Tessellation

Une tessellation d’une surface plane est le pavage d’un plan utilisant une ou plusieurs formes géométriques, appelées carreaux, sans chevauchements et sans espaces. En mathématiques, les tessellations peuvent être généralisées à des dimensions plus élevées et à une variété de géométries.

Comparaison du rapport surface-périmètre entre triangle équilatéral, carré et hexagone régulier. L’hex divise l’avion avec le périmètre minimum utilisé pour la partie de surface couverte. En géométrie plane, on parle de gradation (parfois inclinaison ou revêtement de sol) des moyens de recouvrir l’avion d’une ou plusieurs figures géométriques répétées à l’infini sans se chevaucher.

Ces figures géométriques (appelées « chevilles ») sont souvent des polygones, réguliers ou non, mais peuvent aussi avoir des côtés courbes ou ne pas avoir de sommet. La seule condition qui se présente habituellement est qu’ils sont connectés, plutôt simplement connectés (c’est-à-dire, ils sont une seule pièce et n’ont pas de trous).

Bien que cette condition puisse sembler très restrictive, elle est respectée par pratiquement tous les revêtements de sol que vous pourriez penser. La raison pour laquelle il est utile est qu’il permet de comparer des tonnes d’apparence différentes les unes aux autres.

Le modèle de parallélogramme de base n’est cependant pas le moyen le plus complet de classer les écritures régulières; connaître les mesures de ses angles et côtés ne permet pas de certifier avec certitude les caractéristiques géométriques de notre gradation: il peut arriver qu’il y ait une plus petite portion du parallélogramme (plus précisément, une proportion du parallélogramme) avec laquelle il est possible reconstruire toute la décoration (non plus avec la seule traduction, mais en utilisant aussi d’autres isométries).

Un pavage périodique a un motif répétitif. Certains types spéciaux incluent des pavages réguliers avec des carreaux polygonaux réguliers de la même forme, et des pavages semiréguliers avec des carreaux réguliers de plus d’une forme et avec tous les coins disposés de manière identique. Les motifs formés par des pavages périodiques peuvent être classés en 17 groupes de papier peint. Un pavage qui n’a pas de motif répétitif est appelé « non périodique ». Un pavage apériodique utilise un petit ensemble de formes de carreaux qui ne peuvent pas former un motif répétitif. Dans la géométrie des dimensions supérieures, un espace-remplissage ou nid d’abeilles est également appelé une tessellation de l’espace.

Un pavement ou une chaussée est une partition d’un espace (habituellement un espace euclidien comme le plan ou l’espace tridimensionnel) par des éléments d’un ensemble fini, appelés carreaux (plus précisément, ils sont des compacts intérieurs non vides). Généralement, on considère les pavages par translations, c’est-à-dire que deux mêmes pavés sont toujours déductibles les uns des autres par une translation (hors rotations ou symétries). Il y a aussi des tessellations d’espaces non-euclidiens, le plus célèbre étant sans doute les nombreux trottoirs de M.C. Escher (tessellations uniformes du plan hyperbolique (en)).

Une véritable tessellation physique est une mosaïque faite de matériaux tels que des carrés de céramique cimentés ou des hexagones. De tels pavages peuvent être des motifs décoratifs, ou peuvent avoir des fonctions telles que la fourniture de revêtement de chaussée, de revêtement de sol ou de mur durable et résistant à l’eau. Historiquement, les tessellations ont été utilisées dans la Rome antique et dans l’art islamique, comme dans le carrelage géométrique décoratif du palais de l’Alhambra. Au XXe siècle, les travaux de M. Escher utilisaient souvent des pavages, tant dans la géométrie euclidienne ordinaire que dans la géométrie hyperbolique, pour obtenir un effet artistique. Les tessellations sont parfois employées pour un effet décoratif en quilting. Les tessellations forment une classe de motifs dans la nature, par exemple dans les réseaux de cellules hexagonales trouvées dans les nids d’abeilles.

Les sumériens furent utilisés par les Sumériens (environ 4000 av. J.-C.) pour construire des décorations murales formées par des motifs de carreaux d’argile.

Les pavages en mosaïque décorative faits de petits blocs carrés appelés tesselles étaient largement utilisés dans l’Antiquité classique, présentant parfois des motifs géométriques.

En 1619 Johannes Kepler a fait une étude documentée au début des tessellations. Il a écrit au sujet des tessellations régulières et semirégulaires dans ses Harmonices Mundi; il était probablement le premier à explorer et à expliquer les structures hexagonales de nids d’abeilles et de flocons de neige.

Quelque deux cents ans plus tard, en 1891, le cristallographe russe Yevgraf Fyodorov prouva que chaque pavage périodique de l’avion comporte l’un des dix-sept groupes d’isométries différents. Le travail de Fiodorov marqua le début non officiel de l’étude mathématique des tessellations. Shubnikov et Belov (1964), ainsi que Heinrich Heesch et Otto Kienzle (1963) sont d’autres contributeurs importants.

En latin, tessella est une petite pièce cubique d’argile, de pierre ou de verre utilisée pour faire des mosaïques. Le mot « tesselle » signifie « petit carré » (de tessera, carré, qui à son tour est du mot grec τέσσερα pour quatre). Il correspond au terme quotidien de carrelage, qui se réfère à des applications de pavage, souvent en argile émaillée.

La tessellation ou le pavage en deux dimensions est un sujet en géométrie qui étudie comment des formes, appelées carreaux, peuvent être arrangées pour remplir un plan sans aucun espace, selon un ensemble de règles donné. Ces règles peuvent être variées. Les plus communs sont qu’il ne doit pas y avoir d’espace entre les tuiles, et qu’aucun coin d’une tuile ne peut se situer le long du bord d’une autre. Les tessellations créées par la brique collée n’obéissent pas à cette règle. Parmi ceux qui le font, une tessellation régulière a à la fois des carreaux réguliers identiques et des coins ou sommets réguliers identiques, ayant le même angle entre les bords adjacents pour chaque carreau. Il n’y a que trois formes qui peuvent former de telles tessellations régulières: le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier. Chacune de ces trois formes peut être dupliquée à l’infini pour remplir un plan sans lacunes.

De nombreux autres types de pavage sont possibles sous différentes contraintes. Par exemple, il existe huit types de pavages semi-réguliers, faits de plusieurs polygones réguliers mais ayant toujours la même disposition de polygones à chaque coin. Des tessellations irrégulières peuvent également être faites à partir d’autres formes telles que des pentagones, des polyominos et en fait presque n’importe quelle sorte de forme géométrique. L’artiste M. C. Escher est célèbre pour faire des tessellations avec des carreaux irréguliers imbriqués, en forme d’animaux et d’autres objets naturels. Si des couleurs contrastantes appropriées sont choisies pour les carreaux de forme différente, des motifs frappants sont formés, et ceux-ci peuvent être utilisés pour décorer des surfaces physiques telles que des sols d’église.

Plus formellement, une mosaïque est une couverture du plan euclidien par un nombre dénombrable d’ensembles fermés, appelés carreaux, de telle sorte que les carreaux ne se coupent que sur leurs limites. Ces tuiles peuvent être des polygones ou toute autre forme. De nombreuses tessellations sont formées à partir d’un nombre fini de prototiles dans lesquels toutes les tuiles de la tessellation sont congruentes aux prototiles donnés. Si une forme géométrique peut être utilisée comme prototile pour créer une tessellation, on dit que la forme est en mosaïque ou en mosaïque. Le critère de Conway est un ensemble de règles suffisant mais non nécessaire pour décider si une forme donnée affecte périodiquement le plan sans reflets: certaines tuiles échouent au critère mais tuent encore le plan. Aucune règle générale n’a été trouvée pour déterminer si une forme donnée peut recouvrir le plan ou non, ce qui signifie qu’il existe de nombreux problèmes non résolus concernant les pavages.

les dessins minimaux respectifs ont la même forme
les transformations qui doivent être appliquées aux conceptions minimales pour obtenir chacune des deux chevilles sont les mêmes
Par exemple, dans l’image sur le côté, nous voyons un point avec son parallélogramme de base (un carré) et son dessin minimal (un rectangle triangulaire). Le pointage peut être obtenu en traduisant le carré, mais aussi en traduisant et en réfléchissant le seul rectangle du triangle. Au lieu de cela, il n’y a pas de plus petite partie du triangle avec laquelle tout le gland peut être recréé.

Il est prouvé que les classes de doublage régulières sont exactement 17. Pour cataloguer tout doublage, il suffit de connaître les transformations nécessaires pour le générer à partir de la conception minimale, comme indiqué dans le tableau suivant:

Dotting dans l’art figuratif, abstrait et l’architecture a toujours été une façon de combiner l’esthétique,

Mathématiquement, les tessellations peuvent être étendues à des espaces autres que le plan euclidien. Le géomètre suisse Ludwig Schläfli en est le pionnier en définissant des polyschèmes, que les mathématiciens appellent aujourd’hui des polytopes. Ce sont les analogues des polygones et des polyèdres dans les espaces ayant plus de dimensions. Il a ensuite défini la notation des symboles de Schläfli pour faciliter la description des polytopes. Par exemple, le symbole de Schläfli pour un triangle équilatéral est {3}, tandis que pour un carré est {4}. La notation Schläfli permet de décrire des pavages de manière compacte. Par exemple, un pavage d’hexagones réguliers a trois polygones à six côtés à chaque sommet, de sorte que son symbole Schläfli est {6,3}.

D’autres méthodes existent également pour décrire les pavages polygonaux. Lorsque la tessellation est faite de polygones réguliers, la notation la plus courante est la configuration des sommets, qui est simplement une liste du nombre de côtés des polygones autour d’un sommet. Le pavé carré a une configuration de sommet de 4.4.4.4, ou 44. Le pavage des hexagones réguliers est noté 6.6.6, ou 6.

En mathématiques:
Les mathématiciens utilisent certains termes techniques lorsqu’ils discutent des pavages. Un bord est l’intersection entre deux tuiles limitrophes; c’est souvent une ligne droite. Un sommet est le point d’intersection de trois tuiles adjacentes ou plus. En utilisant ces termes, un pavage isogonal ou vertex-transitif est un pavage où chaque point de sommet est identique; c’est-à-dire que l’arrangement des polygones autour de chaque sommet est le même. La région fondamentale est une forme telle qu’un rectangle qui est répété pour former la tessellation. Par exemple, une tessellation régulière de l’avion avec des carrés a une réunion de quatre carrés à chaque sommet.

Les côtés des polygones ne sont pas nécessairement identiques aux bords des tuiles. Un pavage bord à bord est une tessellation polygonale dans laquelle des pavés adjacents ne partagent qu’un côté plein, c’est-à-dire qu’aucun pavé ne partage un côté partiel ou plus d’un côté avec une autre pavé. Dans un pavage bord à bord, les côtés des polygones et les bords des carreaux sont les mêmes. Le carrelage familier «mur de briques» n’est pas bord à bord car le côté long de chaque brique rectangulaire est partagé avec deux briques de bordure.

Un pavage normal est une tessellation pour laquelle chaque pavé est topologiquement équivalent à un disque, l’intersection de deux pavés quelconques est un seul ensemble connecté ou l’ensemble vide, et toutes les pavés sont uniformément bornés. Cela signifie qu’un seul rayon de circonscrip- tion et un seul rayon d’inscription peuvent être utilisés pour toutes les mosaïques de la mosaïque entière; la condition interdit les carreaux qui sont pathologiquement longs ou minces.

Un carrelage monohédrique est une tessellation dans laquelle toutes les mosaïques sont congruentes; il a seulement un prototile. Un type de pavage monohédral particulièrement intéressant est le pavage monohédrique en spirale. Le premier carrelage monohédrique en spirale a été découvert par Heinz Voderberg en 1936; le carrelage de Voderberg a une tuile unité qui est un enneagon non convexe. Le pavage de Hirschhorn, publié par Michael D. Hirschhorn et DC Hunt en 1985, est un pentagone utilisant des pentagones irréguliers: les pentagones réguliers ne peuvent pas former le plan euclidien car l’angle interne d’un pentagone régulier, 3π / 5, n’est pas un diviseur de 2π .

Un pavage isohédrique est une variante spéciale d’un pavage monohédral dans lequel toutes les pavés appartiennent à la même classe de transitivité, c’est-à-dire que toutes les pavés sont des transformées du même prototile sous le groupe de symétrie du pavage. Si un prototile admet un pavage, mais qu’un tel pavage est isohédrique, alors le prototile est appelé anisoédrique et forme des pavages anisoédriques.

Une tessellation régulière est un pavage bord à bord très symétrique composé de polygones réguliers, tous de la même forme. Il n’y a que trois tessellations régulières: celles composées de triangles équilatéraux, de carrés ou d’hexagones réguliers. Tous ces trois pavages sont isogonaux et monohédriques.

Certains des pavages apériodiques le sont moins que d’autres … en d’autres termes, le degré d’apériodicité peut être quantifié.

De cette manière, nous pouvons citer, par exemple, les notions de récurrence et de récurrence uniforme (ou quasipériodicité).

Un pavage est dit récurrent si, quand un motif (jeu fini de carreaux) apparaît une fois, il apparaît dans une zone suffisamment grande. Si, de plus, on peut fixer la taille de cette zone en fonction de la taille du motif, alors le pavage est dit uniformément récurrent (ou quasipériodique).

Ainsi, un pavage uniformément récurrent du plan est tel que si l’on considère tout motif apparaissant dans un cercle de rayon r tracé sur le pavage, alors il existe un nombre R tel que l’on peut être sûr que ce motif réapparaît dans n tout cercle de rayon R tracé sur le trottoir.

En particulier, les pavages périodiques sont uniformément récurrents (a fortiori récurrents). C’est également le cas avec le pavage Penrose. En fait, on peut montrer que si un ensemble de carreaux ouvre le plan, alors il peut aussi le paver d’une manière uniformément récurrente (la preuve est basée sur un argument diagonal).

Une tessellation semi-régulière (ou archimédienne) utilise plus d’un type de polygone régulier dans un arrangement isogonal. Il y a huit pavages semi-réguliers (ou neuf si la paire de pavages miroir-image compte pour deux). Ceux-ci peuvent être décrits par leur configuration de sommet; par exemple, un pavage semi-régulier utilisant des carrés et des octogones réguliers a la configuration de sommet 4.82 (chaque sommet a un carré et deux octogones). Beaucoup de pavages non-bord à bord du plan euclidien sont possibles, y compris la famille des pavages de Pythagore, les pavages utilisant deux tailles (paramétrées) de carré, chaque carré touchant quatre carrés de l’autre. Une tessellation de bord est une tessellation dans laquelle chaque dalle peut être réfléchie sur un bord pour prendre la position d’une dalle voisine, comme dans un réseau de triangles équilatéraux ou isocèles.

Les pavages avec symétrie translationnelle dans deux directions indépendantes peuvent être classés par groupes de papier peint, dont 17 existent. Il a été affirmé que tous les dix-sept de ces groupes sont représentés dans le palais de l’Alhambra à Grenade, en Espagne. Bien que cela soit contesté, la variété et la sophistication des pavages de l’Alhambra ont surpris les chercheurs modernes. Parmi les trois pavages réguliers, deux sont dans le groupe de papier peint p6m et un est dans p4m. Les pavages en 2D avec une symétrie translationnelle dans une seule direction peuvent être classés par les sept groupes de frises décrivant les modèles de frise possibles. La notation Orbifold peut être utilisée pour décrire les groupes de papier peint du plan euclidien.

Les pavages Penrose, qui utilisent deux quadrilatères différents, sont l’exemple le plus connu de carreaux qui créent de force des motifs non périodiques. Ils appartiennent à une classe générale de pavages apériodiques, qui utilisent des carreaux qui ne peuvent pas se paver périodiquement. Le procédé récursif de pavage de substitution est une méthode de génération de pavages apériodiques. Une classe qui peut être générée de cette manière est la rep-tiles; ces pavages ont des propriétés autoréplicatives surprenantes. Les pavages de moulin à vent sont non périodiques, en utilisant une construction de rep-carreaux; les carreaux apparaissent dans une infinité d’orientations. On pourrait penser qu’un modèle non périodique serait entièrement sans symétrie, mais ce n’est pas le cas. Les pavages apériodiques, bien que dépourvus de symétrie translationnelle, ont des symétries d’autres types, par la répétition infinie de toute pièce bornée du pavage et dans certains groupes finis de rotations ou de réflexions de ces pavés. Une règle de substitution, telle qu’elle peut être utilisée pour générer des motifs de Penrose en utilisant des assemblages de carreaux appelés losanges, illustre la symétrie d’échelle. Un mot de Fibonacci peut être utilisé pour construire un pavage apériodique, et pour étudier des quasi-cristaux, qui sont des structures à ordre apériodique.

Les carreaux Wang sont des carrés colorés sur chaque bord et placés de sorte que les bords adjacents des carreaux adjacents aient la même couleur; par conséquent, ils sont parfois appelés Wang dominos. Un ensemble approprié de dominos de Wang peut carreler l’avion, mais seulement apériodiquement. Ceci est connu parce que n’importe quelle machine de Turing peut être représentée comme un ensemble de dominos de Wang qui tuent le plan si et seulement si la machine de Turing ne s’arrête pas. Puisque le problème d’arrêt est indécidable, le problème de décider si un ensemble domino de Wang peut carreler l’avion est également indécidable.

Les carreaux de Truchet sont des carreaux carrés décorés avec des motifs de sorte qu’ils n’ont pas de symétrie de rotation; En 1704, Sébastien Truchet utilise un carreau carré divisé en deux triangles de couleurs contrastées. Ceux-ci peuvent carreler l’avion soit périodiquement ou au hasard.

Parfois, la couleur d’une tuile est comprise comme faisant partie du carrelage; à d’autres moments, des couleurs arbitraires peuvent être appliquées plus tard. Lorsque vous discutez d’une mosaïque qui est affichée en couleurs, pour éviter toute ambiguïté, vous devez spécifier si les couleurs font partie du pavage ou seulement une partie de son illustration. Cela affecte si les tuiles ayant la même forme mais des couleurs différentes sont considérées identiques, ce qui affecte à son tour les questions de symétrie. Le théorème des quatre couleurs stipule que pour chaque tessellation d’un plan euclidien normal, avec un ensemble de quatre couleurs disponibles, chaque mosaïque peut être colorée en une couleur de sorte qu’aucune carreau de couleur égale ne se rencontre en une courbe de longueur positive. La coloration garantie par le théorème des quatre couleurs ne respecte généralement pas les symétries de la tessellation. Pour produire une coloration qui le fait, il est nécessaire de traiter les couleurs dans le cadre de la tessellation. Ici, autant que sept couleurs peuvent être nécessaires, comme dans l’image à droite.

À côté des différents pavages par des polygones réguliers, des pavages par d’autres polygones ont également été étudiés.

Tout triangle ou quadrilatère (même non convexe) peut être utilisé comme prototile pour former une tessellation monohédral, souvent de plusieurs façons. Les copies d’un quadrilatère arbitraire peuvent former une tessellation avec une symétrie de translation et une symétrie de rotation double avec des centres au milieu de tous les côtés. Pour un quadrilatère asymétrique, ce pavage appartient au groupe de papier peint p2. En tant que domaine fondamental, nous avons le quadrilatère. De manière équivalente, nous pouvons construire un parallélogramme sous-tendu par un ensemble minimal de vecteurs de traduction, à partir d’un centre de rotation. Nous pouvons diviser cela d’une diagonale, et prendre une moitié (un triangle) comme domaine fondamental. Un tel triangle a la même surface que le quadrilatère et peut être construit à partir de celui-ci en coupant et en collant.

Si une seule forme de carreau est admise, il existe des pavages N convexes pour N égal à 3, 4, 5 et 6. Pour N = 5, voir Carrelage pentagonal et pour N = 6, voir Carrelage hexagonal.

Pour les résultats sur le pavage du plan avec des polyominos, voir Polyomino § Utilisations des polyominos.

Les pavages Voronoï ou Dirichlet sont des tessellations dans lesquelles chaque pavé est défini comme l’ensemble des points les plus proches de l’un des points d’un ensemble discret de points de définition. (Pensez aux régions géographiques où chaque région est définie comme étant tous les points les plus proches d’une ville ou d’un bureau de poste.) La cellule de Voronoï pour chaque point de définition est un polygone convexe. La triangulation de Delaunay est une tessellation qui est le graphique double d’une mosaïque de Voronoï. Les triangulations de Delaunay sont utiles en simulation numérique, en partie parce que parmi toutes les triangulations possibles des points de définition, les triangulations de Delaunay maximisent le minimum des angles formés par les arêtes. Les pavages de Voronoi avec des points placés au hasard peuvent être utilisés pour construire des pavages aléatoires de l’avion.

La tessellation peut être étendue à trois dimensions. Certains polyèdres peuvent être empilés dans un motif de cristal régulier pour remplir (ou carreler) un espace tridimensionnel, y compris le cube (le seul polyèdre platonicien à le faire), le dodécaèdre rhombique, l’octaèdre tronqué et les prismes triangulaires, quadrilatéraux et hexagonaux. , entre autres. Tout polyèdre qui correspond à ce critère est connu sous le nom de plésioèdre, et peut posséder entre 4 et 38 faces. Les dodécaèdres rhombiques se trouvent naturellement sous forme de cristaux d’andradite (une sorte de grenat) et de fluorine.

Un triangle de Schwarz est un triangle sphérique qui peut être utilisé pour paver une sphère.

Les Tessellations en trois dimensions ou plus sont appelées nids d’abeilles. En trois dimensions, il n’y a qu’un seul nid d’abeille régulier, qui a huit cubes à chaque sommet de polyèdre. De même, en trois dimensions, il n’y a qu’un seul nid d’abeille quasi sinueux, qui a huit tétraèdres et six octaèdres à chaque sommet polyédrique. Cependant, il y a beaucoup de nids d’abeilles semiréguliers possibles en trois dimensions. Les polyèdres uniformes peuvent être construits en utilisant la construction Wythoff.

Le biprisme de Schmitt-Conway est un polyèdre convexe qui n’a la propriété de l’espace de carrelage que de manière apériodique.

Il est possible de tesseller dans des géométries non-euclidiennes telles que la géométrie hyperbolique. Un pavage uniforme dans le plan hyperbolique (qui peut être régulier, quasi sinulaire ou semi-circulaire) est un remplissage bord à bord du plan hyperbolique, avec des polygones réguliers comme des faces; ce sont des vertex-transitifs (transitifs sur ses sommets), et isogonaux (il y a une isométrie qui met en correspondance n’importe quel sommet avec un autre).

Un nid d’abeilles uniforme dans l’espace hyperbolique est une tessellation uniforme de cellules polyédriques uniformes. Dans l’espace hyperbolique tridimensionnel, il existe neuf familles de groupes de Coxeter de nids d’abeilles uniformes convexes compacts, générées comme des constructions de Wythoff, et représentées par des permutations d’anneaux des diagrammes de Coxeter pour chaque famille.

En architecture:
En architecture, les tessellations ont été utilisées pour créer des motifs décoratifs depuis l’antiquité. Les mosaïques avaient souvent des motifs géométriques. Les civilisations ultérieures ont également utilisé des carreaux plus grands, soit simples ou décorés individuellement. Parmi les plus décoratifs, on peut citer les pavés maures de l’architecture islamique, utilisant des carreaux Girih et Zellige dans des bâtiments tels que l’Alhambra et La Mezquita.

Pétrissage au musée archéologique d’Istanbul: Ce n’est pas une coïncidence si le revêtement de sol est aussi appelé pavé: en fait, chaque moyen de recouvrir un sol de dattes en forme de carreaux n’est rien d’autre qu’un pompon. C’est pourquoi les carreaux sont nécessairement présents dans la plupart des bâtiments construits au cours de l’histoire. En particulier, les goujons colorés ont souvent été considérés comme un moyen d’animer un sol ou un mur.

Célèbres sont les glands qui couvrent de nombreux murs du complexe Alhambra à Grenade, le fruit de l’art arabe et les goûts de la dynastie naissante: les Arabes ont toujours été de grands savants des mathématiques et de la géométrie, et une telle connaissance imprègne leur art, est encore couramment utilisé pour indiquer des motifs décoratifs géométriques.

Dans l’art:
Une grande partie des œuvres de l’artiste néerlandais Maurits Cornelis Escher sont des glands, dont les points sont généralement des poissons, des oiseaux, des chevaux, des chauves-souris, mais aussi des figures anthropomorphes. Escher consacra non seulement beaucoup d’attention à la réalisation de dagues qui ressemblaient en fait aux animaux qu’il voulait représenter, mais aussi à l’étude mathématique et au catalogage des dottings, se comparant aux mathématiciens de son temps.

Du point de vue mathématique, ses œuvres les plus audacieuses sont probablement celles dans lesquelles il dépeint des dottings disposés non pas sur un plan euclidien ordinaire mais sur une géométrie non-euclidienne. Bien que ceux-ci ne soient pas formellement pointillés (puisque les chevilles sont non seulement répétées mais aussi mises à l’échelle), le raisonnement géométrique de base est le même, adapté au modèle géométrique non-euclidien choisi. Par exemple, dans la célèbre série Circle Limit, vous pouvez reconnaître les postulats du plan hyperbolique étudié par Henri Poincaré.

La série Metamorphosis est également remarquable, dans laquelle Escher concatène dans une longue bande une variation différente alternant avec d’autres motifs géométriques ou dessinés à la main, donnant ainsi l’idée que les règles géométriques simples à la base des chevilles sont présentes partout et à la base de la nature elle-même.

Les Tessellations apparaissaient fréquemment dans l’art graphique de M. C. Escher; Il a été inspiré par l’utilisation de la symétrie mauresque dans des endroits tels que l’Alhambra lors de sa visite en Espagne en 1936. Escher a fait quatre dessins « Circle Limit » de pavages utilisant une géométrie hyperbolique. Pour sa gravure sur bois « Circle Limit IV » (1960), Escher a préparé une étude au crayon et à l’encre montrant la géométrie requise. Escher a expliqué que « Aucune composante de toutes les séries, qui surgissent de l’infiniment loin comme des roquettes perpendiculairement à la limite et qui y sont perdues, n’atteint jamais la ligne de démarcation. »

Les motifs à pois apparaissent souvent sur les textiles, qu’ils soient tissés, cousus ou imprimés. Les motifs de tessellation ont été utilisés pour concevoir des motifs imbriqués de formes de patch dans des courtepointes.

Tessellations sont également un genre principal dans l’origami (pliage de papier), où les plis sont utilisés pour relier les molécules telles que les plis de torsion ensemble d’une manière répétitive.

Dans l’industrie manufacturière:
La tessellation est utilisée dans l’industrie manufacturière pour réduire le gaspillage de matériaux (pertes de rendement) telles que la tôle lors de la découpe de formes pour des objets tels que des portes de voiture ou des cannettes de boissons.

La tessellation est apparente dans le craquèlement des films minces à l’aide d’une couche de boue – avec un degré d’auto-organisation observé avec les micro et nanotechnologies.

Dans la nature:
Le nid d’abeilles fournit un exemple bien connu de tessellation dans la nature avec ses cellules hexagonales.

En botanique, le terme « tessellate » décrit un motif en damier, par exemple sur un pétale de fleur, un écorce d’arbre ou un fruit. Les fleurs, y compris la fritillaire et certaines espèces de Colchicum, sont typiquement tessellées.

De nombreux modèles dans la nature sont formés par des fissures dans les feuilles de matériaux. Ces patrons peuvent être décrits par Gilbert tessellations, également connu sous le nom de réseaux de fissures aléatoires. La tessellation de Gilbert est un modèle mathématique pour la formation de crasses de boue, de cristaux en forme d’aiguilles et de structures similaires. Le modèle, nommé d’après Edgar Gilbert, permet la formation de fissures à partir d’une dispersion aléatoire sur l’avion; chaque fissure se propage dans deux directions opposées le long d’une ligne passant par le point d’initiation, sa pente étant choisie au hasard, créant une tessellation de polygones convexes irréguliers. Les coulées de lave basaltiques présentent souvent des joints colonnaires résultant des forces de contraction qui provoquent des fissures à mesure que la lave refroidit. Les vastes réseaux de fissures qui se développent produisent souvent des colonnes hexagonales de lave. Un exemple d’un tel tableau de colonnes est la Chaussée des Géants en Irlande du Nord. La chaussée pavée, dont un exemple caractéristique se trouve à Eaglehawk Neck dans la péninsule de Tasman en Tasmanie, est une formation rocheuse sédimentaire rare où la roche s’est fracturée en blocs rectangulaires.

D’autres modèles naturels se produisent dans les mousses; Ceux-ci sont emballés selon les lois du Plateau, qui exigent des surfaces minimales. De telles mousses posent un problème de conditionnement aussi serré que possible des cellules: en 1887, Lord Kelvin a proposé un tassement utilisant un seul solide, le nid d’abeille cubique bitruncé avec des faces très légèrement incurvées. En 1993, Denis Weaire et Robert Phelan ont proposé la structure Weaire-Phelan, qui utilise moins de surface pour séparer des cellules de volume égal à celui de la mousse de Kelvin.

Dans les puzzles et les mathématiques récréatives:
Les Tessellations ont donné naissance à de nombreux types de puzzle, des puzzles traditionnels (avec des morceaux irréguliers de bois ou de carton) et du tangram à des puzzles plus modernes qui ont souvent une base mathématique. Par exemple, les polyiamonds et les polyominos sont des figures de triangles et de carrés réguliers, souvent utilisés dans les casse-têtes. Des auteurs tels que Henry Dudeney et Martin Gardner ont fait de nombreuses utilisations de la tessellation dans les mathématiques récréatives. Par exemple, Dudeney a inventé la dissection à charnière, tandis que Gardner a écrit au sujet du rep-tile, une forme qui peut être disséquée en plus petites copies de la même forme. Inspirée par les articles de Gardner dans Scientific American, la mathématicienne amateur Marjorie Rice a trouvé quatre nouvelles tessellations avec des pentagones. La quadrature du carré est le problème du pavage d’un carré intégral (dont les côtés ont une longueur entière) en utilisant uniquement d’autres carrés entiers. Une extension est au carré de l’avion, en le plaçant par des carrés dont les tailles sont toutes des nombres naturels sans répétitions; James et Frederick Henle ont prouvé que c’était possible.