テッセレーション

平坦な面のテッセレーションは、タイルと呼ばれる1つまたは複数の幾何学的形状を使用して、重なりがなく隙間のない平面のタイルです。数学では、テッセレーションは、より高い次元とさまざまなジオメトリに一般化できます。

正三角形、正方形、正六角形の面積 – 周囲比の比較この六角形は、カバーされたサーフェス部分に使用される最小周長でプレーンを分割します。フラットなジオメトリでは、重なって無限に繰り返される1つ以上の幾何学的図形を使用して平面を覆う方法をディミング（時には傾斜またはフローリング）と呼びます。

これらの幾何学的図形（「ダウエル（dowel）」と呼ばれる）は、しばしばポリゴンであり、規則的でもなくてもよいが、湾曲した辺を有していてもよいし、頂点を有していなくてもよい。通常発生する唯一の条件は、それらが接続されているか、むしろ単純に接続されている（つまり、単一のものであり、穴がない）ことです。

この状態は非常に制限的に見えるかもしれませんが、あなたが考えるかもしれない事実上すべての床によって尊重されます。それが有用である理由は、トンの異なる外観をお互いに比較することができるからです。

しかし、基本的な平行四辺形テンプレートは、規則的な点を分類する最も完全な方法ではありません。角度や辺の測定値を知っていても、調光の幾何学的特徴を確実に証明することはできません。平行四辺形の一部（より正確には、平行四辺形の割合）が存在する可能性があります全てのデコレーションを再構成する（もはや単独の翻訳ではなく、他のアイソメトリクスも使用する）。

周期的タイリングは繰り返しパターンを有する。特別な種類には、すべて同じ形の規則的な多角形タイルと、複数の形の規則的なタイルとすべてのコーナーが同じように配置されたセミレギュラーなタイルが含まれます。周期的なティリングによって形成されるパターンは、17の壁紙グループに分類することができる。繰り返されるパターンがないタイリングは、「非周期的」と呼ばれます。非周期的なタイリングは、繰り返しパターンを形成できない小さなタイル形状のセットを使用します。より高い次元の幾何学的形状において、空間充填またはハニカムは、空間のテッセレーション（tessellation of space）とも呼ばれる。

舗装や舗道は、タイルと呼ばれる有限集合の要素（より正確には、空でない内部コンパクト）によって、空間（通常、平面または3次元空間のようなユークリッド空間）の区画です。一般的に、我々は平行移動による杭打ち、すなわち2つの同じ舗装タイルが平行移動（回転または対称を除く）によって常に互いに控除可能であると考える。非ユークリッド空間のテッセレーションもあります。最も有名なのは、M.C.エッシャー（双曲面の均一なテッセレーション（in））。

実際の物理的テッセレーションは、セメント入りのセラミックの正方形または六角形などの材料でできたタイルです。このようなティリングは、装飾パターンであってもよく、または耐久性および耐水性の舗装、床または壁被覆を提供するなどの機能を有してもよい。歴史的に、テッセレーションは古代ローマやアルハンブラ宮殿の装飾的な幾何学的なタイリングなどのイスラム美術で使用されていました。 20世紀にM.C.エッシャーの作品は、通常のユークリッド幾何学と双曲線幾何学の両方において、芸術的効果のためにしばしばテッセレーションを利用した。テッセレーションは、時にはキルティングの装飾効果のために採用される。テッセレーションは、例えばハニカムに見られる六角形のセルの配列のような本質的なパターンのクラスを形成する。

粘土タイルの模様によって形成された壁の飾りを構築する際に、シュメール人（約BC4000人）がエッセレーションを使用しました。

テッセラ（tesserae）と呼ばれる小さな四角いブロックで作られた装飾的なモザイクのタイルは古典古代で広く使われていました。

1619年、ヨハネス・ケプラーはテッセレーションの早期の文書化研究を行った。彼は彼のハーモニクスムンディで定期的に、そして半年ごとのテッセレーションについて書きました。彼はハニカムと雪片の六角形構造を探求して説明する可能性が最初にありました。

1891年の約200年後、ロシアの結晶学者Yevgraf Fyodorovは、この平面のすべての周期的タイリングは、17の異なるアイソメトリー群のうちの1つを特徴とすることを証明した。 Fyodorovの研究は、テッセレーションの数学的研究の非公式な始まりとなった。他の有名な貢献者には、ShubnikovとBelov（1964年）、Heinrich HeeschとOtto Kienzle（1963年）が含まれる。

ラテン語では、テセラは、モザイクを作るのに使われる粘土、石、またはガラスの小さな立方体です。 「テセラ」という言葉は「小さな四角」（テセラ、四角形からのもので、4つはギリシャ語のτέσσεραです）を意味します。これは日常的な用語のタイリングに対応します。これは、しばしば、粘土でできたテッセレーションのアプリケーションを指します。

テッセレーションまたは2次元のタイリングは、与えられたルールに従って、タイルとして知られているシェイプをどのようにギャップを置かずにプレーンに塗りつぶすことができるかを調べるジオメトリのトピックです。これらのルールは変更することができます。一般的なものは、タイルの間に隙間がなくてはならないことと、あるタイルの角が別のタイルの縁に沿っていないことです。ボンディングされたbrickworkによって作成されたテッセレーションは、このルールに従いません。それらの中でも、規則的なテッセレーションは、規則的なタイルと同じ規則的なコーナーまたは頂点の両方を持ち、各タイルの隣接するエッジ間で同じ角度を持ちます。正三角形、正方形、正六角形のような規則的なテッセレーションを形成できるのは3つの形だけです。これらの3つの形状のいずれか1つを無限に複製して、ギャップのない平面を埋めることができます。

異なる制約の下で、他の多くのタイプのテッセレーションが可能です。たとえば、1種類以上の正多角形で作られていても、すべての角に同じポリゴン配列が残っている半正則なテッセレーションは8種類あります。不規則なテッセレーションは、五角形、ポリモイノなどの他の形状や、実際にはほぼすべての幾何学的形状から作成することもできます。アーティストM. C. Escherは動物やその他の自然の物体のような不規則なインターロッキングタイルでテッセレーションを行うことで有名です。異なる形状のタイルに適した対照的な色が選択されると、印象的なパターンが形成され、これらは教会の床などの物理的表面を飾るために使用することができる。

より正式には、テッセレーションまたはタイリングは、ユークリッド平面のカバーであり、タイルはその境界上でのみ交差するように、タイルと呼ばれる閉じた集合を数える。これらのタイルは、ポリゴンまたは他の任意の形状であってもよい。多くのテッセレーションは、テッセレーションのすべてのタイルが与えられたプロトタイプに一致する有限数のプロトタイプから形成される。テッセレーションを作成するために幾何学的形状をプロトタイプとして使用することができる場合、その形状はテッセレーションまたは平面をタイル化すると言われています。コンウェーの基準は、所与の形状が反射なしに周期的に平面を並べるかどうかを決定するための十分な、しかし必要ではない規則の組である。与えられたシェイプが平面をタイルすることができるかどうかを判断するための一般的なルールは見つかっていません。つまり、テッセレーションに関する多くの未解決の問題があります。

それぞれの最小設計は同じ形状を有する
2つのダボールの各々を得るために最小限の設計に適用しなければならない変換は同じである
例えば、側面の画像では、基本平行四辺形（四角形）と最小限のデザイン（三角形の四角形）で点を描きます。点を変換することによって点を得ることができるだけでなく、唯一の三角形の矩形を平行移動および反射することによっても点を得ることができる。代わりに、すべてのタッセルを再現できる三角形の部分がありません。

正規の倍加クラスは正確に17であることが証明されています。倍加をカタログ化するには、次の表に示すように、最小限の設計から生成するのに必要な変換を知っていれば十分です。

比喩的で抽象的な芸術と建築の点は、常に美学、

数学的には、テッセレーションはユークリッド平面以外の空間に拡張することができます。スイスの幾何学者LudwigSchläfliは、数学者が現在ポリトープと呼んでいる、ポリシームを定義することによってこれを開拓しました。これらは、より多くの次元を持つ空間内の多角形や多面体の類似点です。彼はさらに、ポリトープを簡単に記述できるようにSchläfli記号表記法を定義しました。たとえば、正三角形のSchläfli記号は{3}ですが、正方形の記号は{4}です。 Schläfli表記法は、ティリングをコンパクトに記述することを可能にする。たとえば、正六角形のタイルは、各頂点に三つの六角形のポリゴンを持つので、そのSchläfli記号は{6,3}です。

ポリゴンティリングを記述する他の方法も存在する。テッセレーションが正多角形で構成されている場合、もっとも一般的な表記法は、頂点の周りのポリゴンの辺の数のリストである頂点の構成です。正方形のタイルの頂点の構成は4.4.4.4または44です。正六角形のタイルは6.6.6、または6です。

数学では：
数学者は、ティルティングについて議論するときにいくつかの技術用語を使用する。エッジは、2つの隣接するタイルの間の交差点です。それはしばしば直線である。頂点は、3つ以上の境界タイルの交点である。これらの用語を使用すると、等角または頂点遷移のタイルは、すべての頂点が同一であるタイルです。つまり、各頂点についてのポリゴンの配置は同じです。基本領域は、テッセレーションを形成するために繰り返される矩形のような形状である。たとえば、正方形の平面の規則的なテッセレーションには、すべての頂点で4つの正方形の集まりがあります。

ポリゴンの辺は、タイルの辺と必ずしも同じではありません。エッジ・トゥ・エッジ・タイルは、隣接するタイルが1つのフル・サイドのみを共有する任意の多角形のテッセレーションであり、すなわち、タイルは、他のタイルと部分的な側部または2つ以上の側部を共有しない。エッジとエッジのタイリングでは、ポリゴンの辺とタイルの辺が同じです。各方形のレンガの長辺が2つの境界線のレンガと共有されるため、使い慣れた「レンガの壁」のタイルは端から端まではありません。

通常のタイリングは、すべてのタイルがディスクとトポロジー的に等しく、任意の2つのタイルの交差点が単一の連結セットまたは空のセットであり、すべてのタイルが均一に境界付けられているテッセレーションです。つまり、1つの外接半径と1つの内接半径を、全タイル内のすべてのタイルに使用できます。この病状は、病理学的に長いまたは薄いタイルを許さない。

単面体のタイルは、すべてのタイルが合同であるテッセレーションです。プロトタイプは1つしかありません。特に興味深いタイプの単面体のテッセレーションは、螺旋状の単面体のタイルです。最初のスパイラル単面体のタイル張りは、1936年にHeinz Voderbergによって発見された。 Voderbergタイリングは、非凸面鏡であるユニットタイルを持っています。 Michael D. HirschhornとDC Huntが1985年に出版したHirschhornタイリングは、不規則な五角形を使用した五角形のタイル張りです。正規の五角形は正則な五角形の内角である3π/ 5が2πの約数ではないため、 。

isohedral tilingは、すべてのタイルが同じ推移性クラスに属している、つまりすべてのタイルがタイリングの対称性グループの下で同じプロトタイプの変換である、単面体タイルの特殊なバリエーションです。プロトタイプがタイリングを認めるが、そのようなタイリングが等面体でない場合、プロトタイイルは異方面と呼ばれ、異方面のチルトを形成する。

通常のテッセレーションは、すべて同じシェイプの正多角形で構成された、非常に対称的な、エッジからエッジへのタイルです。正三角形、正方形、正六角形の3つの規則的なテッセレーションがあります。これら3つのティリングのすべてが等角形であり、単面体である。

非周期的なティリングのいくつかは他のものよりもあまりありません…言い換えれば、非周期性の程度を定量化することができます。

このように、我々は、例えば、再発および均一な再発（または準周期性）という概念を挙げることができる。

タイルは、パターン（タイルの有限集合）が一度出現したときに、それが十分大きな領域に現れるならば、再帰的であると言われる。さらに、パターンの大きさに従ってこのゾーンのサイズを固定することができれば、舗装は均一に反復する（または準周期的に）と言われる。

したがって、平面の一様に反復的なタイル張りは、タイル上にトレースされた半径rの円に現れる任意のパターンを考えると、このパターンがnの任意の円に再現されることを確実にするような数Rが存在するようなものである。半径Rは舗装上をトレースする。

特に、周期的なティルティングは一様に再発する（頻発する）。これはペンローズ舗装の場合にも当てはまります。実際に、タイルのセットが平面を舗装すれば、それは均一に反復する方法でそれを舗装することもできることが示される（証明は対角引数に基づく）。

準規則（またはアルキメデス）テッセレーションは、等方配列で2種類以上の正多角形を使用します。 8つの半規則的なティリングがあります（または、ティルティングの鏡像ペアが2つの場合は9つ）。これらは頂点の構成によって記述することができます。例えば、四角形と正八角形を使用する準規則的なタイリングは、頂点構成4.82（各頂点は1つの正方形と2つの八角形を有する）を有する。 Pythagoreanティリングのファミリ、2つの（パラメータ化された）サイズの四角形を使用し、各四角形が他のサイズの4つの四角形に接するテッセレーションを含むユークリッド平面の多くの非エッジ – エッジ型ティリングが可能です。エッジ・テッセレーションは、各タイルをエッジ上で反射して、等辺または二等辺三角形の配列のように、隣接するタイルの位置を占めることができるものです。

2つの独立した方向の並進対称を有するティリングは、壁紙グループによって分類することができ、そのうちの17が存在する。スペイン、グラナダのアルハンブラ宮殿では、これらのグループの17人全員が代表されていると主張されています。これが論争されていますが、アルハンブラのティリングの多様性と洗練は、現代の研究者を驚かせました。 3つの定期的なティリングのうち2つはp6m壁紙グループに属し、1つはp4mにあります。ちょうど一方向の並進対称性を有する2Dのティリングは、可能なフリーズパターンを記述する7つのフリーズグループによって分類することができる。 Orbifold表記を使用して、ユークリッド平面の壁紙グループを記述することができます。

2つの異なる四辺形を使用するPenroseのティルトは、非周期的なパターンを強制的に作成するタイルの最もよく知られた例です。それらは周期的にテッセレーションすることができないタイルを使用する非周期的なタイルの一般的なクラスに属します。置換タイリングの再帰的プロセスは、非周期的チリングを生成する方法である。この方法で生成できるクラスの1つはrep-tilesです。これらのティリングは驚くべき自己複製特性を持っています。ピンホイールチルティングは、再タイル構造を使用して、非周期的です。タイルは無限に多くの向きで現れる。非周期的パターンは完全に対称性がないと考えられるかもしれないが、そうではない。非周期的なティルティングは、並進対称性に欠けているが、タイリングの有界なパッチの無限の繰り返しによって、またある一定の有限群の回転またはそれらのパッチの反射によって、他のタイプの対称性を有する。菱形と呼ばれるタイルのアセンブリを使用してペンローズパターンを生成するために使用できるような置換ルールは、対称性のスケーリングを示しています。フィボナッチ語は、非周期的なタイルを構築し、非周期的な順序の構造である準結晶を研究するために使用することができる。

Wangタイルは、各エッジに色付きの四角形であり、隣接するタイルの隣接するエッジが同じ色になるように配置されます。したがって、彼らは時々王ドミノと呼ばれます。 Wangドミノの適切なセットは、平面をタイルすることができますが、非周期的にのみタイルすることができます。これは、任意のチューリングマシンが、チューリングマシンが停止していない場合に限り、平面をタイルするワンドミノのセットとして表すことができるため、既知です。停止問題は決めることができないので、王ドミノセットが飛行機をタイルすることができるかどうかを決定する問題も決めることができません。

Truchetタイルはパターンで飾られた正方形のタイルであるため、回転対称性はありません。 1704年、SébastienTruchetは、正方形のタイルを、対照的な色の2つの三角形に分割して使用しました。これらは周期的またはランダムに平面をタイルすることができます。

時々、タイルの色はタイルの一部として理解される。他の時間に任意の色を後で適用することができる。曖昧さを避けるために、色で表示されたタイリングを議論するときは、色がタイリングの一部であるかイラストレーションの一部であるかを指定する必要があります。これは、同じ形状であるが異なる色のタイルが同一であると考えられるかどうかに影響を及ぼし、対称性の問題に影響します。 4つのカラー定理は、ユークリッド平面の各テッセレーションについて、4つの利用可能な色のセットを用いて、各タイルを1つの色で着色して、等しい色のタイルが正の長さの曲線で一致しないようにすることを述べている。 4色定理によって保証される着色は、一般に、テッセレーションの対称性を尊重するものではない。そうする色を生成するには、色をテッセレーションの一部として扱う必要があります。ここでは、右の写真のように、7色も必要になる場合があります。

通常のポリゴンによる様々なティリングの次に、他のポリゴンによるティリングも研究されています。

任意の三角形または四角形（凸でなくても）は、多くの場合、複数の方法で、単面体のテッセレーションを形成するプロトタイプとして使用できます。任意の四辺形のコピーは、すべての辺の中間点に中心を有する並進対称および2倍の回転対称を有するテッセレーションを形成することができる。非対称の四辺形の場合、このタイルは壁紙グループp2に属します。基本的な領域として四角形があります。同様に、回転中心から始まる最小限の並進ベクトルのセットによって、平行四辺形を構成することができます。これを1つの対角に分割し、基本的な領域として半分（三角形）を取ることができます。このような三角形は、四辺形と同じ面積を有し、切断して貼り付けることによってそれから構築することができる。

1つのタイルの形状しか許されない場合は、Nが3,4,5,6のNに対して凸のN-gonsを持つティリングが存在します。N = 5の場合はペンタゴンタイリング、N = 6の場合は六角タイルを参照してください。

ポリオイノで平面をタイル張りした結果については、ポリモイノを参照してください。

ボロノイ（Voronoi）またはディリクレ（Dirichlet）のティリングは、各タイルが、離散的な定義点セットの1つに最も近いポイントのセットとして定義されるテッセレーションです。 （各地域が所与の都市または郵便局に最も近いすべての点として定義されている地理的領域を考えてください）各定義点のボロノイセルは凸多角形です。 Delaunay三角測量は、Voronoiテッセレーションのデュアルグラフであるテッセレーションです。 Delaunay三角測量は数値シミュレーションで有用です。なぜなら、定義点のすべての可能な三角測量のうち、Delaunay三角測量は、辺によって形成される角度の最小値を最大にするからです。無作為に配置された点を持つボロノイのティリングを使用して、プレーンのランダムなティリングを構築することができます。

テッセレーションは3次元に拡張できます。特定の多面体は、立方体（唯一のプラトニック多面体）、菱形の12面体、切頭の八面体、および三角形、四辺形、および六角形のプリズムを含む立体的な空間を埋める（またはタイルする）ために規則的な結晶パターンで積み重ねることができる、他の中で。この基準に適合する任意の多面体は、面体として知られており、4〜38の面を有することができる。自然界に存在する斜方六十面体は、アンドランド（ガーネットの一種）と蛍石の結晶として認められます。

Schwarzの三角形は、球体のタイル作成に使用できる球形の三角形です。

三次元以上のテッセレーションはハニカムと呼ばれます。 3次元では、1つの規則的なハニカムがあり、各多面体の頂点に8つの立方体がある。同様に、三次元では、ただ一つの擬似ハニカムがあり、それは各多面体の頂点に8つの四面体と6つの八面体を有する。しかし、3次元では多くの可能なセミレギュラーハニカムが存在する。ユニフォーム多面体は、Wythoff構造を使用して構築することができます。

シュミット・コンウェイ・バイプリスム（Schmitt-Conway biprism）は、非周期的にのみ空間をタイリングする性質を有する凸多面体である。

双曲線ジオメトリなどの非ユークリッド幾何学ではテッセレーションが可能です。双曲線平面（規則的、擬似的または準多角形）の一様なタイリングは、双曲線平面のエッジ間充填であり、正多角形は面として、これらは頂点推移（その頂点で推移）であり、等角（他の頂点に任意の頂点をマッピングするアイソメトリがあります）です。

双曲線空間における均一なハニカムは、均一な多面体セルの均一なテッセレーションである。 3次元の双曲線空間には、Wythoff構造として生成されたコンパクトな凸型の均一なハニカムの9つのCoxeterグループファミリがあり、各ファミリのCoxeterダイアグラムのリングの順列によって表されます。

建築では：
アーキテクチャでは、テッセレーションは古くから装飾的なモチーフを作成するために使用されてきました。モザイクのティリングには幾何学的パターンがしばしばあった。後の文明では、平らであるか個別に装飾された大きなタイルも使用されていました。最も装飾的なのは、アルハンブラやラ・メスキータなどの建物で、ギリハ（Girih）とゼリゲ（Zellige）のタイルを使用して、イスラム建築のムーアの壁の瓦であった。

イスタンブール考古学博物館での混乱：床は舗装とも呼ばれているのは偶然ではありません。実際、タイルの形をした床を覆う方法はすべてタッセルです。そのため、歴史の中で作られた建物のほとんどにタイルが必ず存在します。特に、カラーダボは床や壁を活気づける手段としてよく見られてきました。

グラナダのアルハンブラ宮殿の多くの壁、アラビアの芸術の果物、初期の時代の味をカバーするタッセルが有名です：アラブ人は常に数学と幾何学の偉大な学者であり、その知識もその芸術に浸透しています。そのためアラベスク幾何学的装飾モチーフを示すために依然として一般的に使用されている。

アートでは：
オランダ人アーティストMaurits Cornelis Escherの作品の多くはタッセルで、その点は通常魚、鳥、馬、コウモリ、擬人化された人物である。エッシャーは、実際に彼が表現したい動物に似ている短剣の実現に多大な注意を払うだけでなく、時間の数学者と自分自身を比較して、数学的研究と点描の目録作成も捧げた。

彼の数学的な観点から見れば、彼の最も大胆な作品は、通常のユークリッド平面ではなく非ユークリッド幾何学上を移動する点描を描いたものだろう。これらは形式的に点在していませんが（ダーベルは繰り返しだけでなく縮尺も変わらないため）、選択された非ユークリッド幾何学モデルに合わせて基本的な幾何学的推論が同じです。たとえば、有名なサークル・リミット・シリーズでは、アンリ・ポアンカレによって研究された双曲線計画の仮定を認識することができます。

また、エッシャーが他の幾何学的または手描きのモチーフと交互に異なる調光の長いストリップをつなぎ合わせることで、ダーベルの基部にある単純な幾何学的ルールがどこにもベースに存在するというアイデアを与えているMetamorphosisシリーズも注目に値する自然の

テッセレーションはM.C.エッシャーのグラフィックアートに頻繁に現れました。彼はアルハンブラのような場所でムーア人が1936年にスペインを訪れたときのムーアの対称性に触発されました。エッシャーは双曲線ジオメトリを使ったティリングの4つの “サークル・リミット”彼の木版画「サークル・リミットIV」（1960年）のために、エッシャーは必要な形状を示す鉛筆とインクの研究を準備しました。エッシャーは、「限界からロケットのように無限に遠くに立ち上がり、最後に失われたシリーズのどれも、境界線に達することはない」と説明した。

テッセレーションされたデザインは、織られているか、縫い付けられているか、印刷されていても、しばしば織物に現れる。テッセレーションパターンは、キルトのパッチ形状のインターロックモチーフを設計するために使用されてきました。

テッセレーションは折り紙のような分子を繰り返してつなぎ合わせる折り紙（ペーパー折りたたみ）の主要ジャンルでもあります。

製造業では：
テッセレーションは、車のドアや飲み物缶のような物体の形状を切り取るときに板金などの材料の消耗を減らすために、製造業で使用されています。

テッセレーションは、薄膜の泥っぽいような割れ目で明らかです。ミクロやナノテクノロジーを使ってある程度の自己組織化が見られます。

本来は：
ハニカムは、その六角形のセルを有する性質上、テッセレーションの周知の例を提供する。

植物学では、「テッセレーション」という用語は、例えば、花弁、樹皮または果実などの、市松模様を表す。フリッチャルを含む花およびコルチカムのいくつかの種は、特徴的にテッセレーションされる。

自然界の多くのパターンは、材料のシートの亀裂によって形成される。これらのパターンは、ギルバートテッセレーション（ランダムクラックネットワークとも呼ばれます）によって記述することができます。ギルバートテッセレーションは、マッドクラック、針状結晶などの構造の形成のための数学的モデルです。 Edgar Gilbertにちなんで命名されたこのモデルは、平面上にランダムに散在するように亀裂を形成することを可能にする。各亀裂は、開始点を通る線に沿って2つの反対方向に伝搬し、その勾配はランダムに選択され、不規則な凸多角形のテッセレーションを生成する。玄武岩の溶岩流は、溶岩の冷却に伴って亀裂を引き起こす収縮力の結果として、しばしば柱状接合を示す。開発される広範な亀裂ネットワークは、しばしば六角柱の溶岩を生成する。そのような列の配列の一例は北アイルランドのジャイアント・コーズウェイです。タスマニアのタスマン半島のイーグルホークネックに特徴的な例が見られるテッセレーションされた舗道は、岩が矩形のブロックに分割されたまれな堆積岩の層である。

他の自然パターンはフォームに発生します。これらはPlateauの法則に従って詰め込まれており、最小限の表面しか必要としません。このような発泡体は、できるだけ密に細胞をパックする方法に問題を呈している。1887年、ケルビン（Kelvin）氏は、非常にわずかに湾曲した面を有するビット状の立方体ハニカムを1つだけ用いてパッキングを提案した。 1993年、Denis WeaireとRobert PhelanはWeel-Phelan構造を提案しました。Weal-Phelan構造はケルビンの泡と等しい体積の細胞を分離するために表面積を小さくしています。

パズルやレクリエーションの数学では：
テッセレーションは、従来のジグソーパズル（不規則な木材や厚紙のもの）やタンングルから、数学的な基礎を持つより現代的なパズルまで、多くの種類のタイリングパズルを生み出しました。例えば、ポリダイヤモンドとポリオミノは、タイルパズルでよく使われる正三角形や正方形の図形です。 Henry DudeneyやMartin Gardnerなどの著者はレクリエーション数学でテッセレーションを多く使用しています。例えば、Dudeneyはヒンジ付き解剖を発明したが、Gardnerはrep-tileについて書いたが、これは同じ形状のより小さなコピーに解剖できる。アマチュアの数学者Marjorie Riceは、Scardific AmericanのGardnerの記事に触発され、五角形の4つの新しいテッセレーションを発見しました。正方形を二等分することは、他の整数の正方形だけを使用して整数の正方形（辺の長さが整数）をタイル張りする問題です。エクステンションは平面を二乗し、そのサイズが繰り返しのない自然数である四角形で並べます。 JamesとFrederick Henleはこれが可能であることを証明した。