Dinâmica

A dinâmica é o ramo da matemática aplicada (especificamente a mecânica clássica) que se ocupa do estudo de forças e torques e seu efeito no movimento, em oposição à cinemática, que estuda o movimento de objetos sem referência a essas forças. Isaac Newton definiu as leis físicas fundamentais que governam a dinâmica da física, especialmente sua segunda lei do movimento.

História
Uma das primeiras reflexões sobre as causas do movimento deve-se ao filósofo grego Aristóteles; que definiu o movimento, a dinâmica, como:.

O ato de realização, de uma capacidade ou possibilidade de ser poder, enquanto está sendo atualizado.

Por outro lado, ao contrário da abordagem atual, Aristóteles reverte o estudo da cinemática e da dinâmica, estudando primeiro as causas do movimento e depois o movimento dos corpos. Essa abordagem dificultou o avanço no conhecimento do fenômeno do movimento até que, em primeira instância, Santo Alberto Magno, foi quem apontou essa dificuldade e, em última instância, para Galileu Galilei e Isaac Newton. De fato, Thomas Bradwardine, em 1328, apresentou em seu De proportionibus velocitatum in motibusa a lei matemática que ligava a velocidade com a razão entre motivos e forças de resistência; seu trabalho influenciou a dinâmica medieval por dois séculos, mas, para o que foi chamado de acidente matemático na definição de “aumento”, seu trabalho foi descartado e não recebeu reconhecimento histórico em sua época.

As experiências de Galileu em corpos uniformemente acelerados levaram Newton a formular suas leis fundamentais de movimento, que ele apresentou em sua obra principal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Os cientistas atuais acreditam que as leis de Newton dão as respostas certas para a maioria dos problemas relacionados à movimentação de corpos, mas há exceções. Em particular, as equações para descrever o movimento não são adequadas quando o corpo viaja a altas velocidades em relação à velocidade da luz ou quando os objetos são extremamente pequenos em tamanho comparável aos tamanhos.

Princípios
De modo geral, os pesquisadores envolvidos na dinâmica estudam como um sistema físico pode se desenvolver ou alterar com o tempo e estudar as causas dessas mudanças. Além disso, Newton estabeleceu as leis físicas fundamentais que governam a dinâmica da física. Ao estudar seu sistema de mecânica, a dinâmica pode ser entendida. Em particular, a dinâmica está relacionada principalmente à segunda lei do movimento de Newton. No entanto, todas as três leis do movimento são levadas em conta porque estão inter-relacionadas em qualquer observação ou experimento.

Dinâmica linear e rotacional
O estudo da dinâmica se divide em duas categorias: linear e rotacional. A dinâmica linear pertence a objetos que se movem em uma linha e envolve quantidades como força, massa / inércia, deslocamento (em unidades de distância), velocidade (distância por unidade de tempo), aceleração (distância por unidade de tempo) e momentum unidade de velocidade). Dinâmica rotacional pertence a objetos que estão girando ou se movendo em um caminho curvo e envolve quantidades como torque, momento de inércia / inércia rotacional, deslocamento angular (em radianos ou menos frequentemente graus), velocidade angular (radianos por unidade de tempo), angular aceleração (radianos por unidade de tempo ao quadrado) e momento angular (momento de inércia vezes unidade de velocidade angular). Muitas vezes, objetos exibem movimento linear e rotacional.

Para o eletromagnetismo clássico, as equações de Maxwell descrevem a cinemática. A dinâmica dos sistemas clássicos envolvendo a mecânica e o eletromagnetismo é descrita pela combinação das leis de Newton, das equações de Maxwell e da força de Lorentz.

Força
De Newton, força pode ser definida como um esforço ou pressão que pode fazer com que um objeto acelere. O conceito de força é usado para descrever uma influência que faz com que um corpo livre (objeto) acelere. Pode ser um empurrão ou um puxão, o que faz com que um objeto mude de direção, tenha nova velocidade ou se deforme temporária ou permanentemente. De um modo geral, a força faz com que o estado do movimento de um objeto seja alterado.

As leis de
Newton Newton descreveu a força como a capacidade de causar uma massa para acelerar. Suas três leis podem ser resumidas da seguinte forma:

Primeira lei: Se não houver força total em um objeto, sua velocidade é constante. O objeto está em repouso (se sua velocidade for igual a zero) ou se move com velocidade constante em uma única direção.
Segunda lei: A taxa de variação do momento linear P de um objeto é igual à força líquida F líquido, isto é, d P / dt = F líquido.
Terceira lei: Quando um primeiro corpo exerce uma força F 1 sobre um segundo corpo, o segundo corpo exerce simultaneamente uma força F 2 = – F 1 no primeiro corpo. Isso significa que F 1 e F 2 são iguais em magnitude e opostos em direção.

As Leis do Movimento de Newton são válidas apenas em um referencial inercial.

Cálculo em dinâmica
Na mecânica clássica e na mecânica relativista, por meio dos conceitos de deslocamento, velocidade e aceleração, é possível descrever os movimentos de um corpo ou objeto sem considerar como eles foram produzidos, uma disciplina conhecida como cinemática. Pelo contrário, a mecânica lida com o estudo do movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Nos sistemas quânticos, a dinâmica requer uma abordagem diferente, devido às implicações do princípio da incerteza.

O cálculo dinâmico é baseado na abordagem de equações do movimento e sua integração. Para problemas extremamente simples, as equações da mecânica newtoniana diretamente auxiliadas por leis de conservação são usadas. Na mecânica clássica e relativista, a equação essencial da dinâmica é a segunda lei de Newton (ou lei de Newton-Euler) na forma:

onde F é a soma das forças e p a quantidade de movimento. A equação acima é válida para uma partícula rígida ou sólida, para um meio contínuo você pode escrever uma equação baseada nela que deve ser preenchida localmente. Na teoria da relatividade geral, não é trivial definir o conceito de força resultante da curvatura do espaço-tempo. Na mecânica quântica não relativista, se o sistema é conservativo, a equação fundamental é a equação de Schrödinger:

Leis de conservação As leis de
conservação podem ser formuladas em termos de teoremas que estabelecem sob quais condições concretas uma determinada quantidade é “conservada” (ou seja, ela permanece constante em valor ao longo do tempo à medida que o sistema se move ou muda com o tempo). Além da lei de conservação de energia, as outras importantes leis de conservação assumem a forma de teoremas vetoriais. Esses teoremas são:

O teorema do momento, que para um sistema de partículas pontuais requer que as forças das partículas dependam apenas da distância entre elas e sejam direcionadas de acordo com a linha que as une. Na mecânica de meios contínuos e mecânica do sólido rígido, os teoremas vetoriais de conservação do momento podem ser formulados.

O teorema do momento cinético estabelece que sob condições similares ao teorema vetorial anterior, a soma dos momentos de força em relação a um eixo é igual à variação temporal do momento angular. Em particular, o lagrangeano do sistema.

Estes teoremas estabelecem sob quais condições a energia, a quantidade de movimento ou o momento cinético são grandezas conservadas. Essas leis de conservação, por vezes, permitem encontrar de forma mais simples a evolução do estado físico de um sistema, muitas vezes sem a necessidade de integrar diretamente as equações diferenciais do movimento.

Equações de movimento
Existem várias maneiras de propor equações de movimento que permitem prever a evolução ao longo do tempo de um sistema mecânico com base nas condições iniciais e nas forças atuantes. Na mecânica clássica existem várias formulações possíveis para propor equações:

A mecânica newtoniana que recorre a escrever diretamente equações diferenciais ordinárias de segunda ordem em termos de forças e em coordenadas cartesianas. Este sistema leva a equações difíceis de integrar por meios elementares e é usado apenas em problemas extremamente simples, geralmente usando sistemas de referência inercial.

A mecânica Lagrangeana, este método também usa equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, mas permite o uso de coordenadas totalmente gerais, chamadas coordenadas generalizadas, que são mais adequadas à geometria do problema. Além disso, as equações são válidas em qualquer sistema de referência, seja inercial ou não. Além de obter sistemas mais facilmente integráveis, o teorema de Noether e coordenar transformações, podemos encontrar integrais de movimento, também chamados de leis de conservação, mais simplesmente do que a abordagem newtoniana.
A mecânica hamiltoniana é semelhante à anterior, mas nela as equações de movimento são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Além disso, o intervalo de transformações de coordenadas permitidas é muito mais amplo do que na mecânica lagrangiana, o que torna ainda mais fácil encontrar integrais de movimento e quantidades conservadas.

O método de Hamilton-Jacobi é um método baseado na resolução de uma equação diferencial em derivadas parciais pelo método de separação de variáveis, que é o meio mais simples quando um conjunto apropriado de integrais de movimento é conhecido.

Na mecânica relativista, as três últimas abordagens são possíveis, além de uma abordagem direta a problemas simples, análoga a muitos métodos da mecânica newtoniana. Da mesma forma, a mecânica da mídia contínua admite as abordagens lagrangiana e hamiltoniana, embora o formalismo subjacente seja um sistema clássico ou relativístico, é notavelmente mais complicado do que no caso de sistemas de partículas rígidas e sólidos (estes últimos têm um número finito de graus). liberdade, ao contrário de um meio contínuo). Finalmente, a mecânica quântica, tanto não-relativística quanto relativista, também requer um formalismo matemático notavelmente mais complexo que usualmente envolve o uso de espaços de Hilbert, mesmo para sistemas com um número finito de graus de liberdade.

Dinâmica dos sistemas mecânicos
Na física existem dois tipos importantes de sistemas físicos: sistemas de partículas finitas e campos. A evolução no tempo do primeiro pode ser descrita por um conjunto finito de equações diferenciais ordinárias, razão pela qual se diz que tem um número finito de graus de liberdade. Por outro lado, a evolução no tempo dos campos requer um conjunto de equações complexas. Nas derivadas parciais, e num certo sentido informal, elas se comportam como um sistema de partículas com um número infinito de graus de liberdade.

A maioria dos sistemas mecânicos é do primeiro tipo, embora existam também sistemas mecânicos que são descritos mais simplesmente como campos, como com fluidos ou sólidos deformáveis. Acontece também que alguns sistemas mecânicos idealmente formados por um número infinito de pontos materiais, como sólidos rígidos, podem ser descritos por um número finito de graus de liberdade.

Dinâmica da partícula
A dinâmica do ponto material é uma parte da mecânica newtoniana na qual os sistemas são analisados ​​como sistemas de partículas pontuais e forças instantâneas são exercidas a distância.

Na teoria da relatividade, não é possível tratar um conjunto de partículas carregadas em interação mútua, simplesmente usando as posições das partículas em cada instante, uma vez que no dito quadro se considera que as ações remotas violam a causalidade física. Nestas condições a força sobre uma partícula, devido aos demais, depende das posições passadas da mesma.

Dinâmica do sólido rígido
A mecânica de um sólido rígido é aquela que estuda o movimento e o equilíbrio dos sólidos do material, ignorando suas deformações. É, portanto, um modelo matemático útil para estudar uma parte da mecânica dos sólidos, uma vez que todos os sólidos reais são deformáveis. O sólido rígido é entendido como um conjunto de pontos do espaço que se movem de tal forma que as distâncias entre eles não são alteradas, qualquer que seja a força atuante (matematicamente, o movimento de um sólido rígido é dado por um grupo unipartrico de isometrias).

Dinâmica de Mídia Contínua e Teoria de Campo
Na física existem outras entidades como meios contínuos (sólidos deformáveis ​​e fluidos) ou campos (gravitacionais, eletromagnéticos, etc.) que não podem ser descritos por um número finito de coordenadas que caracterizam o estado do sistema. . Em geral, funções definidas são necessárias em um domínio ou região de quatro domínios. O tratamento da mecânica clássica e da mecânica relativística da mídia contínua requer o uso de equações diferenciais em derivadas parciais, o que causa dificuldades analíticas muito mais visíveis do que aquelas encontradas em sistemas com um número finito de coordenadas ou graus de liberdade (que muitas vezes podem ser tratados como sistemas de equações diferenciais ordinárias).

Conceitos relacionados à dinâmica

Inércia A
inércia é a propriedade dos corpos de não modificar seu estado de repouso ou movimento uniforme, se não forem influenciados por outros corpos ou se a ação de outros corpos for compensada.

Na física, diz-se que um sistema tem mais inércia quando é mais difícil conseguir uma mudança no estado físico do mesmo. Os dois usos mais frequentes na física são a inércia mecânica e a inércia térmica. O primeiro deles aparece na mecânica e é uma medida de dificuldade para mudar o estado de movimento ou o descanso de um corpo. A inércia mecânica depende da quantidade de massa e do tensor de inércia do corpo. A inércia térmica mede a dificuldade com que um corpo muda sua temperatura ao entrar em contato com outros corpos ou ao ser aquecido. A inércia térmica depende da quantidade de massa e capacidade de calor.

As chamadas forças inerciais são forças fictícias ou aparentes para um observador em um sistema de referência não inercial.

A massa inercial é uma medida da resistência de uma massa à mudança de velocidade em relação a um sistema de referência inercial. Na física clássica, a massa inercial de partículas pontuais é definida por meio da seguinte equação, onde a partícula 1 é tomada como a unidade ( ):

onde mi é a massa inercial da partícula i e i1 é a aceleração inicial da partícula i, na direção da partícula i na direção da partícula 1, em um volume ocupado apenas pelas partículas i e 1, onde ambas as partículas estão inicialmente em repouso e em uma unidade de distância. Não há forças externas, mas as partículas exercem forças umas sobre as outras.

Trabalho e energia
O trabalho e energia exibidos pelos teoremas de energia mecânica. O principal, e do qual os outros teoremas são derivados, é o teorema da energia cinética. Este teorema pode ser declarado em uma versão diferencial ou em uma versão integral. A partir de agora, será feita referência ao Teorema da energia cinética como TEC.

Graças ao TEC, pode-se estabelecer uma relação entre a mecânica e outras ciências, como química e engenharia elétrica, da qual deriva sua importância vital.

Força e Potencial

A mecânica de partículas ou meios contínuos tem formulações ligeiramente diferentes na mecânica clássica, na mecânica relativista e na mecânica quântica. Em todas elas, as causas da mudança são representadas por forças ou conceitos derivados, como a energia potencial associada ao sistema de forças. Nos dois primeiros o conceito de força é usado fundamentalmente, enquanto que na mecânica quântica é mais frequente colocar os problemas em termos de energia potencial. A força resultante sobre um sistema mecânico clássico está relacionada à variação da quantidade de movimento pela relação simples:

Quando o sistema mecânico também é conservador, a energia potencial está relacionada à energia cinética. Associada ao movimento através da relação:

Na mecânica relativista, as relações acima não são válidas se t se referir ao componente temporal medido por qualquer observador, mas se t é interpretado como o próprio tempo do observador, então elas são válidas. Na mecânica clássica, dado o caráter absoluto do tempo, não há diferença real entre o próprio tempo do observador e sua coordenada temporal.

Sistemas dinâmicos
A teoria dos sistemas dinâmicos é um ramo da matemática, intimamente relacionado com a teoria das equações diferenciais e a teoria do caos que estuda as propriedades qualitativas das equações da evolução dinâmica.