Uma rede espacial (às vezes também um gráfico geométrico) é um grafo no qual os vértices ou arestas são elementos espaciais associados a objetos geométricos, isto é, os nós estão localizados em um espaço equipado com uma determinada métrica. A realização matemática mais simples é uma rede ou um gráfico geométrico aleatório, onde os nós são distribuídos uniformemente ao acaso sobre um plano bidimensional; um par de nós é conectado se a distância euclidiana for menor que um raio da vizinhança. Redes de transporte e mobilidade, Internet, redes de telefonia celular, redes elétricas, redes sociais e de contato e redes neurais são exemplos onde o espaço subjacente é relevante e onde a topologia do gráfico sozinha não contém todas as informações. Caracterizar e compreender a estrutura, a resiliência e a evolução das redes espaciais é crucial para muitos campos diferentes, desde o urbanismo à epidemiologia.

Exemplos
Uma rede espacial urbana pode ser construída abstraindo interseções como nós e ruas como elos, o que é chamado de rede de transporte. O tráfego de Beijing foi estudado como uma rede dinâmica e suas propriedades de percolação foram consideradas úteis para identificar gargalos sistemáticos.

Pode-se pensar no “mapa espacial” como sendo a imagem negativa do mapa padrão, com o espaço aberto recortado dos prédios ou paredes de fundo.

Caracterizando redes espaciais
Os aspectos a seguir são algumas das características para examinar uma rede espacial:

Redes planares
Em muitas aplicações, como ferrovias, rodovias e outras redes de transporte, a rede é assumida como sendo planar. Redes planares constroem um grupo importante fora das redes espaciais, mas nem todas as redes espaciais são planas. De fato, as redes de passageiros aéreos são um exemplo não planar: todos os aeroportos do mundo estão conectados por meio de vôos diretos.

A maneira como é incorporado no espaço
Existem exemplos de redes, que parecem não estar “diretamente” incorporadas no espaço. Redes sociais, por exemplo, conectam indivíduos através de relações de amizade. Mas, neste caso, o espaço intervém no fato de que a probabilidade de conexão entre dois indivíduos geralmente diminui com a distância entre eles.

Tesselação de Voronoi
Uma rede espacial pode ser representada por um diagrama de Voronoi, que é uma maneira de dividir o espaço em várias regiões. O gráfico duplo para um diagrama de Voronoi corresponde à triangulação de Delaunay para o mesmo conjunto de pontos. Os mosaicos de Voronoi são interessantes para redes espaciais no sentido em que fornecem um modelo de representação natural ao qual se pode comparar uma rede do mundo real.

Misturando espaço e topologia
Examinar a topologia dos nós e bordas em si é outra maneira de caracterizar as redes. A distribuição do grau dos nós é frequentemente considerada, em relação à estrutura das arestas, é útil encontrar a árvore de amplitude mínima, ou a generalização, a árvore de Steiner e o gráfico de vizinhança relativa.

Redes de treliça
Redes de rede (veja a Fig. 1) são modelos úteis para redes incorporadas espaciais. Muitos fenômenos físicos foram estudados nessas estruturas. Exemplos incluem o modelo de Ising para magnetização espontânea, fenômenos de difusão modelados como caminhadas aleatórias e percolação. Recentemente, para modelar a resiliência de infraestruturas interdependentes que são espacialmente incorporadas, um modelo de redes de rede interdependentes foi introduzido (ver Fig. 2) e analisado. Um modelo multiplex espacial foi introduzido por Danziger et al e foi analisado ainda por Vaknin et al.

Probabilidade e redes espaciais
No mundo “real”, muitos aspectos das redes não são deterministas – a aleatoriedade desempenha um papel importante. Por exemplo, novos links, representando amizades, em redes sociais são de certa forma aleatórios. Modelar redes espaciais em relação a operações estocásticas é conseqüente. Em muitos casos, o processo de Poisson espacial é usado para aproximar conjuntos de dados de processos em redes espaciais. Outros aspectos estocásticos de interesse são:

O processo da linha de Poisson
Geometria estocástica: o gráfico Erdős-Rényi
Teoria da Percolação
Abordagem da teoria da sintaxe espacial
Outra definição de rede espacial deriva da teoria da sintaxe espacial. Pode ser notoriamente difícil decidir o que um elemento espacial deve ser em espaços complexos envolvendo grandes áreas abertas ou muitos caminhos interconectados. Os criadores da sintaxe espacial, Bill Hillier e Julienne Hanson, usam linhas axiais e espaços convexos como elementos espaciais. Vagamente, uma linha axial é a “mais longa linha de visão e acesso” através do espaço aberto, e um espaço convexo o “polígono convexo máximo” que pode ser desenhado em espaço aberto. Cada um desses elementos é definido pela geometria do limite local em diferentes regiões do mapa espacial. A decomposição de um mapa espacial em um conjunto completo de linhas axiais de interseção ou sobreposição de espaços convexos produz o mapa axial ou o mapa convexo sobreposto, respectivamente. Existem definições algorítmicas desses mapas, e isso permite o mapeamento de um mapa espacial de formato arbitrário para uma rede passível de representar a matemática a ser realizada de maneira relativamente bem definida. Mapas axiais são usados ​​para analisar redes urbanas, onde o sistema geralmente compreende segmentos lineares, enquanto mapas convexos são mais usados ​​para analisar planos de construção onde padrões espaciais são frequentemente articulados de forma mais convexa, no entanto ambos mapas convexo e axial podem ser usados ​​em qualquer situação.

Atualmente, há uma mudança na comunidade de sintaxe espacial para integrar melhor os sistemas de informações geográficas (GIS), e muitos dos softwares que produzem interligam com sistemas GIS comercialmente disponíveis.

História
Enquanto redes e gráficos já eram há muito tempo objeto de muitos estudos em matemática, sociologia matemática, ciência da computação, redes espaciais têm sido intensamente estudadas durante a década de 1970 em geografia quantitativa. Objetos de estudos em geografia são, inter alia, locais, atividades e fluxos de indivíduos, mas também redes que evoluem no tempo e no espaço. A maioria dos problemas importantes, como a localização dos nós de uma rede, a evolução das redes de transporte e sua interação com a população e densidade de atividade são abordados nesses estudos anteriores. Por outro lado, muitos pontos importantes ainda permanecem incertos, em parte porque, naquela época, faltavam conjuntos de dados de grandes redes e grandes capacidades computacionais. Recentemente, redes espaciais têm sido objeto de estudos em Estatística, para conectar probabilidades e processos estocásticos com redes no mundo real.