La matematica e l’arte sono correlate in una varietà di modi. La matematica è stata descritta come un’arte motivata dalla bellezza. La matematica si può distinguere nelle arti come musica, danza, pittura, architettura, scultura e tessuti. Questo articolo si concentra, tuttavia, sulla matematica nelle arti visive.

L’arte e la matematica sono spesso associate nell’analogia di Platone di bellezza e verità. le premesse di questa domanda spesso richiamano il numero di oro. Phi è la costante matematica più associata con l’arte attraverso la sua presenza ricorrente nelle composizioni di scultura e pittura nell’arte rinascimentale. La golden ratio è considerata come la regola per ottenere una proporzione armonica che soddisfi il gusto dell’osservatore. Questo paradigma è parziale se si vuole comprendere il ruolo della matematica nella storia dell’arte e nelle rivoluzioni estetiche contemporanee. È più efficiente mettere in discussione protocolli, strutture e morfogenesi creativi. Pertanto è necessario abbandonare le premesse platoniche a favore delle domande sulle forme e sui modi in cui esse appaiono e vengono percepite. L’arte e la matematica producono molti assi di convergenza in termini di interesse che matematici e artisti si sostengono a vicenda, ma anche attorno a usi e processi. Molti progetti estetici contemporanei provengono da pratiche matematiche più o meno evidenti, ma tutti testimoniano una sorprendente estensione della cultura matematica. Dalla questione della bellezza e dell’armonia alle domande di morfologie o strutture, la matematica offre molti strumenti per indagare la complessità della realtà, le sue rappresentazioni, ma anche la capacità di inventare strutture, forme e forme. processi.

Matematica e arte hanno una lunga relazione storica. Gli artisti hanno usato la matematica dal IV secolo aC quando lo scultore greco Policleto scrisse la sua Canon, prescrivendo proporzioni basate sul rapporto 1: √2 per il nudo maschile ideale. Dichiarazioni popolari persistenti sono state fatte per l’uso della sezione aurea nell’arte e nell’architettura antiche, senza prove attendibili. Nel Rinascimento italiano, Luca Pacioli ha scritto l’influente trattato De Divina Proportione (1509), illustrato con le xilografie di Leonardo da Vinci, sull’uso della sezione aurea nell’arte. Un altro pittore italiano, Piero della Francesca, sviluppò le idee di Euclide sulla prospettiva in trattati come De Prospectiva Pingendi e nei suoi dipinti. L’incisore Albrecht Dürer fece molti riferimenti alla matematica nel suo lavoro Melencolia I. Nei tempi moderni, l’artista grafico MC Escher fece un uso intensivo della tassellazione e della geometria iperbolica, con l’aiuto del matematico HSM Coxeter, mentre il movimento De Stijl guidato da Theo van Doesberg e Piet Mondrian hanno abbracciato esplicitamente forme geometriche. La matematica ha ispirato le arti tessili come la trapuntatura, la maglieria, il ricamo a punto croce, l’uncinetto, il ricamo, la tessitura, la fabbricazione di tappeti turchi e altri, oltre al kilim. Nell’arte islamica, le simmetrie sono evidenti in forme tanto diverse quanto il Persiano girih e le tegole zellige marocchine, gli schermi di pietra forati di Mughal jaali e la voluminosa volta dei muqarnas.

François Morellet è stato costantemente ispirato dalla matematica e dalla geometria nel suo lavoro. Citazione dal suo sito Web: Le opere di François Morellet sono eseguite secondo un sistema: ogni scelta è definita da un principio stabilito in anticipo. Vuole dare l’impressione di controllare la creazione artistica lasciando una parte del caso, che dà un’immagine imprevedibile. Usa forme semplici, un piccolo numero di colori solidi e composizioni elementari (giustapposizione, sovrapposizione, possibilità, interferenza, frammentazione). Crea così le sue prime “cornici”, reti di linee parallele nere sovrapposte in un ordine determinato che copre l’intera superficie dei dipinti. Questi sistemi ricordano le strutture proposte da Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) e descritte da Raymond Queneau: “Qual è lo scopo del nostro lavoro? Offrire agli scrittori nuove” strutture “, di natura matematica, o anche inventare nuove processi artificiali o meccanici, contribuendo all’attività letteraria “. Successivamente, François Morellet continuerà a utilizzare sistemi basati su un universo matematico.

Nel diciannovesimo secolo, le opere di Gauss, Lobatechevsky e Riemann hanno reso popolare l’idea delle dimensioni spaziali e delle geometrie esotiche. Albert Einstein, nello sviluppare la teoria della relatività, offre al pubblico colto nuovi paradigmi di osservazione che alcuni artisti afferrano per trovare altri modi di rappresentazione, l’idea dello spazio-tempo è fertile e i giovani Braque e Pïcasso sentono su uno spazio che non è più euclideo ma sferico o iperbolico. Ciò provoca l’immaginazione e offre nuovi modi di descrivere la scala di Marcel Duchamp e le opere seminali di Braque e Picasso, il cubismo analitico prodotto nel Bateau Lavoir durante il primo decennio del XX secolo. secolo. Questa concezione dello spazio sarà incarnata nell’opera fondamentale della storia dell’arte del XX secolo “le giovani donne di Avignone”.

La matematica ha direttamente influenzato l’arte con strumenti concettuali come la prospettiva lineare, l’analisi della simmetria e oggetti matematici come i poliedri e la striscia di Möbius. Magnus Wenninger crea poliedri stellati colorati, originariamente come modelli per l’insegnamento. Concetti matematici come la ricorsione e il paradosso logico possono essere visti nei dipinti di Rene Magritte e nelle incisioni di M. C. Escher. L’arte informatica usa spesso frattali incluso il set Mandelbrot e talvolta esplora altri oggetti matematici come gli automi cellulari. Controverso, l’artista David Hockney ha sostenuto che gli artisti dal Rinascimento in poi hanno fatto uso della fotocamera lucida per disegnare rappresentazioni precise di scene; anche l’architetto Philip Steadman sosteneva che Vermeer usasse la camera oscura nei suoi quadri distintamente osservati.

Altre relazioni includono l’analisi algoritmica delle opere d’arte mediante spettroscopia di fluorescenza a raggi X, la scoperta che i batik tradizionali di diverse regioni di Java hanno dimensioni frattali distinte e stimoli alla ricerca matematica, in particolare la teoria della prospettiva di Filippo Brunelleschi, che alla fine portò al proiettivo di Girard Desargues geometria. Una visione persistente, basata in ultima analisi sulla nozione pitagorica di armonia nella musica, sostiene che tutto è stato organizzato da Number, che Dio è il geometra del mondo, e che quindi la geometria del mondo è sacra, come si vede in opere come William Blake’s The Antico dei giorni.

Matematica e arte nella storia:
Polykleitos the elder (c.450-420 aC) era uno scultore greco della scuola di Argo e contemporaneo di Fidia. Le sue opere e statue consistevano principalmente di bronzo e erano di atleti. Secondo il filosofo e matematico Xenocrate, Polykleitos è considerato uno dei più importanti scultori dell’antichità classica per il suo lavoro sul Doriforo e la statua di Hera nell’Heraion di Argo. Mentre le sue sculture potrebbero non essere così famose come quelle di Fidia, sono molto ammirate. Nella Canon of Polykleitos, un trattato scritto per documentare le proporzioni anatomiche “perfette” del nudo maschile, Polykleitos ci offre un approccio matematico verso la scultura del corpo umano.

Polykleitos utilizza la falange distale del mignolo come modulo base per determinare le proporzioni del corpo umano. Polykleitos moltiplica la lunghezza della falange distale per la radice quadrata di due (√2) per ottenere la distanza delle seconde falangi e moltiplica nuovamente la lunghezza di √2 per ottenere la lunghezza delle terze falangi. Successivamente, prende la lunghezza del dito e moltiplica per √2 per ottenere la lunghezza del palmo dalla base del dito all’ulna. Questa serie geometrica di misurazioni progredisce fino a quando Polykleitos ha formato il braccio, il petto, il corpo e così via.

L’influenza del Canone di Policleto è immensa nella scultura classica greca, romana e rinascimentale, molti scultori seguono la ricetta di Polykleitos. Mentre nessuna delle opere originali di Polykleitos sopravvive, le copie romane dimostrano il suo ideale di perfezione fisica e precisione matematica. Alcuni studiosi sostengono che il pensiero pitagorico influenzò la Canonica di Policleto. Il Canone applica i concetti matematici di base della geometria greca, come il rapporto, la proporzione e la simmetria (il greco per “proporzioni armoniose”) e lo trasforma in un sistema in grado di descrivere la forma umana attraverso una serie di progressioni geometriche continue.

In tempi classici, piuttosto che creare figure distanti più piccole con una prospettiva lineare, i pittori misuravano oggetti e figure in base alla loro importanza tematica. Nel Medioevo, alcuni artisti utilizzavano la prospettiva inversa per un’enfasi speciale. Il matematico musulmano Alhazen (Ibn al-Haytham) descrisse una teoria dell’ottica nel suo Libro dell’ottica nel 1021, ma non la applicò mai all’arte. Il Rinascimento vide una rinascita della cultura e delle idee classiche greche e romane, tra cui lo studio della matematica per comprendere la natura e le arti. Due importanti motivi spinsero gli artisti nel tardo Medioevo e nel Rinascimento verso la matematica. In primo luogo, i pittori dovevano capire come raffigurare scene tridimensionali su una tela bidimensionale. In secondo luogo, filosofi e artisti erano convinti che la matematica fosse la vera essenza del mondo fisico e che l’intero universo, comprese le arti, potesse essere spiegato in termini geometrici.

I rudimenti della prospettiva arrivarono con Giotto (1266/7 – 1337), che tentò di disegnare in prospettiva usando un metodo algebrico per determinare il posizionamento di linee distanti. Nel 1415, l’architetto italiano Filippo Brunelleschi e il suo amico Leon Battista Alberti dimostrarono il metodo geometrico di applicare la prospettiva a Firenze, usando triangoli simili come formulati da Euclide, per trovare l’altezza apparente di oggetti distanti. I dipinti prospettici di Brunelleschi sono andati persi, ma la pittura della Santissima Trinità di Masaccio mostra i suoi principi all’opera.

Il pittore italiano Paolo Uccello (1397-1475) fu affascinato dalla prospettiva, come mostrato nei suoi dipinti della Battaglia di San Romano (1435-1460 circa): le lance rotte giacciono comodamente lungo le linee prospettiche.

Il pittore Piero della Francesca (1415-1492) ha esemplificato questo nuovo passaggio nel pensiero del Rinascimento italiano. Era un esperto matematico e geometra, scrivendo libri sulla geometria solida e sulla prospettiva, tra cui De Prospectiva Pingendi (Trattato di pittura), Trattato d’Abaco (Trattato di Abacus) e De corporibus regularibus (Sui solidi regolari). Lo storico Vasari nelle sue Vite dei Pittori definisce Piero il “più grande geometra del suo tempo, o forse di qualsiasi epoca”. L’interesse di Piero per la prospettiva può essere visto nei suoi dipinti tra cui il Polittico di Perugia, la pala di San Agostino e la Flagellazione di Cristo. Il suo lavoro sulla geometria influenzò in seguito matematici e artisti tra cui Luca Pacioli nel suo De Propina Proportione e Leonardo da Vinci. Piero studiò matematica classica e le opere di Archimede. Gli è stata insegnata l’aritmetica commerciale nelle “scuole di abaco”; i suoi scritti sono formattati come libri di scuola di abaco, compreso forse il 1202 Liber Abaci di Leonardo Pisano (Fibonacci). La prospettiva lineare era appena stata introdotta nel mondo artistico. Nella sua De Pictura del 1435, Alberti spiegò: “I raggi di luce viaggiano in linea retta da punti nella scena osservata fino all’occhio, formando una sorta di piramide con l’occhio come vertice”. Un dipinto costruito con prospettiva lineare è una sezione trasversale di quella piramide.

In De Prospectiva Pingendi, Piero trasforma le sue osservazioni empiriche sul modo in cui gli aspetti di una figura cambiano con il punto di vista in prove matematiche. Il suo trattato inizia nel filone di Euclide: definisce il punto come “la più piccola cosa che l’occhio possa comprendere”. Usa la logica deduttiva per condurre il lettore alla rappresentazione prospettica di un corpo tridimensionale.

L’artista David Hockney ha sostenuto nel suo libro “Conoscenza segreta: riscoprire le tecniche perdute degli antichi maestri” che gli artisti hanno iniziato a usare una fotocamera lucida del 1420, provocando un improvviso cambiamento di precisione e realismo e che questa pratica è stata continuata da importanti artisti tra cui Ingres, Van Eyck e Caravaggio. I critici non sono d’accordo sul fatto che Hockney abbia ragione. Allo stesso modo, l’architetto Philip Steadman sosteneva controverso che Vermeer avesse usato un dispositivo diverso, la camera oscura, per aiutarlo a creare i suoi dipinti distintamente osservati.

Nel 1509, Luca Pacioli (1447-1517 circa) pubblicò De divina proportione su proporzioni matematiche e artistiche, anche nel volto umano. Leonardo da Vinci (1452-1519) illustrò il testo con xilografie di solidi regolari mentre studiò sotto Pacioli nel 1490. I disegni di Leonardo sono probabilmente le prime illustrazioni dei solidi scheletrici. Questi, come il rhombicubottaedro, furono tra i primi a essere disegnati per dimostrare la prospettiva essendo sovrapposti l’uno sull’altro. L’opera discute la prospettiva nelle opere di Piero della Francesca, Melozzo da Forlì e Marco Palmezzano. Da Vinci studiò la Summa di Pacioli, dalla quale copiava tabelle di proporzioni. In Mona Lisa e L’ultima cena, l’opera di Leonardo Da Vinci ha incorporato la prospettiva lineare con un punto di fuga per fornire apparente profondità. L’Ultima Cena è costruita in un rapporto stretto di 12: 6: 4: 3, come la Scuola di Atene di Raffaello, che include Pitagora con una tavoletta di rapporti ideali, sacra ai Pitagorici. Nell’uomo vitruviano, Leonardo espresse le idee dell’architetto romano Vitruvio, mostrando in modo innovativo la figura maschile due volte e centrandolo sia in un cerchio che in un quadrato.

Già nel XV secolo la prospettiva curvilinea si faceva strada nei dipinti di artisti interessati alle distorsioni dell’immagine. Il Ritratto Arnolfini 1434 di Jan van Eyck contiene uno specchio convesso con riflessi delle persone presenti nella scena, mentre l’Autoritratto del Parmigianino in uno specchio convesso, c. 1523-1524, mostra il volto in gran parte non distorto dell’artista al centro, con uno sfondo fortemente curvo e la mano dell’artista attorno al bordo.

Lo spazio tridimensionale può essere rappresentato in modo convincente nell’arte, come nel disegno tecnico, con mezzi diversi dalla prospettiva. Proiezioni oblique, inclusa la prospettiva cavalleresca (usata dagli artisti militari francesi per rappresentare le fortificazioni nel XVIII secolo), furono usate continuamente e in modo ubiquitario da artisti cinesi dal primo al secondo secolo fino al XVIII secolo. I cinesi acquisirono la tecnica dall’India, che la acquistò dall’antica Roma. La proiezione obliqua è vista nell’arte giapponese, come nei dipinti di Ukiyo-e di Torii Kiyonaga (1752-1815).

Il rapporto aureo (grosso modo pari a 1.618) era noto a Euclide. Il rapporto aureo è stato costantemente rivendicato nei tempi moderni per essere stato utilizzato nell’arte e nell’architettura dagli antichi in Egitto, in Grecia e altrove, senza prove affidabili. L’affermazione può derivare dalla confusione con “golden means”, che per gli antichi greci significava “evitare l’eccesso in entrambe le direzioni”, non un rapporto. I piramidologi dal diciannovesimo secolo hanno discusso su dubbiosi fondamenti matematici per il rapporto aureo nel design piramidale. Il Partenone, un tempio del V secolo aC ad Atene, è stato affermato di utilizzare la sezione aurea nella sua facciata e pianta, ma anche queste affermazioni sono confutate dalla misurazione. Allo stesso modo, la Grande Moschea di Kairouan in Tunisia ha affermato di utilizzare il rapporto aureo nel suo design, ma il rapporto non appare nelle parti originali della moschea. Lo storico dell’architettura Frederik Macody Lund sostenne nel 1919 che la Cattedrale di Chartres (12 ° secolo), Notre-Dame di Laon (1157-1205) e Notre Dame de Paris (1160) sono progettate secondo il rapporto aureo, disegnando linee di regolatore per fai il suo caso. Altri studiosi sostengono che fino all’opera di Pacioli nel 1509, il rapporto aureo era sconosciuto agli artisti e agli architetti. Ad esempio, l’altezza e la larghezza della parte anteriore di Notre-Dame di Laon hanno il rapporto 8/5 o 1,6, non 1,618. Tali rapporti di Fibonacci diventano rapidamente difficili da distinguere dal rapporto aureo. Dopo Pacioli, il rapporto aureo è più riconoscibile nelle opere d’arte tra cui la Gioconda di Leonardo.

Un altro rapporto, l’unico altro numero morfico, è stato chiamato il numero di plastica nel 1928 dall’architetto olandese Hans van der Laan (originariamente chiamato le nombre radiant in francese). Il suo valore è la soluzione dell’equazione cubica

Le simmetrie planari sono state utilizzate per millenni in opere d’arte come tappeti, tralicci, tessuti e tasselli.

Molti tappeti tradizionali, siano essi tappetini o kilim a tessitura piatta, sono suddivisi in un campo centrale e un bordo di inquadratura; entrambi possono avere simmetrie, anche se nei tappeti fatti a mano questi sono spesso leggermente spezzati da piccoli dettagli, variazioni di pattern e cambiamenti di colore introdotti dal tessitore. Nei kilim dell’Anatolia, i motivi usati sono di solito simmetrici. Di solito è presente anche la disposizione generale, con disposizioni come strisce, strisce alternate a file di motivi e matrici imballate di motivi approssimativamente esagonali. Il campo viene comunemente impostato come sfondo con un gruppo di sfondi come pmm, mentre il bordo può essere disposto come un fregio di gruppo di fregio pm11, pmm2 o pma2. I kilim turchi e centroasiatici hanno spesso tre o più confini in gruppi di fregi diversi. I tessitori avevano certamente l’intenzione di simmetria, senza una conoscenza esplicita della sua matematica. Il matematico e teorico dell’architettura Nikos Salingaros suggerisce che la “potente presenza” (effetto estetico) di un “grande tappeto” come i migliori tappeti a due medaglie di Konya del XVII secolo sia stata creata da tecniche matematiche legate alle teorie dell’architetto Christopher Alessandro. Queste tecniche includono fare coppie di opposti; valori di colore opposti; differenziare geometricamente le aree, sia usando forme complementari o bilanciando la direzionalità di angoli acuti; fornire una complessità su piccola scala (dal livello del nodo verso l’alto) e simmetria su piccola e grande scala; ripetendo elementi in una gerarchia di scale diverse (con un rapporto di circa 2,7 da ciascun livello al successivo). Salingaros sostiene che “tutti i tappeti di successo soddisfano almeno nove delle precedenti dieci regole” e suggerisce che potrebbe essere possibile creare una metrica da queste regole.

I reticoli elaborati sono trovati in lavoro Jaali indiano, scolpito in marmo per adornare tombe e palazzi. I reticoli cinesi, sempre con una certa simmetria, esistono in 14 dei 17 gruppi di sfondi; spesso hanno specchio, doppio specchio o simmetria rotazionale. Alcuni hanno un medaglione centrale e alcuni hanno un bordo in un gruppo di fregi. Molti reticoli cinesi sono stati analizzati matematicamente da Daniel S. Dye; identifica il Sichuan come il centro del mestiere.

Le simmetrie sono prominenti nelle arti tessili come trapuntatura, maglieria, punto croce, uncinetto, ricamo e tessitura, dove possono essere puramente decorative o possono essere marchi di stato. La simmetria rotazionale si trova in strutture circolari come le cupole; a volte sono elaboratamente decorate con motivi simmetrici dentro e fuori, come nella moschea Sheikh Lotfollah del 1619 a Isfahan. Gli oggetti di ricamo e lavorazione del merletto come le tovaglie e le stuoie da tavola, realizzati con le fuserine o con il chiacchierino, possono avere una grande varietà di simmetrie di riflessione e di rotazione che vengono esplorate matematicamente.

L’arte islamica sfrutta le simmetrie in molte delle sue forme d’arte, in particolare in termini di giri. Questi sono formati usando una serie di cinque forme di piastrelle, vale a dire un decagono regolare, un esagono allungato, un papillon, un rombo e un pentagono regolare. Tutti i lati di queste tessere hanno la stessa lunghezza; e tutti i loro angoli sono multipli di 36 ° (π / 5 radianti), offrendo simmetrie di cinque e dieci volte. Le piastrelle sono decorate con linee di cinturino (girih), generalmente più visibili dei contorni delle piastrelle. Nel 2007, i fisici Peter Lu e Paul Steinhardt sostenevano che girih assomigliava a tasselli di Penrose. Elaborate piastrelle geometriche zellige è un elemento distintivo nell’architettura marocchina. Le volte di Muqarnas sono tridimensionali ma sono state progettate in due dimensioni con disegni di celle geometriche.

I solidi platonici e altri poliedri sono un tema ricorrente nell’arte occidentale. Si trovano, per esempio, in un mosaico marmoreo con il piccolo dodecaedro stellato, attribuito a Paolo Uccello, nel pavimento della Basilica di San Marco a Venezia; negli schemi di poliedri regolari di Leonardo da Vinci disegnati come illustrazioni per il libro del 1509 di Luca Pacioli La Divina Proporzione; come un rombicubottaedro di vetro nel ritratto di Pacioli di Jacopo de Barbari, dipinto nel 1495; nel poliedro troncato (e vari altri oggetti matematici) nell’incisione Melencolia I di Albrecht Dürer; e nel dipinto L’ultima cena di Salvador Dalí in cui Cristo e i suoi discepoli sono raffigurati all’interno di un dodecaedro gigante.

Albrecht Dürer (1471-1528) è stato un incisore del Rinascimento tedesco che ha dato importanti contributi alla letteratura poliedrica nel suo libro del 1525, Underweysung der Messung (Educazione alla misurazione), destinato a insegnare i soggetti della prospettiva lineare, della geometria nell’architettura, dei solidi platonici e poligoni regolari. Dürer fu probabilmente influenzato dalle opere di Luca Pacioli e Piero della Francesca durante i suoi viaggi in Italia. Mentre gli esempi di prospettiva in Underweysung der Messung sono sottosviluppati e contengono inesattezze, c’è una discussione dettagliata sui poliedri. Dürer è anche il primo a introdurre nel testo l’idea di reti poliedriche, i poliedri spiegati per stendersi piatti per la stampa. Dürer pubblicò un altro libro influente sulle proporzioni umane chiamato Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Quattro libri sulla proporzione umana) nel 1528.

La famosa incisione di Dürer, Melencolia I, raffigura un pensatore frustrato seduto accanto a un trapezoidro triangolare troncato e un quadrato magico. Questi due oggetti, e l’incisione nel suo insieme, sono stati oggetto di un’interpretazione più moderna dei contenuti di quasi ogni altra stampa, tra cui un libro in due volumi di Peter-Klaus Schuster e un’influente discussione nella monografia di Erwin Panofsky di Dürer . Il Corpus Hypercubus di Salvador Dalí raffigura una rete tridimensionale spiegata per un ipercubo, un poliedro regolare quadridimensionale.

I tradizionali disegni indonesiani batik resistenti alla cera su stoffa combinano motivi rappresentativi (come elementi floreali e vegetali) con elementi astratti e un po ‘caotici, tra cui l’imprecisione nell’applicare il resistore alla cera e la variazione casuale introdotta dal cracking della cera. I disegni batik hanno una dimensione frattale tra 1 e 2, variando in diversi stili regionali. Ad esempio, il batik di Cirebon ha una dimensione frattale di 1,1; i batik di Yogyakarta e Surakarta (Solo) in Java centrale hanno una dimensione frattale da 1,2 a 1,5; e i batik di Lasem sulla costa nord di Giava e di Tasikmalaya a West Java hanno una dimensione frattale tra 1,5 e 1,7.

Le opere di pittura a goccia del moderno artista Jackson Pollock sono ugualmente distintive nella loro dimensione frattale. Il suo numero 14 del 1948 ha una dimensione di costa di 1,45, mentre i suoi dipinti successivi hanno dimensioni frattali successivamente superiori e di conseguenza modelli più elaborati. Uno dei suoi ultimi lavori, Blue Poles, ha richiesto sei mesi per creare e ha la dimensione frattale di 1.72.

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Relazione complessa di matematica e arte:
L’astronomo Galileo Galilei nel suo Il Saggiatore scrisse che “[L’universo] è scritto nel linguaggio della matematica, ei suoi personaggi sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche.” Gli artisti che si sforzano e cercano di studiare la natura devono prima, secondo Galileo, comprendere appieno la matematica. I matematici, al contrario, hanno cercato di interpretare e analizzare l’arte attraverso la lente della geometria e della razionalità. Il matematico Felipe Cucker suggerisce che la matematica, e in particolare la geometria, è una fonte di regole per la “creazione artistica guidata da regole”, sebbene non sia l’unica. Alcuni dei molti aspetti della relazione complessa risultante sono descritti di seguito.

Il matematico Jerry P. King descrive la matematica come un’arte, affermando che “le chiavi della matematica sono bellezza ed eleganza e non ottusità e tecnicità”, e che la bellezza è la forza motivante per la ricerca matematica. King cita il saggio del 1940 del matematico G. H. Hardy, A Mathematic’s’s Apology. In esso, Hardy discute perché trova due teoremi dei tempi classici come di prima classe, cioè la dimostrazione di Euclide che ci sono infiniti numeri primi, e la prova che la radice quadrata di 2 è irrazionale. King valuta quest’ultimo contro i criteri di Hardy per l’eleganza matematica: “serietà, profondità, generalità, imprevedibilità, inevitabilità ed economia” (corsivo del re) e descrive la dimostrazione come “esteticamente piacevole”. Il matematico ungherese Paul Erdős era d’accordo sul fatto che la matematica possedesse la bellezza ma considerava le ragioni al di là della spiegazione: “Perché i numeri sono belli? È come chiedere perché la Nona Sinfonia di Beethoven è bella. Se non vedi perché, qualcuno non può dirlo. i numeri sono belli. ”

La matematica può essere individuata in molte delle arti, come la musica, la danza, la pittura, l’architettura e la scultura. Ognuno di questi è riccamente associato alla matematica. Tra le connessioni alle arti visive, la matematica può fornire strumenti per artisti, come le regole della prospettiva lineare descritte da Brook Taylor e Johann Lambert, o i metodi della geometria descrittiva, ora applicati nella modellazione software dei solidi, risalenti ad Albrecht Dürer e Gaspard Monge. Gli artisti di Luca Pacioli nel Medioevo e Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer nel Rinascimento hanno utilizzato e sviluppato idee matematiche alla ricerca del loro lavoro artistico. L’uso della prospettiva iniziò, nonostante alcuni usi embrionali nell’architettura della Grecia antica, con pittori italiani come Giotto nel 13 ° secolo; regole come il punto di fuga furono formulate per la prima volta da Brunelleschi nel 1413 circa, la sua teoria influenzò Leonardo e Dürer. Il lavoro di Isaac Newton sullo spettro ottico influenzò la Teoria dei colori di Goethe ea sua volta artisti come Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, i Preraffaelliti e Wassily Kandinsky. Gli artisti possono anche scegliere di analizzare la simmetria di una scena. Gli strumenti possono essere applicati da matematici che stanno esplorando l’arte, o artisti ispirati alla matematica, come MC Escher (ispirato da HSM Coxeter) e l’architetto Frank Gehry, il quale sosteneva più tenuamente che la progettazione assistita da computer gli permetteva di esprimersi in un modo completamente nuovo modo.

L’artista Richard Wright sostiene che gli oggetti matematici che possono essere costruiti possono essere visti sia come “processi per simulare fenomeni” sia come opere di “computer art”. Egli considera la natura del pensiero matematico, osservando che i frattali erano noti ai matematici per un secolo prima che venissero riconosciuti come tali. Wright conclude affermando che è appropriato sottoporre gli oggetti matematici a qualsiasi metodo usato per “fare i conti con artefatti culturali come l’arte, la tensione tra oggettività e soggettività, i loro significati metaforici e il carattere dei sistemi di rappresentazione”. Dà come esempio un’immagine dal set di Mandelbrot, un’immagine generata da un algoritmo di automa cellulare e un’immagine resa dal computer, e discute, con riferimento al test di Turing, se i prodotti algoritmici possono essere arte. La matematica e l’arte di Sasho Kalajdzievski: Un’introduzione alla Matematica visuale segue un approccio simile, esaminando argomenti di matematica visivamente adatti come tassellature, frattali e geometria iperbolica.

Alcune delle prime opere di computer art sono state create da “Drawing Machine 1” di Desmond Paul Henry, una macchina analogica basata su un computer di mirino ed esposta nel 1962. La macchina era in grado di creare linee complesse, astratte, asimmetriche, curvilinee, ma ripetitive disegni. Più recentemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creato forme suggestive di oggetti del mondo reale come pesci e uccelli, utilizzando formule che vengono successivamente variate per disegnare famiglie di curve o linee angolate. Artisti come Mikael Hvidtfeldt Christensen creano opere di arte generativa o algoritmica scrivendo script per un sistema software come Structure Synth: l’artista dirige efficacemente il sistema per applicare una combinazione desiderata di operazioni matematiche a un insieme di dati scelto.

Il matematico e fisico teorico Henri Poincaré’s Science and Hypothesis è stato ampiamente letto dai cubisti, tra cui Pablo Picasso e Jean Metzinger. Poincaré considerava la geometria euclidea come una delle molte possibili configurazioni geometriche, piuttosto che come una verità oggettiva assoluta. L’eventuale esistenza di una quarta dimensione ha ispirato gli artisti a mettere in discussione la prospettiva classica del Rinascimento: la geometria non-Euclidea è diventata una valida alternativa. Il concetto che la pittura potesse essere espressa matematicamente, per colore e forma, ha contribuito al Cubismo, il movimento artistico che ha portato all’arte astratta. Metzinger, nel 1910, scrisse che: “[Picasso] presenta una prospettiva mobile e libera, da cui quell’ingegnoso matematico Maurice Princet ha dedotto un’intera geometria”. Più tardi, Metzinger scrisse nelle sue memorie:

Maurice Princet si univa spesso a noi … era come un artista che concettualizzava la matematica, come estetista che invocava continuum n-dimensionali. Amava convincere gli artisti interessati ai nuovi punti di vista sullo spazio che erano stati aperti da Schlegel e da altri. Ci è riuscito.

L’impulso a fare modelli di insegnamento o ricerca di forme matematiche crea naturalmente oggetti che hanno simmetrie e forme sorprendenti o gradevoli. Alcuni di questi hanno ispirato artisti come i dadaisti Man Ray, Marcel Duchamp e Max Ernst, e seguendo Man Ray, Hiroshi Sugimoto.

Man Ray ha fotografato alcuni dei modelli matematici dell’Institut Henri Poincaré a Parigi, tra cui Objet mathematique (oggetto matematico). Notò che ciò rappresentava superfici Enneper con curvatura negativa costante, derivata dalla pseudo-sfera. Questo fondamento matematico era importante per lui, poiché gli permetteva di negare che l’oggetto fosse “astratto”, affermando invece che era reale come l’orinale che Duchamp trasformò in un’opera d’arte. Man Ray ammise che la formula [superficie Enneper] dell’oggetto non significava nulla per me, ma le forme stesse erano varie e autentiche come qualsiasi altra in natura. ” Ha usato le sue fotografie dei modelli matematici come figure nella sua serie che ha fatto su opere di Shakespeare, come il suo dipinto del 1934, Antonio e Cleopatra. Il reporter d’arte Jonathan Keats, scrivendo su ForbesLife, sostiene che Man Ray fotografava “i paraboloidi ellittici ei punti conici nella stessa luce sensuale delle sue immagini di Kiki de Montparnasse”, e “ingegnosamente rielabora i fantastici calcoli della matematica per rivelare la topologia di desiderio”. Twentieth century sculptors such as Henry Moore, Barbara Hepworth and Naum Gabo took inspiration from mathematical models. Moore wrote of his 1938 Stringed Mother and Child: “Undoubtedly the source of my stringed figures was the Science Museum … I was fascinated by the mathematical models I saw there … It wasn’t the scientific study of these models but the ability to look through the strings as with a bird cage and to see one form within another which excited me.”

The artists Theo van Doesburg and Piet Mondrian founded the De Stijl movement, which they wanted to “establish a visual vocabulary comprised of elementary geometrical forms comprehensible by all and adaptable to any discipline”. Many of their artworks visibly consist of ruled squares and triangles, sometimes also with circles. De Stijl artists worked in painting, furniture, interior design and architecture. After the breakup of De Stijl, Van Doesburg founded the Avant-garde Art Concret movement, describing his 1929–1930 Arithmetic Composition, a series of four black squares on the diagonal of a squared background, as “a structure that can be controlled, a definite surface without chance elements or individual caprice”, yet “not lacking in spirit, not lacking the universal and not … empty as there is everything which fits the internal rhythm”. The art critic Gladys Fabre observes that two progressions are at work in the painting, namely the growing black squares and the alternating backgrounds.

The mathematics of tessellation, polyhedra, shaping of space, and self-reference provided the graphic artist M. C. Escher (1898—1972) with a lifetime’s worth of materials for his woodcuts. In the Alhambra Sketch, Escher showed that art can be created with polygons or regular shapes such as triangles, squares, and hexagons. Escher used irregular polygons when tiling the plane and often used reflections, glide reflections, and translations to obtain further patterns. Many of his works contain impossible constructions, made using geometrical objects which set up a contradiction between perspective projection and three dimensions, but are pleasant to the human sight. Escher’s Ascending and Descending is based on the “impossible staircase” created by the medical scientist Lionel Penrose and his son the mathematician Roger Penrose.

Some of Escher’s many tessellation drawings were inspired by conversations with the mathematician H. S. M. Coxeter on hyperbolic geometry. Escher was especially interested in five specific polyhedra, which appear many times in his work. The Platonic solids—tetrahedrons, cubes, octahedrons, dodecahedrons, and icosahedrons—are especially prominent in Order and Chaos and Four Regular Solids. These stellated figures often reside within another figure which further distorts the viewing angle and conformation of the polyhedrons and provides a multifaceted perspective artwork.

The visual intricacy of mathematical structures such as tessellations and polyhedra have inspired a variety of mathematical artworks. Stewart Coffin makes polyhedral puzzles in rare and beautiful woods; George W. Hart works on the theory of polyhedra and sculpts objects inspired by them; Magnus Wenninger makes “especially beautiful” models of complex stellated polyhedra.

The distorted perspectives of anamorphosis have been explored in art since the sixteenth century, when Hans Holbein the Younger incorporated a severely distorted skull in his 1553 painting The Ambassadors. Many artists since then, including Escher, have make use of anamorphic tricks.

The mathematics of topology has inspired several artists in modern times. The sculptor John Robinson (1935–2007) created works such as Gordian Knot and Bands of Friendship, displaying knot theory in polished bronze. Other works by Robinson explore the topology of toruses. Genesis is based on Borromean rings – a set of three circles, no two of which link but in which the whole structure cannot be taken apart without breaking. The sculptor Helaman Ferguson creates complex surfaces and other topological objects. His works are visual representations of mathematical objects; The Eightfold Way is based on the projective special linear group PSL(2,7), a finite group of 168 elements. The sculptor Bathsheba Grossman similarly bases her work on mathematical structures.

A liberal arts inquiry project examines connections between mathematics and art through the Möbius strip, flexagons, origami and panorama photography.

Mathematical objects including the Lorenz manifold and the hyperbolic plane have been crafted using fiber arts including crochet. The American weaver Ada Dietz wrote a 1949 monograph Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, defining weaving patterns based on the expansion of multivariate polynomials. The mathematician J. C. P. Miller used the Rule 90 cellular automaton to design tapestries depicting both trees and abstract patterns of triangles. The “mathekniticians” Pat Ashforth and Steve Plummer use knitted versions of mathematical objects such as hexaflexagons in their teaching, though their Menger sponge proved too troublesome to knit and was made of plastic canvas instead. Their “mathghans” (Afghans for Schools) project introduced knitting into the British mathematics and technology curriculum.

Mathematics Modelling:
Modelling is far from the only possible way to illustrate mathematical concepts. Giotto’s Stefaneschi Triptych, 1320, illustrates recursion in the form of mise en abyme; the central panel of the triptych contains, lower left, the kneeling figure of Cardinal Stefaneschi, holding up the triptych as an offering. Giorgio Chirico’s metaphysical paintings such as his 1917 Great Metaphysical Interior explore the question of levels of representation in art by depicting paintings within his paintings.

Art can exemplify logical paradoxes, as in some paintings by the surrealist René Magritte, which can be read as semiotic jokes about confusion between levels. In La condition humaine (1933), Magritte depicts an easel (on the real canvas), seamlessly supporting a view through a window which is framed by “real” curtains in the painting. Similarly, Escher’s Print Gallery (1956) is a print which depicts a distorted city which contains a gallery which recursively contains the picture, and so ad infinitum. Magritte made use of spheres and cuboids to distort reality in a different way, painting them alongside an assortment of houses in his 1931 Mental Arithmetic as if they were children’s building blocks, but house-sized. The Guardian observed that the “eerie toytown image” prophesied Modernism’s usurpation of “cosy traditional forms”, but also plays with the human tendency to seek patterns in nature.

Salvador Dalí’s last painting, The Swallow’s Tail (1983), was part of a series inspired by René Thom’s catastrophe theory. The Spanish painter and sculptor Pablo Palazuelo (1916–2007) focused on the investigation of form. He developed a style that he described as the geometry of life and the geometry of all nature. Consisting of simple geometric shapes with detailed patterning and coloring, in works such as Angular I and Automnes, Palazuelo expressed himself in geometric transformations.

The artist Adrian Gray practises stone balancing, exploiting friction and the centre of gravity to create striking and seemingly impossible compositions.

Artists, however, do not necessarily take geometry literally. As Douglas Hofstadter writes in his 1980 reflection on human thought, Gödel, Escher, Bach, by way of (among other things) the mathematics of art: “The difference between an Escher drawing and non-Euclidean geometry is that in the latter, comprehensible interpretations can be found for the undefined terms, resulting in a comprehensible total system, whereas for the former, the end result is not reconcilable with one’s conception of the world, no matter how long one stares at the pictures.” Hofstadter discusses the seemingly paradoxical lithograph Print Gallery by M. C. Escher; it depicts a seaside town containing an art gallery which seems to contain a painting of the seaside town, there being a “strange loop, or tangled hierarchy” to the levels of reality in the image. The artist himself, Hofstadter observes, is not seen; his reality and his relation to the lithograph are not paradoxical. The image’s central void has also attracted the interest of mathematicians Bart de Smit and Hendrik Lenstra, who propose that it could contain a Droste effect copy of itself, rotated and shrunk; this would be a further illustration of recursion beyond that noted by Hofstadter.

Algorithmic analysis of images of artworks, for example using X-ray fluorescence spectroscopy, can reveal information about art. Such techniques can uncover images in layers of paint later covered over by an artist; help art historians to visualize an artwork before it cracked or faded; help to tell a copy from an original, or distinguish the brushstroke style of a master from those of his apprentices.

Jackson Pollock’s drip painting style has a definite fractal dimension; among the artists who may have influenced Pollock’s controlled chaos, Max Ernst painted Lissajous figures directly by swinging a punctured bucket of paint over a canvas.

The computer scientist Neil Dodgson investigated whether Bridget Riley’s stripe paintings could be characterised mathematically, concluding that while separation distance could “provide some characterisation” and global entropy worked on some paintings, autocorrelation failed as Riley’s patterns were irregular. Local entropy worked best, and correlated well with the description given by the art critic Robert Kudielka.

The American mathematician George Birkhoff’s 1933 Aesthetic Measure proposes a quantitative metric of the aesthetic quality of an artwork. It does not attempt to measure the connotations of a work, such as what a painting might mean, but is limited to the “elements of order” of a polygonal figure. Birkhoff first combines (as a sum) five such elements: whether there is a vertical axis of symmetry; whether there is optical equilibrium; how many rotational symmetries it has; how wallpaper-like the figure is; and whether there are unsatisfactory features such as having two vertices too close together. This metric, O, takes a value between −3 and 7. The second metric, C, counts elements of the figure, which for a polygon is the number of different straight lines containing at least one of its sides. Birkhoff then defines his aesthetic measure of an object’s beauty as O/C. This can be interpreted as a balance between the pleasure looking at the object gives, and the amount of effort needed to take it in. Birkhoff’s proposal has been criticized in various ways, not least for trying to put beauty in a formula, but he never claimed to have done that.

Art has sometimes stimulated the development of mathematics, as when Brunelleschi’s theory of perspective in architecture and painting started a cycle of research that led to the work of Brook Taylor and Johann Heinrich Lambert on the mathematical foundations of perspective drawing, and ultimately to the mathematics of projective geometry of Girard Desargues and Jean-Victor Poncelet.

The Japanese paper-folding art of origami has been reworked mathematically by Tomoko Fusé using modules, congruent pieces of paper such as squares, and making them into polyhedra or tilings. Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs. The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa’s theorem, Kawasaki’s theorem, and the Huzita–Hatori axioms.

Optical illusions such as the Fraser spiral strikingly demonstrate limitations in human visual perception, creating what the art historian Ernst Gombrich called a “baffling trick.” The black and white ropes that appear to form spirals are in fact concentric circles. The mid-twentieth century Op art or optical art style of painting and graphics exploited such effects to create the impression of movement and flashing or vibrating patterns seen in the work of artists such as Bridget Riley, Spyros Horemis, and Victor Vasarely.

A strand of art from Ancient Greece onwards sees God as the geometer of the world, and the world’s geometry therefore as sacred. The belief that God created the universe according to a geometric plan has ancient origins. Plutarch attributed the belief to Plato, writing that “Plato said God geometrizes continually” (Convivialium disputationum, liber 8,2). This image has influenced Western thought ever since. The Platonic concept derived in its turn from a Pythagorean notion of harmony in music, where the notes were spaced in perfect proportions, corresponding to the lengths of the lyre’s strings; indeed, the Pythagoreans held that everything was arranged by Number. In the same way, in Platonic thought, the regular or Platonic solids dictate the proportions found in nature, and in art. A Mediaeval manuscript illustration may refer to a verse in the Old Testament: “When he established the heavens I was there: when he set a compass upon the face of the deep” (Proverbs 8:27), showing God drawing out the universe with a pair of compasses. In 1596, the mathematical astronomer Johannes Kepler modelled the universe as a set of nested Platonic solids, determining the relative sizes of the orbits of the planets. William Blake’s Ancient of Days and his painting of the physicist Isaac Newton, naked and drawing with a compass, attempt to depict the contrast between the mathematically perfect spiritual world and the imperfect physical world, as in a different way does Salvador Dalí’s 1954 Crucifixion (Corpus Hypercubus), which depicts the cross as a hypercube, representing the divine perspective with four dimensions rather than the usual three. In Dali’s The Sacrament of the Last Supper (1955) Christ and his disciples are pictured inside a giant dodecahedron.

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