定規および直進構造または定規構造としても知られているコンパスおよびストレートエッジ構造は、理想的な定規およびコンパスのみを使用して、長さ、角度および他の幾何学的図形を構成するものです。
ストレートエッジとして知られている理想化された定規は、長さが無限であるとみなされ、1つのエッジのみでマーキングはありません。 コンパスはページから持ち上げられたときに「崩壊する」と想定されるため、距離の移動に直接使用することはできません。 （これは重要ではないので、多段階手順を使用すると、コンパスを折りたたんでも距離を転送できます（コンパスの等価定理を参照してください）。より正式には、ユークリッドの最初の3つの仮定によって許可された構造だけが許されます。
まっすぐな部分とコンパスを使用して構築可能なすべての点が、コンパスだけを使って構築される場合もあります。
古代ギリシャの数学者は、まずコンパスとストレートエッジの構造を考案しました。平面幾何学の古代の多くの問題がこの制限を課しています。 古代ギリシャ人は多くの建築物を開発しましたが、場合によってはそうすることができませんでした。 ガウスは、いくつかのポリゴンは構成可能であるが、ほとんどのものはそうではないことを示した。 最も有名な直線とコンパスの問題のいくつかは、フィールドの数学的理論を用いて1837年にピエール・ワンツェルによって不可能と証明されました。
既存の不可能性の証明にもかかわらず、いくつかはこれらの問題を解決しようとしている。 他の幾何学的変換が許されるならば、これらの問題の多くは容易に解くことができます。たとえば、幾何学的構造を使って立方体を2倍にすることは可能ですが、直進とコンパスだけではできません。
代数の場合、長さは構成可能な数を表す場合にのみ構成可能であり、その余弦が構成可能な数である場合に限り、構成可能な角度になります。 数字は、4つの基本的な算術演算と平方根の抽出を使用して作成することができ、高次の根がない場合にのみ構成可能です。
コンパスツールと直線ツール
コンパスとストレートエッジ構造の「コンパス」と「ストレートエッジ」は、現実世界のルーラとコンパスの理想化です。
コンパスは任意の幅で開くことができますが、（いくつかの実際のコンパスと違って）それにマーキングはありません。 サークルは、指定された2点（サークル上の点と点）からのみ描画できます。 コンパスは、円を描いていないときに折り畳まれても折りたたまれなくてもよい。
ストレートエッジは無限に長いですが、通常のルーラーとは異なり、マーキングはなく、ストレートエッジが1つしかありません。 これは、2つの点の間に線分を描画するか、既存の線分を延長するためにのみ使用できます。
現代のコンパスは一般に崩壊しないで、いくつかの現代的な構造がこの機能を使用します。 現代のコンパスは古代の崩壊するコンパスよりも “より強力な”道具であるように見えるでしょう。 しかし、ユークリッド・エレメントの第1冊の命題2によって、崩壊するコンパスを使用することによって電力は失われない。 命題は正しいが、その証明には長いチェッカーの歴史がある。
それぞれの構造は正確でなければなりません。 「眼球をつくる」ということは、本質的にはその精度で構造や推測を見たり、定規上の計測単位などの何らかの形で測定したり、近くに近づくことは解決策にはなりません。
各建設は終了する必要があります。 つまり、有限のステップ数を持つ必要があり、近い近似の限界ではありません。
このように述べると、コンパスとストレートエッジの構造は、深刻な実用的な問題ではなく、パーラーのゲームのように見えます。 制限の目的は、構造が正確であることが証明できることを保証することです。
歴史
古代ギリシャの数学者は、最初にコンパスと直線的な構造を試み、与えられた長さの和、差、積、比、平方根を構築する方法を発見しました。 1与えられた角度の半分、別の正方形の面積の2倍の面積を持つ正方形、指定されたポリゴンと同じ面積を持つ正方形、3,4,5面の正多角形を作成することもできます。 xi（または与えられたポリゴンの辺の数が2倍のもの：pp。49-50）。 しかし、特定の場合を除き、与えられた角度の三分の一、または指定された円と同じ面積を持つ四角形、または他の辺の数を持つ正多角形を除いて、三分の一を構築することはできませんでした。 また、与えられた面を持つ立方体の体積の2倍の体積を持つ立方体の側面を構成することもできない。
HippocratesとMenaechmusは、双曲線と放物線の交点を見つけることによって立方体の面積を2倍にすることができたことを示しましたが、これらはコンパスと直線で構成することはできません：BCEの第5世紀にHippiasは、一般的な角度を三角化して円を四角形にし、二世紀BCEのニコメデスは、蛇骨を使って任意の角度を三角法で切り取る方法を示しました;しかし、これらの方法では、ちょうどコンパスと直線を続けることはできません。
1796ガウスに17辺の正多角形が構築できることが示されるまで、未解決の問題が2千年にわたって進展しなかった。 5年後、彼はn面の正多角形が構成可能であるという十分な基準を示しました。 51ff。
1837年、Pierre Wantzelは、長さの立方根を構築することが不可能であることに基づいて、任意の角度を三等分することが不可能であること、または立方体の体積を倍にすることができないという証拠を発表しました。 また、正規のポリゴンのためのガウスの十分な構成可能条件も必要であることを示しました。
そして1882年、Lindemannは
基本的な構成
すべてのコンパスとストレートエッジの構造は、既に構築された点、線、円を使って5つの基本構造を繰り返し適用することから成り立っています。 これらは：
既存の2つのポイントを通る線の作成
別の点を中心にして1つの点を通る円を作成する
既存の平行でない2本の線の交点である点を作成する
線と円の交点に1つまたは2つの点を作成する（交差する場合）
2つの円の交点に1つまたは2つの点を作成する（交差する場合）。
例えば、ちょうど2つの別個の点から始めて、線を作成するか、または2つの円のいずれかを作成することができます（それぞれの点を中央として使用し、もう一方の点を通過させます）。 両方の円を描くと、交差点に2つの新しい点が作成されます。 2つの元の点の間に線を描き、これらの新しい点の1つは、正三角形の構築を完了する。
したがって、幾何学的な問題では、シンボル（点と線）の初期セット、アルゴリズム、およびいくつかの結果があります。 この観点から、幾何学は、その要素を記号で置き換える公理的代数と同等である。 たぶんGaussはこれを最初に認識し、それを使っていくつかの構造の不可能性を証明しました。 ヒルベルトはジオメトリの公理の完全なセットを見つけただけです。
使い慣れたコンパスとストレートエッジの構造
最もよく使用されるコンパスとストレートエッジの構造は次のとおりです。
セグメントから垂直二等分線を構築する
セグメントの中点を見つける。
点から線までの垂線を描画します。
角度を二分する
ライン内のポイントをミラーリングする
円に接する点を通る線を作る
3つの非線形点を通る円の構築
構築可能な点と長さ
形式的証明
何かが不可能であることを証明するには、さまざまな方法があります。 より厳密な証拠は、可能な限界を画定することであり、これらの問題を解決するには限界を超えなければならないことを示します。 構築することができるものの多くは、傍受説でカバーされています。
2つの線で作られたデカルト座標系を使用して代数を幾何学に関連付けることができ、我々の平面の点をベクトルで表すことができます。 最後に、これらのベクトルを複素数で書くことができます。
線と円の方程式を使用すると、それらが交差する点が、線上の2つの点、円の中心、および円の半径を含む最小の欄Fの2次の延長線上にあることを示すことができる。 すなわち、それらはx + y ^ kの形式であり、x、y、およびkはFにある。
構成可能な点のフィールドは平方根の下で閉じられているので、有理係数を持つ複素数のフィールドの2次の拡張の有限シーケンスによって得られるすべての点を含む。 上記の段落によって、任意の構成可能なポイントがこのような拡張シーケンスによって得られることを示すことができる。 これの結果として、構成可能な点（したがって構築可能な長さ）の最小多項式の次数は2の累乗であることが分かります。特に、構成可能な点（または長さ）は代数的数ですすべての代数は構築可能です。 例えば、3√2は代数的であるが構成的ではない。
構築可能な角度
構成可能な角度と構築可能な円上に構成可能な点との間には、相互作用があります。 構築可能な角度は、2πを法として加算してアーベル群を形成する（これは、複素数として見た単位円上の点の乗算に対応する）。 構成可能な角度は、正接（または等価的に正弦または余弦）が数値として構成可能な角度です。 例えば、規則的な7角形（17面の正多角形）は構成可能です。なぜなら、
ガウスによって発見された。
構築可能な角度のグループは、角度を半分にする操作（複素数の平方根を取ることに相当）で閉じられます。 2つの点から始まる有限次数の唯一の角度は、次数が2の累乗であるもの、または2の累乗と別個のフェルマー素数の集合のいずれかのものです。 さらに、無限次数の構成可能な角度の密集したセットがあります。
複素数演算のようなコンパスと直線の構成
ユークリッド平面上の点の集合を与えられたとき、それらのうちのいずれか1つを選択して0と呼び、もう1つを1と呼ぶと、任意の方向の選択と共に、点を複素数の集合とみなすことができます。
このような点集合の複素数の解釈が与えられると、有効なコンパスと直進構造を使用して構築可能な点は、元の点集合を含む最小の欄の要素であり、複素共役と平方根演算あいまいさでは、複素引数がπ未満の平方根を指定できます）。 このフィールドの要素は、加算、減算、乗算、除算、複素共役、平方根の演算のみを使用して元の点で数式として表現できるものであり、数えきれないほど密集したサブセットであることが容易にわかります飛行機。 これらの6つの操作のそれぞれは、単純なコンパスおよび直線状の構造に対応する。 このような式から、各算術演算のための構成を組み合わせることによって、対応する点の構成を生成することは容易である。 特定の点集合のより効率的な構成は、そのような計算におけるショートカットに対応する。
同様に（2つの点を任意に選択する必要はない）、方向の任意の選択が与えられると、点の組は、任意の2対の点の間の差の比によって与えられる複合比の集合を決定すると言うことができる。 このような比の組からのコンパスと直線性を利用して構築可能な比率の組は、元の比率を含む最小の欄であり、複素共役および平方根をとって閉じられる。
例えば、点または比率zの実数部、虚数部およびモジュラス（上の2つの視点のうちの1つを取る）は、
（φ/2πが3で割り切れない分母で有理数であるような任意のφのような特別な角度を除いて）立方体と三角形を二倍にすると、三次方程式の解である比が必要になりますが、円を二乗するには超越比。 記載されているフィールドにはこれらのどれもありませんので、これらのコンパスとストレートエッジの構築は存在しません。
不可能な構造
古代ギリシャ人は、彼らが解決できなかった建設問題は単に執拗であり、解決できないものではないと考えました。 しかし、現代の方法では、これらのコンパス – およびストレートエッジ構造は論理的に実行することが不可能であることが示されている。 （しかし、問題自体は解決でき、ギリシア人は直進とコンパスだけで作業するという制約なしに、問題を解決する方法を知っていました。）
サークルを二等辺三角形にする
これらの問題の中で最も有名なのは、サークルの四角形としても知られています。直方体とコンパスだけを使って、与えられた円と同じ面積の四角形を構築することです。
円を四角で囲むことは不可能であることが証明されています。それは超越的な数、すなわち√πを生成することを含むからです。 定規とコンパスだけで、特定の代数的数だけを構成することができます。すなわち、加法、減法、乗法、除算、および平方根を取る有限の一連の演算を持つ整数から構築されたものです。 「サークルを二乗する」というフレーズは、この理由で「不可能にする」という意味によく使用されます。
定規とコンパスだけで解決する必要がないという制約がなければ、問題は多種多様な幾何学的代数的手段によって容易に解決でき、古くから何度も解決されました。
「円の直交」の近似に非常に近い方法は、ケプラー三角形を使用して達成することができる。
キューブを2倍にする
主な記事：キューブを2倍にする
キューブを2倍にするのは、あるエッジのキューブの2倍の体積を持つキューブのエッジの直線エッジとコンパスのみを使用した構造です。 これは不可能です.2の立方根は、代数的ではあるが、加算、減算、乗算、除算、および平方根を取ることによって整数から計算することはできないからです。 これは、次数3以上の最小多項式を持つためです。この構成は、2つのマークが付いた直線とコンパスを使用することで可能です。
角度三等分
主な記事：角度三等分
角度三等分は、任意の角度の3分の1の角度の直線状とコンパスのみを使用した構造です。 これは一般的なケースでは不可能です。 例えば、π/ 3ラジアン（60°）の角度を三等分することはできないが、角度2π/ 5ラジアン（72°= 360°/ 5）は三等分することができる。 一般的な3面問題は、それに2つのマークが付された直線状のものが許容されるときにも容易に解決される（ノイジー構造）。
正多角形の作成
いくつかの正多角形（例えば、五角形）は、直進とコンパスで簡単に構築できます。 他はありません。 これは疑問につながりました：直進とコンパスを持つすべての正多角形を作ることは可能ですか？
1796年のカール・フリードリッヒ・ガウス（Carl Friedrich Gauss）は、通常の17面ポリゴンが構築できることを示し、5年後、nの奇数素数が別々のフェルマー素数であれば、正多角形のポリゴンを直線とコンパスで構築できることを示した。 ガウスは、この条件も必要であると思ったが、彼は1837年にピエール・ワンツェルによって提供されたこの事実の証拠を提示しなかった。
最初のいくつかの構成可能な正多角形には、次のような面があります。
3つ、4つ、5つ、6つ、8つ、10つ、12つ、15つ、16つ、17つ、20つ、 120,128,136,160,170,192,204,240,255,255,272 …（OEIS内の配列A003401）
偶数の辺を持つ構築可能な正多角形は無限にあることが知られています（通常のn-gonが構築可能な場合、通常の2n-gon、したがって正規の4n-gon、8n-gonなどです。 ）。 しかし、奇数の辺を持つ31の構成可能な正則なn-gonしか存在しません。
与えられた3つの特徴点または長さから三角形を構築する
三角形の16の重要な点は、その頂点、その辺の中点、その高度の足、その内角二等分線の足、およびその外接辺、重心、正座中心、および刻み目である。 これらは3つの点から三角形を構成する139の重要な問題を生じるために、一度に3つを取ることができます。 これらの問題のうち、3つは、他の2つの点から一意的に構成できる点を含む。 （実際には無限に多くの解決策のために）非一意的に構築することができるが、点の位置が一定の制約に従う場合に限る。 74では、問題は一般的なケースで構成可能である。 39において、必要な三角形は存在するが、構成可能ではない。
三角形のキーの長さは、3つの辺の長さ、3つの高度、3つのメジアン、および3つの角度の二等分線です。 三つの角度と一緒に、これらは95個の異なる組み合わせを与え、そのうち63個は構成可能な三角形を生み出し、30個は構成できない三角形を生み出し、そのうち2個は未定義です。 201-203
楕円までの距離
平面内の任意の点から円上の最も近い点までの線分を構成することができるが、平面内の任意の点から正の偏心の楕円上の最も近い点までの線分を一般に構築することはできない。
定規のみまたはコンパスのみで構築する
与えられたデータと見つけ出されるデータが離散点（線や円ではない）から成っていれば、それは定規とコンパスで構築できるならば、コンパスだけで何かを構築することは可能です（Mohr-Mascheroni定理による） ）。 この定理の真理は、アルキメデスの公理の真理に依存することに留意すべきである。アルキメデスの公理は本質的に一次ではない。 定規だけで平方根をとることは不可能です。定規では構築できないものもコンパスで作ることができます。 単一の円とその中心を与えられた（ポンセレット – スタイナー定理によって）、それらを構築することができる。
拡張構造
古代ギリシャ人は、その解決に必要なツールの複雑さに応じて、構造を3つの主要なカテゴリに分類しました。 コンストラクションがストレートエッジとコンパスのみを使用していた場合は、平面と呼ばれました。 1つ以上の円錐形のセクション（円以外）が必要な場合は、ソリッドと呼ばれました。 第3のカテゴリは、他の2つのカテゴリのいずれにも該当しないすべての構成を含む。 この分類は現代の代数的視点にうまく合致します。 フィールド操作と平方根のみを使用して表現できる複素数は、平面構造をしています。 キューブルーツの抽出も含む複雑な数値は、堅実な構造を持っています。
フィールドの言語では、平面である複素数は次数2の累乗を持ち、フィールド拡張の中にあり、各拡張が次数2を持つフィールドの塔に分解することができます。 頑丈な構造を持つ複素数は、素因数が2と3の次数を持ち、各拡張が2または3の次数を持つフィールドタワーの最上部にあるフィールド拡張にあります。
固体構造
既に構築されたフォーカス、ダイレクトリックス、偏心を持つ円錐を描くことができる直線状、コンパス、および（場合によっては仮想の）円錐形描画ツールを使用して、点を構成することができれば、 同じセットのポイントは、しばしば、より小さいツールセットを使用して構築することができます。 例えば、コンパス、ストレートエッジ、点（0,0）と（1,0）と一緒に放物線y = x2を持つ紙を使用すると、固体構成を持つ任意の複素数を構成することができます。 同様に、既に構築された焦点や長軸（2つのピンと1つの文字列と考える）を持つ任意の楕円を描くことができるツールも同様に強力です。
古代ギリシャ人は、立方体を倍にして任意の角度を三等分することは、両方とも堅実な構造であることを知っていました。 アルキメデスは、通常の7ガンの頑丈な構造を与えました。 円の直方体は頑丈な構造をしていません。
正規のn-gonは、n = 2j3kmの場合にのみ頑丈な構造を持ちます。ここで、mは別々のPierpont素数（2r3s + 1の素数）の積です。 そのようなnの集合は、
配列番号7、9、13、14、18、19、21、26、27、28、35、36、37、38、 （OEIS中の配列A051913）、配列番号73,74,76,78,81,84,90,91,95,97 …
正規nゴンがソリッド構造を持たないnの集合は、
配列番号11、配列番号22、配列番号23、配列番号25、配列番号29、配列番号33、 （OEIS中の配列A048136）配列番号77,79,79,82,83,86,87,88,89,92,93,94,98,99,100 …
フェルマーの素数の問題と同様に、無数のピアポント素数が存在するかどうかに関する未解決の問題です。
角度三等分
ストレートエッジとコンパスと一緒に、任意の角度を三角化できるツールがあればどうでしょうか？ このような構造は頑丈な構造ですが、そのようなツールを使用して構築することができない頑丈な構造の数値が存在します。 たとえば、このようなツールでキューブを倍にすることはできません。 一方、そのようなツールを使用して、頑丈な構造を持つすべての通常のn-gonを構築することができます。
折り紙
折り紙の数学的な理論は、コンパスと直線的な構造よりも強力です。 藤田 – 羽鳥の公理を満たす折り畳みは、コンパスと円錐形の描画ツールを使用して拡張構造とまったく同じ点集合を構築できます。 したがって、折り紙は、3次方程式（したがって、4次方程式）を解くためにも使用でき、古典的な問題の2つを解くことができます。
マーク可能なルーラー
主な記事：Neusis建設
アルキメデス、ニコメデス、アポロニウスは、マーク可能な定規の使用を含む建築を行った。 これは、たとえば、線分、2つの線（または円）、および点を取ることを許可します。 与えられた点を通り、3本の線と交差する線を引いて、交点間の距離が所与の線分と等しくなるようにする。 これはギリシア人がニューシス（「傾き」、「傾向」、または「つぶれ」）と呼ばれていました。 この拡張されたスキームでは、任意の角度（アルキメデスの三角形を参照）を切り取るか、任意の立方根を抽出することができます（ニコメデスのため）。 したがって、既存距離に対する比が3次方程式または4次方程式の解である任意の距離が構築可能である。 ヘプタゴンのような頑丈な構造の通常のポリゴンは構築可能です。 ジョンH.コンウェイとリチャードK.ガイは、それらのいくつかのための構造を与える;
ノイジー構造は、立体構造を持たない複素数を構築することができるため、円錐描画ツールよりも強力です。 実際、このツールを使って、ラジカルを使って解決できないいくつかの5つの問題を解決することができます。 ニューシス構造を用いて7以上の既約多項式を解くことができないことが知られているので、このツールを使用して正規の23ゲンまたは29ゲンを構築することは不可能である。 BenjaminとSnyderは、通常の11-gonを構築することは可能だが、構造を与えなかったことを証明した。 このツールを使用して標準的な25ゲンか31ゲンが構築可能かどうかは未だに明らかです。
バイナリ数字の計算
1998年にSimon Plouffeは、ある数の2進数を計算するために使用できるルーラーとコンパスのアルゴリズムを与えました。 このアルゴリズムは、角度の繰り返し倍増を伴い、約20の2進数の後で物理的に非実用的になる。