المنطق الافتراضي

المنطق الافتراضي هو منطق غير رتيب يقترحه ريموند رايتر لإضفاء طابع رسمي على الاستدلال مع افتراضات افتراضية.

يمكن للمنطق الافتراضي أن يعبر عن الحقائق مثل “بشكل افتراضي ، شيء ما صحيح” ؛ على النقيض من ذلك ، لا يمكن للمنطق القياسي إلا أن يعبر عن حقيقة أن شيء ما صحيح أو أن هناك خطأ ما. هذه مشكلة لأن التفكير في كثير من الأحيان ينطوي على حقائق صحيحة في غالبية الحالات ولكن ليس دائمًا. مثال كلاسيكي هو: “الطيور تطير عادة”. يمكن التعبير عن هذه القاعدة في المنطق القياسي إما عن طريق “كل الطيور تطير” ، وهو أمر لا يتفق مع حقيقة أن طيور البطريق لا تطير ، أو “كل الطيور التي لا البطريق وليس النعام و … يطير” ، الأمر الذي يتطلب جميع استثناءات للقاعدة المراد تحديدها. يهدف المنطق الافتراضي إلى إضفاء الطابع الرسمي على قواعد الاستنتاج مثل هذه القواعد دون الإشارة صراحة إلى جميع استثناءاتها.

بناء الجملة من المنطق الافتراضي
النظرية الافتراضية هي زوج  . W هي مجموعة من الصيغ المنطقية ، تسمى نظرية الخلفية ، التي تضفي الطابع الرسمي على الحقائق المعروفة على وجه اليقين. D هو مجموعة من القواعد الافتراضية ، كل منها يجري من النموذج:

وفقًا لهذا الإعداد الافتراضي ، إذا كنا نعتقد أن المتطلب السابق هو الصحيح ، ولكل من  بما يتفق مع معتقداتنا الحالية ، فإننا قادرين على الاعتقاد بأن الخاتمة صحيحة.

تم افتراض أن الصيغ المنطقية في W وجميع الصيغ في التقصير هي صيغ منطقية من الدرجة الأولى ، ولكن يمكن أن تكون صيغًا محتملة في منطق رسمي عشوائي. تعتبر الحالة التي تكون فيها صيغ في المنطق القضائي واحدة من أكثر الدراسات التي تم دراستها.

أمثلة
يتم إضفاء الطابع الرسمي على القاعدة الافتراضية “الطيور التي تطير عادة” عن طريق الإعداد الافتراضي التالي:

هذه القاعدة تعني أنه إذا كان X طائرا ، ويمكن الافتراض أنه يطير ، يمكننا أن نستنتج أنه يطير. النظرية الخلفية التي تحتوي على بعض الحقائق حول الطيور هي النظرية التالية:
.

وفقا لهذه القاعدة الافتراضية ، يندفع كوندور لأن الشرط المسبق للطيور (كوندور) صحيح ، ولا يتعارض ذباب التبرير (كوندور) مع ما هو معروف حاليًا. على العكس من ذلك ، لا يسمح Bird (Penguin) باستكمال الذباب (Penguin): حتى إذا كان الشرط المسبق للطائر الافتراضي (Penguin) صحيحًا ، فإن ذباب التبرير (Penguin) لا يتماشى مع ما هو معروف. من هذه النظرية الخلفية وهذا التقصير ، لا يمكن اختتام Bird (Bee) لأن القاعدة الافتراضية تسمح فقط باستنساخ الذباب (X) من Bird (X) ، ولكن ليس العكس. إن اشتقاق السوابق من قاعدة الاستنتاج من العواقب هو شكل من أشكال تفسير العواقب ، وهدف المنطق الاستدلال.

الافتراض الافتراضي الشائع هو أن ما لا يعرف أنه صحيح هو اعتقاد خاطئ. يُعرف هذا باسم “الافتتاح العالمي المغلق” ، ويتم إضفاء الطابع الرسمي عليه في المنطق الافتراضي باستخدام افتراض افتراضي مثل الحالة التالية لكل حقيقة واو.

على سبيل المثال ، تستخدم لغة البرمجة Prolog نوعًا من الافتراضات الافتراضية عند التعامل مع النفي: إذا لم يمكن إثبات صحة ذرة سالبة ، فمن المفترض أن تكون خاطئة. ومع ذلك ، لاحظ أن Prolog يستخدم ما يسمى بالنفي مثل الفشل: عندما يكون على المترجم أن يقيم الذرة  ، يحاول إثبات أن F هو الصحيح ، واستنتاج ذلك  صحيح إذا فشل. في المنطق الافتراضي ، بدلا من ذلك ، وجود الافتراضي  كمبرر لا يمكن تطبيقه إلا إذا  يتفق مع المعرفة الحالية.

قيود
التقصير هو مطلق أو خال من المتطلبات المسبقة إذا لم يكن له متطلب سابق (أو ، بشكل كاف ، شرطه الأساسي هو حشو). يعتبر التقصير أمرًا طبيعيًا إذا كان لديه تبرير واحد يعادل الاستنتاج. الافتراضي هو supernormal إذا كان كلا القاطعة والطبيعية. التقصير هو كلمة أساسية إذا كانت جميع مبرراتها تستلزم نهايتها. تسمى النظرية الافتراضية الفئوية ، أو العادية ، أو غير العادية ، أو النموذجية إذا كانت جميع الافتراضات التي تتضمنها فئوية ، أو عادية ، أو غير طبيعية ، أو نموذجية ، على التوالي.

علم الدلالة من المنطق الافتراضي
يمكن تطبيق قاعدة افتراضية على نظرية إذا كانت الشرط المسبق لها متضمنة في النظرية ومبرراتها كلها متوافقة مع النظرية. تطبيق القاعدة الافتراضية يؤدي إلى إضافة نتائجه إلى النظرية. ويمكن بعد ذلك تطبيق قواعد افتراضية أخرى على النظرية الناتجة. عندما تكون النظرية بحيث لا يمكن تطبيق أي تقصير آخر ، فإن النظرية تسمى امتدادًا للنظرية الافتراضية. يمكن تطبيق القواعد الافتراضية بترتيب مختلف ، وقد يؤدي ذلك إلى إضافات مختلفة. مثال الماس Nixon هو نظرية افتراضية بملحقين:

بما أن نيكسون هو جمهوري وكويكر ، يمكن تطبيق كلا الافتراضات. ومع ذلك ، فإن تطبيق الافتراضي الأول يؤدي إلى الاستنتاج بأن نيكسون ليس من دعاة السلام ، الأمر الذي يجعل التقصير الثاني غير قابل للتطبيق. بنفس الطريقة ، تطبيق الافتراضي الثاني نحصل على أن نيكسون هو من دعاة السلام ، وبالتالي جعل التقصير الأول لا ينطبق. هذه النظرية الافتراضية المعيّنة لها إذن امتدادان ، أحدهما فيه الهاديء (نيكسون) صحيح ، والآخر فيه مزيف (نيكسون) زائف.

استندت الدلالات الأصلية للمنطق الافتراضي إلى النقطة الثابتة للدالة. ما يلي هو تعريف خوارزمي مكافئ. إذا آﺎن اﻻﻓﺘﺮاﺿﻲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺻﻴﻎ ذات ﻣﺘﻐﻴﺮات ﻣﺠﺎﻧﻴﺔ ، ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻌﺘﺒﺮ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ آﺎﻓﺔ اﻹﻋﺪادات اﻻﻓﺘﺮاﺿﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺈﻋﻄﺎء ﻗﻴﻤﺔ ﻟﺠﻤﻴﻊ هﺬﻩ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮات.افتراضي  قابل للتطبيق على نظرية اقتراح T إذا  وجميع النظريات متسقة. تطبيق هذا الافتراضي على T يؤدي إلى النظرية  . يمكن إنشاء ملحق من خلال تطبيق الخوارزمية التالية:

T=W           /* current theory */A=0           /* set of defaults applied so far */ 
              /* apply a sequence of defaults */while there is a default d that is not in A and is applicable to T
  add the consequence of d to T
  add d to A
 
              /* final consistency check */if 
  for every default d in A
    T is consistent with all justifications of d
then
  output T

هذه الخوارزمية غير حتمية ، حيث يمكن تطبيق العديد من الافتراضات بشكل بديل على نظرية معينة T. في مثال الماس Nixon ، يؤدي تطبيق الافتراضي الأول إلى نظرية لا يمكن تطبيق التقصير الثاني والعكس بالعكس. ونتيجة لذلك ، يتم إنشاء اثنين من التمديدات: واحد في نيكسون هو من دعاة السلام والتي لا نيكسون ليس من دعاة السلام.

إن التحقق النهائي من تناسق مبررات جميع الافتراضات التي تم تطبيقها يعني ضمناً أن بعض النظريات لا تحتوي على أي تمديدات. على وجه الخصوص ، يحدث هذا عندما يفشل هذا التحقق لكل تسلسل ممكن من الافتراضات السارية. النظرية الافتراضية التالية ليس لها امتداد:

منذ  يتفق مع نظرية الخلفية ، يمكن تطبيق التقصير ، مما يؤدي إلى استنتاج ذلك  هو زائف. لكن هذه النتيجة تقوض الافتراض الذي تم إجراؤه لتطبيق التقصير الأول. وبالتالي ، فإن هذه النظرية لا تحتوي على تمديدات.

في النظرية الافتراضية الافتراضية ، تكون جميع الافتراضات طبيعية: فكل افتراض يحتوي على النموذج  . يضمن النظرية الافتراضية العادية أن يكون لها امتداد واحد على الأقل. علاوة على ذلك ، فإن امتدادات النظرية الافتراضية العادية غير متناسقة بشكل متبادل ، أي أنها لا تتفق مع بعضها البعض.

توريث
يمكن أن تحتوي النظرية الافتراضية على صفر أو واحد أو أكثر من الإضافات. يمكن تعريف صيغة صيغة من نظرية افتراضية بطريقتين:

مرتاب
تستلزم الصيغة نظرية افتراضية إذا كانت متضمنة في جميع تمديداتها ؛

ساذج
يتم استدلال صيغة بواسطة نظرية افتراضية إذا كان ينطوي على واحد على الأقل من ملحقاته.

وهكذا ، فإن نظرية مثال نيكسون للماس لها امتدادان ، أحدهما نيكسون هو من دعاة السلام ، والآخر ليس فيه من دعاة السلام. ونتيجة لذلك ، لا ينطوي ذلك على أي من الحقدين السلميين (نيكسون) ولا “الناشط” (نيكسون) ، ولكن كلاهما ينطوي على مصداقية. كما يوضح هذا المثال ، قد تكون العواقب الوخيمة لنظرية افتراضية غير متناسقة مع بعضها البعض.

قواعد الاستدلال الافتراضية البديلة
تستند قواعد الاستدلال البديلة التالية للمنطق الافتراضي إلى نفس بنية النظام الأصلي.

برر
يختلف عن الأصل في أنه لا يتم تطبيق التخلف عن السداد إذا كان هذا يعني أن T لا يتعارض مع مبرر للتقصير الافتراضي.

مختصرا
يتم تطبيق التقصير فقط إذا كانت ناتجه غير متضمنة بالفعل من قبل T (التعريف الدقيق أكثر تعقيدًا من هذا ، وهذه ليست سوى الفكرة الرئيسية وراء ذلك) ؛

مقيدة
يتم تطبيق التقصير فقط إذا كانت المجموعة المكونة من نظرية الخلفية ، ومبررات جميع الافتراضات المطبقة ، وعواقب جميع حالات التخلف عن السداد (بما في ذلك هذه الحالة) متناسقة ؛

معقول
تشبه المنطق الافتراضي المقيَّد ، ولكن لا يتم اعتبار نتيجة الإضافة الافتراضية في تدقيق التناسق ؛

حذر
لا يتم تطبيق الافتراضات التي يمكن تطبيقها ولكن تتعارض مع بعضها البعض (مثل تلك من مثال الماس نيكسون).

وتخصص الإصدارات المبررة والمقيدة لقاعدة الاستنتاج امتدادًا على الأقل لكل نظرية افتراضية.

المتغيرات من المنطق الافتراضي
تختلف المتغيرات التالية للمنطق الافتراضي عن المنطق الأصلي على كل من البنية اللغوية والدلالات.

المتغيرات التأكيدية
التأكيد هو زوج  تتألف من صيغة ومجموعة من الصيغ. يشير هذا الزوج إلى أن p صحيح أثناء الصيغ تم افتراض أنها ثابتة لإثبات أن p صحيح. تتألف نظرية التقصير الافتراضية من نظرية تأكيدية (مجموعة من الصيغ المؤكدة) تسمى نظرية الخلفية ومجموعة من الافتراضات المحددة في بناء الجملة الأصلي. عندما يتم تطبيق التقصير على نظرية التوكيد ، يتم إضافة الزوج المكون من عواقبه ومجموعته من التبريرات إلى النظرية. تستخدم الدلالات التالية نظريات التوكيد:

المنطق الافتراضي التراكمي
الالتزام بالافتراضات المنطقية الافتراضية
منطق شبه افتراضي

إضافات ضعيفة
بدلاً من التحقق مما إذا كانت الشروط المسبقة صالحة في النظرية المكونة من نظرية الخلفية وعواقب التخلف عن السداد ، يتم التحقق من الشروط المسبقة للتأكد من صلاحيتها في الامتداد الذي سيتم إنشاؤه ؛ بعبارة أخرى ، تبدأ الخوارزمية لتوليد التمديدات بتخمين نظرية واستخدامها بدلاً من نظرية الخلفية ؛ ما هي النتائج من عملية تمديد الإرشاد في الواقع امتداد فقط إذا كان يعادل النظرية التي خمنت في البداية.ويرتبط هذا البديل من المنطق الافتراضي من حيث المبدأ بالمنطق الذاتي ، حيث النظرية  لديه النموذج الذي يكون فيه x صحيحًا فقط ، على افتراض  صحيح ، الصيغة  يدعم الافتراض الأولي.

منطق افتراضي منفصل
نتيجة الافتراضي هي مجموعة من الصيغ بدلاً من صيغة واحدة. كلما تم تطبيق التقصير ، يتم اختيار واحد على الأقل من عواقبه بشكل غير محدود وصحيح.

أولويات على التخلف
يمكن تحديد الأولوية النسبية للتخلف بشكل صريح ؛ بين الافتراضات التي تنطبق على النظرية ، يمكن تطبيق واحد فقط من أكثرها تفضيلاً. لا تتطلب بعض دلالات المنطق الافتراضي تحديد الأولويات بشكل صريح ؛ بدلاً من ذلك ، يفضل أن تكون التخلفات الأكثر تحديدًا (تلك القابلة للتطبيق في حالات أقل) على حالات أقل تحديدًا.

الشكل الإحصائي
التقصير الإحصائي هو تقصير مع وجود حد علوي متصل على تردده للخطأ ؛ وبعبارة أخرى ، يفترض الافتراضي أن تكون قاعدة الاستنتاج غير صحيحة في أقصى جزء من مرات تطبيقه.

ترجمة
يمكن ترجمة النظريات الافتراضية إلى نظريات في المنطقيات الأخرى والعكس صحيح. تم النظر في الشروط التالية على الترجمات:

، الحفاظ على النتيجة
النظريات الأصلية والمترجمة لها نفس النتائج (الافتتاحية) ؛

مؤمن
يكون هذا الشرط منطقيًا فقط عند الترجمة بين منطقتين مختلفتين للمنطق الافتراضي أو بين المنطق الافتراضي والمنطق الذي يوجد فيه مفهوم شبيه بالتمديد ، على سبيل المثال ، نماذج في المنطق الشائع ؛ تكون الترجمة مخلصة إذا كان هناك رسم خرائط (عادة ، حيل) بين تمديدات (أو نماذج) من النظريات الأصلية والمترجمة.

وحدات
تكون الترجمة من المنطق الافتراضي إلى منطق آخر نموذجية إذا كان من الممكن ترجمة الافتراضات ونظرية الخلفية بشكل منفصل ؛ علاوة على ذلك ، فإن إضافة الصيغ إلى نظرية الخلفية يؤدي فقط إلى إضافة الصيغ الجديدة إلى نتيجة الترجمة ؛

نفس الأبجدية
بنيت النظريات الأصلية والمترجمة على نفس الأبجدية ؛

متعدد الحدود
مطلوب وقت تشغيل الترجمة أو حجم النظرية المولدة لتكون متعددة الحدود في حجم النظرية الأصلية.

عادة ما تكون الترجمة مطلوبة لتكون مخلصة أو على الأقل الحفاظ على النتيجة ، في حين يتم في بعض الأحيان تجاهل شروط النمطية والأبجدية نفسها.
تمت دراسة قابلية الترجمة بين المنطق الافتراضي المقترح والمنطق التالي:

منطق اقتراح تقليدي
منطق ذاتي.
المنطق الافتراضي المقترح مقيدًا بالنظريات الإلزامية ؛
دلالات بديلة للمنطق الافتراضي.
التقييد.

الترجمات موجودة أو لا تعتمد على الشروط المفروضة. إن الترجمات من المنطق الافتراضي التقديمي إلى المنطق التقليدي المقترح لا يمكن دائمًا أن تولد نظرية اقترابية ذات حجم متعدد الحدود ، إلا إذا انهار التسلسل الهرمي متعدد الحدود. توجد ترجمات لمنطق autopistemic المنطقية أو لا تعتمد على ما إذا كانت هناك حاجة إلى نمطية أو استخدام الأبجدية نفسها.

تعقيد
يعرف التعقيد الحسابي للمشكلات التالية حول المنطق الافتراضي:

وجود ملحقات
تقرير ما إذا كانت نظرية افتراضية التقصير لها امتداد واحد على الأقل  -اكتمال؛

شكوى متشككة
تقرير ما إذا كانت نظرية التقصير الافتراضية تنطوي على شكوى صيغة الاقتراح هو  -اكتمال؛

الاعتدال العجيب
اتخاذ قرار ما إذا كانت نظرية الافتراض التقديري تنطوي على مصادفة على صيغة اقتراح هي  -اكتمال؛

فحص الامتداد
تقرير ما إذا كانت صيغة اقتراح ما يعادل امتداد لنظرية التقصير الافتراضية  -اكتمال؛

فحص النماذج
تقرير ما إذا كان تفسير الاقتراح هو نموذج لتمديد نظرية افتراضية التقصير هو  -اكتمال.

تطبيقات
هناك ثلاثة أنظمة تقوم بتنفيذ المنطق الافتراضي هي DeReS XRay و GADeL