Валидность в логике

В логике аргумент действителен тогда и только тогда, когда он принимает форму, которая делает невозможным, чтобы предпосылки были истинными, а заключение, тем не менее, ложным. Не требуется, чтобы у действительного аргумента были предпосылки, которые на самом деле верны, но должны быть предпосылки, которые, если бы они были истинными, гарантировали бы истинность заключения аргумента. Формула действительна тогда и только тогда, когда она верна для каждой интерпретации, а форма аргумента (или схема) действительна тогда и только тогда, когда каждый аргумент этой логической формы действителен.

Понятие интерпретации, которое является центральным в этом объяснении, может быть интуитивно понято как обобщение присваивания переменной в логической логике с пониманием: понять только переменные суждения формулы высказывания можно формулой как целым атрибутом истинного значения. В более сложной логике также должны быть назначены формальные компоненты формулы, которые определяют истинное значение общей формулы. Например, в логике предикатов происходит определение юниверса и назначение символов предиката для предикатов (в этом юниверсе) и функциональных символов для функций (в этом юниверсе). Только путем обращения к набору объектов в рассматриваемом мире можно установить, может ли формула быть выполнена и всегда ли она выполняется, то есть универсально действительна.

В следующей таблице перечислены некоторые тесно связанные термины и синонимы. Столбцы и  находятся в отношении эквивалентности, например, B. в этом случае является универсально действительным, если    оно неудовлетворительно.

Синонимы состояние
универсальный тавтологический (в логике высказываний) Все интерпретации соответствуют формуле. недостижимый
выполнима последовательный, последовательный Существует интерпретация, которая удовлетворяет формуле. фальсифицировать
фальсифицировать опровержимый Существует интерпретация, которая опровергает формулу. выполнима
недостижимый противоречивый, противоречивый Никакая интерпретация не соответствует формуле. универсальный

Аргументы
Аргумент действителен тогда и только тогда, когда истинность его посылок влечет за собой истинность его заключения, и каждый шаг, под-аргумент или логическая операция в аргументе действительны. В таких условиях было бы противоречиво утверждать посылку и опровергать заключение. Соответствующее условие действительного аргумента является логической истиной, а отрицание соответствующего условия – противоречием. Вывод является логическим следствием его посылок.

Недопустимый аргумент называется недействительным.

Примером правильного аргумента является следующий известный силлогизм:

Все люди смертны.
Сократ это человек.
Поэтому Сократ смертен.

То, что делает это действительным аргументом, состоит не в том, что оно имеет истинные предпосылки и истинное заключение, а в логической необходимости заключения, учитывая две предпосылки. Аргумент был бы столь же действительным, если бы предпосылки и заключение были ложными. Следующий аргумент имеет ту же логическую форму, но с ложными предпосылками и ложным выводом, и он одинаково действителен:

Все чашки зеленые.
Сократ это чашка.
Поэтому Сократ зеленый.

Независимо от того, как может быть построена вселенная, никогда не может быть [почему?], Что эти аргументы должны иметь одновременно истинные предпосылки, но ложное заключение. Приведенные выше аргументы могут быть противопоставлены следующему:

Все люди бессмертны.
Сократ это человек.
Поэтому Сократ смертен.

В этом случае вывод противоречит дедуктивной логике предыдущих посылок, а не вытекает из нее. Следовательно, аргумент логически «недействителен», хотя заключение можно считать «верным» в общих чертах. Предпосылка «Все люди бессмертны» также будет считаться ложной вне рамок классической логики. Однако в этой системе «истина» и «ложь» по существу функционируют больше как математические состояния, такие как двоичные 1 и 0, чем философские концепции, обычно связанные с этими терминами.

Стандартное представление состоит в том, что допустимость аргумента зависит от его логической формы. Многие методы используются логиками для представления логической формы аргумента. Простой пример, примененный к двум из приведенных выше иллюстраций, следующий: пусть буквы «P», «Q» и «S» обозначают соответственно группу людей, группу смертных и Сократ. Используя эти символы, первый аргумент может быть сокращен как:

Все P являются Q.
S является P.
Следовательно, S является Q.

Точно так же второй аргумент становится:

Все P не являются Q.
S является P.
Следовательно, S является Q.
Аргумент называется формально действительным, если он имеет структурную самосогласованность, т. Е. Если все операнды между помещениями являются истинными, полученное заключение всегда также верно , В третьем примере исходные предпосылки не могут логически привести к выводу и поэтому классифицируются как недопустимый аргумент.

Допустимая формула
Формула формального языка является действительной формулой тогда и только тогда, когда она верна при любой возможной интерпретации языка. В логике высказываний это тавтологии.

Эти аргументы действительны, потому что они оба имеют форму дизъюнктивного силлогизма, который является допустимой схемой аргументов:

poq
No p
Следовательно, q
Чтобы определить достоверность конкретного аргумента, достаточно определить действительность его схемы аргументов, и это может быть достигнуто семантическими или синтаксическими средствами.

Семантический метод
В семантическом методе схема аргумента считается действительной, когда невозможно допустить, чтобы предпосылки были истинными, а заключение – ложным. Чтобы определить, так ли это, предполагается правдивость посылок, и, применяя определения истины, каждый пытается вывести истину из заключения. Кроме того, предпосылки должны быть истинными, а заключение – ложным, и, применяя определения истины, делается попытка вывести противоречие (доведение до абсурда).

В логике высказываний альтернативным методом является преобразование аргумента в соответствующую ему формулу и построение таблицы истинности. Если формула оказывается логической истиной, то аргумент действителен. Это потому, что теорема о дедукции и ее обратное утверждение верны, но также и потому, что логика высказываний разрешима, и поэтому всегда допускает алгоритмическую процедуру, чтобы определить, является ли какая-либо формула логической истиной или нет.

{\ displaystyle {\ begin {array} {c |  с ||  с |  с |  с |  c} p & q & (p \ lor q) & \ neg p & (p \ lor q) \ land \ neg p & [(p \ lor q) \ land \ neg p] \ to q \\\ hline V & V & V & F & F & V \\ V & F & V & F & F & V \\ F & V & V & V & V & V \\ F & F & F & V & F & V \ \\ end {array}}}

Синтаксический метод
В синтаксическом методе схема аргумента считается действительной, когда имеется вывод заключения из помещения аргумента и аксиом системы, используя только допустимые правила вывода.

В естественной системе вычетов это похоже на то, что множество аксиом пусто, схема аргументов будет действительной, когда есть вывод заключения из помещения, используя только допустимые правила длины.

Заявления
Заявление можно назвать действительным, то есть логической истиной, если оно истинно во всех интерпретациях.

Обоснованность обоснованности
вывода не зависит от истинности предпосылки или истинности заключения. Следующий вывод совершенно действителен:

Все животные живут на Марсе.
Все люди животные.
Поэтому все люди живут на Марсе.

Проблема с аргументом в том, что это не так. Для того чтобы дедуктивный аргумент был обоснованным, дедукция должна быть действительной, а все предпосылки – верными.

Теория модели удовлетворенности анализирует формулы относительно конкретных классов интерпретации в подходящих математических структурах. При таком чтении формула действительна, если все такие интерпретации делают ее верной. Вывод действителен, если все интерпретации, которые подтверждают предпосылки, подтверждают заключение. Это известно как семантическая валидность.

Сохранение
В действительности, сохраняющей истину, интерпретация, при которой всем переменным присваивается истинное значение «истина», создает истинное значение «истина».

В достоверности, сохраняющей ложь, интерпретация, при которой всем переменным присваивается истинное значение «ложь», создает истинное значение «ложь».

Сохранение свойств Логические соединительные предложения
Истинное и ложное сохранение: Предложение • Логическое соединение (И,  \земельные участки  ) • Логическое дизъюнкция (ИЛИ,  \ лор  )
Истинное сохранение только: Тавтология (  \Топ  ) • Двухусловное (XNOR,  \ leftrightarrow  ) • Импликация (  \правая стрелка  ) • Обратное значение (  \ LeftArrow  )
Только ложное сохранение: Противоречие (  \ бот  ) • Исключительная дизъюнкция (XOR,  \ oplus  ) • Неявное (  \ nrightarrow  ) • Обратное неявное (  \ nleftarrow  )
Non сохраняющих: Отрицание (  \ отр  ) • Альтернативное отрицание (NAND,  \стрелка вверх  ) • Совместное отрицание (NOR,  \стрелка вниз  )