Математика и архитектура

Математика и архитектура связаны, поскольку, как и в других искусствах, архитекторы используют математику по нескольким причинам. Помимо математики, необходимой для инженерных зданий, архитекторы используют геометрию: для определения пространственной формы здания; от пифагорейцев шестого века до нашей эры, создавать формы, считающиеся гармоничными, и, таким образом, строить здания и их окрестности в соответствии с математическими, эстетическими, а иногда и религиозными принципами; украшать здания математическими объектами, такими как тесселяции; и для достижения экологических целей, например, для минимизации скорости ветра вокруг фундаментов высотных зданий.

В Древнем Египте, Древней Греции, Индии и исламском мире здания, в том числе пирамиды, храмы, мечети, дворцы и мавзолеи, были изложены с особыми пропорциями по религиозным соображениям. В исламской архитектуре геометрические формы и геометрические плиточные узоры используются для украшения зданий как внутри, так и снаружи. Некоторые индуистские храмы имеют фрактальную структуру, где части напоминают целое, передавая сообщение о бесконечности в индуистской космологии. В китайской архитектуре тулу провинции Фуцзянь являются круговыми, общинными защитными сооружениями. В двадцать первом веке математическое украшение снова используется для освещения общественных зданий.

В архитектуре эпохи Возрождения симметрия и пропорция были специально подчеркнуты такими архитекторами, как Леон Баттиста Альберти, Себастиано Серлио и Андреа Палладио, под влиянием архитектора Витрувиуса Де Рима и арифметики пифагорейцев из Древней Греции. В конце девятнадцатого века Владимир Шухов в России и Антони Гауди в Барселоне впервые использовали гиперболоидные структуры; в Sagrada Família Гауди также включали гиперболические параболоиды, тесселяции, цепные арки, катеноиды, геликоиды и линейчатые поверхности. В двадцатом веке такие стили, как современная архитектура и деконструктивизм, исследовали разные геометрии для достижения желаемых эффектов. Минимальные поверхности были использованы в кровельных покрытиях типа тентов, как в международном аэропорту Денвера, а Ричард Бакминстер Фуллер впервые использовал сильные структуры тонкой оболочки, известные как геодезические купола.

Архитекторы Майкл Оствальд и Ким Уильямс, рассматривая отношения между архитектурой и математикой, отмечают, что поля, которые обычно понимаются, могут показаться лишь слабо связанными, поскольку архитектура — это профессия, связанная с практическим вопросом создания зданий, в то время как математика — это чистая изучение числа и других абстрактных объектов. Но, утверждают они, они тесно связаны друг с другом и были со времен античности. В Древнем Риме Витрувий описал архитектора как человека, который знал достаточно ряда других дисциплин, прежде всего геометрии, чтобы позволить ему наблюдать за квалифицированными мастерами во всех других необходимых областях, таких как масоны и плотники. То же самое применялось в средние века, когда выпускники изучали арифметику, геометрию и эстетику наряду с основной учебной программой грамматики, логики и риторики (тривиум) в элегантных залах мастеров-строителей, которые руководили многими мастерами. Мастер-строитель на вершине своей профессии получил звание архитектора или инженера. В эпоху Возрождения квадривиум арифметики, геометрии, музыки и астрономии стал дополнительной программой, ожидаемой от человека эпохи Возрождения, такого как Леон Баттиста Альберти. Точно так же в Англии сэр Кристофер Рен, известный сегодня как архитектор, был в первую очередь отмеченным астрономом.

Уильямс и Оствальд, более подробный обзор взаимодействия математики и архитектуры с 1500 года в соответствии с подходом немецкого социолога Теодора Адорно, определяют три тенденции среди архитекторов, а именно: быть революционными, внедрять совершенно новые идеи; реакционный, неспособный внести изменения; или возродителем, фактически идущим назад. Они утверждают, что архитекторы избегали поисков математики для вдохновения в эпоху возрождения. Это объясняет, почему в периоды возрождения, такие как Готическое возрождение в Англии XIX века, архитектура не имела никакого отношения к математике. В равной степени они отмечают, что в реакционные времена, такие как итальянский маньеризм примерно с 1520 по 1580 годы, или в барочном и палеонтологическом движениях 17-го века, математику едва консультировали. Напротив, революционные движения начала 20-го века, такие как футуризм и конструктивизм, активно отвергали старые идеи, охватывая математику и приводя к модернистской архитектуре. К концу 20-го века фрактальная геометрия была быстро захвачена архитекторами, как и апериодическая черепица, для создания интересных и привлекательных покрытий для зданий.

Архитекторы используют математику по нескольким причинам, оставляя в стороне необходимое использование математики при проектировании зданий. Во-первых, они используют геометрию, потому что она определяет пространственную форму здания. Во-вторых, они используют математику для разработки форм, которые считаются красивыми или гармоничными. Со времен пифагорейцев со своей религиозной философией числа архитекторов Древней Греции, Древнего Рима, исламского мира и итальянского Возрождения выбрали пропорции построенной среды — зданий и их окружения — согласно математическим, а также эстетическим а иногда и религиозные принципы. В-третьих, они могут использовать математические объекты, такие как тесселяции для украшения зданий. В-четвертых, они могут использовать математику в форме компьютерного моделирования для достижения экологических целей, например, для сведения к минимуму крутящихся потоков воздуха у подножия высоких зданий.

Витрувия:
Влиятельный древнеримский архитектор Витрувий утверждал, что конструкция здания, такого как храм, зависит от двух качеств, пропорции и симметрии. Пропорция гарантирует, что каждая часть здания гармонично относится ко всем остальным частям. Симметрия в использовании Витрувия означает нечто более близкое к английской терминологии, чем зеркальная симметрия, так как опять-таки она связана с сборкой (модульной) части во все здание. В своей Базилике в Фано он использует отношения малых целых чисел, особенно треугольные числа (1, 3, 6, 10, …), чтобы пропорционально распределить структуру на (витрувианские) модули. Таким образом, ширина Базилики до длины составляет 1: 2; проезд вокруг него высок, как широкий, 1: 1; колонны имеют толщину пять футов и высоту пятьдесят футов, 1:10.

Витрувий назвал три качества, необходимые для архитектуры в его архитектуре, c. 15 B.C .: твердость, полезность (или «товар» в английском XVI веке Генри Уоттона) и восторг. Они могут использоваться в качестве категорий для классификации способов использования математики в архитектуре. Твердость охватывает использование математики, чтобы обеспечить возведение здания, следовательно, математические инструменты, используемые в дизайне, и поддерживать конструкцию, например, для обеспечения стабильности и моделирования производительности. Полезность отчасти зависит от эффективного применения математики, рассуждения и анализа пространственных и других отношений в дизайне. Восхищение — это атрибут полученного здания, вытекающий из воплощения математических отношений в здании; он включает в себя эстетические, чувственные и интеллектуальные качества.

Пантеон:
Пантеон в Риме сохранился нетронутым, иллюстрируя классическую римскую структуру, пропорцию и украшение. Основная структура — купол, а вершина оставлена ​​открытой как круговой глаз, чтобы светить; он выходит из-за короткой колоннады с треугольным фронтоном. Высота до окуля и диаметр внутреннего круга одинаковы, 43,3 метра (142 фута), поэтому весь интерьер будет располагаться точно внутри куба, а интерьер может вмещать сферу того же диаметра. Эти размеры имеют больше смысла, когда они выражены в древнеримских единицах измерения: купол охватывает 150 римских ног); окулус — 30 римских футов в диаметре; дверной проем — 40 римских футов высотой. Пантеон остается крупнейшим в мире неармированным бетонным куполом.

Первым ренессансным трактатом по архитектуре был Леона Баттиста Альберти «Революция» 1450 года («Искусство искусства»); он стал первой печатной книгой по архитектуре в 1485 году. Она частично была основана на архитектуре Витрувия Де Архитектуры и через Никомахусе, арифметике Пифагора. Альберти начинает с куба и получает от него коэффициенты. Таким образом, диагональ грани дает отношение 1: √2, а диаметр сферы, описывающей куб, дает 1: √3. Альберти также задокументировал открытие Филиппо Брунеллески линейной перспективы, разработанной, чтобы позволить дизайн зданий, которые будут выглядеть красиво, если смотреть с удобного расстояния.

Следующим крупным текстом был «Regole generali d’architettura» Себастьяно Серлио (Общие правила архитектуры); первый том появился в Венеции в 1537 году; объем 1545 (книги 1 и 2) охватывает геометрию и перспективу. Два метода Серлио для построения перспектив были неправильными, но это не мешало широко использовать его работу.

В 1570 году Андреа Палладио опубликовала влиятельную I quattro libri dell’architettura («Четыре книги архитектуры») в Венеции. Эта широко напечатанная книга в значительной степени отвечала за распространение идей итальянского Возрождения по всей Европе, чему способствовали такие сторонники, как английский дипломат Генри Уоттон с его 1624 «Элементами архитектуры». Соотношение каждой комнаты на вилле было рассчитано на простые математические соотношения, такие как 3: 4 и 4: 5, а разные комнаты внутри дома были взаимосвязаны по этим коэффициентам. Раньше архитекторы использовали эти формулы для балансировки одного симметричного фасада; однако проекты Палладио связаны со всей, как правило, квадратной, виллой. Палладио разрешил ряд коэффициентов в Quattro libri, заявив:

Есть семь типов комнат, которые являются самыми красивыми и хорошо распределенными и получаются лучше: их можно сделать круговыми, хотя они редки; или квадрат; или их длина будет равна диагонали квадрата ширины; или квадратный, и третий; или квадрат с половиной; или квадрат и две трети; или двух квадратов.

В 1615 году Винченцо Скамоцци опубликовал трактат по позднему Ренессансу «Идея универсальной архитектуры» (L’Idea dell’Architettura Universale). Он попытался связать дизайн городов и зданий с идеями Витрувия и пифагорейцев, а также с более поздними идеями Палладио.

Девятнадцатый век:
Гиперболоидные структуры использовались начиная с конца XIX века Владимиром Шуховым для мачт, маяков и градирен. Их поразительная форма является одновременно эстетически интересной и сильной, экономно используя конструкционные материалы. Первая гиперболоидальная башня Шухова была выставлена ​​в Нижнем Новгороде в 1896 году.

Двадцатое столетие:
В начале XX века «Современная архитектура», созданная русским конструктивизмом, использовала прямолинейную евклидову (также называемую картезианскую) геометрию. В движении Де Стиджа горизонталь и вертикаль рассматривались как составляющие универсальные. Архитектурная форма состоит в объединении этих двух направленных тенденций, используя плоскость крыши, стены и балконы, которые либо скользят мимо, либо пересекаются друг с другом, как в доме Rietveld Schröder 1924 года Геррит Ритвельд.

Модернистские архитекторы могли свободно использовать кривые, а также самолеты. Станция Арноса Чарльза Холдена 1933 года имеет круглый билетный зал в кирпиче с плоской бетонной крышей. В 1938 году художник Баухаус Ласло Мохоли-Надь принял семь биотехнических элементов Рауля Генриха Франсе, а именно кристалл, сферу, конус, плоскость, (кубическую) полосу, (цилиндрический) стержень и спираль, как предполагалось основные строительные блоки архитектуры, вдохновленные природой.

Ле Корбюзье предложил антропометрическую шкалу пропорций в архитектуре, модуляр, основанный на предполагаемой высоте человека. В 1955 году Ле Корбюзье «Шапель» Нотр-Дам-дю-Хаут использует кривые свободной формы, не описываемые в математических формулах. Формы, как говорят, вызывающие воспоминания о естественных формах, таких как нос корабля или молящихся рук. Конструкция находится только в самом большом масштабе: нет иерархии деталей в меньших масштабах и, следовательно, не имеет фрактальной размерности; то же самое относится к другим известным зданиям двадцатого века, таким как Сиднейский оперный театр, Международный аэропорт Денвера и Музей Гуггенхайма в Бильбао.

Современная архитектура, по мнению 90 ведущих архитекторов, которые ответили на Всемирную архитектурную съемку 2010 года, чрезвычайно разнообразна; лучший был признан музеем Гуггенхайма Фрэнка Гери в Бильбао.

Построенное в 1995 году здание терминала международного аэропорта Денвера покрыто тканевой крышей как минимальная поверхность (то есть средняя кривизна равна нулю) стальными тросами. Он вызывает горы с заснеженными горами Колорадо и палатки типе коренных американцев.

Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер известен разработкой прочных тонкостенных конструкций, известных как геодезические купола. Купол Montréal Biosphère высотой 61 метр (200 футов); его диаметр составляет 76 метров (249 футов).

Сиднейский оперный театр имеет потрясающую крышу, состоящую из парящих белых сводов, напоминающих паруса корабля; чтобы их можно было построить с использованием стандартизованных компонентов, своды состоят из треугольных участков сферических оболочек с одинаковым радиусом. Они имеют требуемую равномерную кривизну во всех направлениях.

Движение конца XX века Деконструктивизм создает преднамеренное расстройство с тем, что Никос Салингарос в Теории Архитектуры называет случайными формами высокой сложности, используя непараллельные стены, наложенные сетки и сложные двухмерные поверхности, как в Концертном зале Фрэнка Гери Диснея и Музее Гуггенхайма , Бильбао. До двадцатого века студенты-архитекторы были обязаны иметь математическое обоснование. Салингарос утверждает, что первый «чрезмерно упрощенный, политически обусловленный» модернизм, а затем «антинаучный» деконструктивизм фактически отделил архитектуру от математики. Он считает, что это «обращение к математическим ценностям» вредно, так как «повсеместная эстетика» не математической архитектуры побуждает людей «отклонять математическую информацию в построенной среде»; он утверждает, что это оказывает негативное воздействие на общество.

Древний Египет:
Пирамиды Древнего Египта — это гробницы, построенные с сознательно подобранными пропорциями, но которые были обсуждены. Угол лица составляет около 51 ° 85 ‘, а отношение высоты наклона к половине длины основания составляет 1,619, что составляет менее 1% от золотого отношения. Если бы это был метод проектирования, это означало бы использование треугольника Кеплера (угол лица 51 ° 49 ‘). Однако более вероятно, что наклон пирамид был выбран из 3-4-5 треугольника (угол лица 53 ° 8 ‘), известный из Rhind Mathematical Papyrus (приблизительно 1650-1550 гг. До н.э.); или от треугольника с отношением основания к гипотенузе 1: 4 / π (угол лица 51 ° 50 ‘).

Возможное использование треугольника 3-4-5 для выкладки прямых углов, например, для плана плана пирамиды, и знание теоремы Пифагора, которое это подразумевало бы, было много сказано. Это было впервые высказано историком Морицем Кантором в 1882 году. Известно, что в Древнем Египте точно были выстроены прямые углы; что их геодезисты использовали узловые шнуры для измерения; что Плутарх записал в Исиде и Осирисе (около 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3-4-5; и что Берлинский папирус 6619 из Поднебесной (до 1700 г. до н.э.) заявил, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + ¼ стороне другого». Историк математики Роджер Л. Кук отмечает, что «трудно представить, что кто-то заинтересован в таких условиях, не зная теорему Пифагора». Напротив, Кук отмечает, что ни один египетский текст до 300 г. до н.э. фактически не упоминает использование этой теоремы, чтобы найти длину сторон треугольника и что существуют более простые способы построения прямого угла. Кук заключает, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он полагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но «нет доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов».

Древняя Индия:
Ваасту Шастра, древние индийские каноны архитектуры и градостроительства, использует симметричные рисунки, называемые мандалами. Сложные расчеты используются для измерения размеров здания и его компонентов. Проекты предназначены для интеграции архитектуры с природой, относительных функций различных частей структуры и древних убеждений с использованием геометрических узоров (янтры), симметрии и направленности. Однако ранние строители случайно попали в математические пропорции. Математик Жорж Ифрах отмечает, что простые «трюки» со струнами и кольями могут использоваться для выкладки геометрических фигур, таких как эллипсы и прямые углы.

Математика фракталов использовалась, чтобы показать, что причина, по которой существующие здания имеют универсальную привлекательность и визуально удовлетворяет, заключается в том, что они обеспечивают зрителя ощущением масштаба на разных расстояниях. Например, в высоких гопурамских воротах индуистских храмов, таких как храм Вирупакши в Хампи, построенный в седьмом веке, и другие, такие как храм Кандария Махадева в Кхаджурахо, части и все имеют одинаковый характер, с фрактальной размерностью в от 1.7 до 1.8. Кластер меньших башен (шихара, горит) о самой высокой центральной башне, которая представляет святую гору Кайлаш, обитель Господа Шивы, изображает бесконечное повторение вселенных в индуистской космологии. Ученый-религиовед Уильям Дж. Джексон наблюдал за строением вышек, сгруппированных среди более мелких башен, которые группировались среди еще более мелких башен, что:

Идеальная форма, изящно изящная, предполагает бесконечные растущие уровни существования и сознания, расширяя размеры, поднимающиеся к превышению выше, и в то же время живя святое глубоко внутри.

Храм Минакши Амман — это большой комплекс с множеством святынь, а улицы Мадурая расположены концентрично вокруг него по шастрам. Четыре шлюза — высокие башни (гопурам) с фрактальной повторяющейся структурой, как у Хампи. Шкафы вокруг каждой святыни прямоугольные и окружены высокими каменными стенами.

Древняя Греция:
Пифагор (около 569 г. — 475 г. до н.э.) и его последователи, пифагорейцы, считали, что «все вещи являются числами». Они наблюдали гармонии, создаваемые нотами с определенными малыми целыми коэффициентами частоты, и утверждали, что здания тоже должны быть сконструированы с такими коэффициентами. Греческое слово «симметрия» первоначально обозначало гармонию архитектурных форм в точном соотношении от мельчайших деталей здания вплоть до всего его дизайна.

Парфенон — 69,5 метра (228 футов) в длину, 30,9 метра (101 фут) в ширину и 13,7 метра (45 футов) в высоту до карниза. Это дает отношение ширины к длине 4: 9 и то же самое для высоты по ширине. Объединяя их, вы получаете высоту: ширина: длина 16:36:81 или радость пифагорейцев 42:62:92. Это устанавливает модуль как 0,858 м. Прямоугольник 4: 9 можно построить как три смежных прямоугольника со сторонами в соотношении 3: 4. Каждый полуугольник является удобным правым треугольником 3: 4: 5, позволяющим проверять углы и стороны с помощью подходящего узловатого каната. Внутренняя область (naos) также имеет пропорции 4: 9 (21,44 метра (70,3 фута) в ширину и длину 48,3 м); соотношение между диаметром внешних колонн, 1,905 м (6,25 фута) и расстоянием между их центрами, 4,293 метра (14,08 фута), также составляет 4: 9.

Парфенон рассматривается авторами, такими как Джон Юлиус Норидж «самый совершенный дорический храм, когда-либо построенный». Его сложные архитектурные изысканности включают «тонкое соответствие между кривизной стилобата, конусностью стенок нао и энтосом колонн». Entasis относится к тонкому уменьшению диаметра колонн по мере их роста. Стилобат — это платформа, на которой стоят столбцы. Как и в других классических греческих храмах, платформа имеет небольшую параболическую кривизну вверх, чтобы пролить дождевую воду и укрепить здание от землетрясений. Таким образом, колонны могут выступать наружу, но они фактически немного наклоняются внутрь, так что, если они будут продолжаться, они будут встречаться примерно в миле над центром здания; так как они имеют одинаковый рост, кривизна внешнего края стилобата передается в архитрав и крышу сверху: «все следуют правилу построения до тонких кривых».

Золотое отношение было известно в 300 г. до н.э., когда Евклид описал метод геометрической конструкции. Утверждалось, что золотое соотношение использовалось при проектировании Парфенона и других древнегреческих зданий, а также скульптур, картин и ваз. Однако последние авторы, такие как Никос Салингарос, сомневаются во всех этих утверждениях. Эксперименты компьютерного ученого Джорджа Марковского не нашли никакого предпочтения для золотого прямоугольника.

Исламская архитектура:
Историк исламского искусства Антонио Фернандес-Пуэртас предполагает, что Альгамбра, как и великая мечеть Кордовы, была спроектирована с использованием Hispano-Muslim foot или codo около 0,62 метра (2,0 фута). Во дворце дворцов Львов пропорции следуют серии сундуков. Прямоугольник со сторонами 1 и √2 имеет (по теореме Пифагора) диагональ √3, которая описывает правый треугольник, сделанный сторонами суды; серия продолжается с √4 (давая соотношение 1: 2), √5 и т. д. Декоративные узоры аналогично распределены, √2 генерируют квадраты внутри кругов и восьмиконечные звезды, √3 генерирующие шестиконечные звезды. Нет доказательств, подтверждающих предыдущие утверждения о том, что золотое соотношение использовалось в Альгамбре. Суд Львов заключен в квадратные скобки в Зале двух сестер и в Зале Абенсерра; из центров этих двух залов и четырех внутренних углов Суда Львов можно вытащить правильный шестиугольник.

Мечеть Селимие в Эдирне, Турция, была построена Мимаром Синаном, чтобы обеспечить место, где михраб можно было увидеть из любой точки внутри здания. Таким образом, очень большое центральное пространство расположено в виде восьмиугольника, образованного 8 огромными колоннами и ограниченным круговым куполом диаметром 31,25 метра (102,5 фута) и высотой 43 метра (141 фута). Восьмиугольник формируется в квадрат с четырьмя полудомами и снаружи четырьмя исключительно высокими минаретами высотой 83 метра (272 фута). План здания, таким образом, представляет собой круг внутри восьмиугольника внутри квадрата.

Моголовская архитектура:
Архитектура моголов, как видно из заброшенного имперского города Фатехпур Сикри и комплекса Тадж-Махал, имеет отличительный математический порядок и сильную эстетику, основанную на симметрии и гармонии.

Тадж-Махал олицетворяет архитектуру Моголов, представляющую рай и демонстрирующую силу Императора Моголов Шаха Джахана через его масштаб, симметрию и дорогостоящее украшение. Белый мраморный мавзолей, украшенный пьетра дурой, великими воротами (Дарваза-и-рауза), другими зданиями, садами и дорожками вместе образуют единый иерархический дизайн. Здания включают в себя мечеть в красном песчанике на западе и почти идентичное здание, Джаваб или «ответ» на востоке, чтобы поддерживать двустороннюю симметрию комплекса. Формальный чарбагх («четырехкратный сад») состоит из четырех частей, символизирующих четыре реки рая и предлагающих взгляды и размышления о мавзолее. Они делятся, в свою очередь, на 16 партеров.

Комплекс Тадж-Махал был выложен на сетке, разделенной на более мелкие решетки. Историки архитектуры Кох и Барродо согласны с традиционными учетными записями, которые дают ширину комплекса как 374 мегаполиса или гага, основная область — три квадрата 374 гага. Они были разделены на районы, такие как базар и караван-сарай, в модули 17 газ; сад и террасы находятся в модулях 23 га и имеют ширину 368 га (16 х 23). Мавзолей, мечеть и гостевой дом выложены на сетке из 7 газов. Кох и Барроу отмечают, что если восьмиугольник, используемый повторно в комплексе, имеет стороны из 7 единиц, то он имеет ширину 17 единиц, что может помочь объяснить выбор отношений в комплексе.

Христианская архитектура:
Христианская патриархальная базилика Святой Софии в Византии (ныне Стамбул), впервые построенная в 537 году (и дважды перестроенная), была на тысячу лет крупнейшим собором, когда-либо построенным. Это вдохновило многие последующие здания, включая Султана Ахмеда и другие мечети в городе. Византийская архитектура включает в себя неф, увенчанный круговым куполом и двумя полукуполями, все одинакового диаметра (31 метр (102 фута)), а еще пять меньших полугумбов образуют апсиду и четыре закругленных угла огромного прямоугольного интерьер. Это было интерпретировано средневековыми архитекторами как представляющие мирское ниже (квадратная база) и божественные небеса выше (парящий сферический купол). Император Юстиниан использовал в качестве архитекторов два геометра: Исидор Милетский и Антемий Траллский; Исидор сочинил работы Архимеда по сплошной геометрии и находился под его влиянием.

Важность водного крещения в христианстве была отражена в шкале архитектуры баптистов. Самая старая, Латеранская Баптистерия в Риме, построенная в 440 году, установила тенденцию к восьмиугольным баптистам; шрифт крещения внутри этих зданий часто был восьмиугольным, хотя крупнейшая в Италии баптистерия в Пизе, построенная между 1152 и 1363 годами, круглая, с восьмиугольным шрифтом. Это 54,86 метров (180,0 фута) в высоту, с диаметром 34,13 метра (112,0 фута) (соотношение 8: 5). Святой Амвросий писал, что шрифты и кресты были восьмиугольными, «потому что в восьмой день, восходя, Христос ослабевает рабством смерти и принимает мертвых из своих могил». Святой Августин также описал восьмой день как «вечный … освященный воскресением Христа». Восьмиугольная Баптистерия святого Иоанна, Флоренция, построенная между 1059 и 1128 годами, является одним из старейших зданий в этом городе и одним из последних в прямой традиции классической древности; это было чрезвычайно влиятельным в последующем флорентийском Возрождении, поскольку основные архитекторы, включая Франческо Таленти, Альберти и Брунеллески, использовали его как образец классической архитектуры.

Номер пять используется «в изобилии» в парижской церкви 1721 года Св. Иоанна Непомуцкого в Зеленой горе, недалеко от Жжар-над-Сазавоу в Чешской республике, спроектированной Ян Блажей Сантини Айшель. Ней круглый, окруженный пятью парами колонн и пятью овальными куполами, чередующимися с огивальными апсидами. В церкви также есть пять ворот, пять часовни, пять алтарей и пять звезд; легенда утверждает, что, когда святой Иоанн Непомук был замучен, на его голове появилось пять звезд. Пятикратная архитектура может также символизировать пять ран Христа и пять букв «Такуи» (латынь: «Я молчал» [о секретах исповедания]).

Антони Гауди использовал широкий спектр геометрических структур, некоторые из которых были минимальными поверхностями, в Sagrada Família, Barcelona, ​​начались в 1882 году (и не были завершены к 2015 году). К ним относятся гиперболические параболоиды и гиперболоиды вращения, тесселяции, цепные арки, катеноиды, геликоиды и линейчатые поверхности. Это разнообразное сочетание геометрии творчески сочетается по-разному вокруг церкви. Например, в Страстном фасаде Саграда Фамилия Гауди собирал каменные «ветви» в виде гиперболических параболоидов, которые перекрываются у своих вершин (директив) без, следовательно, встречи в точке. Напротив, в колоннаде существуют гиперболические параболоидальные поверхности, которые плавно соединяются с другими структурами для образования неограниченных поверхностей. Кроме того, Гауди использует естественные закономерности, сами по себе математические, с колоннами, полученными из форм деревьев, и перемычки, выполненные из немодифицированного базальта, естественно треснутого (путем охлаждения из расплавленной породы) в гексагональные колонны.

В 1971 году в Соборе Святой Марии Успенской в ​​Сан-Франциско есть седловая крыша, состоящая из восьми сегментов гиперболических параболоидов, расположенных так, что нижнее горизонтальное поперечное сечение крыши представляет собой квадрат, а верхнее поперечное сечение — христианский крест. Здание представляет собой площадь 77,7 метра (255 футов) на стороне и 57,9 метров (190 футов). Собор Бразилии 1970 года Оскаром Нимейером использует другое использование гиперболоидной структуры; он построен из 16 одинаковых бетонных балок, каждый весом 90 тонн, расположенных по кругу, чтобы образовать гиперболоид вращения, белые лучи, создающие форму, как руки, молящиеся на небеса. Изнутри видно только купол: большая часть здания находится под землей.

Несколько средневековых церквей в Скандинавии являются круговыми, в том числе четыре — на датском острове Борнхольм. Одна из старейших из них, церковь Остерларс от c. 1160, имеет круглый неф вокруг массивной круговой каменной колонны, пронизанной арками и украшенной фреской. Круглая структура имеет три этажа и, по-видимому, укреплена, верхний этаж служил для защиты.

Исламское архитектурное оформление:
Исламские здания часто украшены геометрическими узорами, которые обычно используют несколько математических тесселяций, состоящих из керамической плитки (girih, zellige), которые сами могут быть простыми или украшенными полосками. Симметрии, такие как звезды с шестью, восемью или кратными восьми пунктами, используются в исламских образцах. Некоторые из них основаны на мотивах «Хатем Сулемани» или Соломона, который представляет собой восьмиконечную звезду, состоящую из двух квадратов, один повернутый на 45 градусов от другого в том же центре. Исламские модели используют многие из 17 возможных групп обоев; еще в 1944 году Эдит Мюллер показал, что Alhambra использовали 11 обоев групп в его украшения, в то время как в 1986 году Бранко Грунбаум утверждал, что нашел 13 обоев группы в Альгамбре, утверждая, спорно, что оставшиеся 4 группы не встречаются нигде в исламском орнамент.

Современное архитектурное оформление:
К концу 20-го века архитекторы разработали новые математические конструкции, такие как фрактальная геометрия и апериодическая черепица, чтобы обеспечить интересные и привлекательные покрытия для зданий. В 1913 году модернистский архитектор Адольф Лоос заявил, что «Орнамент — это преступление», влияющее на архитектурное мышление на остальную часть XX века. В 21 веке архитекторы снова начинают изучать использование орнамента. Украшение 21 века чрезвычайно разнообразно. Концертный и конференц-центр Harpa Henning Larsen 2011 года, Рейкьявик имеет то, что выглядит как хрустальная стена из камня, сделанного из больших стеклянных блоков. Архитектор иностранных офисов в 2010 году Колледж Ravensbourne, Лондон, декорирован тесселлерами с 28 000 анодированных алюминиевых плит красным, белым и коричневым, скрепляющимися круглыми окнами разного размера. В тесселяции используются три типа плитки, равносторонний треугольник и два нерегулярных пятиугольника. Библиотека Канадзава Умимирай Казуми Кудо создает декоративную сетку из маленьких круглых стеклянных блоков, установленных в бетонные стены.

Европа обороны:
Архитектура укреплений эволюционировала из средневековых крепостей, которые имели высокие стены кладки, до низких симметричных звездных фортов, способных противостоять артиллерийской бомбардировке между серединой пятнадцатого и девятнадцатого веков. Геометрия звездных форм была продиктована необходимостью избегать мертвых зон, где атакующая пехота могла укрыться от оборонительного огня; стороны проекционных точек были наклонены, чтобы позволить огню пронести землю и обеспечить перекрестный огонь (с обеих сторон) за пределы каждой точки проецирования. Известные архитекторы, которые проектировали такую ​​защиту, включают Микеланджело, Бальдассаре Перуцци, Винченцо Скамоцци и Себастьян Ле Престре-де-Вобан.

Архитектурный историк Зигфрид Гедион утверждал, что звездообразное укрепление оказало формирующее влияние на рисунок идеального города эпохи Возрождения: «Ренессанс был загипнотизирован одним типом города, который в течение полутора веков — от Филарета до Скамоцци — был впечатлен все утопические схемы: это звездный город ».

Китайская оборона:
В китайской архитектуре Тулу провинции Фуцзянь — это круговые, общинные оборонительные сооружения с преимущественно пустыми стенами и одной железной деревянной дверью, некоторые из которых относятся к шестнадцатому веку. Стены увенчаны крышами, которые мягко наклонены наружу и внутрь, образуя кольцо. Центр круга — открытый мощеной двор, часто с колодцем, окруженный деревянными галереями высотой до пяти этажей.

Экологические цели:
Архитекторы могут также выбрать форму здания для достижения экологических целей. Например, 30 St Mary Axe, Лондон, известный как «The Gherkin» для своей огуречной формы, представляет собой революцию, разработанную с использованием параметрического моделирования. Его геометрия была выбрана не только по эстетическим соображениям, но и для сведения к минимуму крутящихся воздушных потоков на ее основе. Несмотря на изогнутую поверхность здания, все панели стекла, образующие его кожу, плоские, за исключением объектива сверху. Большинство панелей представляют собой четырехугольники, поскольку их можно вырезать из прямоугольного стекла с меньшим количеством потерь, чем треугольные панели.

Традиционный яхчал (ледяная яма) Персии функционировал как испарительный кулер. Над землей структура имела куполообразную форму, но имела подземное пространство для хранения льда, а иногда и продуктов питания. Подземное пространство и толстая жаропрочная конструкция изолировали хранилище круглый год. Внутреннее пространство часто охлаждалось ветряными мельницами. Лед был доступен летом, чтобы приготовить замороженный десерт faloodeh.