尺规作图（Compass-and-straightedge construction），也称为标尺和圆规作图或古典作图，是仅使用理想化的标尺和圆规来构造长度，角度和其他几何图形。
理想化的圆规，被称为直尺，被认为是无限的长度，没有标记只有一个边缘。 当从页面提起时，圆规被假定为“折叠”，因此可能不能直接用于传送距离。 （这是一个不重要的限制，因为使用多步骤程序，即使是折叠圆规也可以传输距离;参见圆规等价定理）。更正式地说，唯一允许的构造是欧几里德前三个假设所允许的构造。
事实证明，使用直尺和圆规可构建的每个点也可以单独使用圆规构建。
古希腊数学家首先构思了圆规和直尺的构造，并且平面几何中的一些古代问题强加了这种限制。 古希腊人开发了许多建筑物，但在某些情况下却无法这样做。 高斯表明，一些多边形是可构建的，但大多数不是。 1837年皮埃尔旺泽尔使用田野数学理论证明了一些最着名的直尺和圆规问题是不可能的。
尽管存在不可能性的证据，但仍有人坚持尝试解决这些问题。 如果允许进行其他几何变换，则可以很容易地解决这些问题：例如，使用几何构造可以使立方体加倍，但不能单独使用直尺和圆规。
就代数而言，当且仅当它表示一个可构造数字时，长度才是可构造的，并且当且仅当其余弦是可构造数字时，角度才是可构造的。 一个数是可构造的，当且仅当它可以使用四个基本算术运算和提取平方根而不是更高阶根来编写。
圆规和直尺工具
尺规作图的“圆规”和“直尺”是现实世界中的圆规和圆规的理想化形式：
圆规可以任意打开，但（不像一些真正的圆规）它没有标记。 只能从两个给定点开始绘制圆：中心和圆上的一个点。 不绘制圆时，圆规可能会或可能不会折叠。
直尺无限长，但它没有标记，只有一个直边，不像普通的圆规。 它只能用于绘制两点之间的线段或扩展现有的线段。
现代圆规通常不会崩溃，并且一些现代建筑使用此功能。 看起来，现代圆规是一种比“古代倒塌圆规”更“强大”的工具。 然而，根据欧几里得元素第一部分的命题2，使用折叠式圆规不会失去动力。 虽然这个命题是正确的，但它的证明有一个漫长而复杂的历史。
每个建筑必须是精确的。 “眼球”（基本上看构造和猜测它的准确性，或者使用某种形式的度量，比如尺子上的度量单位）并且靠近不算解决方案。
每个建筑必须终止。 也就是说，它必须具有有限数量的步骤，而不是越来越近似的限制。
这样说，尺规作图似乎是游戏室游戏，而不是严重的实际问题; 但限制的目的是确保结构可以被证明是完全正确的。
历史
古希腊数学家首先尝试了圆规和直尺的构造，并且他们发现了如何构造给定长度的总和，差异，产品，比率和平方根。 1他们也可以构造给定角度的一半，其面积是另一个正方形的两倍的正方形，具有与给定多边形相同面积的正方形以及具有3,4或5个边的正多边形：p。 xi（或者是一个给定多边形边数的两倍：第49-50页）。 但是，除特殊情况外，它们不能构造给定角度的三分之一，或与给定圆形具有相同面积的正方形，或具有其他数量的边的正多边形。：p。 xi也不能构造立方体的边，其体积将是给定边的立方体体积的两倍。
Hippocrates和Menaechmus表明，通过找到双曲线和抛物线的交点可以使立方体的面积增加一倍，但是这些不能通过圆规和直尺来构造。在公元前5世纪，Hippias使用了一条曲线，他称它为一个四分体三分之一公元前二世纪的尼科梅斯展示了如何使用一个贝壳来划分任意角度：但是这些方法也不能仅仅遵循圆规和直尺。
两千年来，未解决的问题没有取得任何进展，直到1796年高斯表明可以构建具有17个边的正多边形; 五年后，他展示了n边正多边形的可充分标准。 51 ff。
在1837年，皮埃尔·旺泽尔发表了一个证明，即不可能建立一个立方体根长度的三角形的任意角度或加倍立方体的体积。 他还表明，高斯对正多边形的充分建造性条件也是必要的。
然后在1882年，林德曼证明
基本的结构
所有尺规作图都是使用已经构建的点，线和圆重复应用五种基本结构。 这些是：
通过两个现有点创建线
通过一个点以另一个点为中心创建圆
创建两个现有的非平行线的交点
在直线和圆的交点创建一个或两个点（如果它们相交）
在两个圆的相交处创建一个或两个点（如果它们相交）。
例如，从两个不同的点开始，我们可以创建一个线或两个圆中的任意一个（反过来，使用每个点作为中心并通过另一个点）。 如果我们绘制两个圆形，则在它们的交点处创建两个新点。 两个原始点之间的绘制线和这些新点之一完成了等边三角形的构建。
因此，在任何几何问题中，我们都有一组初始符号（点和线），算法和一些结果。 从这个角度来看，几何等同于一个公理代数，用符号代替它的元素。 高斯可能首先意识到这一点，并用它来证明某些结构的不可能性; 希尔伯特很晚才找到了一套完整的几何公理。
很多使用圆规和直尺结构
最常用的尺规作图包括：
从段构造垂直平分线
寻找细分的中点。
从点到线绘制垂直线。
平分一个角度
镜像一行中的一个点
通过与圆相切的点构造直线
通过3个非共线点构造一个圆
可构建的点和长度
正式证明
有很多不同的方法可以证明某些事情是不可能的。 更严格的证明是划定可能的极限，并表明为了解决这些问题，必须超越这个限制。 拦截理论涵盖了大部分可以构建的内容。
我们可以使用由两条直线组成的笛卡尔坐标系将代数与我们的几何相关联，并用矢量表示我们的平面的点。 最后，我们可以将这些向量写成复数。
使用线和圆的方程，可以表明它们相交的点位于最小场F的二次延伸中，该最小场包含线上的两个点，圆的中心和圆的半径。 也就是说，它们的形式是x +y√k，其中x，y和k在F.
由于可构造点的场在平方根下是闭合的，因此它包含了可以通过具有有理系数的复数场的二次扩展的有限序列获得的所有点。 通过上面的段落，可以证明任何可构造的点都可以通过这样的一系列扩展来获得。 作为推论，人们发现可构造点（以及任何可构造长度）的最小多项式的次数是2的幂次。特别是，任何可构造的点（或长度）都是代数数，但不是每个代数都是可以构造的; 例如，3√2是代数的，但不可构造。
可构建的角度
在可构建的角度和可构建于任何可构造圆上的点之间存在双射。 可以构造的角度形成一个阿贝尔群在2π模上相加（这对应于单位圆上的点乘以复数）。 可构造的角度正切那些正切（或等价地，正弦或余弦）可构造为数字的角度。 例如，正十七边形（十七边正多边形）是可以构造的，因为
正如高斯发现的那样。
在可以将角度减半的操作下（这对应于复数中的平方根）闭合可构造角度组。 从两点开始构造的有限阶的唯一角度是那些阶数为2的幂或2的幂与一组不同的费马素数的积。 另外还有一组密集的无限阶构造。
尺规作图作为复杂的算术
给定欧几里德平面上的一组点，选择它们中的任何一个称为0，另一个称为1，连同任意的方向选择使我们可以将这些点视为一组复数。
给定一组点作为复数的任何这样的解释，使用有效的圆规和直尺构造单独构建的点恰好是包含原始点集并且在复共轭和平方根操作下关闭的最小场的元素（以避免模棱两可，我们可以指定复数参数小于π的平方根）。 这个域的元素恰恰是那些可以用原始点中的公式表示的加法，减法，乘法，除法，复共轭和平方根的操作，它们很容易被看作是一个可数密集子集飞机。 这六个操作中的每一个对应于简单的尺规作图。 根据这样的公式，通过组合每个算术运算的结构来产生相应点的构造是直接的。 一组特定点的更高效构造对应于这种计算中的快捷方式。
等同地（并且不需要任意选择两个点），我们可以说，在给定任意方位选择的情况下，一组点可以确定由任意两对点之间的差异比率给出的一组复杂比率。 使用圆规和直尺从这样一组比率构造的比率集恰好是包含原始比率的最小场，并且在采用复共轭和平方根的情况下是封闭的。
例如，一个点或比率z的实部，虚部和模数（取上述两个视角之一）是可构造的，因为它们可以表示为
将立方体加倍并且角度的三等分（除了特殊角度，例如任何φ，使得φ/2π是分母不能被3整除的有理数）要求比率是三次方程的解，而平方圆需要超越比。 这些都不在所述的领域，因此不存在针对这些领域的圆规和直尺构造。
不可能的结构
古希腊人认为他们无法解决的建筑问题只是顽固不化，并非无法解决。 然而，用现代的方法，这些尺规作图已被证明在逻辑上不可能执行。 （然而，问题本身是可以解决的，而希腊人知道如何解决这些问题，而没有仅用直尺和圆规工作的限制。）
平方圆
这些问题中最着名的一个问题是，平方圆（也称为圆的正交）包括使用直尺和圆规构建与给定圆相同面积的正方形。
平方圆被证明是不可能的，因为它涉及产生一个超越数，也就是√π。 只能用圆规和圆规单独构建某些代数数字，也就是由整数构成的代数数字，其加法，减法，乘法，除法和取平方根的操作有限序列。 出于这个原因，“平方圆”这个词经常被用来表示“做不可能”。
如果不需要圆规和圆规要求的解决方案，这个问题很容易用多种几何和代数方法解决，并且在古代被很多次解决。
使用开普勒三角形可以实现非常接近于“圆的正交”的方法。
加倍立方体
主要文章：加倍立方体
将立方体加倍是仅使用直边和圆规的立方体边缘的结构，该立方体具有给定边的立方体体积的两倍。 这是不可能的，因为2的立方根虽然是代数，不能通过加，减，乘，除以及取平方根从整数计算。 这是因为它的极小多项式超过了3级。这种结构可以使用带有两个标记的直尺和一个圆规。
角度三等分
主要文章：角度三分法
角度三等分是仅使用直尺和圆规的结构，其角度是给定任意角度的三分之一。 在一般情况下这是不可能的。 例如，尽管π/ 3弧度（60°）的角度不能被分割，但角度2π/ 5弧度（72°= 360°/ 5）可以被分割。 当允许有两个标记的直尺时（neusis结构），一般三等分问题也很容易解决。
构造正多边形
一些规则的多边形（例如五角形）很容易用直尺和圆规构造; 其他人不是。 这导致了一个问题：是否有可能用直尺和圆规构造所有正多边形？
卡尔弗里德里希高斯在1796年表明，可以构造一个规则的17边多边形，五年后，如果n的奇素因子是不同的费马素数，则可以用直尺和圆规构造一个规则的n边多边形。 高斯猜测这种情况也是必要的，但他没有提供这个事实的证据，这是皮埃尔旺特泽尔在1837年提供的。
前几个可构造的正多边形具有以下数量的边：
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,51,60,64,68， 120,128,136,160,170,192,204,240,255,256,257,272 …（OEIS中的序列A003401）
已知存在无限可构造的正多边形，其具有偶数个边（因为如果常规n-gon是可构造的，则常规2n-gon也是如此，因此常规4n-gon，8n-gon等等）。 ）。 然而，只有31个已知的可构造的常规n-gons具有奇数的边。
从三个给定的特征点或长度构造一个三角形
一个三角形的16个关键点是它的顶点，它的边的中点，它的高度的脚，它的内角平分线的脚，以及它的外心，质心，正中心和香。 这些可以一次取三个，从三个点构建一个三角形，产生139个不同的非平凡问题。 在这些问题中，三个涉及一个可以由另外两个点独特构建的点; 23可以是非唯一构建的（实际上对于无限多的解决方案），但只有在点的位置服从某些限制的情况下才是如此。 在74中，问题在一般情况下是可以构建的; 并且在39中存在所需的三角形但不可构造。
三角形的十二个关键长度是三个边长，三个高度，三个中间值和三个角平分线。 与三个角度一起，这些给出了95个不同的组合，其中63个产生了一个可构造的三角形，其中30个不是，其中两个是未定义的。 201-203
到椭圆的距离
可以构造从平面中任意点到圆上最近点的线段，但是从平面中任何点到正偏心椭圆上最近点的线段一般不能构造。
只用圆规或仅圆规来构建
根据Mohr-Mascheroni定理，如果可以使用标尺和圆规构造任何圆规，只要给定的数据和要发现的数据由离散点组成（不是直线或圆圈） ）。 应该指出的是，这个定理的真实性取决于阿基米德公理的真实性，这个公理本质上不是一阶的。 用圆规取平方根是不可能的，因此有些不能用圆规构建的东西可以用圆规来构建; 但是（由Poncelet-Steiner定理）给出一个单一的圆和中心，它们可以被构造。
扩展的结构
古希腊人把建筑分为三大类，这取决于他们解决方案所需工具的复杂程度。 如果一个建筑只使用直尺和圆规，那就称为平面; 如果它还需要一个或多个圆锥形截面（圆圈除外），则称其为固体; 第三类包括所有不属于其他两类的建筑。 这种分类与我们现代的代数观点很好地吻合。 一个复数只能用场操作和平方根（如上所述）表示，具有平面结构。 一个复杂的数字，包括立方体根的提取具有坚实的结构。
用田地语言来说，一个平面的复数是2的幂，并且位于一个可以分解成每个扩展具有二度的田地的塔的田地延伸中。 具有坚实结构的复数具有只有两个和三个主要因子的程度，并且位于在每个延伸具有程度2或3的一个塔的顶部的场延伸。
坚实的结构
如果一个点可以使用直尺，圆规和（可能是假设的）圆锥形绘图工具来构建，该绘图工具可以绘制具有已构建的焦点，准线和偏心的任何圆锥曲线，则该点具有坚固的构造。 通常可以使用一组较小的工具来构建同一组点。 例如，使用一个圆规，直尺和一张纸，其上有抛物线y = x2连同点（0,0）和（1,0），可以构造任何具有坚固结构的复数。 同样，一个可以绘制任何椭圆的工具，已经构建了焦点和长轴（想象两个针和一个字符串）也同样强大。
古希腊人知道，将立方体加倍并以任意角度分割都具有坚实的构造。 阿基米德给了定期7角的坚实建设。 圆的正交不具有坚实的结构。
当且仅当n = 2j3km，其中m是不同Pierpont素数（形式2r3s + 1的素数）的乘积时，常规n-gon具有坚实的构造。 这种n的集合就是序列
7，9，13，14，18，19，21，26，27，28，35，36，37，38，39，42,45,52,54,56,57,63,65,70,72， 73，74,76,78,81,84,90,91,95,97 …（OEIS中的序列A051913）
常规n-gon没有坚固结构的n的集合就是序列
11号，第22号，第23号，第25,29,31,33,41,43,44,46,47,49,50,53,55,58,59,61,62,66,67,69,71,75， 77，79,82,83,86,87,88,89,92,93,94,98,99,100 …（OEIS中的序列A048136）
就像费马素数的问题一样，这是一个悬而未决的问题，是否有无数的皮尔蓬质数。
角度三等分
如果与直尺和圆规一起，我们有一个工具可以（仅）对任意角度进行三等分？ 这样的结构是坚实的结构，但是存在具有坚固结构的数字，不能用这种工具构造。 例如，我们不能用这样的工具加倍立方体。 另一方面，可以使用这种工具来构建每个具有坚固结构的常规n-gon。
折纸
折纸的数学理论比圆规和直尺的构造更加强大。 满足Huzita-Hatori公理的折叠可以使用圆规和圆锥曲线绘制工具构建与扩展构造完全相同的一组点。 因此，折纸也可以用于求解三次方程（因此也可以用于四次方程），从而解决两个经典问题。
可标记的圆规
主要文章：Neusis建筑
阿基米德，尼科梅斯和阿波罗尼奥斯给建筑物使用了一个可标记的圆规。 例如，这将允许他们采用线段，两条线（或圆圈）和一个点; 然后绘制一条穿过给定点并与三条线相交的线，并使得相交点之间的距离等于给定线段。 这就是希腊人称为neusis（“倾向”，“趋势”或“趋近”），因为新的趋势就是这一点。 在这个扩展的方案中，我们可以对任意角度进行三等分（参见阿基米德三等分）或提取任意立方根（由于Nicomedes）。 因此，与现有距离的比率是立方或四次方程的解的任何距离都是可以构造的。 具有固体结构的规则多边形，如七边形，是可构造的; John H. Conway和Richard K. Guy为其中几个人提供了建筑物。
因为人们可以构造复杂的数字，而且没有坚实的结构，所以neusis结构比圆锥形的绘图工具更加强大。 事实上，使用这个工具可以解决一些使用自由基无法解决的quintics。 众所周知，用neusis构造不能求解一个大于或等于7的不可约多项式，所以使用这个工具不可能构造一个规则的23-gon或29-gon。 本杰明和斯奈德证明，有可能建造正规的11角，但没有施工。 关于是否可以使用这个工具来构建一个25Gon或31Gon的版本，它仍然是开放的。
计算二进制数字
1998年，Simon Plouffe给出了一个圆规和圆规算法，可用于计算某些数字的二进制数字。 该算法涉及角度的重复加倍，并且在大约20个二进制数字之后变得物理上不切实际。