Кинематика частиц

Кинематика частиц — это исследование траектории частицы. Положение частицы определяется как вектор координат от начала координат к частице.

Кинематика траектории частицы в невращающейся системе отсчета
В наиболее общем случае для определения положения частицы используется трехмерная система координат. Однако, если частица ограничена движением на поверхности, достаточно двумерной системы координат. Все наблюдения в физике являются неполными без тех наблюдений, которые описываются относительно системы отсчета.

Вектор положения частицы представляет собой вектор, отснятый от начала отсчета к частице.Он выражает как расстояние точки от начала координат, так и направление от начала координат. В трех измерениях положение точки P может быть выражено как 

где  ,  , а также  являются декартовыми координатами и  ,  а также являются единичными векторами вдоль  ,  , а также  координатных осей, соответственно. Величина вектора положения  дает расстояние между точкой  и происхождение.

Направляющие косинусы вектора положения обеспечивают количественную меру направления. Важно отметить, что вектор положения частицы не уникален. Вектор положения данной частицы отличается от разных систем отсчета.

Траектория частицы является векторной функцией времени,  , который определяет кривую, прослеженную движущейся частицей, заданную формулой 
где координаты x P , y P и z P — каждая функция времени.

Скорость и скорость
Скорость частицы представляет собой векторную величину, описывающую направление движения и величину движения частицы. Математически скорость изменения вектора положения точки по времени равна скорости точки. Рассмотрим отношение, образованное путем деления разности двух положений частицы на временной интервал. Это отношение называется средней скоростью по этому временному интервалу и определяется как Velocity = смещение / время

где ΔP — изменение вектора положения по временному интервалу Δt.
В пределе, когда временной интервал Δt становится все меньше и меньше, средняя скорость становится временной производной вектора положения, 

Скорость объекта равна величине | V | его скорости. Это скалярная величина:

где s — длина дуги, измеренная вдоль траектории частицы. Эта длина дуги, пройденная частицей с течением времени, является неубывающей величиной. Следовательно, ds / dt неотрицательно, что означает, что скорость также неотрицательна.

ускорение
Вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению или одновременно.Следовательно, ускорение представляет собой скорость изменения величины вектора скорости плюс скорость изменения направления этого вектора. Те же рассуждения, которые используются в отношении положения частицы для определения скорости, могут быть применены к скорости для определения ускорения. Ускорение частицы — это вектор, определяемый скоростью изменения вектора скорости. Среднее ускорение частицы за промежуток времени определяется как отношение.

где ΔV — разность вектора скорости, Δt — временной интервал.
Ускорение частицы является пределом среднего ускорения по мере приближения к нулю временного интервала, являющегося производной по времени, 
или же

Величина ускорения объекта равна величине | A | вектора ускорения. Это скалярная величина:

Относительный вектор положения

что является разницей между компонентами их векторов положения.

Если точка B имеет компоненты позиции 

то положение точки A относительно точки B является разницей между их компонентами: 

Относительная скорость
Скорость одной точки относительно другой — это просто разность их скоростей

что является разницей между компонентами их скоростей.
Если точка А имеет компоненты скорости 
и точка B имеет компоненты скорости 

то скорость точки A относительно точки B является разностью между их компонентами: 
Альтернативно, этот же результат можно получить, вычислив производную по времени вектора относительной позиции R B / A.

В случае, когда скорость близка к скорости света c (обычно в пределах 95%), в специальной теории относительности используется другая схема относительной скорости, называемая быстротой, которая зависит от отношения V к c.

Относительное ускорение
Ускорение одной точки C относительно другой точки B является просто разницей между их ускорениями.

что является разницей между компонентами их ускорений.
Если точка C имеет компоненты ускорения 
и точка B имеет компоненты ускорения 

то ускорение точки C относительно точки B является разницей между их компонентами: 
Альтернативно, этот же результат можно получить, вычислив вторую производную по времени относительного вектора положения P B / A.

Траектории частиц при постоянном ускорении
Для случая постоянного ускорения дифференциальное уравнение Eq 1) может быть интегрировано, так как вектор ускорения A точки P постоянный по величине и направлению.Говорят, что такая точка подвергается равномерно ускоренному движению . В этом случае скорость V (t), а затем траектория P (t) частицы может быть получена путем интегрирования уравнения ускорения A по времени.

Предполагая, что начальные условия позиции,  , и скорость  вовремя известны, первая интеграция дает скорость частицы как функцию времени.

Вторая интеграция дает свой путь (траектория),

Могут быть получены дополнительные соотношения между смещением, скоростью, ускорением и временем. Поскольку ускорение является постоянным,  можно заменить в приведенном выше уравнении, чтобы получить:

Связь между скоростью, положением и ускорением без явной зависимости от времени может быть достигнута путем решения среднего ускорения во времени и замены и упрощения

где ∘ обозначает точечный продукт, что является подходящим, поскольку продукты являются скалярами, а не векторами.

Точку можно заменить на косинус угла  между векторами и векторами по их величинам, и в этом случае:

В случае ускорения всегда в направлении движения угол между векторами (  ) равно 0, поэтому  , а также 

Это можно упростить, используя обозначения для величин векторов  где  может быть любой изощренный путь, принимаемый по мере того, как постоянное тангенциальное ускорение применяется вдоль этого пути , поэтому 

Это уменьшает параметрические уравнения движения частицы до декартовой зависимости скорости от положения. Это соотношение полезно, когда время неизвестно. Мы также знаем, что  или же  — площадь под av, t graph. Мы можем принять добавив верхнюю и нижнюю области. Нижняя область представляет собой прямоугольник, а площадь прямоугольника —  где  это ширина и  это высота. В этом случае  а также  (обратите внимание, что  здесь отличается от ускорения  ). Это означает, что нижняя область  , Теперь давайте найдем верхнюю область (треугольник). Площадь треугольника  где  является базой и  это высота. В этом случае,  &  или же  , Добавление  а также приводит к уравнению  приводит к уравнению  , Это уравнение очень полезно, когда конечная скорость  неизвестно.

Траектории частиц в цилиндрических полярных координатах
Часто удобно формулировать траекторию частицы P (t) = (X (t), Y (t) и Z (t)) с использованием полярных координат в плоскости X-Y. В этом случае его скорость и ускорение приобретают удобный вид.

Напомним, что траектория частицы P определяется ее координатным вектором P, измеренным в фиксированной системе отсчета F. По мере перемещения частицы ее координатный вектор P (t) прослеживает свою траекторию, которая представляет собой кривую в пространстве, определяемую следующим образом:

где I, J, K и единичные векторы вдоль осей X, Y и оси Z опорного кадра F, соответственно.

Рассмотрим частицу P, которая движется только на поверхности круглого цилиндра R (t) = constant, можно выровнять ось Z неподвижной рамы F с осью цилиндра. Затем угол θ вокруг этой оси в плоскости X-Y может быть использован для определения траектории как, 

Цилиндрические координаты для P (t) можно упростить, введя радиальные и тангенциальные единичные векторы, 

и их производные по времени от элементарного исчисления:



 ,

Используя это обозначение, P (t) принимает вид:

где R постоянна в случае частицы, движущейся только на поверхности цилиндра радиуса R.

В общем случае траектория P (t) не ограничивается лежать на круговом цилиндре, поэтому радиус R изменяется со временем и траектория частицы в цилиндрически-полярных координатах становится:

Где R, тета и Z могут быть непрерывно дифференцируемыми функциями времени, а функция — для простоты. Вектор скорости V P является временной производной траектории P (t), которая дает:  ,

Аналогично, ускорение A P , которое является производной по времени от скорости V P , определяется следующим образом: 

Семестр  действует к центру кривизны пути в этой точке пути, обычно называется центростремительным ускорением. Семестр  называется ускорением Кориолиса.

Постоянный радиус
Если траектория частицы ограничена, чтобы она лежала на цилиндре, то радиус R постоянный, а векторы скорости и ускорения упрощаются. Скорость V P является временной производной траектории P (t),

Вектор ускорения становится:

Плоские круговые траектории
Частный случай траектории частицы на круговом цилиндре возникает, когда движение по оси Z отсутствует:

где R и Z 0 — постоянные. В этом случае скорость V P определяется по формуле:

где

— угловая скорость единичного вектора θ вокруг оси z цилиндра.
Ускорение A P частицы P теперь задается следующим образом:

Компоненты

называются соответственно радиальной и тангенциальной составляющими ускорения.
Обозначения для угловой скорости и углового ускорения часто определяются как

поэтому радиальные и тангенциальные компоненты ускорения для круговых траекторий также записываются как

Точечные траектории в теле, движущемся в плоскости

Матричное представление
Сочетание вращения и трансляции в плоскости R 2 может быть представлено некоторым типом матрицы 3×3, известной как однородное преобразование. Однородное преобразование 3×3 построено из матрицы вращения 2×2 A (φ) и вектора сдвига 2×1 d = (d x , d y ), как: 

Эти однородные преобразования выполняют жесткие преобразования на точках плоскости z = 1, то есть на точках с координатами p = (x, y, 1).

В частности, пусть p задает координаты точек в системе отсчета M, совпадающей с неподвижным фреймом F. Тогда, когда начало M смещается вектором переноса d относительно начала F и повернутым на угол φ относительно x-ось F, новые координаты в F точек в M задаются следующим образом:

Однородные преобразования представляют собой аффинные преобразования. Эта формулировка необходима, потому что перевод не является линейным преобразованием R 2 .Однако, используя проективную геометрию, так что R 2 считается подмножеством R 3 , переводы становятся аффинными линейными преобразованиями.

Чистый перевод
Если жесткое тело перемещается так, что его опорная рама М не вращается (∅ = 0) относительно неподвижного кадра F, движение называется чистым переводом. В этом случае траектория каждой точки тела является смещением траектории d (t) начала координат M, то есть: 

Таким образом, для тел в чистом переводе скорость и ускорение каждой точки P в теле определяются следующим образом: 

где точка обозначает производную по времени и V O и A O — скорость и ускорение, соответственно, начала движущегося кадра M. Напомним, что координатный вектор p в M постоянный, поэтому его производная равна нулю.

Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательная или угловая кинематика — это описание вращения объекта. Описание вращения требует некоторого метода для описания ориентации. Общие описания включают углы Эйлера и кинематику поворотов, индуцированных алгебраическими произведениями.

В дальнейшем внимание ограничивается простым вращением вокруг оси неподвижной ориентации. Для удобства выбрана ось z.

Позиция
Это позволяет описать поворот как угловое положение планарной системы отсчета М относительно фиксированного F вокруг этой общей оси z. Координаты p = (x, y) в M связаны с координатами P = (X, Y) в F по матричному уравнению:

где

— матрица вращения, которая определяет угловое положение М относительно F как функцию времени.

Скорость
Если точка p не движется в M, ее скорость в F определяется формулой

Удобно исключить координаты p и записать это как операцию на траектории P (t), 

где матрица

называется матрицей угловой скорости M относительно F. Параметр ω является временной производной угла θ, то есть:

ускорение
Ускорение P (t) в F получается как производная по времени от скорости,

который становится

где

— матрица углового ускорения M на F и

Описание вращения затем включает в себя эти три величины:

Угловое положение: ориентированное расстояние от выбранного источника на оси вращения до точки объекта представляет собой вектор r (t), определяющий точку. Вектор r (t) имеет некоторую проекцию (или, что то же самое, некоторую компоненту) r  (t) на плоскости, перпендикулярной оси вращения. Тогда угловое положение этой точки представляет собой угол θ от исходной оси (обычно положительной оси x) до вектора r  (t) в известном смысле вращения (обычно задается правым правилом).

Угловая скорость: угловая скорость ω — скорость, с которой угловое положение θ изменяется относительно времени t:

Угловая скорость представлена ​​на рисунке 1 вектором Ω, направленным вдоль оси вращения с величиной ω и чувством, определяемым направлением вращения, заданным правым правилом.

Угловое ускорение: величина углового ускорения α — скорость, с которой угловая скорость ω изменяется относительно времени t:

Уравнения трансляционной кинематики могут быть легко перенесены на плоскую вращательную кинематику для постоянного углового ускорения с помощью простых переменных обменов:



Здесь θ i и θ f — соответственно начальное и конечное угловые положения, ω i и ω f — соответственно начальная и конечная угловые скорости, а α — постоянное угловое ускорение.Хотя положение в пространстве и скорости в пространстве являются истинными векторами (в терминах их свойств при повороте), как и угловая скорость, сам угол не является истинным вектором.

Точечные траектории в теле, движущиеся в трех измерениях
Важные формулы в кинематике определяют скорость и ускорение точек в движущемся теле при прослеживании траекторий в трехмерном пространстве. Это особенно важно для центра массы тела, который используется для вывода уравнений движения с использованием либо второго закона Ньютона, либо уравнений Лагранжа.

Позиция
Чтобы определить эти формулы, движение компонента B механической системы определяется набором вращений [A (t)] и сдвигами d (t), собранными в однородное преобразование [T (t)] = [A (t), d (t)]. Если p — координаты точки P в B, измеренной в движущейся системе отсчета M, то траектория этой точки, прослеживаемая в F, определяется следующим образом: 

В этих обозначениях нет различий между P = (X, Y, Z, 1) и P = (X, Y, Z), что, надеюсь, будет ясным в контексте.
Это уравнение для траектории P может быть инвертировано для вычисления координатного вектора p в M как: 

Это выражение использует тот факт, что транспонирование матрицы вращения также является ее инверсной, то есть:

Скорость
Скорость точки P вдоль ее траектории P (t) получается как производная по времени этого вектора положения, 

Точка обозначает производную по времени; потому что р постоянна, его производная равна нулю.

Эта формула может быть изменена, чтобы получить скорость P, действуя на ее траектории P (t), измеренной в фиксированном фрейме F. Подставляя обратное преобразование для p в уравнение скорости, получаем: 

Матрица [S] задается:

где

— матрица угловых скоростей.

Умножая оператор [S], формула для скорости V P имеет вид:

где вектор ω — вектор угловой скорости, полученный из компонент матрицы [Ω]; вектор

— положение P относительно начала O движущейся рамы M; а также
{\ textbf {V}} _ {O} = {\ dot {\ textbf {d}}},

— скорость начала координат О.

ускорение
Ускорение точки Р в движущемся теле В получается как производная по времени вектора скорости: 

Это уравнение может быть разложено, в первую очередь, вычислением

а также

Формула для ускорения A P теперь может быть получена как:

или же

где α — вектор углового ускорения, полученный из производной матрицы угловой скорости;

— вектор относительного положения (положение P относительно начала O движущейся рамы M); а также

— ускорение начала движущейся системы М.