수학과 예술은 다양한 방식으로 관련되어 있습니다. 수학은 아름다움으로 인해 움직이는 예술이라고 묘사되어 왔습니다. 수학은 음악, 무용, 그림, 건축, 조각 및 직물과 같은 예술 분야에서 식별 될 수 있습니다. 그러나이 기사에서는 시각 예술 분야의 수학에 중점을 둡니다.
예술과 수학은 종종 플라톤의 아름다움과 진리의 비유와 관련이 있습니다. 이 질문의 전제는 종종 금의 수를 소환합니다. Phi는 르네상스 예술의 조각과 회화 작곡에서 반복되는 존재를 통해 예술과 가장 관련이있는 수학 상수입니다. 관찰자의 취향을 만족시키는 고조파 비율을 얻기위한 규칙으로 간주되는 황금 비율. 이 패러다임은 예술사의 역사와 동시대의 미적 혁명에서 수학의 역할을 이해하고자 할 때 부분적입니다. 창조적 인 프로토콜, 구조 및 형태 형성에 의문을 제기하는 것이 더 효율적입니다. 그러므로 플라톤적인 전제를 포기하고 그들이 나타나는 모습과 방식에 대한 질문에 찬성해야한다. 예술과 수학은 수학자와 예술가가 상호 지원하고 있지만 용도와 과정을 둘러싼 관심의 관점에서 수렴 축을 만들어냅니다. 현대의 많은 미적 프로젝트는 다소간 뚜렷한 수학적 관행에서 비롯되었지만 모두가 놀라운 수학 문화의 증인을 목격했습니다. 아름다움과 조화의 문제에서 형태학이나 구조의 문제에 이르기까지 수학은 현실의 복잡성, 표현, 구조, 모양 및 형태를 고안하는 능력을 조사 할 수있는 많은 도구를 제공합니다. 방법.
수학과 예술은 오랜 역사적 관계를 가지고 있습니다. 예술가들은 기원전 4 세기부터 그리스의 조각가 Polykleitos가 이상적인 남성 누드에 대한 비율 1 : √2을 기준으로 비율을 지정하여 Canon을 썼을 때부터 수학을 사용했습니다. 믿을만한 증거없이 고대 예술과 건축에서 황금 비율을 사용하기 위해 지속적으로 인기있는 주장이 제기되었습니다. 이탈리아 르네상스 시대의 루카 파치 올리 (Luca Pacioli)는 Leonardo da Vinci의 목판화로 미술에 황금비를 사용하는 데 대한 영향력있는 논문 De Divina Proportione (1509)을 썼다. 또 다른 이탈리아 화가 인 Piero della Francesca는 De Prospectiva Pingendi와 같은 논문에서 그의 유물에 대한 유클리드의 생각을 발전 시켰습니다. 조각가 Albrecht Dürer는 그의 작품 Melencolia I에서 수학에 대한 많은 언급을했습니다. 현대 예술가 인 MC Escher는 수학자 HSM Coxeter의 도움을 받아 테세이레이션과 쌍곡선 기하학을 집중적으로 사용했으며 Deo Stijl 운동은 Theo van Doesberg와 Piet Mondrian은 명시 적으로 기하학적 형태를 받아 들였다. 수학은 퀼트, 뜨개질, 크로스 스티치, 크로 셰 뜨개질, 자수, 직물, 터키 및 기타 카펫 제작 및 킬림과 같은 섬유 예술에 영감을주었습니다. 이슬람 예술에서 대칭은 페르시아어와 모로코 제리 타일웍, Mughal jaali 돌 스크린, 그리고 광범위한 muqarnas 둥근 천장과 같은 다양한 형태로 분명합니다.
François Morellet은 수학과 기하학에 끊임없이 영향을 받았습니다. 그의 웹 사이트에서 인용 : François Morellet의 작품은 시스템에 따라 실행됩니다. 각 선택은 사전 설정된 원칙에 의해 정의됩니다. 그는 예기치 않은 그림을주는 우연의 일부를 남기면서 예술 창작을 통제하는 인상을주고 싶다. 그는 단순한 형태, 단색의 적은 수, 기본 구성 (병치, 중첩, 우연, 간섭, 단편화)을 사용합니다. 그는 이렇게 그의 첫번째 “구조”를 창조하고, 까만 평행선의 네트워크는 그림의 전체 표면을 포함하는 결정된 순서로 겹쳐진다. 이 시스템은 Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle)가 제안한 구조를 연상케하고 Raymond Queneau에 의해 기술되었다 : “우리의 작업의 목적은 무엇인가? 작가에게 새로운”구조 “를 제공하거나 수학적 성격을 부여하거나 새로운 것을 발명하기 위해서 인위적 또는 기계적 과정을 통해 문학 활동에 기여할 것 “이라고 강조했다. 그 결과, François Morellet은 수학 세계에 기반한 시스템을 계속 사용할 것입니다.
19 세기에 Gauss, Lobatechevsky 및 Riemann의 연구는 공간 차원과 이국적 기하학에 대한 아이디어를 대중화했습니다. 알버트 아인슈타인 (Albert Einstein)은 상대성 이론을 개발하면서 다른 예술가의 표현 방식을 찾기 위해 포착 한 관측의 새로운 패러다임을 제공한다. 시공간 개념은 비옥하고 청년 브라케 (Braque)와 피카소 (Piscasso)는 듣는다. 더 이상 유클리드는 아니지만 구형 또는 쌍곡선 인 공간에 대해서. 이것은 상상력을 자극하고 Marcel Duchamp 계단을 묘사하는 새로운 방법과 20 세기 초반의 Bateau Lavoir에서 생산 된 분석적 입체파 인 Braque와 Picasso의 정액 작업에 제공합니다. 세기. 이 공간 개념은 20 세기 미술사 “아비뇽의 젊은 아가씨”의 근본 작업에 구체화 될 것입니다.
수학은 선형 원근법, 대칭 분석, 다면체 및 뫼비우스 스트립과 같은 수학적 개체와 같은 개념 도구로 예술에 직접적으로 영향을 미쳤습니다. 매그너스 모닝 너 (Magnus Wenninger)는 원래 교실 모델로서 다채로운 별 모양의 다면체를 만듭니다. 재귀와 논리적 역설 같은 수학적 개념은 Rene Magritte의 그림과 M. C. Escher의 조각에서 볼 수 있습니다. 컴퓨터 아트는 종종 만델 브로 세트를 비롯한 도형을 사용하고 때로는 셀룰러 오토 마타와 같은 다른 수학적 개체를 탐구합니다. 논쟁의 여지가 있지만, David Hockney는 르네상스 시대의 예술가들이 카메라 루시 다 (lucida)를 사용하여 장면의 정확한 표현을 그려 냈다고 주장했다. 건축가 인 필립 스테 드먼 (Philip Steadman)은 베르메르 (Vermeer)가 자신의 특유의 그림에서 카메라 외피를 사용했다고도 비슷하게 주장했다.
다른 관계로는 X 선 형광 분광법에 의한 작품의 알고리즘 분석, Java의 여러 지역에서 가져온 전통적인 바틱의 프랙탈 차원, 수학 연구에 대한 자극, 특히 Filippo Brunelleschi의 관점 이론이 있습니다. 결국 Girard Desargues의 사영 기하학. 궁극적으로 음악의 조화에 대한 피타고라스 개념에 기반을 둔 견고한 견해는 Number가 배열하고, 하나님은 세계의 기하학이며, 따라서 세계의 기하학은 William Blake의 The 고대의 날.
역사의 수학과 예술 :
연장자 Polykleitos (BC450-420)는 Argos 학교의 그리스 조각가이자 Phidias의 현대인입니다. 그의 작품과 동상은 주로 청동 색이었고 운동 선수였습니다. 철학자이자 수학자 인 제 노크 라테스 (Xenocrates)에 따르면 폴리 클레이 토스 (Polykleitos)는 아르고스의 헤 레온 (Heraion)에있는 도리 포러스 (Doryphorus)와 헤라 (Hera) 상에 대한 연구로 고전 고대의 조각가 중 한 명으로 선정되었습니다. 그의 조각품이 피디 아스처럼 유명하지는 않지만, 그들은 크게 존경받습니다. Cankon of Polykleitos는 그가 누드의 “완벽한”해부학 적 비율을 문서화하기 위해 고안 한 논문 인 Polykleitos는 인체 조각에 대한 수학적 접근 방식을 제시합니다.
Polykleitos는 인간의 몸의 비율을 결정하는 기본 모듈로 작은 손가락의 말단 지골을 사용합니다. Polykleitos는 두 번째 지골의 거리를 얻기 위해 말단 지골의 길이에 2의 제곱근 (√2)을 곱하고 세 번째 지골의 길이를 얻기 위해 길이를 다시 √2로 곱합니다. 다음으로 손가락 길이를 취해 √2 배 곱하면 손바닥의 길이가 손가락 바닥에서 척골까지 나옵니다. Polykleitos가 팔, 가슴, 몸 등을 형성 할 때까지이 기하학적 일련의 측정이 진행됩니다.
Polykleitos의 Canon의 영향은 Polykleitos의 처방전을 따르는 고전 그리스어, 로마 및 르네상스 조각품, 많은 조각가들에게는 엄청납니다. Polykleitos의 독창적 인 작품 중 어느 것도 살아남지는 않지만 로마 사본은 육체적 완벽 성과 수학적 정확성에 대한 이상을 증명합니다. 일부 학자들은 피타고라스의 생각이 폴리클 리토의 캐논에 영향을 미쳤다고 주장한다. Canon은 비율, 비율 및 대칭 ( “조화로운 비율”에 대한 그리스어)과 같은 그리스어 기하학의 기본 수학 개념을 적용하고 일련의 연속 기하학적 진행을 통해 인간 형태를 설명 할 수있는 시스템으로 바꿉니다.
고전 시대에는 원근법으로 멀리있는 인물을 작게 만드는 대신 화가는 주제와 인물의 크기를 테마로 중요하게 생각했습니다. 중세 시대의 일부 예술가들은 특별한 관점을 위해 역방향 관점을 사용했습니다. 이슬람 수학자 Alhazen (Ibn al-Haytham)은 1021 년에 그의 광학 서적 (Book of Optics)에서 광학 이론을 기술했지만 결코 예술에 적용하지 않았다. 르네상스는 고전 그리스어와 로마 문화와 아이디어의 재 탄생, 자연과 예술을 이해하는 수학 연구를 보았습니다. 중세 후기와 수학 르네상스 시대의 두 가지 주요 동기는 예술가들을 몰아 냈습니다. 첫째, 화가는 2 차원 캔버스에 3 차원 장면을 묘사하는 방법을 알아야했습니다. 둘째, 철학자와 예술가는 수학이 물리적 세계의 진정한 본질이며 예술을 포함한 전체 우주가 기하학적 용어로 설명 될 수 있다고 확신했습니다.
원근법의 근원은 Giotto (1266/7 – 1337)와 함께 도착했으며, 멀리 떨어진 선의 위치를 결정하기 위해 대수적 방법을 사용하여 원근감을 그리려고 시도했습니다. 1415 년 이탈리아 건축가 필리포 브루넬레스키 (Filippo Brunelleschi)와 그의 친구 인 레온 바티스타 알베르티 (Leon Battista Alberti)는 멀리 떨어진 물체의 겉보기 높이를 찾기 위해 유클리드가 공식화 한 것과 유사한 삼각형을 사용하여 피렌체에서 원근법을 적용하는 기하학적 방법을 시연했다. 브루넬레스키 자신의 관점의 그림은 잃어 버렸지 만 Masaccio의 Holy Trinity 그림은 직장에서의 그의 원리를 보여줍니다.
이탈리아 화가 Paolo Uccello (1397-1475)는 San Romano 전투 (c. 1435-1460)의 그림에서 볼 수 있듯이 원근법에 매료되었다. 깨진 랜스는 원근감있는 선을 따라 편리하게 놓여있다.
화가 Piero della Francesca (c.1415-1492)는 이탈리아 르네상스 시대의 새로운 사고 방식을 보여주었습니다. 그는 전문 수학자이자 기하학 자로서 De Prospectiva Pingendi (회화의 관점에서), Trattato d’ Abaco (주판 논문) 및 De Corporibus regularibus (일반 고형물에서)를 포함하여 견고한 기하학과 원근감에 대한 책을 썼습니다. Painters의 Lives에서 Vasari 역사가는 Piero를 “그의 시간 중 가장 위대한 기하학, 또는 아마도 언제든지”라고 부릅니다. 페루자의 Polyptych, San Agostino altarpiece, 그리스도의 깃발 등을 비롯한 그의 작품에서 Piero의 관심은 원근감을 불러 일으킬 수 있습니다. 기하학에 대한 그의 연구는 나중에 De Divina Proportione과 Leonardo da Vinci에서 Luca Pacioli를 포함하여 나중에 수학자와 예술가에게 영향을주었습니다. Piero는 고전 수학과 아르키메데스의 작품을 공부했습니다. 그는 “주판 학교”에서 상업적 산술을 가르쳤다. 그의 저서는 아마도 Leonardo Pisano (피보나치)의 1202 Liber Abaci를 포함한 주판 교과서 형식으로되어있다. 선형적인 관점은 예술 세계에 도입되었습니다. 알베르티 (Alberti)는 1435 년 사진에서 “광선은 관측 된 장면의 점에서 눈으로 직선으로 여행하여 피라미드를 일종의 정점으로 만든다”고 설명했다. 선형 원근감으로 구성된 그림은 해당 피라미드의 단면입니다.
De Prospectiva Pingendi에서 피에로 (Piero)는 시점의 관점에서 인물의 양상이 수학적으로 증명되는 방식에 대한 경험적 관측을 변형합니다. 그의 논문은 유클리드의 정점에서 시작됩니다. 그는 그 점을 “눈으로 이해할 수있는 가장 작은 것”이라고 정의합니다. 그는 연역 논리를 사용하여 독자를 입체 신체의 원근법 표현으로 인도합니다.
작가 David Hockney는 자신의 저서 「비밀 지식 : 오래된 마스터의 잃어버린 기술 재발견」에서 1420 년대의 카메라 루시 다 (lucida)를 사용하기 시작하여 정확성과 사실성이 갑자기 바뀌 었으며이 작업은 다음과 같은 주요 예술가들에 의해 계속되었다고 주장했다. Ingres, Van Eyck, Caravaggio. 비평가들은 호크니가 옳았는지 여부에 동의하지 않습니다. 비슷하게 건축가 Philip Steadman은 Vermeer가 다른 장치 인 카메라 obscura를 사용하여 그의 특유의 관찰 된 그림을 만드는 데 도움이되도록 논쟁을 벌였습니다.
1509 년 Luca Pacioli (1447 ~ 1517 년경)는 인간의 얼굴을 포함하여 수학과 예술의 비례에 비례 한 De divina를 발표했다. 레오나르도 다빈치 (Leonardo da Vinci, 1452 ~ 1519)는 1490 년대 파키 올리 (Pacioli)에서 공부하면서 정규 고체의 목판화로 텍스트를 설명했다. 레오나르도의 그림은 아마도 골격의 고체의 첫 번째 그림 일 것입니다. rhombicuboctahedron과 같은 이들은 서로 겹쳐서 원근법을 보여주기 위해 처음으로 그려졌습니다. 작품은 Piero della Francesca, Melozzo da Forlì 및 Marco Palmezzano의 작품에 대한 관점을 논의합니다. Da Vinci는 Pacioli의 Summa를 연구하여 비율의 테이블을 복사했습니다. 모나리자 (Mona Lisa)와 최후의 만찬 (The Last Supper)에서 다빈치의 작업은 명백한 깊이를 제공하는 소실점과 함께 선형 적 관점을 통합했다. 최후의 만찬은 Raphael ‘s The School of Athens와 마찬가지로 12 : 6 : 4 : 3의 긴밀한 비율로 구성되어 있습니다. Pythagoreans에게 신성한 이상적인 비율로 정제 된 Pythagoras가 포함되어 있습니다. Vitruvian Man에서 Leonardo는 로마인 건축가 인 Vitruvius의 아이디어를 혁신적으로 보여주고 남성 인물을 두 번 보여 주며 원형과 사각형 둘 다 중심에 두었다.
15 세기 초부터 곡선 왜곡이 이미지 왜곡에 관심이있는 예술가들에 의해 그림으로 변모했습니다. 얀 반 아이크 (Jan van Eyck)의 1434 Arnolfini Portrait (Arnolfini Portrait)는 장면의 사람들의 반향이있는 볼록 거울을 포함하고있는 반면, 파르 미지 노노 (Parmigianino)의 볼록 거울 속의 자화상, c. 1523-1524, 중심에 강한 왜곡 된 배경과 예술가의 손을 가장자리와 예술가의 크게 왜곡되지 않은 얼굴을 보여줍니다.
3 차원 공간은 기술적 인 그림에서와 같이 원근법 이외의 방식으로 예술에서 설득력있게 표현 될 수 있습니다. 18 세기의 요새화를 묘사하기 위해 프랑스 군 예술가들이 사용한 무모한 관점을 포함한 비스듬한 투영법은 1 세기 또는 2 세기에서 18 세기까지 중국 예술가들에 의해 지속적으로 그리고 유비쿼터스로 사용되었습니다. 중국인은 고대 로마에서 획득 한 기술을 인도에서 인수했습니다. 사선 투영은 도리 기요 나가 (Tokii Kiyonaga, 1752-1815)의 우키요에 (Ukiyo-e) 그림과 같은 일본 미술에서 볼 수 있습니다.
Euclid는 황금 비율 (대략 1.618)을 알고있었습니다. 황금 비율은 현대에서 믿을만한 증거없이 이집트, 그리스 및 다른 곳의 고대인에 의해 예술과 건축물에 사용되기 위해 계속해서 주장되어 왔습니다. 이 주장은 고대 그리스인들에게 “황금률 (golden mean)”이라는 혼돈에서 파생 될 수 있는데, 이는 고대 그리스인들이 “어느 방향 으로든 과잉을 피하는 것”이 아니라 비율을 의미한다는 것이다. 19 세기 이래로 피라미드 학자들은 피라미드 디자인에서 황금 비율에 대한 모호한 수학적 근거에 대해 논쟁했습니다. 아테네의 5 세기 BC 파르테논 사원 인 파르테논 (The Parthenon)은 외관과 평면도에서 황금 비율을 사용한다고 주장되었지만이 주장 역시 측정으로 반증됩니다. 튀니지의 카이로 안 대 모스크 (Kairouan of Kairouan)는 유사하게 황금 비율을 사용한다고 주장되었지만이 비율은 모스크의 원래 부분에는 나타나지 않습니다. Frederik Macody Lund의 건축가는 1919 년 Chartres 대성당 (12 세기), Laon (1157-1205)의 Notre-Dame 및 1160의 Notre Dame de Paris (1160)가 황금 비율에 따라 디자인되었고, 그의 경우를 확인하십시오. 다른 학자들은 1509 년 Pacioli의 작품이 나올 때까지 예술가와 건축가들에게 황금 비율은 알려지지 않았다고 주장한다. 예를 들어, Laon의 Notre-Dame 앞면의 높이와 너비는 1.618이 아니라 8/5 또는 1.6의 비율을 갖습니다. 이러한 피보나치 비율은 금색 비율과 구분하기가 어려워집니다. Pacioli 후, 황금 비율은 Leonardo의 Mona Lisa를 포함하여 예술 작품에서 더 확실하게 식별 할 수 있습니다.
네덜란드의 건축가 한스 반 데어 란 (Hans van der Laan, 원래 불어로 이름을 붙인 프랑스어로 불렀다.)이 1928 년에 플라스틱 번호로 명명 한 또 다른 비율은 유일한 다른 형태 번호이다. 그 값은 3 차 방정식의 해답이다.
평면 대칭은 카펫, 격자, 직물 및 경첩과 같은 예술품에서 수천 년 동안 착취 당했다.
더미 카페트 나 평평한 평범한 방석 등 전통적인 전통 양탄자는 중앙 부분과 프레임 테두리로 나뉘어져 있습니다. 두 가지 모두 대칭을 가질 수 있지만, 손으로 짠 카펫에서는 작은 세부 사항, 패턴의 변화 및 위버가 도입 한 색상의 변화로 인해 종종 약간 손상됩니다. 아나톨리아 출신의 킬 림 (kilims)에서 사용 된 모티프는 일반적으로 대칭입니다. 줄무늬, 줄무늬가 모티브의 줄과 번갈아 가며, 대략 6 각형 모티브의 포장 된 배열과 같은 배열이있는 일반 레이아웃도 일반적으로 제공됩니다. 이 필드는 일반적으로 pmm와 같은 배경 화면 그룹이있는 배경 화면으로 배치되며 국경은 프리즈 그룹 pm11, pmm2 또는 pma2의 프리즈로 배치 될 수 있습니다. 터키와 중앙 아시아 킬림은 종종 서로 다른 프리즈 그룹에 3 개 이상의 경계선이 있습니다. Weavers는 분명히 수학에 대한 분명한 지식없이 대칭의 의도를 가지고있었습니다. 수학자이자 건축 이론가 인 Nikos Salingaros는 건축가 크리스토퍼 (Christopher)의 이론과 관련된 수학적 기술로 17 세기의 최고의 콘야 (Konya) 두 개의 메달리온 카펫과 같은 “위대한 카펫”의 “강력한 존재감”(미적 효과) 알렉산더. 이 기술은 반대편 커플을 만드는 것을 포함합니다. 색상 값 반대; 보완적인 모양을 사용하거나 예리한 각도의 방향성을 균형 잡아서 기하학적으로 영역을 구분합니다. 소규모 복잡성 (매듭 수준에서 위쪽으로)과 작은 대칭 대칭을 제공합니다. 서로 다른 등급의 계층 구조에서 요소를 반복합니다 (각 수준에서 다음 수준까지 약 2.7의 비율로). 살린가 로스 (Salingaros)는 “모든 성공적인 카펫은 위의 10 가지 규칙 중 9 가지를 만족한다”고 주장하며,이 규칙들로부터 메트릭을 만드는 것이 가능할 수도 있다고 제안했다.
정교한 격자는 무덤과 궁전을 장식하기 위해 대리석으로 조각 된 인도 자 알리 (Jaali) 작업에서 발견됩니다. 중국어 대칭은 항상 대칭으로 17 개의 벽지 그룹 중 14 개에 존재합니다. 그들은 종종 거울, 이중 거울 또는 회전 대칭을 가지고 있습니다. 일부에는 중앙 메달이 있고 일부는 프리즈 그룹에 국경을 가지고 있습니다. 많은 중국어 격자가 Daniel S. Dye에 의해 수학적으로 분석되었습니다. 그는 쓰촨을 우주선의 중심으로 식별합니다.
대칭은 퀼트, 뜨개질, 크로스 스티치, 크로 셰 뜨개질, 자수 및 직조와 같은 섬유 예술에서 두드러지며, 순수 장식이거나 상태 표시 일 수 있습니다. 회전 대칭은 돔과 같은 원형 구조에서 발견됩니다. 이들은 1619 년 이스파한의 셰이크 롯 폴라 모스크 (Shikh Lotfollah Mosque in Isfahan) 에서처럼 때로는 정교하게 내부와 외부의 대칭 패턴으로 장식되었습니다. 보빈이나 타팅으로 만든 테이블 보와 테이블 매트와 같은 자수 및 레이스 작업 항목은 수학적으로 탐구되는 다양한 반사 및 회전 대칭을 가질 수 있습니다.
이슬람 예술은 많은 예술 작품에서 대칭을 악용하고있다. 이들은 5 개의 타일 형태, 즉 정육각형, 긴 육각형, 나비 넥타이, 마름모 및 규칙적인 5 각형을 사용하여 형성됩니다. 이 타일의 모든면은 같은 길이입니다. 모든 각도는 36 ° (π / 5 라디안)의 배수이며 5 배 및 10 배 대칭을 제공합니다. 타일은 스트랩 워크 라인 (girih)으로 장식되어 일반적으로 타일 경계보다 눈에 잘.니다. 2007 년 물리학 자 Peter Lu와 Paul Steinhardt는 girih가 준결정 Penrose tilings과 유사하다고 주장했다. 정교한 기하학적 zellige tilework는 모로코 건축의 특징입니다. Muqarnas 금고는 3 차원이지만 2 차원으로 기하학적 인 세포의 도면으로 설계되었습니다.
플라톤의 고형물과 다른 다면체는 서양 미술에서 반복되는 주제이다. 예를 들어 베니스의 산 마르코 대성당 (San Marco Basilica) 바닥에있는 파올로 우 첼로 (Paolo Uccello)의 작은 별 모양의 12 면체가 특징 인 대리석 모자이크에서 발견됩니다. 레오나르도 다 빈치 (Leonardo da Vinci)의 루카 파퀴 올리 (Luca Pacioli)의 1509 권의 책인 <신의 비례 (The Divine Proportion) Jacopo de Barbari의 초상화에있는 마름모꼴 정팔면체로서 1495 년에 그려진 Pacioli의 초상화; 알 브레 히트 뒤러 (Albrecht Dürer)의 조각상 인 멜렌 콜리 아 (Melencolia I)의 잘려진 다면체 (polyhedron) (및 기타 다양한 수학적 대상) 살바도르 달리 (Salvador Dalí)의 그림 최후의 만찬 (The Last Supper)에서 그리스도와 그의 제자들은 거대한 12 면체 안에 묘사되어있다. 알브레히트 뒤러 (Albrecht Dürer, 1471 ~ 1528)는 독일 르네상스 판화가로서, 1525 년에 출판 된 Underweysung der Messung (측정에 관한 교육)의 다각적 인 문학에 중요한 공헌을했으며, 선형 원근법, 건축술의 기하학, 플라톤 학의 고체 및 규칙적인 다각형. 듀러 (Dürer)는 이탈리아 여행 중 루카 파퀼 리 (Luca Pacioli)와 피에로 델라 프란체스카 (Piero della Francesca)의 작품에 영향을 받았을 가능성이 큽니다. Underweysung der Messung의 원근법 사례는 미개발되어 부정확성을 포함하고 있지만 다면체에 대한 자세한 논의가 있습니다. Dürer는 또한 다면체 그물에 대한 아이디어를 텍스트로 처음으로 소개합니다. 다면체는 펼쳐서 펼쳐 인쇄 할 수 있습니다. Dürer는 1528 년에 Vier Bücher von Menschlicher Proportion (인간의 비율에 관한 4 권의 책)이라는 인간의 비율에 관한 또 다른 영향력있는 책을 출간했다. Dürer의 잘 알려진 판화 Melencolia I는 잘린 사상가가 잘린 삼각형의 사다리꼴과 마술 광장에 앉아있는 모습을 묘사합니다. 이 두 객체와 조각은 Peter-Klaus Schuster의 2 권짜리 책과 Erwin Panofsky의 Dürer에 대한 영향력있는 토론을 포함하여 거의 모든 다른 인쇄물의 내용보다 현대적인 해석의 주제가되어 왔습니다 . 살바도르 달리 (Salvador Dalí)의 코퍼스 하이퍼 큐 (Hypercubus)는 4 차원의 다면체 인 하이퍼 큐브 (hypercube)를위한 펼쳐진 3 차원 그물을 묘사합니다. 전통적인 인도네시아의 왁스 - 레지스트 바틱 디자인은 천에 왁스 레지스트를 적용하는 데있어서의 부정확성과 왁스의 균열에 의한 무작위적인 변화를 비롯하여 추상적이고 다소 혼란스러운 요소를 가진 표현 적 모티프 (예 : 꽃 및 식물 요소)를 결합합니다. 바틱 (Batik) 디자인은 다양한 지역 스타일에 따라 1 ~ 2의 프랙탈 차원을 갖습니다. 예를 들어, Cirebon의 바틱은 프랙탈 차원이 1.1입니다. 중부 자바의 족자 카르타 (Yogyakarta)와 수라 카르타 (Solo)의 바틱은 1.2에서 1.5의 프랙탈 차원을 가지고있다. 자바의 북쪽 해안과 서부 자바의 타 시크 마라 (Tasikmalaya)에있는 라셈 (Lasem)의 바틱은 1.5와 1.7 사이의 프랙탈 차원을 가지고있다. 현대 예술가 Jackson Pollock의 물방울 그림 작품은 프랙탈 차원에서 유사하게 독특합니다. 그의 1948 년 제 14 호는 해안선과 비슷한 1.45의 크기를 가졌지 만, 후기의 회화는 연속적으로 더 높은 프랙탈 치수와 더 정교한 패턴을 연속적으로 가지고있었습니다. 그의 마지막 작품 중 하나 인 Blue Poles는 창조하는데 6 개월이 걸렸으며 프랙탈 차원은 1.72입니다. 수학과 예술의 복잡한 관계 : Il Saggiatore의 천문학자인 갈릴레오 갈릴레이 (Galileo Galilei)는 "우주는 수학의 언어로 쓰여졌 고 그 문자는 삼각형, 원 및 기타 기하학적 인 모습이다"라고 썼다. 자연을 연구하고 추구하는 예술가는 먼저 갈릴레오의 관점에서 수학을 완전히 이해해야합니다. 반대로 수학자들은 기하학과 합리성의 렌즈를 통해 예술을 해석하고 분석하고자했습니다. 수학자 Felipe Cucker는 수학, 특히 기하학이 "규칙 중심의 예술적 창작"을위한 규칙의 근원임을 제안합니다. 결과로 나오는 복잡한 관계의 여러 가닥 중 일부가 아래에 설명되어 있습니다. 수학자 Jerry P. King은 "수학의 열쇠는 아름다움과 우아함, 그리고 칙칙함과 전문성이 아닙니다."라고 말하면서 수학을 예술로 묘사했습니다. 그 아름다움은 수학 연구의 동기였습니다. King은 수학자 G.H. Hardy의 1940 년 에세이 수학자의 사과를 인용합니다. 그것에서, 하디는 왜 고전 속도의 두 정리를 첫 번째 속도로 발견하는지, 즉 유클리드의 증명이 무한히 많은 소수와 2의 제곱근이 비합리적임을 증명합니다. 킹은 하디의 수학적 우아함에 대한 기준 인 "진지함, 깊이, 보편성, 예기치 않음, 필연성, 경제성"(King 's italics)을 평가하고 그 증거를 "예술적으로 기쁘게"한다고 설명합니다. 헝가리의 수학자 폴 에르도 (Paul Erdős)는 수학은 아름다움을 가지고 있지만 "왜 숫자가 아름답습니까?"는 이유는 베토벤의 9 번 교향곡이 아름다운 이유를 묻는 것과 같습니다. 왜 보이지 않으면 누군가가 말할 수 없습니다. 숫자가 아름답다. " 수학은 음악, 무용, 그림, 건축 및 조각과 같은 많은 예술 분야에서 식별 될 수 있습니다. 이들 각각은 수학과 관련이 있습니다. 시각 예술에 대한 연결 중에서 수학은 Brook Taylor 및 Johann Lambert가 설명한 선형 관점의 규칙 또는 고체의 소프트웨어 모델링에 적용된 설명 기하학 방법과 같은 예술가를위한 도구를 제공 할 수 있으며 Albrecht 듀러와 가스 파드 몽지. 중세 루카 Pacioli와 레오나르도 다빈치와 르네상스에서 Albrecht Dürer의 예술가들은 예술적 작품을 추구하면서 수학적 아이디어를 사용하고 발전 시켰습니다. 원근법의 사용은 고대 그리스의 건축 양식에 일부 배아의 사용법이 있었음에도 불구하고, 13 세기의 조토 (Giotto)와 같은 이탈리아 화가들과 함께 시작되었다. 소실점과 같은 규칙은 Brunelleschi에 의해 약 1413 년에 공식화되었으며, 그의 이론은 Leonardo와 Dürer에 영향을 미쳤다. Isaac Newton의 광 스펙트럼 작업은 Goethe의 Color Theory of Colors와 Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, Pre-Raphaelites 및 Wassily Kandinsky와 같은 예술가들에게 영향을주었습니다. 아티스트는 장면의 대칭을 분석하도록 선택할 수도 있습니다. 도구는 수학을 탐구하는 수학자 또는 MC Escher (HSM Coxeter에서 영감을 얻은)와 건축가 Frank Gehry와 같이 수학에서 영감을 얻은 예술가들에 의해 적용될 수 있습니다. 건축가 Frank Gehry는 컴퓨터 지원 설계가 전적으로 새로운 방법. 리차드 라이트 (Richard Wright)는 건설 될 수있는 수학적 대상은 "현상을 시뮬레이션하는 과정"으로 보거나 "컴퓨터 예술"의 작품으로 볼 수 있다고 주장한다. 그는 수학적 사고의 본질을 고려하여 도형이 수학자들에게 알려지기 1 세기 전에 도형이 수학자들에게 알려 졌음을 관찰합니다. Wright는 수학적 대상을 "예술과 같은 문화적 인공물, 객관성과 주관 사이의 긴장, 은유적인 의미 및 표상 적 시스템의 성격에 익숙해지는"방법으로 사용하는 것이 적절하다는 결론으로 결론을 짓는다. 그는 Mandelbrot 세트의 이미지, 셀룰러 오토메이션 알고리즘으로 생성 된 이미지 및 컴퓨터 렌더링 이미지를 제공하고 알고리즘 제품이 예술인지 여부를 Turing 테스트와 관련하여 논의합니다. Sasho Kalajdzievski의 Math and Art : Visual 수학 입문은 tilings, fractals 및 hyperbolic geometry와 같은 시각적 인 수학 주제를 적절하게 살펴봄으로써 비슷한 접근법을 취합니다. 컴퓨터 아트의 최초 작품 중 일부는 Desmond Paul Henry의 "Drawing Machine 1"이라는 폭탄보기 컴퓨터를 기반으로 한 아날로그 기계로 1962 년에 전시되었습니다.이 기계는 복잡하고 추상적이며 비대칭이며 곡선이지만 반복적 인 선을 만들 수있었습니다 드로잉. 최근 Hamid Naderi Yeganeh는 곡선이나 각진 선의 계열을 그리기 위해 연속적으로 변화하는 수식을 사용하여 물고기와 새 같은 실제 개체를 암시하는 모양을 만들었습니다. Mikael Hvidtfeldt Christensen과 같은 아티스트는 Structure Synth와 같은 소프트웨어 시스템 용 스크립트를 작성하여 생성 또는 알고리즘 아트 작품을 만듭니다. 아티스트는 선택한 데이터 세트에 원하는 수학 연산 조합을 적용하도록 시스템에 효과적으로 지시합니다. 수학자이자 이론 물리학자인 앙리 푸앵카레의 과학과 가설은 파블로 피카소 (Pablo Picasso)와 장 메츠 징거 (Jean Metzinger)를 포함한 큐 비스트들에 의해 널리 읽혀졌다. Poincaré는 유클리드 지오메트리를 절대 객관적인 진리가 아닌 가능한 많은 기하학적 구성 중 하나라고 보았습니다. 네 번째 차원의 존재 가능성은 예술가가 클래식 르네상스 관점에 의문을 제기하도록 유도했습니다. 비 유클리드 기하학은 유효한 대안이되었습니다. 그림이 색깔과 형태로 수학적으로 표현 될 수 있다는 개념은 추상 미술을 이끌어 낸 예술 운동 인 입체파에 공헌했습니다. Metzinger는 1910 년에 다음과 같이 썼습니다. "[Picasso]는 자유로운 모바일 관점을 제시했습니다.이 관점에서 독창적 인 수학자 Maurice Princet은 전체 기하학을 추론했습니다." 나중에, Metzinger는 회고록에 다음과 같이 썼습니다. 모리스 프린스턴 (Maurice Princet)은 종종 우리와 합류했습니다 ... 예술가로서 그는 수학을 개념화했습니다. 에스테메니안으로서 그는 n 차원 연속체를 호출했습니다. 그는 슐레 겔 (Schlegel)과 다른 사람들에 의해 열린 공간에 대한 새로운 관점에 관심있는 예술가들을 얻는 것을 좋아했습니다. 그는 그것에 성공했다. 수학적 형태의 교수 또는 연구 모델을 만드는 충동은 자연스럽게 대칭과 놀랍거나 즐거운 모양을 가진 대상을 만듭니다. 이 중 일부는 다다 이스트 맨 레이 (Dadaists Man Ray), 마르셀 뒤샹 (Marcel Duchamp), 맥스 어 넥스트 (Max Ernst), 맨 레이 (Man Ray), 스기모토 히로시 (Sugimoto Hiroshi)와 같은 예술가들에게 영감을주었습니다. Man Ray는 Objet mathematique (수학적 객체)를 포함하여 파리의 Henri Poincaré Institut에서 수학 모델을 촬영했습니다. 그는 이것이 의사 구체 (pseudo-sphere)에서 파생 된 일정한 음의 곡률로 Enneper 표면을 나타냈다 고 지적했다. 이 수학적 기초는 그에게 중요했습니다. 그 이유는 그 물체가 "추상"이라고 부인하는 대신에, Duchamp가 예술 작품으로 만든 소변기만큼이나 사실이라고 주장했기 때문입니다. 레이 (Ray)는 그 물체의 [Enneper surface] 공식은 "나에게 아무런 의미가 없지만 형태 자체는 본질적으로 다양하고 확실했다"고 인정했다. 그는 1934 년 회화 Antony와 Cleopatra와 같은 셰익스피어 희곡에서했던 일련의 인물로서 수학적 모델의 사진을 사용했습니다. 포브스 라이프 (ForbesLife)에 기고 한 아트 기자 Jonathan Keats는 Man Ray가 "Kiki de Montparnasse의 그림과 같은 관능적 인 빛의 타원형 포물면과 원뿔 모양의 점"을 촬영하고 "멋진 수학 계산법을 재창조하여 토폴로지를 보여줍니다"라고 주장합니다. 욕구". Henry Moore, Barbara Hepworth, Naum Gabo와 같은 20 세기의 조각가들은 수학적 모델에서 영감을 얻었습니다. Moore wrote of his 1938 Stringed Mother and Child: "Undoubtedly the source of my stringed figures was the Science Museum ... I was fascinated by the mathematical models I saw there ... It wasn't the scientific study of these models but the ability to look through the strings as with a bird cage and to see one form within another which excited me." The artists Theo van Doesburg and Piet Mondrian founded the De Stijl movement, which they wanted to "establish a visual vocabulary comprised of elementary geometrical forms comprehensible by all and adaptable to any discipline". Many of their artworks visibly consist of ruled squares and triangles, sometimes also with circles. De Stijl artists worked in painting, furniture, interior design and architecture. After the breakup of De Stijl, Van Doesburg founded the Avant-garde Art Concret movement, describing his 1929–1930 Arithmetic Composition, a series of four black squares on the diagonal of a squared background, as "a structure that can be controlled, a definite surface without chance elements or individual caprice", yet "not lacking in spirit, not lacking the universal and not ... empty as there is everything which fits the internal rhythm". The art critic Gladys Fabre observes that two progressions are at work in the painting, namely the growing black squares and the alternating backgrounds. The mathematics of tessellation, polyhedra, shaping of space, and self-reference provided the graphic artist M. C. Escher (1898—1972) with a lifetime's worth of materials for his woodcuts. In the Alhambra Sketch, Escher showed that art can be created with polygons or regular shapes such as triangles, squares, and hexagons. Escher used irregular polygons when tiling the plane and often used reflections, glide reflections, and translations to obtain further patterns. Many of his works contain impossible constructions, made using geometrical objects which set up a contradiction between perspective projection and three dimensions, but are pleasant to the human sight. Escher's Ascending and Descending is based on the "impossible staircase" created by the medical scientist Lionel Penrose and his son the mathematician Roger Penrose. Some of Escher's many tessellation drawings were inspired by conversations with the mathematician H. S. M. Coxeter on hyperbolic geometry. Escher was especially interested in five specific polyhedra, which appear many times in his work. The Platonic solids—tetrahedrons, cubes, octahedrons, dodecahedrons, and icosahedrons—are especially prominent in Order and Chaos and Four Regular Solids. These stellated figures often reside within another figure which further distorts the viewing angle and conformation of the polyhedrons and provides a multifaceted perspective artwork. The visual intricacy of mathematical structures such as tessellations and polyhedra have inspired a variety of mathematical artworks. Stewart Coffin makes polyhedral puzzles in rare and beautiful woods; George W. Hart works on the theory of polyhedra and sculpts objects inspired by them; Magnus Wenninger makes "especially beautiful" models of complex stellated polyhedra. The distorted perspectives of anamorphosis have been explored in art since the sixteenth century, when Hans Holbein the Younger incorporated a severely distorted skull in his 1553 painting The Ambassadors. Many artists since then, including Escher, have make use of anamorphic tricks. The mathematics of topology has inspired several artists in modern times. The sculptor John Robinson (1935–2007) created works such as Gordian Knot and Bands of Friendship, displaying knot theory in polished bronze. Other works by Robinson explore the topology of toruses. Genesis is based on Borromean rings – a set of three circles, no two of which link but in which the whole structure cannot be taken apart without breaking. The sculptor Helaman Ferguson creates complex surfaces and other topological objects. His works are visual representations of mathematical objects; The Eightfold Way is based on the projective special linear group PSL(2,7), a finite group of 168 elements. The sculptor Bathsheba Grossman similarly bases her work on mathematical structures. A liberal arts inquiry project examines connections between mathematics and art through the Möbius strip, flexagons, origami and panorama photography. Mathematical objects including the Lorenz manifold and the hyperbolic plane have been crafted using fiber arts including crochet. The American weaver Ada Dietz wrote a 1949 monograph Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, defining weaving patterns based on the expansion of multivariate polynomials. The mathematician J. C. P. Miller used the Rule 90 cellular automaton to design tapestries depicting both trees and abstract patterns of triangles. The "mathekniticians" Pat Ashforth and Steve Plummer use knitted versions of mathematical objects such as hexaflexagons in their teaching, though their Menger sponge proved too troublesome to knit and was made of plastic canvas instead. Their "mathghans" (Afghans for Schools) project introduced knitting into the British mathematics and technology curriculum. Mathematics Modelling: Modelling is far from the only possible way to illustrate mathematical concepts. Giotto's Stefaneschi Triptych, 1320, illustrates recursion in the form of mise en abyme; the central panel of the triptych contains, lower left, the kneeling figure of Cardinal Stefaneschi, holding up the triptych as an offering. Giorgio Chirico's metaphysical paintings such as his 1917 Great Metaphysical Interior explore the question of levels of representation in art by depicting paintings within his paintings. Art can exemplify logical paradoxes, as in some paintings by the surrealist René Magritte, which can be read as semiotic jokes about confusion between levels. In La condition humaine (1933), Magritte depicts an easel (on the real canvas), seamlessly supporting a view through a window which is framed by "real" curtains in the painting. Similarly, Escher's Print Gallery (1956) is a print which depicts a distorted city which contains a gallery which recursively contains the picture, and so ad infinitum. Magritte made use of spheres and cuboids to distort reality in a different way, painting them alongside an assortment of houses in his 1931 Mental Arithmetic as if they were children's building blocks, but house-sized. The Guardian observed that the "eerie toytown image" prophesied Modernism's usurpation of "cosy traditional forms", but also plays with the human tendency to seek patterns in nature. Salvador Dalí's last painting, The Swallow's Tail (1983), was part of a series inspired by René Thom's catastrophe theory. The Spanish painter and sculptor Pablo Palazuelo (1916–2007) focused on the investigation of form. He developed a style that he described as the geometry of life and the geometry of all nature. Consisting of simple geometric shapes with detailed patterning and coloring, in works such as Angular I and Automnes, Palazuelo expressed himself in geometric transformations. The artist Adrian Gray practises stone balancing, exploiting friction and the centre of gravity to create striking and seemingly impossible compositions. Artists, however, do not necessarily take geometry literally. As Douglas Hofstadter writes in his 1980 reflection on human thought, Gödel, Escher, Bach, by way of (among other things) the mathematics of art: "The difference between an Escher drawing and non-Euclidean geometry is that in the latter, comprehensible interpretations can be found for the undefined terms, resulting in a comprehensible total system, whereas for the former, the end result is not reconcilable with one's conception of the world, no matter how long one stares at the pictures." Hofstadter discusses the seemingly paradoxical lithograph Print Gallery by M. C. Escher; it depicts a seaside town containing an art gallery which seems to contain a painting of the seaside town, there being a "strange loop, or tangled hierarchy" to the levels of reality in the image. The artist himself, Hofstadter observes, is not seen; his reality and his relation to the lithograph are not paradoxical. The image's central void has also attracted the interest of mathematicians Bart de Smit and Hendrik Lenstra, who propose that it could contain a Droste effect copy of itself, rotated and shrunk; this would be a further illustration of recursion beyond that noted by Hofstadter. Algorithmic analysis of images of artworks, for example using X-ray fluorescence spectroscopy, can reveal information about art. Such techniques can uncover images in layers of paint later covered over by an artist; help art historians to visualize an artwork before it cracked or faded; help to tell a copy from an original, or distinguish the brushstroke style of a master from those of his apprentices. Jackson Pollock's drip painting style has a definite fractal dimension; among the artists who may have influenced Pollock's controlled chaos, Max Ernst painted Lissajous figures directly by swinging a punctured bucket of paint over a canvas. The computer scientist Neil Dodgson investigated whether Bridget Riley's stripe paintings could be characterised mathematically, concluding that while separation distance could "provide some characterisation" and global entropy worked on some paintings, autocorrelation failed as Riley's patterns were irregular. Local entropy worked best, and correlated well with the description given by the art critic Robert Kudielka. The American mathematician George Birkhoff's 1933 Aesthetic Measure proposes a quantitative metric of the aesthetic quality of an artwork. It does not attempt to measure the connotations of a work, such as what a painting might mean, but is limited to the "elements of order" of a polygonal figure. Birkhoff first combines (as a sum) five such elements: whether there is a vertical axis of symmetry; whether there is optical equilibrium; how many rotational symmetries it has; how wallpaper-like the figure is; and whether there are unsatisfactory features such as having two vertices too close together. This metric, O, takes a value between −3 and 7. The second metric, C, counts elements of the figure, which for a polygon is the number of different straight lines containing at least one of its sides. Birkhoff then defines his aesthetic measure of an object's beauty as O/C. This can be interpreted as a balance between the pleasure looking at the object gives, and the amount of effort needed to take it in. Birkhoff's proposal has been criticized in various ways, not least for trying to put beauty in a formula, but he never claimed to have done that. Art has sometimes stimulated the development of mathematics, as when Brunelleschi's theory of perspective in architecture and painting started a cycle of research that led to the work of Brook Taylor and Johann Heinrich Lambert on the mathematical foundations of perspective drawing, and ultimately to the mathematics of projective geometry of Girard Desargues and Jean-Victor Poncelet. The Japanese paper-folding art of origami has been reworked mathematically by Tomoko Fusé using modules, congruent pieces of paper such as squares, and making them into polyhedra or tilings. Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs. The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa's theorem, Kawasaki's theorem, and the Huzita–Hatori axioms. Optical illusions such as the Fraser spiral strikingly demonstrate limitations in human visual perception, creating what the art historian Ernst Gombrich called a "baffling trick." The black and white ropes that appear to form spirals are in fact concentric circles. The mid-twentieth century Op art or optical art style of painting and graphics exploited such effects to create the impression of movement and flashing or vibrating patterns seen in the work of artists such as Bridget Riley, Spyros Horemis, and Victor Vasarely. A strand of art from Ancient Greece onwards sees God as the geometer of the world, and the world's geometry therefore as sacred. The belief that God created the universe according to a geometric plan has ancient origins. Plutarch attributed the belief to Plato, writing that "Plato said God geometrizes continually" (Convivialium disputationum, liber 8,2). This image has influenced Western thought ever since. The Platonic concept derived in its turn from a Pythagorean notion of harmony in music, where the notes were spaced in perfect proportions, corresponding to the lengths of the lyre's strings; indeed, the Pythagoreans held that everything was arranged by Number. In the same way, in Platonic thought, the regular or Platonic solids dictate the proportions found in nature, and in art. A Mediaeval manuscript illustration may refer to a verse in the Old Testament: "When he established the heavens I was there: when he set a compass upon the face of the deep" (Proverbs 8:27), showing God drawing out the universe with a pair of compasses. In 1596, the mathematical astronomer Johannes Kepler modelled the universe as a set of nested Platonic solids, determining the relative sizes of the orbits of the planets. William Blake's Ancient of Days and his painting of the physicist Isaac Newton, naked and drawing with a compass, attempt to depict the contrast between the mathematically perfect spiritual world and the imperfect physical world, as in a different way does Salvador Dalí's 1954 Crucifixion (Corpus Hypercubus), which depicts the cross as a hypercube, representing the divine perspective with four dimensions rather than the usual three. In Dali's The Sacrament of the Last Supper (1955) Christ and his disciples are pictured inside a giant dodecahedron.