Музыка и математика

Теория музыки не имеет аксиоматического основания в современной математике, но основа музыкального звука может быть описана математически (в акустике) и демонстрирует «замечательный массив свойств числа». Элементы музыки, такие как ее форма, ритм и метр, высоты его заметок и темп его импульса, могут быть связаны с измерением времени и частоты, предлагая готовые аналогии в геометрии.

Тесная связь между музыкой и математикой изучалась с древности: классический пример дается Пифагорейской школой, к которой открытие (пифагорейцы приписывают им мистические значения), согласно которым разные тона масштаба привязаны к соотношению между целыми числами: поломный недоуздок звучит в верхней октаве, сводится к 3/4 четвертому, уменьшенному до 2/3 пятого и так далее.

Большая математика, применяемая в музыкальном поле, исходит из изучения акустической физики и связанных с ней проблем. Если одно и то же ритмическое деление музыкального метра указывается математической фракцией, мы знаем, что в основе любого шума входит вклад бесчисленных стационарных волн и что любой звук может быть разложен на синусоидальные волны с помощью гармонического анализа ( математически выраженный алгоритмом преобразования Фурье).

Попытка структурирования и передачи новых способов сочинения и прослушивания музыки привела к музыкальным применениям теории множеств, абстрактной алгебры и теории чисел. Некоторые композиторы включили в свою работу золотое соотношение и числа Фибоначчи.

В более абстрактном виде музыка также была связана с математикой в ​​ее композиционном аспекте (что требует распределения звуков между различными высотами, в разное время и между разными голосами исполнителей). Этот музыкальный анализ имел выдающихся музыкантов на протяжении веков (мысли о музыкальной геометрии канонов Баха), и он знал новые состояния даже в близкие к нам времена (в 1900-х годах, например, Институт Краништейна в Дармштадте, Кельнское радио Электронная музыкальная студия, музыкальный фонологический центр Милана и IRCAM в Париже).

Известно, что древние китайцы, индейцы, египтяне и месопотамцы изучали математические принципы звука, пифагорейцы (в частности, Филолав и Арчиты) древней Греции были первыми исследователями, которые, как известно, исследовали выражение музыкальных масштабов с точки зрения численных соотношений , в частности отношения малых целых чисел. Их центральная доктрина заключалась в том, что «вся природа состоит из гармонии, возникающей из чисел».

Со времени Платона гармония считалась фундаментальной отраслью физики, теперь известной как музыкальная акустика. Ранние индийские и китайские теоретики показывают похожие подходы: все стремились показать, что математические законы гармоник и ритмов были основополагающими не только для нашего понимания мира, но и для благосостояния людей. Конфуций, как и Пифагор, рассматривал небольшие числа 1,2,3,4 как источник всего совершенства.

С семнадцатого века многие музыканты пришли к проверке твердых математических знаний (например, Джузеппе Тартини дал доказательства в музыкальном трактате в соответствии с истинной наукой о гармонии в 1754 году, и поэтому Яннис Ксенакис в музыке, формализованный в 1971 году, Пьер Булес и Филипп Стеклянные выпускники по математике и были вдохновлены их искусством).

Без границ ритмической структуры — фундаментальное равномерное и регулярное расположение повторения импульсов, акцента, фразы и продолжительности — музыка была бы невозможна. Современное музыкальное использование таких терминов, как метр и мера, также отражает историческую значимость музыки, наряду с астрономией, в развитии подсчета, арифметики и точного измерения времени и периодичности, фундаментальных для физики. [Править]

Элементы музыкальной формы часто строят строгие пропорции или гиперметрические структуры (полномочия чисел 2 и 3).

Музыкальная форма — это план, по которому продлевается короткая музыка. Термин «план» также используется в архитектуре, к которой часто сравнивают музыкальную форму. Как и архитектор, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначен работа, и доступные средства, практикуя экономику и используя повторение и порядок. Общие типы форм, называемые двоичными и тройными («двукратные» и «тройные»), еще раз демонстрируют важность небольших интегральных ценностей для разборчивости и привлекательности музыки.

Явление биения происходит, когда воспроизводятся две аналогичные ноты частоты (но не идентичные). Тогда возникает впечатление слышать частотный звук, близкий к частоте звука первых двух, интенсивность которого колеблется со временем так же медленно, как частоты первых двух звуков были близки. По этой причине биты используются для определения того, есть ли какие-либо падающие или нарастающие ноты при настройке инструмента.

Объяснение этого явления частично связано с физической природой звуковых волн и отчасти в том, что наше ухо воспринимает звуки. Если мы сосредоточим наше внимание на перекрытии двух чистых тонов (т. Е. Их можно представить синусоидальными волнами) и предположим, для простоты,

Музыкальная шкала — это дискретный набор смол, используемых при создании или описании музыки. Самый важный масштаб в западной традиции — диатоническая шкала, но многие другие используются и предлагаются в разные исторические эпохи и части мира. Каждый шаг соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), иногда называемой циклами в секунду (c.p.s.). Шкала имеет интервал повторения, обычно октаву. Октава любого шага относится к частоте, в два раза превышающей частоту данного тона.

Превосходные супероктавы представляют собой смолы, найденные на частотах четыре, восемь, шестнадцать раз и т. Д. Основной частоты. Выступы на частотах половины, четверти, восьмой и т. Д. Фундаментальных называются субоказами. В музыкальной гармонии нет никакого случая, когда, если данный шаг считается учтенным, то его октавы рассматриваются иначе. Поэтому любая нота и ее октавы, как правило, будут найдены аналогично в музыкальных системах (например, все будут называться doh или A или Sa, в зависимости от ситуации).

При выражении в виде полосы частот октава A2-A3 охватывает от 110 Гц до 220 Гц (диапазон = 110 Гц). Следующая октава будет охватывать от 220 Гц до 440 Гц (диапазон = 220 Гц). Третья октава охватывает от 440 Гц до 880 Гц (диапазон = 440 Гц) и так далее. Каждая последующая октава удваивает частотный диапазон предыдущей октавы.

Поскольку нас часто интересуют отношения или отношения между полями (известными как интервалы), а не точные поля в описании шкалы, обычно приходится ссылаться на все масштабные поля в терминах их отношения от конкретного шага, что задано значение одного (часто написано 1/1), как правило, примечание, которое функционирует как тоник шкалы. Для сравнения размеров интервалов часто используются центы.

Существует два основных семейства тюнинг-систем: одинаковый темперамент и просто настройка. Равные шкалы темперамента строятся путем деления октавы на интервалы, которые равны по логарифмической шкале, что приводит к получению абсолютно равномерно распределенных шкал, но с отношением частот, которые являются иррациональными числами. Просто шкалы построены путем умножения частот на рациональные числа, что приводит к простым отношениям между частотами, но с делениями шкалы, которые являются неравномерными.

Одно существенное различие между настройками равного темперамента и просто настройками — различия в акустическом ритме, когда звучат две ноты, что влияет на субъективный опыт созвучия и диссонанса. Обе эти системы и подавляющее большинство музыки в целом имеют шкалы, которые повторяются на интервале каждой октавы, которая определяется как отношение частоты 2: 1. Другими словами, каждый раз, когда частота удваивается, данный масштаб повторяется.

Ниже представлены файлы Ogg Vorbis, демонстрирующие разницу между интонацией и равным темпераментом. Возможно, вам придется сыграть образцы несколько раз, прежде чем вы сможете выбрать разницу.

Две синусоидальные волны воспроизводились последовательно — этот образец имеет половину шага при 550 Гц (C♯ в шкале только интонации), за которым следует полушаг при 554,37 Гц (C♯ в равной шкале темперамента).
Эти же две ноты, настроенные против педали A440 — этот образец состоит из «диады». Нижняя нота — постоянная A (440 Гц в любом масштабе), верхняя нота — C♯ в градуированной шкале для первого 1 «, а C♯ — в справедливой шкале интонации для последнего 1». Разности фаз облегчают выбор перехода, чем в предыдущем примере.

5-лимитная настройка, наиболее распространенная форма просто интонации, представляет собой систему настройки с использованием тонов, которые являются гармониками нормального числа одной основной частоты. Это был один из масштабов Йоханнеса Кеплера, представленный в его «Гармонисах Мунди» (1619) в связи с движением планет. Та же шкала была дана в транспонированной форме шотландским математиком и музыкальным теоретиком Александром Малкольмом в 1721 году в его «Трактате о музыке: спекулятивном, практическом и историческом» и теоретике Хосе Вюршмидте в XX веке. Форма его используется в музыке северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал перевернутую форму в своей «Арпе из Нового Альбиона». Просто интонация дает превосходные результаты, когда мало или вообще не происходит хорды: голоса и другие инструменты стремятся к интонации, когда это возможно. Тем не менее, он дает два разных тоновых интервала (9: 8 и 10: 9), потому что фиксированный настроенный инструмент, такой как пианино, не может изменить ключ. Чтобы рассчитать частоту ноты в масштабе, заданном в терминах отношений, коэффициент частоты умножается на тоническую частоту. Например, с тоником A4 (A естественным выше среднего C) частота составляет 440 Гц, а правильно настроенная пятая над ней (E5) равна просто 440 × (3: 2) = 660 Гц.

Пифагорейский тюнинг — это тюнинг, основанный только на идеальном согласии, (идеальная) октава, идеальный пятый и идеальный четвертый. Таким образом, основная треть считается не третьим, а дитоном, буквально «двумя тонами» и равна (9: 8) 2 = 81:64, а не независимая и гармоническая только 5: 4 = 80:64 непосредственно ниже. Целый тон — это вторичный интервал, полученный из двух совершенных пятых, (3: 2) 2 = 9: 8.

Просто основная треть, 5: 4 и второстепенная, 6: 5, являются синтонической запятой 81:80, кроме их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32:27 соответственно. Согласно Карлу Далхаусу (1990, стр. 187), «зависимая треть соответствует пифагорейской, независимой третьей — гармонической настройке интервалов».

Западная обычная музыка обычно не может воспроизводиться только в интонации, но требует систематически закаленного масштаба. Отпуск может включать либо неровности хорошего темперамента, либо быть построенным как регулярный темперамент, либо какой-то одинаковый темперамент, либо какой-то другой регулярный, но во всех случаях будут связаны с фундаментальными особенностями того или иного темперамента. Например, корень хорды ii, если настроен на пятую над доминирующей, будет основным тоном (9: 8) над тоником. Однако если настроить только незначительную треть (6: 5) ниже только субдоминантной степени 4: 3, то интервал от тоника будет равен второму тону (10: 9). Ментонный темперамент уменьшает разницу между 9: 8 и 10: 9. Их отношение (9: 8) / (10: 9) = 81:80 рассматривается как унисон. Интервал 81:80, называемый синтонической запятой или запятой Дидимуса, является ключевой запятой соответствующего темперамента.

В равном темпераменте октава делится на равные части по логарифмической шкале. Хотя можно построить равную шкалу темперамента с любым количеством заметок (например, 24-тональная арабская тональная система), наиболее распространенным является число 12, что составляет хроматическую шкалу равного темперамента. В западной музыке разделение на двенадцать интервалов обычно принимается, если не указано иное.

Для хроматической шкалы октава разделена на двенадцать равных частей, каждый полутон (полушаг) является интервалом двенадцатого корня из двух, так что двенадцать из этих равных половинчатых шагов составляют ровно октаву. С помощью фреттированных инструментов очень полезно использовать одинаковый темперамент, чтобы лады равномерно выравнивались по струнам. В европейской музыкальной традиции одинаковый темперамент использовался для лютневой и гитарной музыки гораздо раньше, чем для других инструментов, таких как музыкальные клавиатуры. Из-за этой исторической силы двенадцатицветный ровный темперамент теперь является доминирующей интонационной системой в западной и большей части незападного мира.

Использовались одинаково закаленные весы и инструменты, построенные с использованием различных других равных интервалов. 19 равный темперамент, впервые предложенный и используемый Гийомом Костели в 16 веке, использует 19 одинаково разнесенных тонов, предлагая лучшие основные трети и намного лучшие минорные трети, чем обычный 12-семитоновый равный темперамент ценой более плоской пятой. Общий эффект является одним из большего созвучия. 24 равный темперамент, с 24 одинаково разнесенными тонами, широко распространен в педагогике и нотации арабской музыки. Однако в теории и практике интонация арабской музыки соответствует рациональным отношениям, в отличие от иррациональных соотношений одинаково закаленных систем.

В то время как любой аналог одинаково умеренного четверного тона полностью отсутствует в арабских интонационных системах, часто встречаются аналоги с трехметровым тоном или нейтральными секундами. Однако эти нейтральные секунды незначительно меняются в зависимости от макама, а также от географии. Действительно, историк арабской музыки Хабиб Хасан Тума написал, что «ширина отклонения от этого музыкального шага является важнейшим ингредиентом в своеобразном аромате арабской музыки. Чтобы смягчить масштаб, разделив октаву на двадцать четыре четверти тонов одинакового размера было бы сдать один из самых характерных элементов этой музыкальной культуры ».

Следующий график показывает, насколько точно различные равноценные масштабы приближаются к трем важным гармоническим тождествам: основному третьему (5-ю гармонику), идеальной пятой (3-й гармонике) и «гармонической седьмой» (7-й гармонике). [Примечание: цифры над полосами обозначают равную темперированную шкалу (т. Е. «12» обозначает 12-тональную равномерную шкалу и т. Д.)]

Проблема интонации, как упоминалось выше, проистекает из необходимости настраивать струнные инструменты, такие как фортепиано или струны, чтобы они могли играть в разных оттенках. Ни один из двух методов до сих пор не решает эту проблему с точностью, как видно из следующей процедуры.

Один из способов настроить фиксированный тюнинг-инструмент — сохранить пятый диапазон от базового каната. Таким образом, это достигается путем так называемого цикла цикла: Do, Sol, King, La, Me, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (или Miè), Десять октав возвращается к фундаментальному заметка. Легко видеть, что ни один из рассмотренных здесь методов не может привести к тому, что Do8 будет совпадать с тем, который получен из цикла цикла: на самом деле, как для естественного темперамента, так и для пифагора, октавные частоты кратно степеням двух, тогда как в цикле цикла частоты кратно степеням 3/2: ни одна из двух мощностей не равна 3/2. Этот аргумент применяется также к рассмотренным другим отчетам.

Поэтому видно, что тюнер, который хочет настроить инструмент, пытающийся сохранить все правильные диапазоны (третий, четвертый, пятый), столкнется с неразрешимой проблемой и все равно должен искать компромисс: это то, что равно темпераменту.

Теория музыкальных множеств использует язык математической теории множеств элементарным способом организации музыкальных объектов и описания их отношений. Чтобы проанализировать структуру части (обычно атональной) музыки с использованием теории музыкальных множеств, обычно начинается с набора тонов, которые могут формировать мотивы или аккорды. Применяя простые операции, такие как транспозиция и инверсия, можно обнаружить глубокие структуры в музыке. Операции, такие как транспозиция и инверсия, называются изометриями, поскольку они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Расширяя методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы тангажа в одинаково закаленной октаве образуют абелеву группу с 12 элементами. Можно описать только интонацию в терминах свободной абелевой группы.

Трансформационная теория — это отрасль теории музыки, разработанная Дэвидом Левином. Теория допускает большую общность, поскольку она подчеркивает трансформации между музыкальными объектами, а не самими музыкальными объектами.

Теоретики также предложили музыкальные приложения более сложных алгебраических понятий. Теория регулярных темпераментов широко развита с широким спектром сложной математики, например, связывая каждый регулярный темперамент с рациональной точкой на грассманиане.

Реальный и комплексный анализ также использовался, например, путем применения теории дзета-функции Римана к изучению равных делений октавы.

Развитие современной музыкальной математики (от анализа до композиции, до жестов в музыкальной интерпретации) в основном связано с вкладом математика и музыканта Гуэрино Маццола, профессора в Соединенных Штатах в Университете Миннесоты.

SMCM, Общество математики и вычислительной техники в музыке, организует двухгодичные конференции по результатам исследований в области математики и музыки.