idéias de Euclides em perspectiva em tratados como De Prospectiva Pingendi e em suas pinturas. O gravador Albrecht Dürer fez muitas referências à matemática em sua obra Melencolia I. Nos tempos modernos, o artista gráfico MC Escher fez um uso intensivo de tesselumbra e geometria hiperbólica, com a ajuda do matemático HSM Coxeter, enquanto o movimento De Stijl liderado por Theo van Doesberg e Piet Mondrian abraçaram explicitamente as formas geométricas. A matemática inspirou artes têxteis, como colchas, tricô, ponto de cruz, crochê, bordados, tecelagem, turco e outras formas de tapete, bem como o kilim. Na arte islâmica, as simetrias são evidentes em formas tão variadas quanto o girih persa e o mosaico zellige marroquino, as telas de pedra perfurada Mughal jaali e o abóbada Muqarnas.

François Morellet foi constantemente inspirado pela matemática e geometria em seu trabalho. Citação de seu site: as obras de François Morellet são executadas de acordo com um sistema: cada escolha é definida por um princípio estabelecido antecipadamente. Ele quer dar a impressão de controlar a criação artística, deixando uma parte do acaso, o que dá uma imagem imprevisível. Ele usa formas simples, um pequeno número de cores sólidas e composições elementares (justaposição, superposição, chance, interferência, fragmentação). Ele cria assim seus primeiros “quadros”, redes de linhas paralelas pretas sobrepostas em uma ordem determinada que cobre toda a superfície das pinturas. Estes sistemas são remanescentes das estruturas propostas pelo Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) e descritas por Raymond Queneau: “Qual é o propósito do nosso trabalho? Oferecer aos escritores novas” estruturas “, de natureza matemática, ou mesmo inventar novas processos artificiais ou mecânicos, contribuindo para a atividade literária “. Posteriormente, François Morellet continuará a usar sistemas baseados em um universo matemático.

No século XIX, as obras de Gauss, Lobatechevsky e Riemann popularizaram a idéia de dimensões espaciais e geometrias exóticas. Albert Einstein, no desenvolvimento da teoria da relatividade, oferece aos novos paradigmas públicos criados de observação que alguns artistas aproveitam para encontrar outros modos de representação, a idéia de espaço-tempo é fértil e os jovens Braque e Pïcasso conhecem uma espaço que não é mais euclidiano, mas esférico ou hiperbólico. Isso provoca a imaginação e oferece novas formas de descrever a escada de Marcel Duchamp e nas obras seminal de Braque e Picasso, o cubismo analítico produzido no Bateau Lavoir durante a primeira década do século XX. século. Essa concepção do espaço será incorporada no trabalho fundamental da história da arte do século XX “as jovens de Avignon”.

A matemática influenciou diretamente a arte com ferramentas conceituais, como a perspectiva linear, a análise da simetria e objetos matemáticos, como os poliedros e a tira de Möbius. Magnus Wenninger cria poliedros estrelados coloridos, originalmente como modelos de ensino. Conceitos matemáticos como a recursão eo paradoxo lógico podem ser vistos em pinturas de Rene Magritte e em gravuras de M. C. Escher. A arte do computador geralmente faz uso de fractals, incluindo o conjunto Mandelbrot, e às vezes explora outros objetos matemáticos, como autômatos celulares. Controversialmente, o artista David Hockney argumentou que artistas do Renascimento utilizavam a câmera lucida para desenhar representações precisas de cenas; o arquiteto Philip Steadman argumentou de forma semelhante que Vermeer usou a câmera obscura em suas pinturas distintamente observadas.

Outros relacionamentos incluem a análise algorítmica de obras de arte por espectroscopia de fluorescência de raios X, a descoberta de que os batiks tradicionais de diferentes regiões de Java possuem dimensões fractal distintas e estímulos para a pesquisa de matemática, especialmente a teoria da perspectiva de Filippo Brunelleschi, que eventualmente levou à projeção de Girard Desargues geometria. Uma visão persistente, baseada em última análise na noção pitagórica de harmonia na música, sustenta que tudo foi organizado por Number, que Deus é o geômetro do mundo, e que, portanto, a geometria do mundo é sagrada, como se vê em obras de arte, como William The Blake’s The Ancient of Days.

Matemática e arte na história:
Polykleitos o ancião (c.450-420 aC) era um escultor grego da escola de Argos e um contemporâneo de Phidias. Suas obras e estátuas consistiam principalmente em bronze e eram de atletas. De acordo com o filósofo e matemático Xenocrates, Polykleitos é classificado como um dos mais importantes escultores da antiguidade clássica por seu trabalho no Doryphorus e a estátua de Hera na Heraion de Argos. Embora suas esculturas não sejam tão famosas quanto as de Phidias, elas são muito admiradas. No Canon de Polykleitos, um tratado que ele escreveu, projetado para documentar as proporções anatômicas “perfeitas” do nu masculino, Polykleitos nos dá uma abordagem matemática para esculpir o corpo humano.

Polykleitos usa a falange distal do pequeno dedo como o módulo básico para determinar as proporções do corpo humano. Polykleitos multiplica o comprimento da falange distal pela raiz quadrada de dois (√2) para obter a distância das duas falanges e multiplica o comprimento novamente por √2 para obter o comprimento das terceiras falanges. Em seguida, ele tira o comprimento do dedo e multiplica isso por √2 para obter o comprimento da palma da base do dedo para o cúbito. Esta série geométrica de medidas progride até que Polykleitos tenha formado o braço, o peito, o corpo e assim por diante.

A influência do Canon de Polykleitos é imensa na escultura clássica grega, romana e renascentista, muitos escultores seguindo a prescrição de Polykleitos. Enquanto nenhuma das obras originais de Polykleitos sobrevive, cópias romanas demonstram seu ideal de perfeição física e precisão matemática. Alguns estudiosos argumentam que o pensamento pitagórico influenciou a Canon de Polykleitos. A Canon aplica os conceitos matemáticos básicos da geometria grega, como a proporção, proporção e simetria (grego para “proporções harmoniosas”) e o transforma em um sistema capaz de descrever a forma humana através de uma série de progressões geométricas contínuas.

Nos tempos clássicos, em vez de fazer figuras distantes menores com perspectiva linear, objetos e figuras de tamanho dos pintores de acordo com sua importância temática. Na Idade Média, alguns artistas usaram a perspectiva inversa para especial ênfase. O matemático muçulmano Alhazen (Ibn al-Haytham) descreveu uma teoria da óptica em seu Livro de Óptica em 1021, mas nunca aplicou-a à arte. O Renascimento viu um renascimento da cultura e idéias clássicas da Grécia e da Roménia, entre elas o estudo da matemática para entender a natureza e as artes. Dois motivos importantes levaram artistas no final da Idade Média e o Renascimento em relação à matemática. Primeiro, os pintores precisavam descobrir como descrever cenas tridimensionais em uma tela bidimensional. Em segundo lugar, filósofos e artistas estavam convencidos de que a matemática era a verdadeira essência do mundo físico e que todo o universo, incluindo as artes, poderia ser explicado em termos geométricos.

Os rudimentos da perspectiva chegaram com Giotto (1266/7 – 1337), que tentaram desenhar em perspectiva usando um método algébrico para determinar a colocação de linhas distantes. Em 1415, o arquiteto italiano Filippo Brunelleschi e seu amigo Leon Battista Alberti demonstraram o método geométrico de aplicação da perspectiva em Florença, usando triângulos similares, conforme formulado por Euclides, para encontrar a altura aparente de objetos distantes. As pinturas de perspectiva de Brunelleschi estão perdidas, mas a pintura de Masaccio da Santíssima Trindade mostra seus princípios no trabalho.

O pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) foi fascinado pela perspectiva, como mostrado em suas pinturas da Batalha de San Romano (1435-1460): as lanças quebradas se situam convenientemente em linhas de perspectiva.

O pintor Piero della Francesca (c.1415-1492) exemplificou esta nova mudança no pensamento renascentista italiano. Ele era um especialista em matemática e geômetro, escrevendo livros sobre geometria sólida e perspectiva, incluindo De Prospectiva Pingendi (Em Perspectiva para Pintura), Trattato d’Abaco (Abacus Treatise) e De corporibus regularibus (On Regular Solids). O historiador Vasari em suas Vidas dos Pintores chama Piero o “maior geômetro de seu tempo, ou talvez de qualquer momento”. O interesse de Piero em perspectiva pode ser visto em suas pinturas, incluindo o Polypticch de Perugia, o retábulo de San Agostino e The Flagellation of Christ. Seu trabalho sobre geometria influenciou mais tarde matemáticos e artistas, incluindo Luca Pacioli em sua De Divina Proportione e Leonardo da Vinci. Piero estudou matemática clássica e as obras de Arquimedes. Foi ensinado aritmética comercial em “escolas de ábaco”; seus escritos são formatados como livros didáticos da escola de ábaco, talvez incluindo o 1202 Liber Abaci de Leonardo Pisano (Fibonacci). A perspectiva linear foi apenas introduzida no mundo artístico. Alberti explicou em sua foto de 1435: “os raios de luz viajam em linhas retas de pontos na cena observada para o olho, formando uma espécie de pirâmide com o olho como vértice”. Uma pintura construída com perspectiva linear é uma seção transversal dessa pirâmide.

Em De Prospectiva Pingendi, Piero transforma suas observações empíricas sobre os aspectos de uma figura de mudança com ponto de vista em provas matemáticas. Seu tratado começa na veia de Euclides: ele define o ponto como “o mais ínfimo que é possível para o olho compreender”. Ele usa lógica dedutiva para levar o leitor à representação em perspectiva de um corpo tridimensional.

O artista David Hockney argumentou em seu livro Secret Knowledge: redescobrir as técnicas perdidas dos antigos mestres de que os artistas começaram a usar uma câmera lucida da década de 1420, resultando em uma mudança repentina de precisão e realismo, e que essa prática foi continuada por grandes artistas, incluindo Ingres, Van Eyck e Caravaggio. Os críticos não concordam se Hockney estava correto. Da mesma forma, o arquiteto Philip Steadman argumentou controversamente que Vermeer usou um dispositivo diferente, a câmera obscura, para ajudá-lo a criar suas pinturas distintamente observadas.

Em 1509, Luca Pacioli (c. 1447-1517) publicou De divina proporcional em proporção matemática e artística, inclusive no rosto humano. Leonardo da Vinci (1452-1519) ilustrou o texto com woodcuts de sólidos regulares enquanto estudava sob Pacioli na década de 1490. Os desenhos de Leonardo são provavelmente as primeiras ilustrações de sólidos esqueletais. Estes, como o Rhombicuboctahedron, estavam entre os primeiros a serem desenhados para demonstrar a perspectiva, sendo sobrepostos um do outro. O trabalho discute perspectiva nas obras de Piero della Francesca, Melozzo da Forlì e Marco Palmezzano. Da Vinci estudou a Summa de Pacioli, da qual copiou tabelas de proporções. Em Mona Lisa e The Last Supper, o trabalho de Da Vinci incorporou uma perspectiva linear com um ponto de fuga para proporcionar uma profundidade aparente. A Última Ceia é construída em uma proporção estreita de 12: 6: 4: 3, assim como a Escola de Atenas de Raphael, que inclui Pitágoras com um comprimido de proporções ideais, sagrado para os pitagóricos. Em Vitruvian Man, Leonardo expressou as idéias do arquiteto romano Vitruvius, apresentando de forma inovadora a figura masculina duas vezes e centralizando-o em um círculo e um quadrado.

Já no século XV, a perspectiva curvilínea encontrou caminho em pinturas de artistas interessados ​​em distorções de imagem. O retrato de Arnolfini 1434 de Jan van Eyck contém um espelho convexo com reflexões das pessoas na cena, enquanto o auto-retrato de Parmigianino em um espelho convexo, c. 1523-1524, mostra o rosto do artista em grande parte não distorcido no centro, com um fundo fortemente curvado e a mão do artista ao redor da borda.

O espaço tridimensional pode ser representado de forma convincente na arte, como no desenho técnico, por meio de uma perspectiva diferente. As projeções oblíquas, incluindo a perspectiva cavalaria (usada pelos artistas militares franceses para retratar as fortificações no século XVIII), foram usadas de forma contínua e onipresente por artistas chineses do primeiro ou segundo século até o século XVIII. Os chineses adquiriram a técnica da Índia, que a adquiriu da Roma antiga. A projeção oblíqua é vista na arte japonesa, como nas pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).

A razão de ouro (aproximadamente igual a 1,618) era conhecida por Euclid. A relação de ouro tem sido persistentemente reivindicada nos tempos modernos para ter sido usada na arte e na arquitetura pelos antigos no Egito, na Grécia e em outros lugares, sem evidências confiáveis. A reivindicação pode derivar da confusão com “média de ouro”, que para os gregos antigos significava “evitar o excesso em qualquer direção”, não uma proporção. Os pirâmides desde o século XIX discutiram motivos matemáticos duvidosos para a proporção de ouro no design da pirâmide. O Parthenon, um templo do século 5 aC em Atenas, tem sido reivindicado para usar a razão de ouro em sua fachada e plano de chão, mas essas reivindicações também são refutadas por medição. A Grande Mesquita de Kairouan, na Tunísia, também tem sido reivindicada para usar a proporção de ouro em seu projeto, mas a proporção não aparece nas partes originais da mesquita. O historiador da arquitetura Frederik Macody Lund argumentou em 1919 que a Catedral de Chartres (século XII), Notre-Dame de Laon (1157-1205) e Notre Dame de Paris (1160) são projetadas de acordo com a razão dourada, desenhando linhas reguladoras para faça o seu caso. Outros estudiosos argumentam que, até o trabalho de Pacioli em 1509, a razão de ouro era desconhecida para artistas e arquitetos. Por exemplo, a altura e a largura da frente de Notre-Dame de Laon têm a proporção 8/5 ou 1.6, não 1,618. Tais relações de Fibonacci tornam-se rapidamente difíceis de distinguir da razão de ouro. Após Pacioli, a proporção de ouro é mais definitiva nas obras de arte, incluindo a Mona Lisa de Leonardo.

Outro rácio, o único outro número mórfico, foi nomeado o número de plástico em 1928 pelo arquiteto holandês Hans van der Laan (originalmente chamado o nome radiante em francês). Seu valor é a solução da equação cúbica

As simetrias planares foram exploradas há milênios em obras de arte, como tapetes, telhas, têxteis e telhas.

Muitos tapetes tradicionais, sejam os tapetes de pilha ou os kilims de tela plana, são divididos em um campo central e uma borda de enquadramento; Ambos podem ter simetrias, embora em tapetes artesanais estes sejam frequentemente ligeiramente quebrados por pequenos detalhes, variações de padrão e mudanças de cor introduzidas pelo tecelão. Em kilims da Anatólia, os motivos utilizados são usualmente simétricos. O layout geral, também, geralmente está presente, com arranjos como listras, listras que alternam com linhas de motivos e conjuntos compactados de motivos grosseiramente hexagonais. O campo é comumente apresentado como um papel de parede com um grupo de papel de parede, como pmm, enquanto a borda pode ser definida como um friso do grupo friso pm11, pmm2 ou pma2. Os kilims turcos e da Ásia Central geralmente têm três ou mais fronteiras em diferentes grupos de frisos. Os tecelões certamente tinham a intenção de simetria, sem conhecimento explícito de sua matemática. O matemático e teórico arquitetônico Nikos Salingaros sugere que a “presença poderosa” (efeito estético) de um “grande tapete”, como os melhores tapetes Konya de dois medalhões do século XVII, é criada por técnicas matemáticas relacionadas às teorias do arquiteto Christopher Alexander. Essas técnicas incluem fazer par opostos; valores de cor opostos; diferenciando áreas geometricamente, seja usando formas complementares ou equilibrando a direcionalidade de ângulos afiados; fornecendo complexidade em pequena escala (do nível do nó para cima) e simetria em pequena e grande escala; repetindo elementos em uma hierarquia de diferentes escalas (com uma proporção de aproximadamente 2,7 de cada nível para o próximo). Salingaros argumenta que “todos os tapetes bem sucedidos satisfazem pelo menos nove das dez regras acima”, e sugere que seja possível criar uma métrica dessas regras.

Estruturas elaboradas são encontradas no trabalho indiano Jaali, esculpido em mármore para adornar túmulos e palácios. As redes chinesas, sempre com alguma simetria, existem em 14 dos 17 grupos de papel de parede; eles geralmente têm espelho, espelho duplo ou simetria rotacional. Alguns têm um medalhão central, e alguns têm uma borda em um grupo de friso. Muitas redes chinesas foram analisadas matematicamente por Daniel S. Dye; ele identifica Sichuan como o centro do ofício.

As simetrias são proeminentes nas artes têxteis, incluindo quilting, tricô, ponto cruzado, crochê, bordado e tecelagem, onde podem ser puramente decorativos ou podem ser marcas de status. A simetria rotacional é encontrada em estruturas circulares, como cúpulas; estas às vezes são elaboradamente decoradas com padrões simétricos dentro e fora, como na Mesquita Sheikh Lotfollah 1619 em Isfahan. Itens de trabalho de bordado e renda, como toalhas de mesa e tapetes de mesa, feitos com bobinas ou tatuagens, podem ter uma grande variedade de simetrias reflexivas e rotacionais que estão sendo exploradas matematicamente.

A arte islâmica explora as simetrias em muitas das suas formas de arte, notadamente no girih tilings. Estes são formados usando um conjunto de cinco formas de telha, a saber, um decágeno regular, um hexágono alongado, uma gravata, um rombo e um pentágono regular. Todos os lados destas telhas têm o mesmo comprimento; e todos os seus ângulos são múltiplos de 36 ° (π / 5 radianos), oferecendo simetrias de cinco vezes e dez vezes. Os azulejos são decorados com linhas de cinta (girih), geralmente mais visíveis do que os limites das telhas. Em 2007, os físicos Peter Lu e Paul Steinhardt argumentaram que o girih se assemelhava a tiletas de Penrose quasicristalino. Elaborar mosaicos geométricos zellige é um elemento distintivo na arquitetura marroquina. Os abóbadas de Muqarnas são tridimensionais, mas foram projetados em duas dimensões com desenhos de células geométricas.

Os sólidos platônicos e outros poliedros são um tema recorrente na arte ocidental. Eles são encontrados, por exemplo, em um mosaico de mármore com o pequeno dodecaedro estrelado, atribuído a Paolo Uccello, no piso da Basílica de San Marco em Veneza; nos diagramas Leonardo da Vinci de poliedros regulares desenhados como ilustrações para o livro 1509 de Luca Pacioli The Divine Proportion; como um rhombicuboctahedron de vidro no retrato de Pacioli de Jacopo de Barbari, pintado em 1495; no poliedro truncado (e vários outros objetos matemáticos) na gravura de Albrecht Dürer Melencolia I; e na pintura de Salvador Dalí, A Última Ceia, na qual Cristo e seus discípulos são retratados dentro de um dodecaedro gigante.

Albrecht Dürer (1471-1528) foi um gravador do Renascimento alemão que fez importantes contribuições para a literatura poliédrica em seu livro de 1525, Underweysung der Messung (Educação em Medição), destinado a ensinar os temas de perspectiva linear, geometria em arquitetura, sólidos platônicos e polígonos regulares. Dürer provavelmente foi influenciado pelas obras de Luca Pacioli e Piero della Francesca durante suas viagens à Itália. Enquanto os exemplos de perspectiva em Underweysung der Messung estão subdesenvolvidos e contêm imprecisões, há uma discussão detalhada sobre os poliedros. Dürer também é o primeiro a apresentar no texto a idéia de redes poliédricas, poliedros desdobrados para ficarem planas para impressão. Dürer publicou outro livro influente em proporções humanas, chamado Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Quatro Livros sobre Proporção Humana) em 1528.

A famosa gravura de Dürer, Melencolia, descreve um pensador frustrado sentado por um trapezoedro triangular truncado e um quadrado mágico. Esses dois objetos e a gravura como um todo foram objeto de uma interpretação mais moderna do que o conteúdo de quase qualquer outra impressão, incluindo um livro de dois volumes de Peter-Klaus Schuster e uma influente discussão na monografia de Dürer de Erwin Panofsky . O Corpus Hypercubus de Salvador Dalí descreve uma rede tridimensional desdobrada para um hipercubo, um poliedro regular de quatro dimensões.

Os projetos tradicional tradicionais indonésios de batik resistentes à piragem combinam motivos representativos (como elementos florais e vegetais) com elementos abstratos e um pouco caóticos, incluindo imprecisão na aplicação da resistência à cera e variação aleatória introduzida pela fissuração da cera. Os projetos de Batik têm uma dimensão fractal entre 1 e 2, variando em diferentes estilos regionais. Por exemplo, o batik de Cirebon tem uma dimensão fractal de 1.1; os batiks de Yogyakarta e Surakarta (Solo) em Java Central têm uma dimensão fractal de 1,2 a 1,5; e os batiks de Lasem na costa norte de Java e de Tasikmalaya em Java Ocidental têm uma dimensão fractal entre 1,5 e 1,7.

Os trabalhos de pintura de gotejamento do artista moderno Jackson Pollock são igualmente distintivos em sua dimensão fractal. Seu Número 14 de 1948 tem uma dimensão semelhante a um litoral de 1,45, enquanto suas pinturas posteriores tiveram dimensões fractal sucessivamente maiores e, consequentemente, padrões mais elaborados. Uma de suas últimas obras, Blue Poles, levou seis meses para criar e tem a dimensão fractal de 1,72.

Relacionamento complexo de Matemática e Arte:
O astrônomo Galileo Galilei em seu Il Saggiatore escreveu que “[O universo] está escrito na linguagem da matemática e seus personagens são triângulos, círculos e outras figuras geométricas”. Os artistas que se esforçam e procuram estudar a natureza devem primeiro, na visão de Galileu, entender completamente a matemática. Os matemáticos, ao contrário, procuraram interpretar e analisar a arte através da lente da geometria e da racionalidade. O matemático Felipe Cucker sugere que a matemática, e especialmente a geometria, é uma fonte de regras para a “criação artística orientada por regras”, embora não seja a única. Algumas das muitas vertentes da relação complexa resultante são descritas abaixo.

O matemático Jerry P. King descreve a matemática como uma arte, afirmando que “as chaves da matemática são beleza e elegância e não embotar e tecnicismo”, e essa beleza é a força motivadora da pesquisa matemática. King cita o ensaio do matemático G. H. Hardy de 1940, uma desculpa do matemático. Nele, Hardy discute por que ele encontra dois teoremas dos tempos clássicos como primeira taxa, a saber, a prova de Euclides, existem infinitamente muitos números primos e a prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional. King avalia este último contra os critérios de Hardy para a elegância matemática: “seriedade, profundidade, generalidade, inesperado, inevitabilidade e economia” (itálico do rei) e descreve a prova como “esteticamente agradável”. O matemático húngaro Paul Erdős concordou que a matemática possuía beleza, mas considerava os motivos além da explicação: “Por que os números são lindos? É como perguntar por que a Nona Sinfonia de Beethoven é bonita. Se você não vê por que alguém não pode te dizer. Eu sei os números são bonitos “.

A matemática pode ser discernida em muitas das artes, como música, dança, pintura, arquitetura e escultura. Cada um deles está ricamente associado à matemática. Entre as conexões às artes visuais, a matemática pode fornecer ferramentas para artistas, como as regras de perspectiva linear descritas por Brook Taylor e Johann Lambert, ou os métodos de geometria descritiva, agora aplicados em modelagem de software de sólidos, que remontam a Albrecht Dürer e Gaspard Monge. Artistas de Luca Pacioli na Idade Média e Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer no Renascimento usaram e desenvolveram idéias matemáticas na busca de seu trabalho artístico. O uso da perspectiva começou, apesar de alguns usos embrionários na arquitetura da Grécia antiga, com pintores italianos como Giotto no século 13; regras como o ponto de fuga foram formuladas pela primeira vez por Brunelleschi em cerca de 1413, sua teoria influenciando Leonardo e Dürer. O trabalho de Isaac Newton no espectro óptico influenciou a Teoria das Cores de Goethe e, por sua vez, artistas como Philipp Otto Runge, J. W. W. Turner, Pre-Raphaelites e Wassily Kandinsky. Os artistas também podem optar por analisar a simetria de uma cena. As ferramentas podem ser aplicadas por matemáticos que exploram arte ou artistas inspirados na matemática, como MC Escher (inspirado por HSM Coxeter) e o arquiteto Frank Gehry, que mais ténue argumentou que o design assistido por computador permitiu que ele se expressasse completamente novo caminho.

O artista Richard Wright argumenta que os objetos matemáticos que podem ser construídos podem ser vistos “como processos para simular fenômenos” ou como obras de “arte informática”. Ele considera a natureza do pensamento matemático, observando que os fractals eram conhecidos por matemáticos durante um século antes de serem reconhecidos como tais. Wright conclui afirmando que é apropriado sujeitar objetos matemáticos a qualquer método usado para “chegar a um acordo com artefatos culturais como a arte, a tensão entre objetividade e subjetividade, seus significados metafóricos e o caráter dos sistemas de representação”. Ele dá como exemplos uma imagem do conjunto Mandelbrot, uma imagem gerada por um algoritmo de autômato celular e uma imagem renderizada por computador, e discute, com referência ao teste Turing, se os produtos algorítmicos podem ser artísticos. A Matemática e a Arte de Sasho Kalajdzievski: uma introdução à Matemática Visual leva uma abordagem semelhante, considerando adequadamente tópicos de matemática visual, tais como tilings, fractals e geometria hiperbólica.

Algumas das primeiras obras de arte informática foram criadas pela “Máquina de desenho 1” de Desmond Paul Henry, uma máquina analógica baseada em um computador de bombsight e exibida em 1962. A máquina era capaz de criar uma linha complexa, abstrata, assimétrica, curvilínea, mas repetitiva desenhos. Mais recentemente, Hamid Naderi Yeganeh criou formas sugestivas de objetos do mundo real, como peixes e pássaros, usando fórmulas que são sucessivamente variadas para atrair famílias de curvas ou linhas anguladas. Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen criam obras de arte generativa ou algorítmica escrevendo scripts para um sistema de software, como Synth de Estrutura: o artista dirige efetivamente o sistema para aplicar uma combinação desejada de operações matemáticas a um conjunto de dados escolhido.

O matemático e físico teórico da Ciência e Hipóteses de Henri Poincaré foi amplamente lido pelos cubistas, incluindo Pablo Picasso e Jean Metzinger. Poincaré viu a geometria euclidiana como apenas uma das muitas configurações geométricas possíveis, e não como uma verdade objetiva absoluta. A possível existência de uma quarta dimensão inspirou os artistas a questionar a perspectiva clássica do Renascimento: a geometria não-euclidiana tornou-se uma alternativa válida. O conceito de que a pintura poderia ser expressa matematicamente, em cores e formas, contribuiu para o cubismo, o movimento artístico que levou à arte abstracta. Metzinger, em 1910, escreveu isso: “[Picasso] apresenta uma perspectiva livre e móvel, da qual o engenhoso matemático Maurice Princet deduziu toda uma geometria”. Mais tarde, Metzinger escreveu em suas memórias:

Maurice Princet se juntou a nós muitas vezes … foi como um artista que ele conceituou a matemática, como um esteticista que ele invocou continuações n-dimensional. Ele gostava de interessar os artistas aos novos pontos de vista sobre o espaço aberto por Schlegel e outros. Ele conseguiu isso.

O impulso de fazer modelos de ensino ou pesquisa de formas matemáticas naturalmente cria objetos que têm simetrias e formas surpreendentes ou agradáveis. Alguns deles inspiraram artistas como o Dadaists Man Ray, Marcel Duchamp e Max Ernst, e seguindo Man Ray, Hiroshi Sugimoto.

Man Ray fotografou alguns dos modelos matemáticos no Institut Henri Poincaré em Paris, incluindo Objet mathematique (Objeto Matemático). Ele observou que isso representava as superfícies de Enneper com curvatura negativa constante, derivada da pseudo-esfera. Esta base matemática era importante para ele, pois permitiu que ele negasse que o objeto era “abstrato”, ao invés de reivindicar que era tão real quanto o urinol que Duchamp transformou em uma obra de arte. Man Ray admitiu que a fórmula da superfície [Enneper superfície] do objeto “não significava nada para mim, mas as formas em si eram tão variadas e autênticas quanto qualquer natureza”. Ele usou suas fotografias dos modelos matemáticos como figuras da série que ele fez nas peças de Shakespeare, como a pintura de Antony e Cleópatra de 1934. O repórter de arte Jonathan Keats, escrevendo na ForbesLife, argumenta que Man Ray fotografou “os parábolos elípticos e os pontos cônicos na mesma luz sensual que suas fotos de Kiki de Montparnasse” e “engenhosamente replica os cálculos legais da matemática para revelar a topologia de desejo”. Os escultores do século XX, como Henry Moore, Barbara Hepworth e Naum Gabo, inspiraram-se em modelos matemáticos. Moore escreveu sobre sua mãe e filho de corda de 1938: “Sem dúvida, a fonte das minhas figuras de cordas era o Museu da Ciência … Fiquei fascinado com os modelos matemáticos que vi lá … Não foi o estudo científico desses modelos, mas o capacidade de olhar através das cordas como com uma gaiola de pássaros e ver uma forma dentro de outra que me excitou “.

Os artistas Theo van Doesburg e Piet Mondrian fundaram o movimento De Stijl, que queriam “estabelecer um vocabulário visual composto de formas geométricas elementares compreensíveis por todos e adaptáveis ​​a qualquer disciplina”. Muitas de suas obras visivelmente consistem em quadrados e triângulos dominados, às vezes também com círculos. Os artistas de De Stijl trabalharam em pintura, mobiliário, design de interiores e arquitetura. Após a separação de De Stijl, Van Doesburg fundou o movimento Avant-garde Art Concret, descrevendo sua composição aritmética de 1929-1930, uma série de quatro quadrados pretos na diagonal de um fundo quadrado, como “uma estrutura que pode ser controlada, uma superfície definitiva sem elementos de chance ou capricho individual “, ainda” não falta em espírito, não falta o universal e não … vazio, pois há tudo o que se encaixa no ritmo interno “. A crítica de arte Gladys Fabre observa que duas progressões estão em ação na pintura, nomeadamente os quadrados pretos crescentes e os fundos alternados.

A matemática da tesselagem, os poliedros, a formação do espaço e a auto-referência proporcionaram ao artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) com materiais de vida para suas gravuras em madeira. No Esboço Alhambra, Escher mostrou que a arte pode ser criada com polígonos ou formas regulares, como triângulos, quadrados e hexágonos. Escher usou polígonos irregulares ao enrolar o plano e freqüentemente usava reflexões, reflexões deslizantes e traduções para obter padrões adicionais. Muitas de suas obras contêm construções impossíveis, feitas usando objetos geométricos que estabelecem uma contradição entre projeção em perspectiva e três dimensões, mas são agradáveis ​​para a visão humana. Escher’s Ascending and Descending é baseado na “escadaria impossível” criada pelo cientista médico Lionel Penrose e seu filho, o matemático Roger Penrose.

Alguns dos muitos desenhos de tesselação de Escher foram inspirados por conversas com o matemático H. S. M. Coxeter sobre geometria hiperbólica. Escher estava especialmente interessado em cinco poliedros específicos, que aparecem muitas vezes em seu trabalho. Os sólidos platônicos – tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros – são especialmente proeminentes em Ordem e Caos e Quatro Sólidos Sustentáveis. Essas figuras estreladas residem frequentemente em outra figura que distorce ainda mais o ângulo de visão e a conformação dos poliedros e fornece uma obra de arte de perspectiva multifacetada.

A complexidade visual de estruturas matemáticas, como tesselações e poliedros, inspirou várias obras matemáticas. Stewart Coffin faz incêndios poliédricos em madeiras raras e bonitas; George W. Hart trabalha na teoria dos poliedros e esculpe objetos inspirados por eles; Magnus Wenninger fabrica modelos “especialmente belos” de poliedros complexos complexos.

As perspectivas distorcidas da anamorfosis foram exploradas na arte desde o século XVI, quando Hans Holbein o Jovem incorporou um crânio severamente distorcido em sua pintura de 1553 The Ambassadors. Muitos artistas desde então, incluindo Escher, usaram truques anamórficos.

A matemática da topologia inspirou vários artistas nos tempos modernos. O escultor John Robinson (1935-2007) criou obras como Gordian Knot e Bandas de Amizade, apresentando teoria de nó em bronze polido. Outras obras de Robinson exploram a topologia dos toros. Gênesis é baseado em anéis borromeanos – um conjunto de três círculos, nenhum dos quais se liga, mas na qual a estrutura inteira não pode ser separada sem quebrar. O escultor Helaman Ferguson cria superfícies complexas e outros objetos topológicos. Seus trabalhos são representações visuais de objetos matemáticos; O Modo Ocho é baseado no grupo projetivo especial de grupo linear PSL (2,7), um grupo finito de 168 elementos. O escultor Bathsheba Grossman também baseia seu trabalho em estruturas matemáticas.

Um projeto de pesquisa de artes liberais examina as conexões entre matemática e arte através da tira de Möbius, flexões, origami e fotografia panorâmica.

Os objetos matemáticos, incluindo o colector de Lorenz e o plano hiperbólico, foram criados usando artes de fibra, incluindo crochê. O tecelão americano Ada Dietz escreveu uma monografia das expressões algébricas de 1949 em Handwoven Textiles, definindo padrões de tecelagem com base na expansão de polinômios multivariados. O matemático J. C. P. Miller usou o autômato celular da Regra 90 para projetar tapeçarias que descrevem árvores e padrões abstratos de triângulos. Os “mathekniticians” Pat Ashforth e Steve Plummer usam versões tricotadas de objetos matemáticos, como os hexaflexagons em seus ensinamentos, embora sua esponja Menger tenha se mostrado muito problemática para tricotar e foi feita de tela plástica. Seu projeto de “matemáticos” (Afghans for Schools) introduziu tricô no currículo britânico de matemática e tecnologia.

Modelagem de Matemática:
A modelagem está longe da única maneira possível de ilustrar conceitos matemáticos. Stefaneschi Triptych de Giotto, 1320, ilustra a recursão sob a forma de mise en abyme; O painel central do triptych contém, inferior esquerda, a figura ajoelhada do cardeal Stefaneschi, segurando o triptych como uma oferta. As pinturas metafísicas de Giorgio Chirico, como seu Interior Metafísico de 1917, exploram a questão dos níveis de representação na arte, retratando pinturas dentro de suas pinturas.

A arte pode exemplificar paradoxos lógicos, como em algumas pinturas do surrealista René Magritte, que podem ser lidas como piadas semióticas sobre a confusão entre os níveis. Em La condition humaine (1933), Magritte retrata um cavalete (na tela real), apoiando de forma transparente uma vista através de uma janela que é moldada por cortinas “reais” na pintura. Da mesma forma, a Galeria de impressão de Escher (1956) é uma impressão que representa uma cidade distorcida que contém uma galeria que contém recursivamente a imagem e, portanto, até o infinito. Magritte usou esferas e cuboides para distorcer a realidade de uma maneira diferente, pintando-as ao lado de uma variedade de casas em sua Aritmética mental de 1931 como se fossem blocos de construção de crianças, mas de tamanho doméstico. O Guardião observou que a “imagem estranha de toytown” profetizava a usurpação do Modernismo de “formas tradicionais acolhedoras”, mas também tocava com a tendência humana de buscar padrões na natureza.

A última pintura de Salvador Dalí, The Swallow’s Tail (1983), fazia parte de uma série inspirada na teoria da catástrofe de René Thom. O pintor e escultor espanhol Pablo Palazuelo (1916-2007) centrou-se na investigação da forma. Ele desenvolveu um estilo que ele descreveu como a geometria da vida e a geometria de toda a natureza. Consistindo de formas geométricas simples com padrões detalhados e coloração, em obras como Angular I e Automnes, Palazuelo expressou-se em transformações geométricas.

O artista Adrian Gray pratica equilíbrio de pedra, explorando fricção e o centro de gravidade para criar composições impressionantes e aparentemente impossíveis.

Os artistas, no entanto, não necessariamente levam a geometria literalmente. Como Douglas Hofstadter escreve em sua reflexão de 1980 sobre o pensamento humano, Gödel, Escher, Bach, por meio de (entre outras coisas) a matemática da arte: “A diferença entre um desenho de Escher e a geometria não euclidiana é que, neste último, compreensível as interpretações podem ser encontradas para os termos indefinidos, resultando em um sistema total compreensível, enquanto que para o primeiro, o resultado final não é conciliável com a concepção do mundo, não importa quanto tempo se olhe para as fotos “. Hofstadter discute a literatura aparentemente paradoxal Print Gallery de M. C. Escher; Ele retrata uma cidade litorânea contendo uma galeria de arte que parece conter uma pintura da cidade litorânea, havendo um “loop estranho, ou uma hierarquia emaranhada” aos níveis de realidade na imagem. O próprio artista, observa Hofstadter, não é visto; Sua realidade e sua relação com a litografia não são paradoxais. O vazio central da imagem também atraiu o interesse dos matemáticos Bart de Smit e Hendrik Lenstra, que propõem que poderia conter uma cópia de efeito Droste de si mesma, girada e encolhida; Esta seria uma ilustração adicional da recursão além da observada por Hofstadter.

A análise algorítmica de imagens de obras de arte, por exemplo, usando espectroscopia de fluorescência de raios X, pode revelar informações sobre o art. Tais técnicas podem descobrir imagens em camadas de tinta mais tarde cobertas por um artista; ajudar os historiadores da arte a visualizar uma obra de arte antes de quebrou ou desapareceu; ajudar a contar uma cópia de um original, ou distinguir o estilo de pincelada de um mestre daqueles de seus aprendizes.

O estilo de pintura de gotejamento de Jackson Pollock tem uma dimensão fractal definida; Entre os artistas que podem ter influenciado o caos controlado de Pollock, Max Ernst pintou figuras de Lissajous diretamente, balançando um balde pontilhado de tinta sobre uma tela.

O cientista da computação Neil Dodgson investigou se as pinturas das raparigas de Bridget Riley poderiam ser caracterizadas matematicamente, concluindo que, enquanto a distância de separação poderia “fornecer alguma caracterização” e a entropia global funcionou em algumas pinturas, a autocorrelação falhou quando os padrões de Riley eram irregulares. A entropia local funcionou melhor e correlacionou-se bem com a descrição dada pelo crítico de arte Robert Kudielka.

A Medida Estética de 1933 do matemático americano George Birkhoff propõe uma métrica quantitativa da qualidade estética de uma obra de arte. Não tenta medir as conotações de uma obra, como o que uma pintura pode significar, mas é limitado aos “elementos de ordem” de uma figura poligonal. Birkhoff primeiro combina (como uma soma) cinco desses elementos: se existe um eixo de simetria vertical; se existe equilíbrio óptico; quantas simetrias de rotação tem; como papel de parede – como a figura é; e se existem características insatisfatórias, como ter dois vértices muito próximos. Esta métrica, O, toma um valor entre -3 e 7. A segunda métrica, C, conta os elementos da figura, que para um polígono é o número de linhas retas diferentes contendo pelo menos um dos lados. Birkhoff então define sua medida estética da beleza de um objeto como O / C. Isso pode ser interpretado como um equilíbrio entre o prazer que o objeto dá ao objeto e a quantidade de esforço necessário para levá-lo. A proposta de Birkhoff foi criticada de várias maneiras, não menos importante por tentar colocar a beleza em uma fórmula, mas ele nunca alegou ter feito isso.

A arte às vezes estimulou o desenvolvimento da matemática, como quando a teoria da perspectiva da Brunelleschi em arquitetura e pintura iniciou um ciclo de pesquisa que levou ao trabalho de Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert sobre os fundamentos matemáticos do desenho de perspectiva e, finalmente, a matemática de geometria projetiva de Girard Desargues e Jean-Victor Poncelet.

A arte japonesa de dobramento de papel foi retrabalhada matematicamente por Tomoko Fusé usando módulos, peças de papel congruentes, como quadrados, e transformando-os em poliedros ou telhas. O dobramento de papel foi usado em 1893 por T. Sundara Rao em seus Exercícios Geométricos em Dobras de Papel para demonstrar provas geométricas. A matemática do dobramento de papel foi explorada no teorema de Maekawa, no teorema de Kawasaki e nos axiomas Huzita-Hatori.

Ilusões ópticas, como a espiral Fraser, demonstram claramente limitações na percepção visual humana, criando o que o historiador da arte Ernst Gombrich chamou de “truque desconcertante”. As cordas preto e branco que parecem formar espirais são de fato círculos concêntricos. O estilo de arte óptica ou arte óptica de pintura e gráficos de meados do século XX explorou tais efeitos para criar a impressão de movimento e padrões vibrantes ou vibrantes vistos no trabalho de artistas como Bridget Riley, Spyros Horemis e Victor Vasarely.

Uma vertente de arte da Grécia antiga em frente vê Deus como o geômetro do mundo, e a geometria do mundo, portanto, como sagrada. A crença de que Deus criou o universo de acordo com um plano geométrico tem origens antigas. Plutarco atribuiu a crença a Platão, escrevendo que “Platão disse que Deus geometrisa continuamente” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Essa imagem influenciou o pensamento ocidental desde então. O conceito platônico derivou, por sua vez, de uma noção pitagórica de harmonia na música, onde as notas estavam espaçadas em proporções perfeitas, correspondendo aos comprimentos das cordas da lira; na verdade, os pitagóricos consideraram que tudo foi organizado pelo número. Do mesmo modo, no pensamento platônico, os sólidos regulares ou platônicos ditaram as proporções encontradas na natureza e no art. Uma ilustração do manuscrito medieval pode referir-se a um versículo no Antigo Testamento: “Quando ele estabeleceu os céus, eu estava lá: quando ele estabeleceu uma bússola sobre o rosto do abismo” (Provérbios 8:27), mostrando a Deus desenhando o universo com um par de bússolas. Em 1596, o astrônomo matemático Johannes Kepler modelou o universo como um conjunto de sólidos platônicos aninhados, determinando os tamanhos relativos das órbitas dos planetas. O Ancient of Days de William Blake e sua pintura do físico Isaac Newton, nus e desenhando com uma bússola, tentam retratar o contraste entre o mundo espiritual matematicamente perfeito e o mundo físico imperfeito, como de uma maneira diferente a crucificação de Salvador Dalí em 1954 (Corpus Hypercubus), que representa a cruz como um hipercubo, representando a perspectiva divina com quatro dimensões em vez dos três habituais. No Sacramento da Última Ceia de Dalí (1955) Cristo e seus discípulos são retratados dentro de um dodecaedro gigante.