Matemática e Arquitetura

Matemática e arquitetura estão relacionadas, uma vez que, como com outras artes, os arquitetos usam a matemática por vários motivos. Além das matemáticas necessárias para a construção de engenharia, os arquitetos usam a geometria: para definir a forma espacial de um edifício; dos pitagóricos do século VI aC, para criar formas consideradas harmoniosas e, portanto, traçar os edifícios e seus arredores de acordo com os princípios matemáticos, estéticos e às vezes religiosos; para decorar edifícios com objetos matemáticos, como tesselações; e para atingir os objetivos ambientais, de modo a minimizar a velocidade do vento em torno das bases dos edifícios altos.

No antigo Egito, na Grécia antiga, na Índia e no mundo islâmico, edifícios incluindo pirâmides, templos, mesquitas, palácios e mausoléus foram estabelecidos com proporções específicas por motivos religiosos. Na arquitetura islâmica, formas geométricas e padrões de mosaicos geométricos são usados ​​para decorar edifícios, tanto dentro como fora. Alguns templos hindus têm uma estrutura semelhante a um fractal em que partes se assemelham ao todo, transmitindo uma mensagem sobre o infinito na cosmologia hindu. Na arquitetura chinesa, os tulou da província de Fujian são estruturas defensivas comunais e comunais. No século XXI, a ornamentação matemática é novamente usada para cobrir edifícios públicos.

Na arquitetura renascentista, a simetria e a proporção foram deliberadamente enfatizadas por arquitetos como Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio e Andrea Palladio, influenciados pela De Architectura de Vitrúvio da Roma Antiga e pela aritmética dos pitagósios da Grécia Antiga. No final do século XIX, Vladimir Shukhov na Rússia e Antoni Gaudí em Barcelona foram pioneiros no uso de estruturas hiperbolóides; Na Sagrada Família, Gaudí também incorporou paraboloides hiperbólicos, tesselagens, arcos catenários, catenoides, helicoides e superfícies governadas. No século XX, estilos como a arquitetura moderna e o Deconstructivismo exploraram geometrias diferentes para alcançar os efeitos desejados. As superfícies mínimas foram exploradas em coberturas de telhados como no Aeroporto Internacional de Denver, enquanto Richard Buckminster Fuller foi pioneiro no uso de estruturas fortes de concha fina conhecidas como cúpulas geodésicas.

Os arquitetos Michael Ostwald e Kim Williams, considerando as relações entre arquitetura e matemática, observam que os campos comumente entendidos podem parecer apenas deficientemente conectados, uma vez que a arquitetura é uma profissão preocupada com a questão prática de fazer edifícios, enquanto a matemática é pura estudo de número e outros objetos abstratos. Mas, eles argumentam, os dois estão fortemente conectados e foram desde a antiguidade. Na Roma antiga, Vitruvio descreveu um arquiteto como um homem que sabia o suficiente de uma série de outras disciplinas, principalmente a geometria, para permitir que ele supervisionasse artesãos qualificados em todas as outras áreas necessárias, como pedreiros e carpinteiros. O mesmo se aplicou na Idade Média, onde os graduados aprenderam aritmética, geometria e estética ao lado do programa básico de gramática, lógica e retórica (o trivium) em salões elegantes feitos por mestres construtores que guiaram muitos artesãos. Um mestre construtor no topo de sua profissão recebeu o título de arquiteto ou engenheiro. No Renascimento, o quadrivium de aritmética, geometria, música e astronomia tornou-se um currículo extra esperado do homem renascentista, como Leon Battista Alberti. Da mesma forma, na Inglaterra, Sir Christopher Wren, conhecido hoje como arquiteto, foi, em primeiro lugar, um astrônomo notável.

Williams e Ostwald, além de analisar a interação da matemática e da arquitetura desde 1500 de acordo com a abordagem do sociólogo alemão Theodor Adorno, identificam três tendências entre os arquitetos, a saber: ser revolucionário, introduzir idéias totalmente novas; reacionário, não apresentando mudanças; ou revivalista, realmente indo para trás. Eles argumentam que os arquitetos evitaram olhar para a matemática para a inspiração em tempos de revivalismo. Isso explicaria por que, nos períodos revivalistas, como o Revival gótico na Inglaterra do século 19, a arquitetura tinha pouca conexão com a matemática. Da mesma forma, eles observam que em tempos reacionários, como o manierismo italiano de cerca de 1520 a 1580, ou os movimentos barrocos e palladianos do século 17, a matemática foi consultada apenas. Em contraste, os movimentos revolucionários do início do século XX, como o futurismo e o construtivismo, rejeitaram ativamente idéias antigas, abraçando a matemática e levando à arquitetura modernista. No final do século XX, a geometria fractal foi rapidamente aproveitada pelos arquitetos, assim como a telha aperiódica, para fornecer coberturas interessantes e atraentes para edifícios.

Os arquitetos usam a matemática por várias razões, deixando de lado o uso necessário da matemática na engenharia de edifícios. Em primeiro lugar, eles usam a geometria porque define a forma espacial de um edifício. Em segundo lugar, eles usam a matemática para criar formas que são consideradas lindas ou harmoniosas. A partir da época dos pitagóricos com sua filosofia religiosa de número, os arquitetos da Grécia antiga, da Roma antiga, do mundo islâmico e do Renascimento italiano escolheram as proporções do ambiente construído – edifícios e seus ambientes projetados – de acordo com a matemática e a estética e às vezes princípios religiosos. Em terceiro lugar, eles podem usar objetos matemáticos, como tessellations para decorar edifícios. Em quarto lugar, eles podem usar a matemática sob a forma de modelagem computacional para atingir os objetivos ambientais, de modo a minimizar as correntes de ar giratórias na base de edifícios altos.

Vitruvio:
O influente arquiteto romano antigo Vitrúvio argumentou que o design de um edifício como um templo depende de duas qualidades, proporções e simetrias. Proporção garante que cada parte de um edifício se relaciona harmoniosamente com qualquer outra parte. A simetria no uso de Vitrúvio significa algo mais próximo do conceito de termo em inglês do que a simetria do espelho, já que se relaciona com a montagem de peças (modulares) em todo o edifício. Em sua Basílica de Fano, ele usa rácios de inteiros pequenos, especialmente os números triangulares (1, 3, 6, 10, …) para proporção da estrutura em módulos (Vitruvianos). Assim, a largura da Basílica é de 1: 2; o corredor ao redor é tão alto quanto amplo, 1: 1; as colunas têm cinco pés de espessura e cinquenta metros de altura, 1:10.

Vitruvio nomeou três qualidades exigidas da arquitetura em sua De architectura, c. 15 B.C .: firmeza, utilidade (ou “Commodity” no inglês do século 16 de Henry Wotton) e prazer. Estes podem ser usados ​​como categorias para classificar as maneiras pelas quais a matemática é usada na arquitetura. A firmeza engloba o uso da matemática para garantir a construção de um edifício, daí as ferramentas matemáticas utilizadas no projeto e para apoiar a construção, por exemplo, para garantir a estabilidade e modelar o desempenho. A utilidade deriva, em parte, da aplicação efetiva da matemática, raciocínio e análise das relações espaciais e outras em um projeto. Delight é um atributo do edifício resultante, resultante da incorporação de relações matemáticas no edifício; Inclui qualidades estéticas, sensuais e intelectuais.

O panteão:
O Panteão em Roma sobreviveu intacto, ilustrando a estrutura, proporção e decoração romana clássica. A estrutura principal é uma cúpula, o ápice deixado aberto como oculus circular para deixar entrar a luz; É encabeçado por uma colunata curta com um frontão triangular. A altura do oculus eo diâmetro do círculo interior são os mesmos, 43,3 metros (142 pés), de modo que todo o interior caberia exatamente dentro de um cubo, e o interior poderia abrigar uma esfera do mesmo diâmetro. Essas dimensões têm mais sentido quando expressas em antigas unidades de medida romanas: a cúpula abrange 150 pés romanos); o oculus tem 30 pés romanos de diâmetro; A porta é de 40 pés romanos de altura. O Panteão continua a ser a maior cúpula de concreto não reforçada do mundo.

O primeiro tratado renascentista sobre arquitetura foi o 1450 De Re aedificatoria de Leon Battista Alberti (Sobre a Arte do Edifício); tornou-se o primeiro livro impresso sobre arquitetura em 1485. Foi parcialmente baseado em De Architectura de Vitruvius e, através de Nicomachus, aritmética de Pitágoras. Alberti começa com um cubo, e deriva ratios a partir dele. Assim, a diagonal de um rosto dá a razão 1: √2, enquanto o diâmetro da esfera que circunscreve o cubo dá 1: √3. Alberti também documentou a descoberta de perspectiva linear de Filippo Brunelleschi, desenvolvida para permitir o design de edifícios que ficariam bem proporcionados quando vistos a uma distância conveniente.

O próximo texto principal foi o Regole generali d’architettura de Sebastiano Serlio (Regras Gerais de Arquitetura); O primeiro volume apareceu em Veneza em 1537; o volume 1545 (livros 1 e 2) abordou geometria e perspectiva. Dois dos métodos de Serlio para construir perspectivas eram errados, mas isso não impediu que seu trabalho fosse amplamente utilizado.

Em 1570, Andrea Palladio publicou a influente I quattro libri dell’architettura (The Four Books of Architecture) em Veneza. Este livro amplamente impresso foi em grande parte responsável pela divulgação das idéias do Renascimento italiano em toda a Europa, apoiado por proponentes como o diplomata inglês Henry Wotton com seus 1624 The Elements of Architecture. As proporções de cada sala dentro da villa foram calculadas em razões matemáticas simples como 3: 4 e 4: 5, e as diferentes salas dentro da casa estavam inter-relacionadas por esses índices. Arquitetos anteriores usaram essas fórmulas para equilibrar uma única fachada simétrica; no entanto, os projetos de Palladio referem-se ao todo, geralmente quadrado, villa. Palladio permitiu uma série de proporções no Quattro libri, afirmando:

Existem sete tipos de espaço que são os mais belos e bem proporcionados e se tornam melhores: podem ser feitos de forma circular, embora estes sejam raros; ou quadrado; ou o seu comprimento será igual à diagonal do quadrado da largura; ou um quadrado e um terço; ou um quadrado e meio; ou um quadrado e dois terços; ou dois quadrados.

Em 1615, Vincenzo Scamozzi publicou o último tratado renascentista L’Idea dell’Architettura Universale (The Idea of ​​a Universal Architecture). Ele tentou relacionar o design de cidades e edifícios com as idéias de Vitruvio e Pitágoras, e com as idéias mais recentes de Palladio.

Século dezenove:
As estruturas hiperbósoides foram usadas começando no final do século XIX por Vladimir Shukhov para mastros, faróis e torres de resfriamento. Sua forma impressionante é ao mesmo tempo esteticamente interessante e forte, usando materiais estruturais economicamente. A primeira torre hiperboloidal de Shukhov foi exibida em Nizhny Novgorod em 1896.

Século XX:
O movimento de arquitetura moderna do início do século XX, iniciado pelo Constructivismo russo, usava geometria euclidiana rectilínea (também denominada cartesiana). No movimento De Stijl, a horizontal e a vertical foram vistas como constituindo o universal. A forma arquitetônica consiste em juntar essas duas tendências direcionais, usando planos de telhado, planos de parede e varandas, que se deslocam ou se cruzam, como em 1924 Rietveld Schröder House por Gerrit Rietveld.

Arquitetos modernistas foram livres para usar curvas e aviões. A estação Arnos de Charles Holden em 1933 possui uma sala de passagem circular em tijolo com um telhado de concreto plano. Em 1938, o pintor Bauhaus Laszlo Moholy-Nagy adotou os sete elementos biotecnológicos de Raoul Heinrich Francé, a saber, o cristal, a esfera, o cone, o plano, a tira (cuboidal), a haste (cilíndrica) e a espiral, como o suposto blocos de construção básicos de arquitetura inspirados na natureza.

Le Corbusier propôs uma escala antropométrica de proporções em arquitetura, o Modulor, com base na suposta altura de um homem. A Chapelle Notre Dame du Haut de Le Robusier de 1955 usa curvas de forma livre que não são descritas em fórmulas matemáticas. Dizem que as formas são evocativas de formas naturais, como a proa de um navio ou mãos praying. O design é apenas na maior escala: não há hierarquia de detalhes em escalas menores e, portanto, nenhuma dimensão fractal; O mesmo se aplica a outros edifícios famosos do século XX, como a Sydney Opera House, o Aeroporto Internacional de Denver e o Museu Guggenheim de Bilbao.

A arquitetura contemporânea, na opinião dos 90 principais arquitetos que responderam a uma Pesquisa Mundial de Arquitetura 2010, é extremamente diversificada; O melhor foi julgado como o Museu Guggenheim de Frank Gehry, em Bilbau.

O prédio do terminal do Aeroporto Internacional de Denver, concluído em 1995, tem um telhado de tecido suportado como uma superfície mínima (ou seja, sua curva média é zero) por cabos de aço. Ele evoca as montanhas nevadas do Colorado e as tendas de teepee de nativos americanos.

O arquiteto Richard Buckminster Fuller é famoso por projetar estruturas fortes de concha fina conhecidas como cúpulas geodésicas. A cúpula de Montreal Biosphère tem 61 metros (200 pés) de altura; o seu diâmetro é de 76 metros (249 ft).

A Ópera de Sydney tem um telhado dramático que consiste em abóbadas brancas, que relembram as velas do navio; para torná-los possíveis de construir usando componentes padronizados, os cofres são compostos de seções triangulares de conchas esféricas com o mesmo raio. Estes têm a curvatura uniforme necessária em todas as direções.

O desconstrutivismo do fim do século XX desencadeia uma desordem deliberada com o que Nikos Salingaros em A Theory of Architecture chama formas aleatórias de alta complexidade usando paredes não paralelas, redes superpostas e superfícies complexas 2-D, como na Sala de Concertos Disney de Frank Gehry e no Museu Guggenheim , Bilbao. Até o século XX, os estudantes de arquitetura foram obrigados a ter uma base em matemática. Salingaros argumenta que o primeiro “excessivamente simplista, politicamente orientado” modernismo e, em seguida, “anti-científico” Deconstructivism efetivamente separaram a arquitetura da matemática. Ele acredita que essa “reversão de valores matemáticos” é prejudicial, uma vez que a “estética penetrante” da arquitetura não matemática treina pessoas “para rejeitar informações matemáticas no ambiente construído”; Ele argumenta que isso tem efeitos negativos sobre a sociedade.

Antigo Egito:
As pirâmides do antigo Egito são túmulos construídos com proporções deliberadamente escolhidas, mas que foram debatidas. O ângulo do rosto é de cerca de 51 ° 85 ‘, e a proporção da altura inclinada para metade do comprimento da base é de 1,619, menos de 1% da razão dourada. Se este fosse o método de design, isso implicaria o uso do triângulo de Kepler (ângulo de face 51 ° 49 ‘). No entanto, é mais provável que a inclinação das pirâmides tenha sido escolhida a partir do triângulo 3-4-5 (ângulo de face 53 ° 8 ‘), conhecido a partir do Papiro Matemático Rhind (c. 1650-1550 aC); ou do triângulo com relação base para hipotenusa 1: 4 / π (ângulo da face 51 ° 50 ‘).

O possível uso do triângulo 3-4-5 para traçar ângulos retos, como o plano de uma pirâmide e o conhecimento do teorema de Pitágoras, que isso implicaria, tem sido muito afirmado. Foi primeiro conjeturado pelo historiador Moritz Cantor em 1882. Sabe-se que os ângulos retos foram definidos com precisão no antigo Egito; que seus topógrafos usavam cordões nodosos para medição; que Plutarco registrou em Isis e Osíris (cerca de 100 dC) que os egípcios admiravam o triângulo 3-4-5; e que o Papiro de Berlim 6619 do Reino do Médio (antes de 1700 aC) afirmou que “a área de um quadrado de 100 é igual à de dois quadrados menores. O lado de um é ½ + ¼ do lado do outro”. O historiador de matemática Roger L. Cooke observa que “é difícil imaginar alguém interessado em tais condições sem conhecer o teorema de Pitágoras”. Contra isso, Cooke observa que nenhum texto egípcio antes de 300 aC menciona o uso do teorema para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo e que existem maneiras mais simples de construir um ângulo reto. Cooke conclui que a conjectura de Cantor continua incerta: ele adivinha que os antigos egípcios provavelmente conheciam o teorema pitagórico, mas que “não há evidências de que eles o usassem para construir ângulos retos”.

Índia antiga:
Vaastu Shastra, os antigos cânones indianos de arquitetura e urbanismo, emprega desenhos simétricos chamados de mandalas. Cálculos complexos são usados ​​para chegar às dimensões de um edifício e seus componentes. Os projetos visam integrar arquitetura com a natureza, as funções relativas de várias partes da estrutura e crenças antigas utilizando padrões geométricos (yantra), simetria e alinhamentos direcionais. No entanto, os primeiros construtores podem ter surgido proporções matemáticas por acidente. O matemático Georges Ifrah observa que simples “truques” com cordas e estacas podem ser usados ​​para traçar formas geométricas, como elipses e ângulos retos.

A matemática dos fractals tem sido usada para mostrar que a razão pela qual os edifícios existentes têm um apelo universal e são visualmente satisfatórios é porque eles fornecem ao espectador um senso de escala em diferentes distâncias de visão. Por exemplo, nos portões altos de gopuram de templos hindus, como o Templo de Virupaksha em Hampi, construído no século VII, e outros como o Templo de Kandariya Mahadev em Khajuraho, as partes e o todo têm o mesmo personagem, com dimensão fractal na faixa de 1,7 a 1,8. O conjunto de torres menores (shikhara, “montanha”) sobre a torre mais alta, central, que representa o Monte Kailash sagrado, morada do Senhor Shiva, retrata a infinita repetição de universos na cosmologia hindu. O estudioso de estudos religiosos William J. Jackson observou o padrão de torres agrupadas entre torres menores, elas mesmas agrupadas entre torres ainda menores que:

A forma ideal, graciosamente artificial, sugere os níveis crescentes infinitos de existência e consciência, expandindo os tamanhos subindo para a transcendência acima e, ao mesmo tempo, abriga o sagrado no fundo.

O Templo Meenakshi Amman é um grande complexo com vários santuários, com as ruas de Madurai dispostas de forma concêntrica em torno dele de acordo com os shastras. Os quatro gateways são torres altas (gopurams) com estrutura repetitiva fractal como em Hampi. Os recintos em torno de cada santuário são rectangulares e cercados por altos muros de pedra.

Grécia antiga:
Pitágoras (c. 569 – c. 475 aC) e seus seguidores, os pitagóricos, consideraram que “todas as coisas são números”. Eles observaram as harmonias produzidas por notas com índices de freqüência de números pequenos específicos e argumentaram que os edifícios também deveriam ser projetados com esses índices. A palavra grega symmetria denotou originalmente a harmonia de formas arquitetônicas em proporções precisas dos mais pequenos detalhes de um prédio até seu design inteiro.

O Parthenon tem 69,5 metros (228 pés) de comprimento, 30,9 metros (101 pés) de largura e 13,7 metros (45 pés) de altura até a cornija. Isso dá uma proporção de largura para comprimento de 4: 9, e o mesmo para altura em largura. Colocando estes juntos dá altura: largura: comprimento de 16:36:81, ou para o deleite dos pitagóricos 42:62:92. Isso configura o módulo como 0.858 m. Um retângulo 4: 9 pode ser construído como três retângulos contíguos com lados na proporção 3: 4. Cada meio retângulo é então um conveniente triângulo 3: 4: 5, permitindo que os ângulos e os lados sejam verificados com uma corda adequadamente atada. A área interna (naos) também tem proporções de 4: 9 (21,44 metros (70,3 pés) de largura por 48,3 m de comprimento); a proporção entre o diâmetro das colunas exteriores, 1.905 metros (6.25 pés) e o espaçamento de seus centros, 4.293 metros (14.08 ft), também é 4: 9.

O Parthenon é considerado por autores como John Julius Norwich “o templo dorico mais perfeito já construído”. Os seus elaborados refinamentos arquitetônicos incluem “uma correspondência sutil entre a curvatura do stylobate, o afunilamento das paredes naos e a entas das colunas”. Entasis refere-se à diminuição sutil no diâmetro das colunas à medida que elas se elevam. O stylobate é a plataforma em que as colunas estão em pé. Como em outros templos gregos clássicos, a plataforma tem uma leve curvatura ascendente parabólica para derramar a água da chuva e reforçar o edifício contra terremotos. Por conseguinte, as colunas deveriam se inclinar para fora, mas elas realmente se inclinam ligeiramente para dentro, de modo que, se continuassem, encontrariam cerca de uma milha acima do centro do prédio; uma vez que eles são todos da mesma altura, a curvatura da borda exterior do stylobate é transmitida para o architrave e o teto acima: “todos seguem a regra de serem construídos em curvas delicadas”.

A razão de ouro era conhecida em 300 aC, quando Euclid descreveu o método de construção geométrica. Discuteu-se que a razão de ouro foi usada no design do Parthenon e outros edifícios gregos antigos, bem como esculturas, pinturas e vasos. Os autores mais recentes como Nikos Salingaros, no entanto, duvidam de todas essas alegações. As experiências do cientista da computação George Markowsky não encontraram nenhuma preferência pelo retângulo dourado.

Arquitetura islâmica:
O historiador da arte islâmica Antonio Fernandez-Puertas sugere que a Alhambra, como a Grande Mesquita de Córdoba, foi projetada usando o pé ou codo hispano-muçulmano de cerca de 0,62 metros (2,0 pés). No Tribunal dos Leões do palácio, as proporções seguem uma série de surds. Um retângulo com os lados 1 e √2 tem (pelo teorema de Pitágoras) uma diagonal de √3, que descreve o triângulo direito feito pelos lados da quadra; A série continua com √4 (dando uma proporção de 1: 2), √5 e assim por diante. Os padrões decorativos são proporcionalmente proporcionados, √2 gerando quadrados dentro de círculos e estrelas de oito pontas, √3 gerando estrelas de seis pontas. Não há evidências para apoiar alegações anteriores de que a razão de ouro foi usada na Alhambra. O Tribunal dos Leões está encadernado pelo Salão das Duas Irmãs e pelo Salão dos Abencerrajes; um hexágono regular pode ser extraído dos centros desses dois salões e os quatro cantos internos da Corte dos Leões.

A Mesquita Selimiye em Edirne, na Turquia, foi construída por Mimar Sinan para fornecer um espaço onde o mihrab poderia ser visto de qualquer lugar dentro do prédio. O espaço central muito grande é, portanto, organizado como um octógono, formado por 8 pilares enormes, e coberto por uma cúpula circular de 31,25 metros de diâmetro e 43 metros (141 pés) de altura. O octógono é formado em um quadrado com quatro semidomas, e externamente por quatro minaretes excepcionalmente altos, 83 metros (272 pés) de altura. O plano do edifício é, portanto, um círculo dentro de um octágono dentro de um quadrado.

Arquitetura Mughal:
A arquitetura Mughal, vista na cidade imperial abandonada de Fatehpur Sikri e no complexo Taj Mahal, tem uma ordem matemática distinta e uma forte estética baseada na simetria e harmonia.

O Taj Mahal exemplifica a arquitetura Mughal, ambos representando o paraíso e exibindo o poder do Imperador Mughal Shah Jahan através de sua escala, simetria e decoração dispendiosa. O mausoléu de mármore branco, decorado com pietra dura, o grande portão (Darwaza-i rauza), outros edifícios, os jardins e caminhos juntos formam um design hierárquico unificado. Os edifícios incluem uma mesquita em arenito vermelho no oeste e um edifício quase idêntico, o Jawab ou “responder” no leste para manter a simetria bilateral do complexo. O charbagh formal (“jardim quádruplo”) é em quatro partes, simbolizando os quatro rios do paraíso e oferecendo visões e reflexões do mausoléu. Estes são divididos, por sua vez, em 16 parterres.

O complexo Taj Mahal foi colocado em uma grade, subdividido em grades menores. Os historiadores da arquitetura Koch e Barraud concordam com os relatos tradicionais que dão a largura do complexo como 374 estaleiros de Mughal ou gaz, sendo a área principal três 374-quadrados de gás. Estes foram divididos em áreas como o bazar e caravanserai em módulos de 17-gazes; O jardim e os terraços estão em módulos de 23 gaz, e 368 de gás de largura (16 x 23). O mausoléu, mesquita e casa de hóspedes estão dispostos em uma grade de 7 gazes. Koch e Barraud observam que, se um octógono, usado repetidamente no complexo, recebe lados de 7 unidades, então possui uma largura de 17 unidades, o que pode ajudar a explicar a escolha dos índices no complexo.

Arquitetura cristã:
A basílica patriarcal cristã de Haghia Sophia em Byzantium (agora Istambul), construída pela primeira vez em 537 (e duas vezes reconstruída), foi durante mil anos a maior catedral já construída. Ele inspirou muitos edifícios posteriores, incluindo Sultan Ahmed e outras mesquitas na cidade. A arquitetura bizantina inclui uma nave coroada por uma cúpula circular e duas meias-cúpulas, todo o mesmo diâmetro (31 metros (102 pés)), com mais cinco meias-cúpulas menores formando uma abside e quatro cantos arredondados de uma vasta retangular interior. Isso foi interpretado por arquitetos medievais como representando o mundano abaixo (a base quadrada) e os céus divinos acima (o domo esférico subindo). O imperador Justiniano usou dois geómetros, Isidoro de Mileto e Antimio de Tralles como arquitetos; Isidore compilou as obras de Arquimedes em geometria sólida e foi influenciada por ele.

A importância do batismo na água no cristianismo foi refletida na escala da arquitetura do baptistério. O mais antigo, o Baptistério de Latrão em Roma, construído em 440, estabeleceu uma tendência para baptistries octogonais; A fonte batismal dentro desses edifícios era freqüentemente octogonal, embora o maior batismo da Itália, em Pisa, construído entre 1152 e 1363, é circular, com uma fonte octogonal. Tem 54,86 metros (180,0 pés) de altura, com um diâmetro de 34,13 metros (112,0 pés) (proporção de 8: 5). São Ambrósio escreveu que as fontes e os baptistries eram octagonais “porque no oitavo dia, ao crescer, Cristo solta a escravidão da morte e recebe os mortos de seus túmulos”. Santo Agostinho também descreveu o oitavo dia como “eterno … santificado pela ressurreição de Cristo”. O Baptistry octogonal de São João, Florença, construído entre 1059 e 1128, é um dos edifícios mais antigos dessa cidade, e um dos últimos na tradição direta da antiguidade clássica; Foi extremamente influente no renascimento florentino subsequente, pois os principais arquitetos, incluindo Francesco Talenti, Alberti e Brunelleschi, o usaram como modelo da arquitetura clássica.

O número cinco é usado “exuberantemente” na igreja de peregrinação de 1721 de São João de Nepomuk em Zelená hora, perto de Žďár nad Sázavou na República Checa, desenhado por Jan Blažej Santini Aichel. A nave é circular, cercada por cinco pares de colunas e cinco cúpulas ovais alternadas com ábsides ogivais. A igreja possui ainda cinco portões, cinco capelas, cinco altares e cinco estrelas; uma lenda afirma que quando São João de Nepomuk foi martirizado, cinco estrelas apareceram sobre sua cabeça. A arquitetura quintuplicável também pode simbolizar as cinco feridas de Cristo e as cinco letras de “Tacui” (latino: “Fiquei em silêncio” [sobre os segredos do confessionário]).

Antoni Gaudí usou uma grande variedade de estruturas geométricas, sendo algumas superfícies mínimas, na Sagrada Família, Barcelona, ​​iniciadas em 1882 (e não concluídas até 2015). Estes incluem paraboloides hiperbólicos e hiperboloides de revolução, tesselações, arcos catenários, catenoides, helicoides e superfícies governadas. Esta variada mistura de geometrias é combinada de forma criativa de diferentes maneiras ao redor da igreja. Por exemplo, na Fachada da Paixão da Sagrada Família, Gaudí reuniu “galhos” de pedra sob a forma de paraboloides hiperbólicos, que se sobrepõem em seus tops (diretrizes), sem, portanto, se encontrarem em um ponto. Em contraste, na colunata existem superfícies paraboloidais hiperbólicas que unem suavemente outras estruturas para formar superfícies ilimitadas. Além disso, Gaudí explora padrões naturais, matemáticos, com colunas derivadas das formas de árvores e lintéis feitos de basalto não modificado naturalmente rachado (por resfriamento de rocha fundida) em colunas hexagonais.

A Catedral de Santa Maria da Assunção de 1971, San Francisco tem um telhado de sela composto por oito segmentos de paraboloides hiperbólicos, arrumados para que a seção horizontal inferior do telhado seja um quadrado e a seção transversal superior seja uma cruz cristã. O prédio é um quadrado de 77,7 metros (255 pés) em um lado e 57,9 metros (190 pés) de altura. A Catedral de Brasília, de 1970, de Oscar Niemeyer faz um uso diferente de uma estrutura hiperbolóide; é construído a partir de 16 vigas de concreto idênticas, cada uma pesando 90 toneladas, dispostas em um círculo para formar um hiperbolo de revolução, as vigas brancas criando uma forma como mãos rezando para o céu. Somente a cúpula é visível do exterior: a maior parte do edifício está abaixo do solo.

Várias igrejas medievais na Escandinávia são circulares, incluindo quatro na ilha dinamarquesa de Bornholm. Um dos mais antigos, Østerlars Church de c. 1160, tem uma nave circular em torno de uma enorme coluna de pedra circular, perfurada de arcos e decorada com um afresco. A estrutura circular tem três andares e foi aparentemente fortificada, o piso superior servindo para a defesa.

Decoração arquitetônica islâmica:
Os edifícios islâmicos são muitas vezes decorados com padrões geométricos que normalmente fazem uso de várias tesselarias matemáticas, formadas por telhas cerâmicas (girih, zellige) que podem ser simples ou decoradas com listras. Simetrias como estrelas com seis, oito ou múltiplos de oito pontos são usadas em padrões islâmicos. Alguns deles são baseados no motivo do selo de “Khatem Sulemani” ou de Salomão, que é uma estrela de oito pontas feita de dois quadrados, uma girou 45 graus do outro no mesmo centro. Os padrões islâmicos exploram muitos dos 17 possíveis grupos de papel de parede; já em 1944, Edith Müller mostrou que a Alhambra fazia uso de 11 grupos de papel de parede em suas decorações, enquanto em 1986 Branko Grünbaum afirmou ter encontrado 13 grupos de papel de parede na Alhambra, afirmando controversamente que os 4 grupos restantes não são encontrados em qualquer lugar no islâmico ornamento.

Decoração arquitetônica moderna:
No final do século XX, construções matemáticas inovadoras, como geometria fractal e telhas aperiódicas, foram aproveitadas pelos arquitetos para fornecer coberturas interessantes e atraentes para edifícios. Em 1913, o arquiteto modernista Adolf Loos declarou que “O ornamento é um crime”, influenciando o pensamento arquitetônico para o resto do século XX. No século 21, os arquitetos estão novamente começando a explorar o uso do ornamento. A ornamentação do século XXI é extremamente diversificada. Henling Larsen 2011 Harpa Concert and Conference Center, Reykjavik tem o que parece uma parede de cristal de pedra feita de grandes blocos de vidro. Foreign Office Architects 2010 Ravensbourne College, Londres é decorado de forma decorativa com 28.000 telhas de alumínio anodizado em vermelho, branco e marrom, entrelazando janelas circulares de diferentes tamanhos. A tesselagem usa três tipos de azulejos, um triângulo equilátero e dois pentágonos irregulares. A Biblioteca Kanazawa Umimirai de Kazumi Kudo cria uma grade decorativa feita de pequenos blocos circulares de vidro em paredes de concreto simples.

Defesa da Europa:
A arquitetura das fortificações evoluiu a partir de fortalezas medievais, que tinham altos muros de alvenaria, a baixas e simétricas fortalezas estelares capazes de resistir ao bombardeio de artilharia entre os séculos XVII e XIX. A geometria das formas da estrela foi ditada pela necessidade de evitar zonas mortas onde atacar a infantaria poderia se proteger do fogo defensivo; os lados dos pontos salientes foram inclinados para permitir que tal fogo varre o solo e para fornecer fogo cruzado (de ambos os lados) para além de cada ponto saliente. Arquitetos bem conhecidos que projetaram tais defesas incluem Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi e Sébastien Le Prestre de Vauban.

O historiador da arquitetura Siegfried Giedion argumentou que a fortificação em forma de estrela teve uma influência formativa sobre o padrão da cidade ideal renascentista: “O Renascimento foi hipnotizado por um tipo de cidade que por um século e meio – de Filarete para Scamozzi – ficou impressionado com todos os esquemas utópicos: esta é a cidade em forma de estrela “.

Defesa da China:
Na arquitetura chinesa, os tulou da província de Fujian são estruturas defensivas comunais e comunais com paredes principalmente em branco e uma única porta de madeira banhada de ferro, algumas remontando ao século XVI. As paredes são cobertas com telhados que se inclinam suavemente para fora e para dentro, formando um anel. O centro do círculo é um pátio paralelepípedo aberto, muitas vezes com um poço, rodeado de galerias de madeira de até cinco andares de altura.

Objetivos ambientais:
Arquitetos também podem selecionar a forma de um edifício para atingir os objetivos ambientais. Por exemplo, o 30 St Mary Axe de Londres, da Foster and Partners, conhecido como “The Gherkin” por sua forma de pepino, é um sólido revolucionado projetado usando modelos paramétricos. Sua geometria foi escolhida não apenas por razões estéticas, mas para minimizar as correntes de ar giratórias em sua base. Apesar da superfície aparentemente curvada do edifício, todos os painéis de vidro que formam a sua pele são planos, com exceção da lente na parte superior. A maioria dos painéis são quadrilaterais, pois podem ser cortados de vidro retangular com menor desperdício do que os painéis triangulares.

O tradicional yakhchal (ice pit) da Pérsia funcionou como um refrigerador evaporativo. Acima do solo, a estrutura tinha uma forma em forma de cúpula, mas tinha um espaço de armazenamento subterrâneo para gelo e às vezes comida também. O espaço subterrâneo ea construção espessa e resistente ao calor isolaram o espaço de armazenamento durante todo o ano. O espaço interno foi geralmente mais resfriado com criadores de vento. O gelo estava disponível no verão para fazer a sobremesa congelada faloodeh.