Математика и искусство связаны разными способами. Математика сама по себе описана как искусство, мотивированное красотой. Математику можно различить в таких искусствах, как музыка, танец, живопись, архитектура, скульптура и текстиль. В этой статье основное внимание уделяется математике в изобразительном искусстве.

Искусство и математика часто ассоциируются в аналогии Платона с красотой и правдой. помещения этого вопроса часто вызывают количество золота. Phi — математическая константа, наиболее связанная с искусством благодаря его постоянному присутствию в скульптурных и живописных композициях в искусстве эпохи Возрождения. Золотое соотношение рассматривается как правило для получения гармонической пропорции, удовлетворяющей вкусу наблюдателя. Эта парадигма является частичной, если вы хотите понять роль математики в истории искусства и современных эстетических революциях. Более эффективно ставить под сомнение творческие протоколы, структуры и морфогенезы. Поэтому необходимо отказаться от платоновских предпосылок в пользу вопросов о формах и способах их появления и восприятия. Искусство и математика создают множество осей конвергенции с точки зрения интереса, которые математики и художники взаимно поддерживают, но также вокруг использования и процессов. Многие современные эстетические проекты исходят из более или менее очевидных математических практик, но все они свидетельствуют о удивительной степени математической культуры. Из вопроса о красоте и гармонии к вопросам морфологии или структур математика предлагает множество инструментов для исследования сложности реальности, ее представлений, а также способности изобретать структуры, формы и формы. процессы.

Математика и искусство имеют давние исторические отношения. Художники использовали математику с 4-го века до нашей эры, когда греческий скульптор Polykleitos написал свой Canon, предписывая пропорции, основанные на соотношении 1: √2 для идеальной мужской обнаженной. Стойкие популярные утверждения были сделаны для использования золотого отношения в древнем искусстве и архитектуре без надежных доказательств. В итальянском Возрождении Лука Пачоли написал влиятельный трактат De Divina Proportione (1509), иллюстрированный лесами Леонардо да Винчи об использовании золотого соотношения в искусстве. Другой итальянский художник Пьеро делла Франческа разработал идеи Евклида о перспективах в таких трактатах, как «Депроспектива Пиндэнди» и в его картинах. Гравер Альбрехт Дюрер сделал много ссылок на математику в своей работе Меленколия I. В наше время графический художник М. С. Эшер интенсивно использовал тесселяцию и гиперболическую геометрию с помощью математика Х.М.Коксера, а движение Де Стидж во главе с Тео ван Доберг и Пьет Мондриан явно приняли геометрические формы. Математика вдохновила текстильное искусство, такое как выстегивание, вязание, вышивка крестом, вязание крючком, вышивка, ткачество, турецкое и другое ковроделие, а также килим. В исламском искусстве симметрии проявляются в таких разнообразных формах, как персидские гиры и марокканская плитка, а также широко распространенные курганы muqarnas.

Франсуа Мореллет постоянно вдохновлялся математикой и геометрией в своей работе. Цитата с его сайта: Работы Франсуа Морлелета выполняются в соответствии с системой: каждый выбор определяется заранее установленным принципом. Он хочет создать впечатление, чтобы контролировать художественное творение, оставляя часть случайности, что дает непредсказуемую картину. Он использует простые формы, небольшое количество сплошных цветов и элементарных композиций (сопоставление, суперпозиция, случайность, интерференция, фрагментация). Таким образом, он создает свои первые «рамки», сети черных параллельных линий, наложенные в определенном порядке, которые покрывают всю поверхность картин. Эти системы напоминают структуры, предложенные Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) и описываемые Раймондом Кеноу: «В чем цель нашей работы? Предлагать писателям новые «структуры», математического характера или даже изобретать новые искусственные или механические процессы, способствующие литературной деятельности ». Впоследствии, François Morellet будет продолжать использовать системы, основанные на математической вселенной.

В девятнадцатом веке работы Гаусса, Лобатечевского и Римана популяризировали идею пространственных измерений и экзотических геометрий. Альберт Эйнштейн, развивая теорию относительности, предлагает культурным публичным новым парадигмам наблюдения, которые некоторые художники используют, чтобы найти другие способы представления, идея пространства-времени является плодородной, а молодые люди Braque и Pïcasso услышать о пространстве, которое уже не является евклидовым, но сферическим или гиперболическим. Это провоцирует воображение и предлагает новые способы описания лестницы Марселя Дючана и в оригинальных работах Брака и Пикассо аналитический кубизм, сделанный в Баэтау Лавуаре в течение первого десятилетия двадцатого века. века. Эта концепция пространства будет воплощена в фундаментальной работе истории искусства двадцатого века «барышня Авиньона».

Математика непосредственно повлияла на искусство с помощью концептуальных инструментов, таких как линейная перспектива, анализ симметрии и математических объектов, таких как многогранники и полоса Мёбиуса. Магнус Веннинер создает красочные сериализованные многогранники, первоначально как модели для обучения. Математические концепции, такие как рекурсия и логический парадокс, можно увидеть в картинах Рене Магритта и в гравюрах М. С. Эшера. Компьютерное искусство часто использует фракталы, включая набор Мандельброта, и иногда исследует другие математические объекты, такие как клеточные автоматы. Спорно, художник Дэвид Хокни утверждал, что художники Возрождения, начиная из использования камеры Lucida рисовать точные представления сцен; архитектор Филипп Стедман также утверждал, что Вермеер использовал камеру-обскуру в своих явно наблюдаемых картинах.

Другие отношения включают алгоритмический анализ произведений искусства с помощью рентгеновской флуоресцентной спектроскопии, вывод о том, что традиционные батики из разных областей Явы имеют четкие фрактальные размеры и стимулы к математическим исследованиям, особенно теории перспективы Филиппо Брунеллески, что в конечном итоге привело к проективным проектам Жирарда Дезаргеса геометрия. Настойчивое представление, основанное в конечном счете на пифагорейском представлении о гармонии в музыке, утверждает, что все было организовано Числом, что Бог является геометром мира, и поэтому геометрия мира священна, как видно из работ, таких как Уильям Блейк Ветхий день.

Математика и искусство в истории:
Polykleitos старший (c.450-420 до н.э.) был греческим скульптором из школы Аргоса и современником Фидии. Его работы и статуи состояли в основном из бронзы и были спортсменами. По словам философа и математика Ксенократа, Поликлейто считается одним из самых важных скульпторов классической древности для его работы над Дорифором и статуей Геры в Гериаде Аргос. Хотя его скульптуры не так знамениты, как у Фидия, их очень любят. В «Canon Polykleitos», написанном им, предназначенном для документирования «идеальных» анатомических пропорций мужской обнаженной, Polykleitos дает нам математический подход к скульптуре человеческого тела.

Polykleitos использует дистальную фалангу мизинца в качестве основного модуля для определения пропорций человеческого тела. Polykleitos умножает длину дистальной фаланги на квадратный корень из двух (√2), чтобы получить расстояние от второго фаланга и снова умножить длину на √2, чтобы получить длину третьей фаланги. Затем он берет длину пальца и умножает его на √2, чтобы получить длину ладони от основания пальца до локтевой кости. Эта геометрическая серия измерений прогрессирует до тех пор, пока Polykleitos не сформирует руку, сундук, тело и т. Д.

демонстрируют его идеальность физического совершенства и математической точности. Некоторые ученые утверждают, что пифагорейская мысль повлияла на Канон Поликлеитоса. Канон применяет основные математические концепции греческой геометрии, такие как отношение, пропорция и симметрия (греческий для «гармоничных пропорций») и превращает его в систему, способную описывать человеческую форму через ряд непрерывных геометрических прогрессий.

В классические времена, вместо того, чтобы делать отдаленные фигуры меньшими с линейной перспективой, художники занимают по размеру объекты и фигуры в соответствии с их тематическим значением. В средние века некоторые художники использовали обратную перспективу для особого внимания. Нуль Филипль Нульвибровольбальна Ренессанс увидел возрождение классической греческой и римской культуры и идей, среди которых изучение математики, чтобы понять природу и искусство. Два главных мотива побудили художников в позднем средневековье и эпоху Возрождения к математике. Во-первых, художники должны были выяснить, как изобразить трехмерные сцены на двумерном холсте.

Нульмайк Филиппильль Нуль Нуль Нуль Нуль Нульвав Нуль Нуль Нульвав Нуль Нульвав Нуль Нуль Нульственное сельсовой грипль Нужен Филиппильль Нульмайль Нульмайль Нульмайль Нульванген В 1415 году итальянский архитектор Филиппо Брунеллески и его друг Леон Баттиста Альберти продемонстрировали геометрический метод применения перспективы во Флоренции, используя аналогичные треугольники, сформулированные Евклидом, чтобы найти видимую высоту отдаленных объектов. Собственные перспективные картины Брунеллески теряются, но картина Масаччо о Святой Троице показывает его принципы на работе.

То, что изображено на его картинах «Битвы при Сан-Романо» (около 1435-1460), было увлечено итальянским художником Паоло Уччелло (1397-1475): «Разрывные фурмы удобно расположены вдоль перспективных линий.

Художник Пьеро делла Франческа (c.1415-1492) иллюстрирует эту новую перемену в мышлении итальянского Возрождения. Он был экспертом-математиком и геометром, писал книги по твердой геометрии и перспективам, в том числе «Депроспектива Пиндэнди» («Перспектива для живописи»), «Траттато д’Абако» («Абакус-трактат») и «Дебибус сундитус» (On Regular Solids). Историк Вазари в «Жизнях живописцев» называет Пьеро «величайшим геометром своего времени или, возможно, любого времени». Спутни … Его работы по геометрии повлияли на более поздних математиков и художников, включая Луку Пачоли в его De Divina Proportione и Leonardo da Vinci. Пьеро изучал классическую математику и работы Архимеда. Ему обучали коммерческую арифметику в «абакских школах»; его сочинения отформатированы, как учебники по абаку, возможно, включая 1202 Liber Abaci Леонардо Пизано (Фибоначчи). Линейная перспектива просто вводилась в художественный мир. Альберти объяснил в своей статье 1435 De pictura: «световые лучи движутся по прямым линиям от точек наблюдаемой сцены к глазу, образуя своего рода пирамиду с глазом как вершину». Картина, построенная с линейной перспективой, представляет собой поперечное сечение этой пирамиды.

В «De Prospectiva Pingendi» Пьеро трансформирует свои эмпирические наблюдения за тем, как аспекты изменения фигуры с точки зрения математики доказывают. Филиппильль Филипльсовойсовой Филиппольльсовой Филиппиль Он использует дедуктивную логику, чтобы привести читателя к перспективному представлению трехмерного тела.

Художник Дэвид Хокни утверждал в своей книге «Секретное знание: вновь открывая забытые методы старых мастеров», когда художники начали использовать камеру lucida с 1420-х годов, что привело к внезапному изменению точности и реализма и что эта практика была продолжена крупными художниками, включая Энгр, Ван Эйк и Караваджо. Критики не согласны с тем, правильно ли был Хокни. Кроме того, архитектор Филип Стедман утверждал спорно, что Вермеер использовал другое устройство, камера обскура, чтобы помочь ему создать его отчетливо наблюдаемые картины.

В 1509 году Лука Пачоли (около 1447-1517) опубликовал пропорцию Де Divina по математической и художественной пропорции, в том числе и в человеческом лице. Леонардо да Винчи (1452-1519) иллюстрировал текст гравюрами на дереве регулярных твердых тел, когда он учился у Пачоли в 1490-х годах. Рисунки Леонардо, вероятно, являются первыми иллюстрациями скелетных твердых тел. Они, такие как ромбикубоктаэдр, были одними из первых, которые были привлечены для демонстрации перспективы, накладываясь друг на друга. В работе обсуждаются перспективы в работах Пьеро делла Франческа, Мелоззо да Форли и Марко Палмеццано. Да Винчи изучил «Сумму Пачоли», из которой он скопировал таблицы пропорций. В Mona Lisa и The Last Supper работа Da Vinci включала линейную перспективу с исчезающей точкой, чтобы обеспечить видимую глубину. Тайная вечеря построена в плотном соотношении 12: 6: 4: 3, как и Афинская школа Рафаэля, в которую входят Пифагор с таблицей идеальных соотношений, святой для пифагорейцев. В «Витрувианском человеке» Леонардо выразил идеи римского архитектора Витрувия, новаторски показав мужскую фигуру дважды и сосредоточив его как по кругу, так и по квадрату.

Уже в 15 веке криволинейная перспектива нашла свое отражение в картинах художников, интересующихся искажениями изображения. Картинка Арнольфини в 1434 году Джона ван Эйка содержит выпуклое зеркало с отражениями людей на сцене, в то время как автопортрет Пармиджанино в выпуклом зеркале, c. 1523-1524, показывает неискаженное лицо художника в центре, с сильно изогнутым фоном и рукой художника по краю.

Трехмерное пространство может быть убедительно представлено в искусстве, как и в техническом чертеже, с помощью иных средств, чем перспектива. Наклонные прогнозы, в том числе кавалерийская перспектива (используемые французскими военными художниками для обозначения укреплений в 18 веке), постоянно и повсеместно использовались китайскими художниками с первого или второго столетий до 18 века. Китайцы приобрели технику из Индии, которая приобрела ее из Древнего Рима. Наклонная проекция видна в японском искусстве, например, в картинах Укие-е Тории Кийонаги (1752-1815).

Золотое соотношение (примерно равное 1,618) было известно Евклиду. Золотое соотношение постоянно утверждалось в наше время, которое использовалось в искусстве и архитектуре древними в Египте, Греции и в других местах, без надежных доказательств. Претензия может возникнуть из-за путаницы с «золотой серединой», что для древних греков означало «избежание избытка в любом направлении», а не соотношение. Пирамидологи с девятнадцатого века спорили о сомнительных математических основаниях для золотого отношения в дизайне пирамиды. Парфенон, храм V-го века до н.э. в Афинах, как утверждается, использовал золотое соотношение в своем фасаде и плане этажа, но эти утверждения тоже опровергнуты измерением. Аналогичным образом, Великая мечеть Кайруан в Тунисе использовала золотое соотношение в своем дизайне, но соотношение не фигурирует в первоначальных частях мечети. Историк архитектуры Фредерик Макоди Лунд утверждал в 1919 году, что собор Шартрского (12 век), Нотр-Дам из Лаона (1157-1205) и Нотр-Дам де Пари (1160 г.) спроектирован в соответствии с золотым соотношением, сделать его дело. Другие ученые утверждают, что до работы Пачоли в 1509 году золотое соотношение было неизвестно художникам и архитекторам. Например, высота и ширина передней части Нотр-Дама Лаона имеют отношение 8/5 или 1,6, а не 1,618. Такие отношения Фибоначчи быстро становятся трудно отличить от золотого отношения. После Pacioli, золотое соотношение более определенно заметно в произведениях, включая Леонардо Мону Лизу.

Еще одно соотношение, единственное другое морфическое число, было названо пластическим номером в 1928 году голландским архитектором Хансом ван дер Лааном (первоначально названным le nombre radiant на французском языке). Его значение представляет собой решение кубического уравнения

Плоские симметрии на протяжении тысячелетий использовались в таких произведениях, как ковры, решетки, текстиль и тилины.

Многие традиционные ковры, будь то ковры или плоские килимы, делятся на центральное поле и рамку рамки; оба могут иметь симметрии, хотя в ручных коврах их часто слегка ломают мелкие детали, вариации рисунка и сдвиги в цвете, введенные ткачом. В килимах из Анатолии используемые мотивы обычно симметричны. Обычно также присутствует общая компоновка, с такими элементами, как полосы, полосы, чередующиеся с рядами мотивов, и упакованные массивы примерно шестиугольных мотивов. Поле обычно выложено в виде обоев с группой обоев, такой как pmm, в то время как граница может быть выложена как фриз группы фриза pm11, pmm2 или pma2. Турецкие и центральноазиатские килимы часто имеют три или более границы в разных группах фриза. Ткачи, конечно, имели намерение симметрии, не имея явного знания своей математики. Математик и архитектурный теоретик Никос Салингарос предполагает, что «мощное присутствие» (эстетический эффект) «великого ковра», например, лучшие ковры из двух медальонов Коньи XVII века, основано на математических методах, связанных с теориями архитектора Кристофера Александр. Эти методы включают создание пары противоположностей; противоположные значения цвета; дифференцируя области геометрически, используя дополнительные формы или балансируя направленность острых углов; обеспечивая небольшую сложность (от уровня узла вверх) и малую и крупномасштабную симметрию; повторяющиеся элементы в иерархии разных масштабов (с отношением около 2,7 от каждого уровня к другому). Салингарос утверждает, что «все успешные ковры удовлетворяют по меньшей мере девяти из десяти правил» и предполагает, что из этих правил можно будет создать метрику.

Разработанные решетки найдены в индийской работе Jaali, вырезанной в мраморе, чтобы украсить гробницы и дворцы. Китайские решетки, всегда с некоторой симметрией, существуют в 14 из 17 групп обоев; они часто имеют зеркало, двойное зеркало или вращательную симметрию. У некоторых есть центральный медальон, а у некоторых есть граница в группе фриза. Многие китайские решетки были проанализированы математически Даниэлем С. Красивым; он идентифицирует Сычуань как центр ремесла.

Симметрии видны в текстильных искусствах, включая стеганое полотно, вязание, вышивку, вязание крючком, вышивку и ткачество, где они могут быть чисто декоративными или могут быть признаками статуса. Вращательная симметрия встречается в круговых структурах, таких как купола; они иногда тщательно украшены симметричными узорами внутри и снаружи, как на мечеть шейха Лотфолла 1619 года в Исфахане. Элементы вышивки и кружевные работы, такие как скатерти и настольные коврики, выполненные с использованием бобин или татуировкой, могут иметь широкий спектр зеркальных и вращательных симметрий, которые изучаются математически.

Исламское искусство использует симметрии во многих своих искусствах, особенно в гирихских тилингах. Они формируются с использованием набора из пяти форм плитки, а именно регулярного декагона, удлиненного шестиугольника, галстука-бабочка, ромба и обычного пятиугольника. Все стороны этих плиток имеют одинаковую длину; и все их углы кратны 36 ° (π / 5 радиан), предлагая пятикратные и десятикратные симметрии. Плитки украшены ленточными линиями (гири), обычно более заметными, чем границы плитки. В 2007 году физики Петр Лу и Пол Штайнхардт утверждали, что гири были похожи на квазикристаллические пирометры Пенроуза. Разработать геометрическую черепицу zellige — отличительный элемент в марокканской архитектуре. Срезы Muqarnas трехмерны, но были спроектированы в двух измерениях с рисунками геометрических ячеек.

Платоновские твердые тела и другие многогранники являются повторяющейся темой в западном искусстве. Они найдены, например, в мраморной мозаике с изображением маленького серого додекаэдра, приписываемого Паоло Уччелло, на полу в базилике Сан-Марко в Венеции; в диаграммах Леонардо да Винчи правильных многогранников, нарисованных в качестве иллюстраций для книги Луки Пачоли 1509 «Божественная пропорция»; как стеклянный ромбику-октаэдр в портрете Паколи, написанном Якопо де Барбари, написанном в 1495 году; в усеченном многограннике (и различных других математических объектах) в гравюре Альбрехта Дюрера Меленколия I; и в картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря», в которой Христос и его ученики изображены в гигантском додекаэдре.

Альбрехт Дюрер (1471-1528) был немецким ренессансным гравюром, который внес важный вклад в полиэдральную литературу в своей книге 1525 года «Underweysung der Messung» («Образование по измерению»), предназначенной для обучения предметам линейной перспективы, геометрии в архитектуре, платоновским твердым телам и правильные многоугольники. Вероятно, Дюреру повлияли работы Луки Пачоли и Пьеро делла Франчески во время его поездок в Италию. Хотя примеры перспективы в Underweysung der Messung недоразвиты и содержат неточности, есть подробное обсуждение многогранников. Дюрер также первым ввел в текст идею полиэдральных сеток, многогранники развернуты, чтобы лежать плоскими для печати. Дюрер опубликовал еще одну влиятельную книгу о человеческих пропорциях, названную «Vier Bücher von Menschlicher Proportion» («Четыре книги о человеческом росте») в 1528 году.

Известная гравюра Дюрера Меленколия I изображает разочарованного мыслителя, сидящего усеченным треугольным трапецоэдром и волшебным квадратом. Эти два объекта и гравюра в целом были предметом более современной интерпретации, чем содержание почти любой другой печати, в том числе двухтомная книга Петра-Клауса Шустера и влиятельная дискуссия в монографии Эрвена Панофски «Дюрер» , Сальвадор Дали Corpus Hypercubus изображает развернутую трехмерную сетку для гиперкуба, четырехмерного регулярного многогранника.

Традиционные индонезийские восковые конструкции батика на тканях объединяют репрезентативные мотивы (например, цветочные и растительные элементы) с абстрактными и несколько хаотическими элементами, включая неточность применения воскового резиста и случайную вариацию, возникающую при растрескивании воска. Конструкции Батика имеют фрактальный размер от 1 до 2, варьируя в разных региональных стилях. Например, батик Cirebon имеет фрактальный размер 1,1; батики Джокьякарты и Суракарты (Соло) в Центральной Яве имеют фрактальный размер от 1,2 до 1,5; и батики Ласема на северном побережье Явы и Тасикмалая в Западной Яве имеют фрактальный размер от 1,5 до 1,7.

Работы капельницы современного художника Джексона Поллока аналогично отличаются по фрактальной размерности. Его 1948 год номер 14 имеет размер береговой линии 1,45, а его более поздние картины имели более высокие фрактальные размеры и, соответственно, более сложные рисунки. Одна из его последних работ, «Голубые поляки», заняла полгода, чтобы создать, и имеет фрактальное измерение 1,72.

Сложная взаимосвязь математики и искусства:
Астроном Галилео Галилей в своем «Илья Сагиаторе» писал, что «Вселенная написана на языке математики, а ее персонажи — треугольники, круги и другие геометрические фигуры». Художники, которые стремятся и стремятся изучать природу, должны сначала, по мнению Галилея, полностью понять математику. Математики, наоборот, стремились интерпретировать и анализировать искусство через объектив геометрии и рациональности. Математик Фелипе Кукер предполагает, что математика, и особенно геометрия, является источником правил для «художественного творчества, управляемого правилами», хотя и не единственного. Ниже приведены некоторые из многих нитей результирующей комплексной взаимосвязи.

Математик Джерри П. Кинг описывает математику как искусство, заявляя, что «ключи к математике — это красота и элегантность, а не тупость и техничность», и эта красота является мотивирующей силой для математических исследований. Король цитирует статью математика Г. Х. Харди 1940 года «Апология математика». В нем Харди обсуждает, почему он находит две теоремы классических времен как первую скорость, а именно доказательство Евклида — бесконечно много простых чисел и доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален. Король оценивает это последним по критериям Харди для математической элегантности: «серьезность, глубина, общность, неожиданность, неизбежность и экономия» (курсив Кинга) и описывает доказательство как «эстетически приятное». Венгерский математик Пол Эрдюс согласился с тем, что математика обладает красотой, но считает причины, лежащие в основе: «Почему цифры прекрасны? Это похоже на вопрос, почему прекрасная девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не видите, почему, кто-то не может сказать вам. цифры красивые ».

Математику можно различить во многих искусствах, таких как музыка, танцы, живопись, архитектура и скульптура. Каждая из них богато связана с математикой. Среди связей с изобразительным искусством математика может предоставить инструменты для художников, такие как правила линейной перспективы, как описано Брук Тейлор и Иоганн Ламберт, или методы описательной геометрии, которые теперь применяются в программном моделировании твердых тел, относящихся к Альбрехту Дюрер и Гаспард Монж. Художники из Луки Пачоли в средние века и Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер в эпоху Возрождения использовали и разработали математические идеи в поисках своей художественной работы. Использование перспективы началось, несмотря на некоторые эмбриональные обычаи в архитектуре Древней Греции, с итальянскими художниками, такими как Джотто в XIII веке; такие правила, как точка схода, были впервые сформулированы Брунеллески примерно в 1413 году, его теория повлияла на Леонардо и Дюрера. Работа Исаака Ньютона по оптическому спектру повлияла на теорию цветов Гете и, в свою очередь, такие художники, как Филипп Отто Рунге, Дж. М. У. Тернер, Прерафаэлиты и Василий Кандинский. Художники могут также выбрать анализ симметрии сцены. Инструменты могут применяться математиками, изучающими искусство, или художниками, вдохновленными математикой, такими как MC Escher (вдохновленный HSM Coxeter) и архитектором Фрэнком Гери, который более терпимо утверждал, что компьютерный дизайн позволил ему выразить себя в совершенно новом путь.

Художник Ричард Райт утверждает, что математические объекты, которые можно построить, можно увидеть либо «как процессы для моделирования явлений», либо как произведения «компьютерного искусства». Он рассматривает природу математической мысли, наблюдая, что фракталы были известны математикам уже столетие, прежде чем они были признаны таковыми. Райт заключает, заявляя, что уместно подвергать математические объекты любым методам, используемым для «примирения с культурными артефактами, такими как искусство, напряженность между объективностью и субъективностью, их метафорические значения и характер репрезентативных систем». Он дает в качестве экземпляра изображение из набора Мандельброта, изображение, генерируемое алгоритмом клеточного автомата, и изображение, сделанное компьютером, и обсуждает со ссылкой на тест Тьюринга, могут ли алгоритмические произведения быть искусством. Математика и искусство Сашо Калайджиевски: введение в визуальную математику использует аналогичный подход, рассматривая соответственно такие темы визуальной математики, как тилинги, фракталы и гиперболическая геометрия.

Некоторые из первых работ по компьютерному искусству были созданы Десмондом Полом Генри «Черновая машина 1», аналоговой машиной, основанной на компьютере с бомбовым прицелом и выставленной в 1962 году. Машина способна создавать сложную, абстрактную, асимметричную, криволинейную, но повторяющуюся линию чертежи. Совсем недавно Хамид Надери Йегане создал формы, наводящие на размышления о объектах реального мира, таких как рыба и птицы, с использованием формул, которые последовательно меняются, чтобы нарисовать семьи кривых или угловых линий. Художники, такие как Микаэль Хвиддфельдт Кристенсен, создают произведения генеративного или алгоритмического искусства, написав сценарии для программной системы, такой как Structure Synth: художник эффективно направляет систему на применение желаемой комбинации математических операций к выбранному набору данных.

Математик и теоретик-физик Анри Пуанкаре «Наука и гипотеза» были широко прочитаны кубистами, в том числе Пабло Пикассо и Жаном Метцингером. Пуанкаре рассматривал евклидову геометрию как одну из многих возможных геометрических конфигураций, а не как абсолютную объективную истину. Возможное существование четвертого измерения вдохновило художников на вопрос о классической ренессансной перспективе: неевклидова геометрия стала действительной альтернативой. Понятие о том, что живопись может быть выражено математически, в цвете и форме, способствовало кубизму, художественному движению, которое привело к абстрактному искусству. Метцингер в 1910 году писал, что: «[Пикассо] излагает свободную мобильную перспективу, из которой этот изобретательный математик Морис Принс вывел всю геометрию». Позднее Метцингер писал в своих мемуарах:

Морис Принс часто присоединялся к нам … художник, как художник, концептуализировал математику, как эстетик, в которой он использовал n-мерные континуумы. Он любил привлекать художников к новым взглядам на космос, которые были открыты Шлегелем и некоторыми другими. Ему это удалось.

Импульс для создания учебных или исследовательских моделей математических форм естественным образом создает объекты, которые имеют симметрии и удивительные или приятные формы. Некоторые из них вдохновили художников, таких как Дадаисты Ман Рэй, Марсель Дюшан и Макс Эрнст, и после Ман Рэй, Хироши Сугимото.

Man Ray сфотографировал некоторые из математических моделей в Институте Анри Пуанкаре в Париже, включая Objet mathematique (Математический объект). Он отметил, что это представляло собой поверхности Эннепера с постоянной отрицательной кривизной, полученные из псевдосферы. Этот математический фундамент был для него важен, поскольку он позволил ему отрицать, что объект был «абстрактным», вместо этого утверждая, что он был таким же реальным, как писсуар, который Дюшан сделал в произведение искусства. Человек Рэй признал, что формула [Enneper surface] объекта ничего не значила для меня, но сами формы были такими же разнообразными и аутентичными, как и любой в природе ». Он использовал свои фотографии математических моделей как фигуры в своих сериях, которые он делал на пьесах Шекспира, таких как его картина 1934 года Антония и Клеопатра. Художественный репортер Джонатан Китс, пишущий в ForbesLife, утверждает, что Man Ray сфотографировал «эллиптические параболоиды и конические точки в том же чувственном свете, что и его фотографии Кики де Монпарнаса», и «изобретательно пересматривает крутые вычисления математики, чтобы выявить топологию желание». Скульпторы XX века, такие как Генри Мур, Барбара Хепворт и Наум Габо, вдохновлялись математическими моделями. Мур написал о своей 1938-й строчной маме и ребенке: «Несомненно, источником моих струнных фигур был Научный музей … Я был очарован математическими моделями, которые я видел там … Это не было научное исследование этих моделей, но способность смотреть сквозь струны, как с птичьей клеткой, и видеть одну форму внутри другой, которая меня возбуждала ».

Художники Тео Ван Лисбург и Пьет Мондриан основали движение Де Стидж, которое они хотели «создать визуальный словарь, состоящий из элементарных геометрических форм, понятных всем и адаптируемых к любой дисциплине». Многие из их работ явно состоят из правильных квадратов и треугольников, иногда также с кругами. Художники De Stijl работали в области живописи, мебели, дизайна интерьера и архитектуры. После распада Де Стиля Ван-Вельбург основал авангардное художественное контурное движение, описывающее его арифметическую композицию 1929-1930 гг., Серию из четырех черных квадратов на диагонали квадратного фона, как «структуру, которую можно контролировать, определенную поверхность без случайных элементов или индивидуальный каприз », но« не лишенный духа, не лишенный всеобщего, а не … пустого, поскольку есть все, что соответствует внутреннему ритму ». Критик искусства Глэдис Фабр замечает, что в живописи работают две картины: растущие черные квадраты и чередующиеся фоны.

Математика тесселяции, многогранников, формирования пространства и саморекламы предоставила художнику-графику М. С. Эшеру (1898-1972) со стоимостью жизни для его гравюр на дереве. В эскизе Альгамбры Эшер показал, что искусство может быть создано с помощью полигонов или правильных фигур, таких как треугольники, квадраты и шестиугольники. Эшер использовал нерегулярные многоугольники при черепичной плоскости и часто использовал отражения, отражения в плане скольжения и переводы, чтобы получить дальнейшие узоры. Многие из его работ содержат невозможные конструкции, выполненные с использованием геометрических объектов, которые создают противоречие между перспективной проекцией и тремя измерениями, но приятны для человеческого зрения. Восхождение и спуск Эшера основано на «невозможной лестнице», созданной медицинским ученым Лионелем Пенроузом и его сыном математиком Роджером Пенроузом.

Некоторые из многих тесселяционных рисунков Эшера были вдохновлены разговорами с математиком Х. С. М. Коксером по гиперболической геометрии. Эшера особенно интересовали пять конкретных многогранников, которые много раз появлялись в его работе. Платоновские тела-тетраэдры, кубы, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры особенно заметны в Ордене и Хаосе и Четырех Регулярных Сухих телах. Эти звездчатые фигуры часто находятся внутри другой фигуры, что еще больше искажает угол обзора и конформацию многогранников и обеспечивает многогранное перспективное изображение.

Визуальная сложность математических структур, таких как тесселяции и многогранники, вдохновила множество математических работ. Стюарт Гроб делает многогранные головоломки в редких и красивых лесах; Джордж У. Харт работает над теорией многогранников и скульптурных объектов, вдохновленных ими; Магнус Веннинер делает «особенно красивые» модели сложных звездчатых многогранников.

Извращенные перспективы анаморфоза были исследованы в искусстве с XVI века, когда Ганс Гольбейн Младший включил сильно искаженный череп в свою 1553-ю картину «Послы». Многие художники с тех пор, включая Эшера, используют анаморфотные трюки.

Математика топологии вдохновила многих художников в наше время. Скульптор Джон Робинсон (1935-2007) создал такие работы, как «Гордиев узел» и «Группы дружбы», демонстрируя теорию узлов в полированной бронзе. Другие работы Робинсона исследуют топологию торов. Генезис основан на кольцах Борромеана — наборе из трех кругов, ни одного из двух звеньев, в котором вся структура не может быть разобрана без нарушения. Скульптор Геламан Фергюсон создает сложные поверхности и другие топологические объекты. Его работы представляют собой визуальные представления математических объектов; Восьмеричный путь основан на проективной специальной линейной группе PSL (2,7), конечной группе из 168 элементов. Скульптор Батшеба Гроссман также основывает свою работу на математических структурах.

Проект исследования либеральных исследований рассматривает связи между математикой и искусством через полосу Мёбиуса, флексографию, оригами и панорамную фотографию.

Математические объекты, включая многообразие Лоренца и гиперболическую плоскость, были созданы с использованием волоконных искусств, включая вязание крючком. Американский ткач Ада Диц написал монографию 1949 года «Алгебраические выражения в тканях ручной работы», определяющую ткацкие узоры, основанные на расширении многомерных многочленов. Математик Дж. П. П. Миллер использовал сотовый автомат правила 90 для создания гобеленов, изображающих как деревья, так и абстрактные узоры треугольников. «Матектинисты» Пэт Ашфорт и Стив Пламмер использовали трикотажные версии математических объектов, таких как гексафлексоны в своем обучении, хотя их губка Менгера оказалась слишком хлопотной, чтобы вязать и была сделана из пластикового холста. Их проект «mathghans» (афганцы для школ) представил вязание в британскую учебную программу по математике и технологиям.

Математическое моделирование:
Моделирование далеко не единственный возможный способ иллюстрировать математические концепции. Триптих Джотто Stefaneschi, 1320, иллюстрирует рекурсию в виде mise en abyme; центральная панель триптиха содержит, внизу слева, фигуру на коленях кардинала Стефанески, держащую триптих в качестве приношения. Метафизические картины Джорджо Чирико, такие как его Великий Метафизический интерьер 1917 года, исследуют вопрос об уровнях представления в искусстве, изображая картины в его картинах.

Искусство может служить примером логических парадоксов, как в некоторых картинах сюрреалиста Рене Магритта, которые можно читать как семиотические шутки о путанице между уровнями. В La condition humaine (1933) Магритт изображает мольберт (на реальном холсте), плавно поддерживая вид через окно, которое обрамлено «настоящими» занавесками на картине. Аналогичным образом, Галерея печати Эшера (1956) — это отпечаток, изображающий искаженный город, который содержит галерею, которая рекурсивно содержит изображение, и поэтому до бесконечности. Магритт использовал сферы и кубоиды, чтобы исказить реальность по-другому, покрасив их вместе с ассортиментом домов в своей 1911-й психической арифметике, как если бы они были детскими строительными блоками, но размером с дом. Хранитель заметил, что «жуткое изображение ученого» предсказало узурпацию модернизма «уютными традиционными формами», но также играет с человеческой склонностью искать узоры в природе.

Последняя картина Сальвадора Дали «The Swallow’s Tail» (1983) была частью серии, вдохновленной теорией катастрофы Рене Тома. Испанский художник и скульптор Пабло Паласуэло (1916-2007) сосредоточился на исследовании формы. Он разработал стиль, который он описал как геометрию жизни и геометрию всей природы. Состоящий из простых геометрических форм с подробным рисунком и окраской, в таких работах, как Angular I и Automnes, Палазуэло выразил себя в геометрических преобразованиях.

Художник Адриан Грей практикует балансировку камней, используя трение и центр тяжести для создания ярких и, казалось бы, невозможных композиций.

Художники, однако, не обязательно берут геометрию буквально. Как пишет Дуглас Хофстадтер в своем размышлении 1980 года о человеческой мысли, Геделе, Эшере, Бахе, в частности, в математике искусства: «Разница между рисунком Эшера и неевклидовой геометрией заключается в том, что в последнем, понятном интерпретации могут быть найдены для неопределенных терминов, что приводит к понятной общей системе, тогда как для первого конечный результат не согласуется с концепцией мира, независимо от того, как долго он смотрит на фотографии ». Хофштадтер обсуждает, казалось бы, парадоксальную литографию «Галерея печати» М. С. Эшера; он изображает приморский городок, в котором есть картинная галерея, которая, как представляется, содержит картину приморского города, где есть «странная петля или запутанная иерархия» к уровням реальности в образе. Сам художник, Хофштадтер, не видит; его реальность и его отношение к литографии не парадоксальны. Центральная пустота изображения также привлекла интерес математиков Барта де Смита и Хендрика Ленстра, которые предлагают, чтобы он мог содержать копию эффекта Дросте, вращающуюся и уменьшающуюся; это было бы еще одной иллюстрацией рекурсии, кроме того, что было отмечено Хофстадтером.

Алгоритмический анализ изображений произведений искусства, например, с использованием рентгеновской флуоресцентной спектроскопии, может выявить информацию об искусстве. Такие методы могут выявлять изображения в слоях краски, позже покрытых художником; помогать искусствоведам визуализировать произведение, прежде чем оно сломается или исчезнет; помочь рассказать копию оригинала или различить стиль мазков мастера от таковых у его учеников.

Стиль капельницы Джексона Поллока имеет определенный фрактальный размер; среди художников, которые, возможно, повлияли на контролируемый хаос Поллока, Макс Эрнст нарисовал фигуры Лиссажу прямо, размахивая проколотым ведром краски поверх холста.

Ученый-компьютер Нейл Доджсон исследовал, можно ли математически описать полосатые картины Бриджит Райли, заключив, что, хотя расстояние разделения может «дать некоторую характеристику», а глобальная энтропия работала над некоторыми картинками, автокорреляция не удалась, поскольку образцы Райли были нерегулярными. Местная энтропия работала лучше всего и хорошо коррелировала с описанием, данным искусствоведом Робертом Кудейкой.

Эстетическая мера американского математика Джорджа Биркгофа в 1933 году предлагает количественный показатель эстетического качества произведения искусства. Он не пытается измерить коннотации произведения, такие как то, что может означать живопись, но ограничивается «элементами порядка» многоугольной фигуры. Биркгоф сначала объединяет (в виде суммы) пять таких элементов: существует ли вертикальная ось симметрии; существует ли оптическое равновесие; сколько вращательных симметрий у нее есть; как обои-подобные фигуре; и имеются ли неудовлетворительные характеристики, такие как наличие двух вершин слишком близко друг к другу. Эта метрика O принимает значение от -3 до 7. Вторая метрика C отсчитывает элементы фигуры, что для многоугольника представляет собой число различных прямых, содержащих хотя бы одну из его сторон. Затем Биркхофф определяет свою эстетическую меру красоты объекта как O / C. Это можно интерпретировать как баланс между удовольствием, смотрящим на объект, и количеством усилий, необходимых для его принятия. Предложение Биркгофа было подвергнуто критике различными способами, не в последнюю очередь за попытку поместить красоту в формулу, но он никогда утверждал, что сделал это.

Искусство иногда стимулировало развитие математики, поскольку, когда теория перспективы Брунеллески в архитектуре и живописи начала цикл исследований, которые привели к работе Брук Тейлора и Иоганна Генриха Ламберта по математическим основам перспективного рисования и, в конечном счете, к математике проективная геометрия Жирара Дезарга и Жан-Виктора Понселе.

Японское бумажно-складчатое искусство оригами было переработано математически Томоко Фузе с использованием модулей, конгруэнтных кусков бумаги, таких как квадраты, и превращения их в многогранники или тильги. Бумажная складка использовалась в 1893 году Т. Сундарой Рао в его геометрических упражнениях в бумажной складке, чтобы продемонстрировать геометрические доказательства. Математика сгибания бумаги была исследована в теореме Макавы, теореме Кавасаки и аксиомах Хузита-Хатори.

Оптические иллюзии, такие как спираль Фрейзера, наглядно демонстрируют ограничения в визуальном восприятии человека, создавая то, что искусствовед Эрнст Гомбрих назвал «непонятным трюком». Черные и белые веревки, которые, по-видимому, образуют спирали, на самом деле являются концентрическими кругами. В искусстве живописи и графики середины ХХ века или в оптическом искусстве были использованы такие эффекты, чтобы создать впечатление движения и мерцающих или вибрирующих узоров, видимых в творчестве таких художников, как Бриджит Райли, Спирос Хорэмис и Виктор Вазарели.

Прядь искусства из Древней Греции и далее видит Бога в качестве геометра мира, а геометрия мира — как священная. Вера в то, что Бог создал Вселенную в соответствии с геометрическим планом, имеет древнее происхождение. Плутарх объяснил веру Платону, написав, что «Платон сказал, что Бог постоянно геометризирует» (Convivialium disputum, liber 8,2). С тех пор этот образ повлиял на западную мысль. Платоническая концепция, в свою очередь, была основана на пифагорейском представлении о гармонии в музыке, где заметки были расположены в идеальных пропорциях, соответствующих длинам строк лиры; действительно, пифагорейцы считали, что все было устроено Числом. Точно так же, по мысли Платона, регулярные или платоновские твердые тела диктуют пропорции, найденные в природе, и в искусстве. Средневековая рукопись может ссылаться на стих в Ветхом Завете: «Когда он основал небеса, я был там: когда он установил компас на лице глубокого» (Притчи 8:27), показывая Богу, пара компасов. В 1596 году математический астроном Йоханнес Кеплер смоделировал вселенную как набор вложенных платоновых твердых тел, определяя относительные размеры орбит планет. «Ветвь дня» Уильяма Блейка и его картина физика Исаака Ньютона, обнаженного и рисующего компасом, пытаются изобразить контраст между математически совершенным духовным миром и несовершенным физическим миром, так как по-разному распятие Сальвадора Дали 1954 года (Корпус Hypercubus), который изображает крест как гиперкуб, представляющий божественную перспективу с четырьмя измерениями, а не обычными тремя. В Дали «Таинство Тайной вечери» (1955) Христос и его ученики изображены внутри гигантского додекаэдра.