A teoria da música não tem fundamento axiomático na matemática moderna, mas a base do som musical pode ser descrita matematicamente (em acústica) e exibe “uma série notável de propriedades numéricas”. Elementos de música como a forma, o ritmo e o medidor, os lançamentos de suas notas e o tempo de seu pulso podem estar relacionados à medida de tempo e freqüência, oferecendo analogias prontas em geometria.

A relação estreita entre música e matemática tem sido estudada desde a antiguidade: um exemplo clássico é dado pela Escola Pitagórica, a qual a descoberta (os pitagóricos atribuem-lhes significados místicos), segundo os quais os diferentes tons de uma escala estão ligados à relação entre números inteiros: um halter cortado pela metade soa a oitava superior, reduzido para o 3/4 do quarto, reduzido para 2/3 o quinto, e assim por diante.

Muitas matemáticas aplicadas no campo de música provêm do estudo de física acústica e problemas relacionados. Se a mesma divisão rítmica do medidor musical for indicada por uma fração matemática, sabemos que, na base de qualquer ruído, há uma contribuição de inúmeras ondas estacionárias e que qualquer som pode ser decomposto em ondas sinusoidais por meio de análise harmônica ( expressa matematicamente com o algoritmo de transformada de Fourier).

A tentativa de estruturar e comunicar novas formas de compor e ouvir música levou a aplicações musicais de teoria de conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Alguns compositores incorporaram o índice de ouro e os números de Fibonacci no seu trabalho.

De forma mais abstracta, a música também estava relacionada à matemática em seu aspecto composicional (que exige a distribuição de sons entre as várias alturas, em diferentes momentos e entre as diferentes vozes dos artistas). Este tipo de análise musical teve músicos ilustres ao longo dos séculos (pense nas geometrias musicais dos cânones de Bach) e conheceu novas fortunas, mesmo nos tempos próximos de nós (no século 1900, por exemplo, o Instituto Kranischstein em Darmstadt, Rádio de Colônia Estúdio de música eletrônica, Centro de fonologia de música de Milão e IRCAM em Paris).

Embora os antigos chineses, índios, egípcios e mesopotâmicos tenham estudado os princípios matemáticos do som, os pitagósios (em particular Philolaus e Archytas) da Grécia antiga foram os primeiros pesquisadores que conheceram a expressão de escalas musicais em termos de índices numéricos , particularmente as proporções de inteiros pequenos. Sua doutrina central era que “toda natureza consiste em harmonia decorrente de números”.

Do tempo de Platão, a harmonia foi considerada um ramo fundamental da física, agora conhecida como acústica musical. Os primeiros teóricos indianos e chineses mostram abordagens semelhantes: todos procuraram demonstrar que as leis matemáticas dos harmônicos e dos ritmos eram fundamentais não só para nossa compreensão do mundo, mas também para o bem-estar humano. Confúcio, como Pitágoras, considerava os pequenos números 1,2,3,4 como fonte de toda perfeição.

A partir do século XVII, muitos músicos chegaram à prova de um sólido conhecimento matemático (por exemplo, Giuseppe Tartini deu provas em um tratado de música de acordo com a verdadeira ciência da harmonia em 1754 e, portanto, Iannis Xenakis em Música formalizada em 1971, Pierre Boulez e Philip Graduados em vidro em matemática e inspirados em sua arte).

Sem os limites da estrutura rítmica – um arranjo fundamental igual e regular de repetição, acento, frase e duração do pulso – a música não seria possível. O uso musical moderno de termos como medidor e medida também reflete a importância histórica da música, juntamente com a astronomia, no desenvolvimento de contagem, aritmética e a medida exata de tempo e periodicidade fundamental para a física. [Citação necessária]

Os elementos da forma musical geralmente compõem proporções estritas ou estruturas hipermetricas (poderes dos números 2 e 3).

A forma musical é o plano pelo qual uma pequena música é estendida. O termo “plano” também é usado na arquitetura, ao qual a forma musical é freqüentemente comparada. Como o arquiteto, o compositor deve levar em conta a função para a qual o trabalho se destina e os meios disponíveis, praticando a economia e fazendo uso da repetição e da ordem. Os tipos comuns de forma conhecida como binária e ternária (“dupla” e “tripla”) demonstram mais uma vez a importância de pequenos valores integrais para a inteligibilidade e o apelo da música.

O fenômeno de batida é quando duas notas de freqüência semelhantes (mas não idênticas) são tocadas. Existe então a impressão de ouvir um som de freqüência próximo dos primeiros dois, cuja intensidade, no entanto, oscila ao longo do tempo tão lentamente quanto as freqüências dos dois primeiros sons estavam próximas. Por esse motivo, as batidas são usadas para determinar se há notas em queda ou em aumento quando você sintoniza um instrumento.

A explicação para este fenômeno reside, em parte, na natureza física das ondas sonoras, e parcialmente na forma como o nosso ouvido percebe os sons. Se focalizarmos a atenção sobre a sobreposição de dois tons puros (ou seja, eles podem ser representados por ondas sinusoidais) e suponha, por simplicidade,

Uma escala musical é um conjunto discreto de artilheiros utilizados na elaboração ou descrição de música. A escala mais importante na tradição ocidental é a escala diatônica, mas muitos outros foram usados ​​e propostos em várias eras históricas e partes do mundo. Cada passo corresponde a uma frequência particular, expressada em hertz (Hz), às vezes referida como ciclos por segundo (c.p.s.). Uma escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. A oitava de qualquer ponto refere-se a uma freqüência exatamente duas vezes a do passo dado.

Superoctaves de sucesso são arremessos encontrados nas freqüências quatro, oito, dezesseis vezes e assim por diante, da freqüência fundamental. Os lançamentos em freqüências de metade, um quarto, um oitavo e assim por diante do fundamental são chamados de subcocitos. Não há nenhum caso em harmonia musical onde, se um determinado passo for considerado concordante, que suas oitavas são consideradas de outra forma. Portanto, qualquer nota e suas oitavas geralmente serão encontradas de forma semelhante em sistemas musicais (por exemplo, todos serão chamados de doh ou A ou Sa, conforme o caso).

Quando expressa como uma largura de banda de frequência, uma oitava A2-A3 abrange de 110 Hz a 220 Hz (span = 110 Hz). A próxima oitava irá de 220 Hz a 440 Hz (span = 220 Hz). A terceira oitava abrange de 440 Hz para 880 Hz (span = 440 Hz) e assim por diante. Cada oitava sucessiva abrange duas vezes a faixa de freqüência da oitava anterior.

Porque muitas vezes estamos interessados ​​nas relações ou nos rácios entre os arremessos (conhecidos como intervalos) e não nos próprios graus precisos em descrever uma escala, é costume referir-se a todos os campos de escala em termos de sua relação de um tom particular, o que é dado o valor de um (muitas vezes escrito 1/1), geralmente uma nota que funciona como o tônico da escala. Para a comparação do tamanho do intervalo, os centavos são freqüentemente usados.

Existem duas famílias principais de sistemas de sintonia: temperamento igual e apenas afinação. As escalas de temperamento iguais são construídas dividindo uma oitava em intervalos iguais em uma escala logarítmica, o que resulta em escalas perfeitamente equilibradas, mas com proporções de freqüências que são números irracionais. Apenas as escalas são construídas pela multiplicação de freqüências por números racionais, o que resulta em relações simples entre freqüências, mas com divisões de escala desiguais.

Uma grande diferença entre as afinações de temperamento iguais e apenas as afinações são as diferenças na batida acústica quando duas notas são somadas juntas, o que afeta a experiência subjetiva de consonância e dissonância. Ambos os sistemas, e a grande maioria da música em geral, têm escalas que se repetem no intervalo de cada oitava, que é definida como taxa de freqüência de 2: 1. Em outras palavras, toda vez que a frequência é duplicada, a escala dada se repete.

Abaixo estão os arquivos Ogg Vorbis que demonstram a diferença entre apenas entonação e temperamento igual. Você pode precisar reproduzir as amostras várias vezes antes de escolher a diferença.

Duas ondas de seno tocaram consecutivamente – esta amostra tem metade do passo a 550 Hz (C♯ na escala de entação justa), seguido de um meio passo a 554,37 Hz (C♯ na escala de temperamento igual).
As mesmas duas notas, ajustadas contra um pedal A440 – esta amostra consiste em uma “díada”. A nota inferior é uma constante A (440 Hz em qualquer escala), a nota superior é um C♯ na escala de igual temperamento para os primeiros 1 “, e um C♯ na escala de entação justa para os últimos 1”. As diferenças de fase facilitam a escolha da transição do que na amostra anterior.

O ajuste de 5 limitações, a forma mais comum de apenas entonação, é um sistema de ajuste usando tons que são harmônicos de números regulares de uma única freqüência fundamental. Esta foi uma das escalas que Johannes Kepler apresentou em Harmonices Mundi (1619) em conexão com o movimento planetário. A mesma escala foi dada em transposição pelo matemático e teórico musical escocês, Alexander Malcolm, em 1721 em seu “Tratado de Musculação: Especulativo, Prático e Histórico” e pelo teórico José Wuerschmidt no século XX. Uma forma disso é usada na música do norte da Índia.

O compositor americano Terry Riley também usou a forma invertida em sua “Harpa de New Albion”. Apenas entonação dá resultados superiores quando há pouca ou nenhuma progressão de acordes: vozes e outros instrumentos gravitam apenas a entonação sempre que possível. No entanto, ele oferece dois intervalos de tons inteiros diferentes (9: 8 e 10: 9) porque um instrumento ajustado, tal como um piano, não pode mudar a chave. Para calcular a freqüência de uma nota em uma escala dada em termos de relações, a taxa de freqüência é multiplicada pela freqüência tônica. Por exemplo, com um tônico de A4 (A natural acima do meio C), a freqüência é 440 Hz, e um quinto justamente sintonizado acima dele (E5) é simplesmente 440 × (3: 2) = 660 Hz.

O ajuste pitagórico é um ajuste baseado apenas nas consoantes perfeitas, na oitava (perfeita), no quinto perfeito e no quarto perfeito. Assim, o terceiro principal é considerado não um terceiro, mas um ditone, literalmente “dois tons”, e é (9: 8) 2 = 81:64, em vez de independente e harmônico apenas 5: 4 = 80:64 diretamente abaixo. Um tom inteiro é um intervalo secundário, sendo derivado de dois quintos perfeitos, (3: 2) 2 = 9: 8.

O terço apenas maior, 5: 4 e terceiro menor, 6: 5, são uma vírgula sintônica, 81:80, além de seus equivalentes de Pitágoras 81:64 e 32:27, respectivamente. De acordo com Carl Dahlhaus (1990, p. 187), “o terceiro dependente está em conformidade com o pitagórico, o terceiro independente com o ajuste harmônico de intervalos”.

A música de prática comum ocidental geralmente não pode ser tocada apenas em entonação, mas requer uma escala sistematicamente temperada. O temperamento pode envolver as irregularidades de bom temperamento ou ser construído como um temperamento regular, seja algum tipo de temperamento igual ou algum outro significado regular, mas em todos os casos envolverá as características fundamentais do temperamento proposto. Por exemplo, a raiz do acorde ii, se ajustado a um quinto acima do dominante, seria um tom inteiro importante (9: 8) acima do tônico. Se sintonizado apenas um terceiro menor (6: 5) abaixo de um grau subdominante apenas de 4: 3, no entanto, o intervalo do tônico seria igual a um tom inteiro menor (10: 9). O temperamento Meantone reduz a diferença entre 9: 8 e 10: 9. Sua relação, (9: 8) / (10: 9) = 81:80, é tratada como um uníssono. O intervalo 81:80, chamado de vírgula ou vírgula sintônica de Dídimo, é a vírgula-chave do temperamento desejado.

Em igual temperamento, a oitava é dividida em partes iguais na escala logarítmica. Embora seja possível construir uma escala de temperamento igual com qualquer número de notas (por exemplo, o sistema de tons árabes de 24 tons), o número mais comum é 12, o que compõe a escala cromática de igual temperamento. Na música ocidental, uma divisão em doze intervalos é geralmente assumida, a menos que seja especificado de outra forma.

Para a escala cromática, a oitava é dividida em doze partes iguais, cada semitono (meio passo) é um intervalo da duodécima raiz de dois, de modo que doze desses metais iguais equivalem a exatamente uma oitava. Com instrumentos fretted, é muito útil usar temperamento igual para que os trastes se alinhem uniformemente nas cordas. Na tradição musical européia, o temperamento igual era usado para música de alaúde e guitarra muito mais cedo do que para outros instrumentos, como teclados musicais. Por causa dessa força histórica, o temperamento igual de doze tons é agora o sistema de entonação dominante no mundo ocidental e grande parte do mundo não-ocidental.

Foram utilizadas escalas igualmente temperadas e instrumentos construídos usando vários outros números de intervalos iguais. O 19 temperamento igual, primeiro proposto e usado por Guillaume Costeley no século 16, usa 19 tons igualmente espaçados, oferecendo melhores terços maiores e terços menores do que o temperamento igual de 12 semitonas, ao custo de um quinto mais plano. O efeito geral é de maior consonância. 24 temperamento igual, com 24 tons igualmente espaçados, é generalizado na pedagogia e notação da música árabe. No entanto, em teoria e prática, a entonação da música árabe está em conformidade com ratios racionais, em oposição às proporções irracionais de sistemas igualmente temperados.

Enquanto qualquer analógico para o tonalidade igualmente temperado está totalmente ausente dos sistemas de entonação árabe, os análogos a um tom de três quartos ou a um segundo neutro ocorrem freqüentemente. Esses segundos neutros, no entanto, variam ligeiramente em suas proporções dependentes da maqam, bem como da geografia. Na verdade, o historiador da música árabe Habib Hassan Touma escreveu que “a amplitude do desvio deste passo musical é um ingrediente crucial no sabor peculiar da música árabe. Para temperar a escala dividindo a oitava em vinte e quatro quartas tonas de igual tamanho seria render um dos elementos mais característicos desta cultura musical “.

O gráfico a seguir mostra a precisão de várias escalas de igual temperamento que se aproximam de três identidades harmônicas importantes: o terceiro maior (5º harmônico), o quinto perfeito (3º harmônico) e o “harmônico sétimo” (7º harmônico). [Nota: os números acima das barras designam a escala de igualdade (isto é, “12” designa a escala igualada de 12 tons, etc.)]

O problema da entonação, como mencionado acima, decorre da necessidade de ajustar os instrumentos de cordas, como o piano ou as cordas para que possam tocar em tons diferentes. Nenhum dos dois métodos até agora resolve esse problema com precisão, como pode ser visto no procedimento a seguir.

Uma maneira de afinar um instrumento de sintonia fixa é preservar os quatros intervalos de uma corda base. Desta forma, é concedido seguindo o chamado ciclo de ciclo: Do, Sol, King, La, Me, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (ou Miè), sete oitavas retornam ao fundamental Nota. É fácil ver que nenhum dos métodos aqui examinados pode fazer com que o Do8 coincida com o obtido do ciclo de ciclo: de fato, tanto para o temperamento natural quanto para o pitagórico, as freqüências de oitava são múltiplas de potências de dois, enquanto No ciclo do ciclo as freqüências são múltiplas de potências de 3/2: nenhuma potência de dois também é uma potência de 3/2. Este argumento aplica-se também a outros relatórios considerados.

Por conseguinte, vê-se que um sintonizador que deseja sintonizar uma ferramenta que tenta preservar todos os intervalos certos (terceiro, quarto, quinto) enfrentaria um problema insolúvel e ainda deveria procurar um compromisso: isso é o que equivale ao temperamento.

A teoria dos conjuntos musicais usa a linguagem da teoria dos conjuntos matemáticos de forma elementar para organizar objetos musicais e descrever seus relacionamentos. Para analisar a estrutura de um pedaço de música (tipicamente atonal) usando a teoria dos conjuntos musicais, geralmente começa com um conjunto de tons, que podem formar motivos ou acordes. Ao aplicar operações simples, como transposição e inversão, pode-se descobrir estruturas profundas na música. Operações como transposição e inversão são chamadas de isometrias porque preservam os intervalos entre tons em um conjunto.

Expandindo os métodos da teoria dos setores musicais, alguns teóricos usaram álgebra abstrata para analisar a música. Por exemplo, as classes de pitch em uma oitava igualmente temperada formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever apenas entonação em termos de um grupo abeliano livre.

A teoria transformacional é um ramo da teoria musical desenvolvido por David Lewin. A teoria permite uma grande generalidade porque enfatiza as transformações entre objetos musicais e não os próprios objetos musicais.

Os teóricos também propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. A teoria dos temperamentos regulares tem sido amplamente desenvolvida com uma ampla gama de matemática sofisticada, por exemplo, associando cada temperamento regular com um ponto racional em um Grassmannian.

Análises reais e complexas também foram utilizadas, por exemplo, aplicando a teoria da função Zeta Riemann ao estudo de divisões iguais da oitava.

O desenvolvimento da matemática da música contemporânea (da análise à composição, ao gesto na interpretação musical) deve-se principalmente ao contributo do matemático e músico Guerino Mazzola, professor dos Estados Unidos da Universidade de Minnesota.

O SMCM, Sociedade de Matemática e Computação em Música, organiza conferências bianuais sobre os resultados da pesquisa em matemática e música.