运动学

运动学(Kinematics)是物理学的一个分支,它描述了固体物体的运动,而没有考虑起源的原因(力量),主要局限于时间函数的历史研究。 为此,它使用速度和加速度,描述位置如何随时间变化。 速度被确定为位移和所用时间之间的商,而加速度是速度变化和使用时间之间的商。

运动学的基本要素
运动学的基本要素是空间,时间和移动。

在经典力学中,允许存在绝对空间,即在所有物质对象之前的空间并且独立于这些空间的存在。 这个空间是所有物理现象发生的阶段,并且假设所有物理定律都在物理学的所有区域得到严格实现。 物理空间通过欧几里德空间在经典力学中表示。

类似地,经典力学承认存在绝对时间,该绝对时间在宇宙的所有区域中以相同的方式发生,并且独立于物质对象的存在和物理现象的发生。

可以考虑的最简单的移动是材料或粒子点; 当在运动学中研究这个特定的移动案例时,它被称为粒子运动学,当研究中的移动体是刚体时,它可以被认为是粒子系统和广泛的模拟概念; 在这种情况下,它被称为刚性固体或刚体的运动学。

经典运动学的基础
运动学涉及对一般物体运动的研究,特别是物质点运动的简化情况,但不研究物体运动的原因,而只是描述它们的轨迹以及如何在它们的前进中重新定位。 对于许多粒子系统,例如流体,运动定律在流体力学中进行了研究。

由粒子跟踪的运动由观察者相对于参考系统测量。 从数学角度来看,运动学表达了如何改变粒子的位置坐标与时间的关系。 描述身体(或粒子)行进轨迹的数学函数取决于速度(移动装置改变位置的速度)和加速度(速度相对于时间的变化)。

粒子(或刚体)的运动可以根据速度和加速度值来描述,它们是矢量幅度:

如果加速度为零,则产生均匀的直线运动,并且速度随时间保持恒定。

如果加速度与速度方向恒定,则会产生均匀加速的直线运动,速度会随时间变化。
如果加速度在垂直于速度的方向上是恒定的,则它产生均匀的圆周运动,其中速度的模数是恒定的,随时间改变其方向。

当加速度恒定并且与速度和轨迹处于同一平面时,发生抛物线运动,其中加速度方向上的速度分量表现为均匀加速的直线运动,垂直分量表现为均匀直线运动,并且在组合两者时产生抛物线轨迹。

当加速度恒定但与速度和轨迹不在同一平面时,观察到科里奥利效应。

在简谐运动中,存在周期性摆动运动,如摆锤的运动,其中主体在一定方向上以相等的时间间隔从平衡位置从一侧摆动到另一侧。 加速度和速度是函数,在这种情况下,是时间的正弦曲线。

当考虑广泛的身体的平移运动时,在作为刚体的情况下,知道其中一个粒子如何移动,推断出其他粒子如何移动。 更具体地说:

在二维平面运动中,如果已知固体的2点运动,则确定整个固体的运动

在一般的三维运动中,如果已知固体的4点运动,则确定运动。

因此,考虑到身体的一个点,例如身体的质心或任何其他,整个身体的运动可以表示为:

其中:
 ,是时刻t上身体上一个点的位置。
 ,是时间t的参考点(例如重心)的位置。
 ,是一个旋转矩阵,它解释了在时间t周围身体自身的旋转,计算这个矩阵足以知道除参考点之外的其他3个点的位置(如果运动是平的,则更多1点) 。

在给出的旋转运动的描述中  我们必须考虑主体旋转的旋转轴和粒子相对于旋转轴的分布。刚性固体旋转运动的研究通常包含在刚性固体力学的主题中,因为它更复杂(主要方向是  与特征值1相关联,在每个时刻t)给出旋转轴。

一个有趣的运动是旋转陀螺,在转动时可以进行进动和章动运动。 当一个物体同时有多个运动时,例如平移和另一个旋转,你可以在参考系统中分别研究每个运动,然后叠加这些运动。

协调系统
在运动研究中,最有用的坐标系是看到要行进的路径的极限或分析影响运动的加速度的几何效应。 因此,为了描述被迫沿着圆环移动的脚跟的运动,最有用的坐标将是在环上描绘的角度。 以同样的方式,为了描述受到中心力作用的粒子的运动,极坐标将是最有用的。

在绝大多数情况下,运动学研究是在笛卡尔坐标系统上进行的,使用一维,二维或三维,根据身体遵循的轨迹。

运动记录
今天的技术为我们提供了许多记录身体运动的方法。 因此,为了测量车辆的速度,可以使用交通雷达,其操作基于多普勒效应。 转速计是基于车轮旋转频率的车辆速度的指示器。 步行者具有检测通道的特征振动的计步器,并且假设每个步骤的特征平均距离,它们允许计算行进的距离。 视频以及图像的计算机分析还允许确定车辆的位置和速度。

运动类型

直线运动
它是移动设备描述直线轨迹的那个。

均匀的直线运动
在该运动中,移动装置以恒定的V速度沿直线移动; 加速度a始终为零。 这对应于物体在任何相互作用之外被投掷到空间中的运动,或者对应于在没有摩擦的情况下滑动的物体的运动。 由于速度V是常数,因此位置将相对于时间线性变化,根据等式:






其中  是移动设备相对于坐标中心的初始位置,也就是说  。

 前面的等式对应于以函数的图形表示穿过原点的线  。

直线运动均匀加速或变化

在此运动中,加速度是恒定的,因此移动速度随时间线性变化并且位置呈时间变化。 控制此运动的方程式如下:







由于时间的增加,最终速度等于移动设备的初始速度加上加速度。  普通:

最终速度等于初始速度加上时间加速度。
从计算速度的关系开始:







其中  ,  初始速度,你所拥有的  , 我们有。

注意,如果加速度为零,则先前的等式将对应于均匀直线运动的那些,即速度  不变。如果其余的身体部分加速均匀,那么  。

MRUA的两个特定情况是自由落体和垂直射击。 自由落体是物体向地球中心落下的运动,其加速度相当于重力加速度(在海平面上行星地球的情况下约为9.8米/秒2)。 另一方面,垂直镜头对应于在与地球中心相反方向投掷的物体的高度,获得高度。 在这种情况下,重力加速会导致物体失速,而不是赢得它,直到达到休息状态; 然后,从那里开始一个初始速度为零的自由落体运动。

简谐运动
它是周期性的来回运动,其中身体在某个方向上以相等的时间间隔在平衡位置的任一侧振荡。 在数学上,行进的路径使用三角函数表示为时间的函数,三角函数是周期性的。 例如,对于尺寸移动的情况,相对于时间的位置方程是:


要么

这对应于频率正弦函数  ,幅度A和初始阶段  。

摆锤的运动,附着在弹簧上的质量块或晶格中的原子的振动具有这些特征。

从平衡点开始,身体所经历的加速度与物体的位移和相反的方向成比例。 数学:

其中  这是一个积极的常数  ,指伸长(身体从平衡位置的位移)。

该微分方程的解决方案导致前一形式的三角函数。 从逻辑上讲,真实的振荡周期性运动会随着时间的推移而减慢(主要是摩擦力),因此加速度的表达更加复杂,需要添加与摩擦相关的新术语。 对现实的一个很好的近似是对阻尼振荡运动的研究。

抛物线运动
抛物线运动可以分析为两个不同直线运动的组成:一个水平(根据x轴)恒定速度和另一个垂直(根据y轴)均匀加速,具有重力加速度; 两者的组成导致抛物线轨迹。
显然,速度的水平分量保持不变,但垂直分量和角度θ在运动过程中发生变化。

初始速度矢量  形成一个初始角度  相对于x轴; 并且,如上所述,分析它被分解为所提到的两种类型的运动; 在此分析下,根据初始速度的x和y的分量将是:


水平位移由均匀运动定律给出,因此其方程将是(如果考虑的话)

 ):


只要根据轴运动  将是直线均匀加速,是它的方程式:



如果您更换并操作以消除时间,则使用给出位置的方程式  和  ,获得xy平面中轨迹的方程:

具有一般形式

并代表平面y(x)中的抛物线。 显示了这种表示,但在其中已经考虑过了  (在相应的动画中不是这样)。 在这个图中,还观察到当抛物线的垂直分量时,抛物线轨迹中的最大高度将出现在H中。  为空(抛物线的最大值); 并且水平到达  将在身体返回地面时发生 (抛物线切割轴的地方  )。

圆周运动
实际上的圆形运动是一种非常常见的运动类型:它们经历它,例如,在其轴上旋转的圆盘的颗粒,摩天轮的颗粒,钟表的那些,托盘的那些。在盘绕固定轴旋转的情况下,其任何点描述圆形轨迹,在特定时间间隔期间执行一定数量的匝数。 对于这种运动的描述,可以方便地参考角度; 因为后者对于盘的所有点都是相同的(指的是相同的中心)。 盘的一个点行进的弧的长度取决于其位置,并且等于其到轴或旋转中心的距离所行进的角的乘积。 角速度(ω)定义为相对于时间的角位移,并由垂直于旋转平面的矢量表示; 它的方向是通过应用“右手规则”或开瓶器来确定的。 角加速度(α)证明是角速度相对于时间的变化,并且它由类似于角速度的矢量表示,但它可以具有或不具有相同的方向(取决于它是否加速)或延迟)。
粒子的速度(v)是矢量幅度,其模数表示每单位时间内行进的弧(空间)的长度; 所述模块也称为速度或速度。 它由一个矢量表示,该矢量的方向与圆形路径相切并与运动的方向一致。

粒子的加速度(a)是矢量幅度,表示速度随时间变化的速度; 也就是说,每单位时间的速度矢量的变化。 加速度通常有两个组成部分:与轨迹相切的加速度和与其垂直的加速度。 切向加速度是导致速度模量(快速度)随时间变化的原因,而正常加速度是速度方向变化的原因。 两个加速度分量的模块取决于粒子与旋转轴的距离。

均匀的圆周运动
其特征在于具有可变速度或结构常数,使得角加速度为零。 粒子的线速度的模量不变,但方向不变。切向加速度为零; 但是存在向心加速度(正常加速度),这是方向变化的原因。
在数学上,角速度表示为:

其中  是角速度(常数),  是粒子扫过的角度的变化  这是时间的变化。 在一个时间间隔内行进的角度是:

均匀加速的圆周运动
在该运动中,角速度随时间线性变化,因为移动装置受到恒定的角加速度。 运动方程类似于均匀加速直线运动方程,但使用角度而不是距离: 

存在  ,恒定的角加速度。

复杂的谐波运动
它是一种二维或三维运动,可以构造为不同方向的简谐运动的组合。 当结构受到振动时,如果运动的幅度很小,则特定材料点的运动通常可以通过复杂的谐波运动来建模。

复杂的谐波运动很有意思,因为它通常不是一个周期性的运动,而是一个永远不会完全重复的准周期运动,尽管它几乎不会重复循环而没有完全重复。 执行此运动的点的矢量形式证明是:

其中  它们是三个空间方向的最大振幅,  是振荡频率和  初始阶段(初始条件允许计算幅度和相位)。 频率取决于系统的特性(质量,刚度等)。

均匀圆周运动实际上是复杂谐波运动的情况,其中两个方向上的幅度等于圆的半径  ,两个方向的频率重合  并且存在特定差距的关系  。 如果幅度不相等或滞后不完全给定,这种运动的轨迹,但频率相等,结果是椭圆运动。

固体运动
上面描述的所有运动都指的是具体的材料点或小体,也就是说物理体相对于轨迹的大小具有小的尺寸,因此它们可以通过材料点来近似。 然而,宏观物理体并不准时,在许多情况下,身体整体运动需要更复杂的描述,而不是假设其所有点都遵循远大于身体各点之间距离的轨迹,因此描述身体作为一个物质点是不充分的,物质点的运动学太简单,不足以描述身体的运动学。 在这些情况下,必须使用刚性固体的运动学,其中身体的“轨迹”被赋予比简单的三维欧几里德空间更复杂或更丰富的空间,因为有必要不仅定义身体通过所述空间,但通过旋转运动指定身体在其运动中的方向变化。

具有微积分的数学公式
速度是位置矢量的时​​间导数,加速度是速度的时间导数:

或其整数表达式:

其中  他们是最初的条件。

地球上的运动
当观察地球在气象或射弹等大量空气中的运动时,所谓的科里奥利效应会产生偏差。 它们用于证明地球在其轴上旋转。 从电影的角度来看,有趣的是解释在考虑从旋转的参考系统 – 地球观察到的轨迹时会发生什么。

假设赤道上的大炮沿着子午线向北发射射弹。 位于子午线北面的观察者观察到射弹落在预测物体的东边,偏向轨道的右侧。 同样,如果射弹沿着子午线向南射击,则射弹也会偏向东方,在这种情况下,弹道向左移动。 由科里奥利效应引起的这种“偏差”的解释是由于地球的旋转。 弹丸具有三个分量的速度:两个分别影响抛物线射击,朝向北(或南)和向上,以及在离开峡谷之前由于射弹垂直于前一个射弹的第三个分量,速度等于地球在赤道的旋转速度。 速度的最后一个组成部分是观察到偏差的原因,因为虽然地球的旋转角速度在整个表面上是恒定的,但它不是线性旋转速度,在赤道处最大,在中心处为零。两极。 因此,射弹向北(或南方)前进,向东移动比地球表面更快,因此观察到所提到的偏差。

另一个有趣的地球运动案例是福柯钟摆。 摆锤的摆动平面不会保持固定,但我们观察到它旋转,在北半球顺时针转动,在南半球逆时针转动。 如果摆锤在赤道处振荡,则振荡平面不会改变。 另一方面,在极点处,振荡平面的旋转需要一天。 对于中纬度,取决于纬度,它需要更高的值。 对这种转弯的解释是基于先前对炮兵射弹所做的相同原理。

相对论运动学
在相对论中,绝对的是真空中的光速,而不是空间或时间。 惯性参考系统中的每个观察者,无论其相对速度如何,都将测量与另一个系统中的另一个观察者相同的光速。 从经典的观点来看,这是不可能的。 两个参考系统之间的运动变换必须考虑到这一事实,从而产生了洛伦兹变换。 它们表明空间维度和时间是相关的,因此在相对论中谈论时空和四维空间是正常的。

有很多相对论效应的实验证据。 例如,在实验室中测量的以接近光的速度产生的颗粒的崩解所测量的时间高于当相对于实验室静止产生颗粒时测量的衰减。 这可以通过在第一种情况下发生的相对论时间膨胀来解释。

运动学是曲线微分几何的一种特殊情况,其中所有曲线都以相同的方式参数化:随着时间的推移。 对于相对论情况,坐标时间是每个观察者的相对度量,因此需要使用某种类型的不变量度作为相对论间隔,或等效于具有自身时间质量的粒子。 观察者的坐标时间与适当的时间之间的关系由洛伦兹因子给出。