음악 이론은 근대 수학에 공리 적 기초가 없지만 음악적 소리의 기초는 수학적으로 (음향학에서) 묘사 될 수 있으며 “숫자 속성의 현저한 배열”을 보여줍니다. 음악의 형태, 리듬 및 미터, 음표의 음조 및 맥박의 템포와 같은 음악 요소는 시간 및 주파수 측정과 관련이있을 수 있으며 기하학에서 유사한 유추를 제공합니다.
음악과 수학 사이의 밀접한 관계는 고대부터 연구되어왔다. 피타고라스 학파가 고전적 사례를 제시했는데 피타고라스 학파는 발견 (피타고라스가 신비한 의미를 부여 함)에 따르면 스케일의 다른 음색은 비율 정수들 사이에서 : 1/2의 고삐는 상위 옥타브를 울리고, 4/4로 감소하고, 5/4의 2/3로 줄어든다.
음악 분야에서 적용되는 많은 수학은 음향 물리학 및 관련 문제의 연구에서 비롯됩니다. 뮤지컬 미터의 동일한 리드 미칼 한 부분이 수학적 분수로 표시되면, 우리는 어떤 잡음의 기저에 무수한 정지 파의 기여가 있으며, 어떤 사운드라도 고조파 분석을 통해 정현파로 분해 될 수 있음을 알고 있습니다 푸리에 변환 알고리즘으로 수학적으로 표현됨).
음악을 작곡하고 듣는 새로운 방법을 구조화하고 전달하려는 시도는 집합 이론, 추상 대수학 및 수 이론의 음악 응용을 이끌어 냈습니다. 일부 작곡가는 황금비와 피보나치 숫자를 자신의 작품에 통합했습니다.
보다 추상적 인 방식으로, 음악은 작곡 측면에서 수학과도 관련이있었습니다 (다양한 높이 사이, 시간의 다른 시간 및 다른 연주자의 목소리 사이에서 소리를 분배해야 함). 이런 종류의 음악 분석은 수세기에 걸친 유명한 음악가들을 보유하고 있으며 (바흐의 대본의 음악적 기하학을 생각하십시오) 그는 1900 년대에 다름슈타트의 쾰른 라디오 (Karmischstein Institute)와 같은 가까운시기에도 새로운 운명을 알았습니다 전자 음악 스튜디오, 밀라노 음악 음운 센터 및 파리의 IRCAM).
고대 중국인, 인도인, 이집트인 및 메소포타미아 인은 소리의 수학적 원리를 연구 한 것으로 알려져 있지만 고대 그리스의 피타고라스 인 (특히 Philolaus과 Archytas)은 음악 비늘의 표현을 수치 적 비율로 조사한 최초의 연구원이었다. , 특히 작은 정수의 비율. 그들의 중심 교리는 “모든 자연은 숫자에서 나오는 조화로 이루어져있다”는 것이었다.
플라톤 시대부터 조화는 음악 음향학으로 알려진 물리학의 기본 지점으로 간주되었습니다. 초기 인디언과 중국의 이론가들은 비슷한 접근 방식을 보여주었습니다. 모두 하모닉스와 리듬의 수학적 법칙이 세계에 대한 이해뿐만 아니라 인간의 안녕에 근본적임을 보여 주려했습니다. 공자는 피타고라스와 마찬가지로 작은 숫자 1,2,3,4를 모든 완벽의 근원으로 여겼다.
17 세기부터 많은 음악가들이 견고한 수학 지식을 시험해 왔습니다. (예를 들어, Giuseppe Tartini는 1754 년에 조화의 진정한 과학에 따라 음악 논문에서 증거를 제시했으며, 1971 년에 공식화 된 Iannis Xenakis, Pierre Boulez와 Philip 유리는 수학을 졸업하고 예술에서 영감을 얻었습니다.)
리듬 구조의 경계 – 근본적으로 동일하고 규칙적인 펄스 반복, 악센트, 구 및 지속 시간의 배열이 없으면 음악이 불가능합니다. 현대 악기의 미터 및 측정법과 같은 용어의 사용은 또한 천문학과 함께 음악의 역사적 중요성을 계산, 산술 및 물리학의 기본 인 시간 및주기의 정확한 측정에 반영합니다. [표창장은 필요 없습니다]
음악 형식의 요소는 종종 엄격한 비율이나 초 고밀도 구조 (숫자 2와 3의 거듭 제곱)를 만듭니다.
뮤지컬 형식은 짧은 음악을 확장하는 계획입니다. “계획”이라는 용어는 건축 양식에서도 사용되며 음악 형식을 종종 비교합니다. 건축가와 마찬가지로 작곡가는 작품의 의도 된 기능과 사용 가능한 수단, 반복적 인 작업과 순서를 사용하는 경제 활동을 고려해야합니다. 바이너리 및 3 진 ( “2 중”및 “3 중”)으로 알려진 일반적인 유형의 형식은 음악의 명료성과 매력에 작은 정수 값의 중요성을 다시 한번 보여줍니다.
박동 현상은 두 개의 비슷한 주파수 음 (동일하지 않음)이 연주되는 경우입니다. 처음 2 개의 주파수에 가까운 주파수의 소리를 듣는 느낌이 들지만, 그 강도는 처음 두 개의 소리의 주파수가 가까울수록 느리게 오르락 내리락합니다. 이러한 이유로, 박자는 악기를 튜닝 할 때 음조가 떨어지거나 올라갈 지 여부를 결정하는 데 사용됩니다.
이 현상에 대한 설명은 음파의 물리적 특성과 부분적으로는 우리의 귀가 소리를인지하는 방식에 부분적으로 달려 있습니다. 두 개의 순수한 음색의 겹침 (즉, 사인파로 나타낼 수 있음)에주의를 기울이고 간단하게하기 위해,
음악 스케일은 음악을 만들거나 설명 할 때 사용되는 피치의 개별 세트입니다. 서양 전통에서 가장 중요한 척도는 온음계 규모이지만 다른 많은 역사적 시대와 다양한 분야에서 사용되고 사용되고 있습니다. 각 피치는 헤르츠 (Hz)로 표시되는 특정 주파수에 해당하며 때로는 초당 사이클 수 (c.p.s)라고도합니다. 음계에는 반복 간격이 있으며, 일반적으로 옥타브입니다. 어떤 피치의 옥타브는 주어진 피치의 정확히 두 배의 주파수를 의미합니다.
후속 superoctaves는 기본 주파수의 주파수 4, 8, 16 번 등에서 발견되는 피치입니다. 기본 주파수의 절반, 1/4, 8 분주 등의 주파수에서의 피치를 서브 옥타브라고합니다. 음악 피아노 조화에서 주어진 피치가 일치한다고 간주되는 경우 옥타브가 다른 것으로 간주되는 경우는 없습니다. 그러므로 어떤 음표와 그 옥타브는 일반적으로 뮤직 시스템에서 비슷한 이름으로 명명됩니다 (예를 들어 모든 것이 doh 또는 A 또는 Sa라고도 함).
주파수 대역으로 표현하면 옥타브 A2-A3은 110Hz에서 220Hz까지 (span = 110Hz)에 걸쳐있다. 다음 옥타브는 220 Hz에서 440 Hz (span = 220 Hz)까지 확장됩니다. 세 번째 옥타브는 440Hz에서 880Hz까지 (span = 440Hz) 등등입니다. 연속적인 옥타브는 이전 옥타브의 두 배 주파수 범위에 걸쳐 있습니다.
규모를 설명 할 때 정확한 피치가 아닌 피치 (구간이라고도 함) 간의 관계 또는 비율에 관심이 있기 때문에 모든 피치를 특정 피치의 비율로 참조하는 것이 일반적입니다. 1의 값이 주어지며 (일반적으로 1/1로 기재 됨) 일반적으로 음계의 강장제로 사용됩니다. 간격 크기 비교의 경우 센트가 자주 사용됩니다.
튜닝 시스템에는 크게 두 가지가 있습니다. 동등한 기질 비늘은 옥타브를 로그 눈금으로 동일한 간격으로 나누어 작성하므로 완벽하게 균등하게 배율 된 비율이되지만 비례적인 숫자 인 빈도 비율이 있습니다. 단지 저울은 주파수를 유리수로 곱하면 주파수 사이의 단순한 비율이되지만 스케일 부분은 고르지 않습니다.
균등 기질 튜닝과 튜닝의 가장 큰 차이점은 두 개의 음이 함께 울리면 음향 박동의 차이인데, 이는 주관적인 조화와 불협화음의 경험에 영향을 미칩니다. 이러한 시스템과 대다수의 음악은 일반적으로 2 : 1의 주파수 비율로 정의되는 모든 옥타브 간격으로 반복되는 음계를가집니다. 즉, 빈도가 두 배가 될 때마다 주어진 척도가 반복됩니다.
아래는 오그 보비스 (Ogg Vorbis) 파일이며, 단지 억양과 평등의 차이를 보여줍니다. 차이를 선택할 수 있으려면 샘플을 여러 번 재생해야 할 수도 있습니다.
두 개의 사인파가 연속적으로 연주되었습니다.이 샘플은 550 Hz에서 절반 단계 (정격 음계에서 C #)로 이어지고 554.37 Hz에서 절반 단계 (균등 기질에서 C #)가 이어졌습니다.
같은 두 개의 음표, A440 페달에 대해 설정 -이 샘플은 “dyad”로 구성되어 있습니다. 낮은 음표는 상수 A (두 음계 중 440Hz)이고, 위쪽 음표는 첫 번째 1 인치의 경우 동일하게 템포 조절 된 음계의 C #이고 마지막 음표의 경우 C # 음계입니다. 위상 차이로 인해 이전 샘플에서보다 쉽게 전환을 선택할 수 있습니다.
가장 일반적인 형식의 인토네이션 인 5 제한 튜닝은 단일 기본 주파수의 규칙적인 고조파 인 톤을 사용하는 튜닝 시스템입니다. 이것은 요하네스 케플러 (Joseph Kepler)가 행성 운동과 관련하여 그의 하모니 니스 먼디 (Harmonices Mundi, 1619)에서 제시 한 비늘 중 하나였습니다. 스코틀랜드의 수학자이자 음악 이론가 인 알렉산더 말콤 (Alexander Malcolm)은 1721 년에 ‘Musick의 논문 : 투기 적, 실천적, 역사적’, 그리고 이론가 인 Jose Wuerschmidt에 의해 20 세기에 동일한 척도가 사용되었다. 그 형태는 인도 북부의 음악에 사용됩니다.
미국의 작곡가 인 테리 라일리 (Terry Riley)는 자신의 “하프 오브 뉴 알비온 (Harp of New Albion)”에서 그 반전 된 형태를 사용했다. 코드 진행이 거의 없거나 전혀 없을 때 단지 억양이 뛰어난 결과를냅니다. 가능한 한 음색 및 기타 악기가 인토네이션으로 몰립니다. 그러나 피아노와 같이 고정 된 조율 된 악기로는 키를 변경할 수 없기 때문에 두 가지 다른 전체 음정 간격 (9 : 8 및 10 : 9)을 제공합니다. 비율로 주어진 비율로 노트의 주파수를 계산하려면 주파수 비율에 강장 주파수를 곱합니다. 예를 들어 A4의 토닉 (중간의 C보다 높은 자연스러운 주파수)을 사용하면 주파수는 440Hz이고 위의 5 번 (E5)은 440 × (3 : 2) = 660Hz입니다.
피타고라스 튜닝은 완벽한 조화, (완벽한) 옥타브, 완벽한 다섯째, 완벽한 네 번째에만 기초한 튜닝입니다. 따라서 주요 3 분의 1은 세 번째가 아니라 문자 그대로 “두 가지 색조”로 간주되며 바로 아래의 독립적 인 고조파 5 : 4 = 80:64보다는 (9 : 8) 2 = 81:64입니다. 전체적인 음색은 두 번째 완벽한 간격 인 2 분의 1이며, (3 : 2) 2 = 9 : 8입니다.
단지 3 : 5, 4 : 3, 6 : 5는 각각 81:64와 32:27의 피타고라스 (Pythagorean) 등가물을 제외하고는 81:80의 신 토닉 콤마입니다. 칼 달 하우스 (Carl Dahlhaus, 1990, 187)에 따르면, “의존하는 세 번째는 피타고라스 (Petthagorean)에 따르며, 독립 세 번째는 간격의 조율 튜닝에 해당한다.”
서양의 일반적인 연습 음악은 보통 억양에서만 연주 할 수는 없지만 체계적으로 부드럽게 조정해야합니다. 템퍼링은 좋은 기질의 불규칙성을 포함하거나 정규 기질로 구성 될 수 있으며, 어떤 형태의 평등 한 기질이나 다른 규칙적인 기제 중 하나 일 수 있습니다. 그러나 모든 경우에 기질의 근본적인 특징이 포함됩니다. 예를 들어, 코드 ii의 루트는 지배적 인 것보다 다섯 번째로 조정하면 강장제보다 큰 전체 음 (9 : 8)이됩니다. 그러나 단지 4 분 3 초보다 약간 작은 3 분의 6 (5 분의 6) 이하로 조정하면 강장제의 간격은 작은 전체 음 (10 : 9)과 같습니다. Meantone 기질은 9 : 8과 10 : 9의 차이를 줄입니다. 그들의 비율 (9 : 8) / (10 : 9) = 81:80은 조화로 취급됩니다. 간격 81:80은, syntonic 쉼표 또는 Didymus의 콤마라고 불리며, 의미있는 기질의 핵심 쉼표입니다.
동등한 기질에서, 옥타브는 대수적 스케일로 동일한 부분으로 나뉘어집니다. 어떤 음표 (예 : 24 톤 아랍 톤 시스템)와도 동일한 기질 스케일을 구성하는 것이 가능하지만 가장 일반적인 수는 12이며, 이것은 동등한 기질의 반음계를 구성합니다. 서양 음악에서는 달리 지정하지 않는 한 일반적으로 12 개의 구간으로 나뉜다.
반음계의 경우 옥타브는 12 개의 동등한 부분으로 나누어지며, 각 반음 (반 단계)은 12의 두 번째 근음의 간격이므로이 두 개의 동일한 절반 단계가 정확히 한 옥타브까지 합쳐집니다. fretted 악기를 사용하면 같은 기질을 사용하여 프렛이 현에서 균등하게 정렬되도록하는 것이 매우 유용합니다. 유럽의 음악 전통에서는 음악 키보드와 같은 다른 악기보다 류트 및 기타 음악에 훨씬 더 일찍 평균율이 사용되었습니다. 이 역사적 힘 때문에, 12 음색의 평등 기질은 이제 서양인과 서양인이 아닌 세계의 지배적 인 억양 시스템이되었습니다.
똑같이 템퍼가 달린 저울이 사용되었고 악기는 다양한 다른 수의 등 간격을 사용하여 만들어졌습니다. Guillaume Costeley가 16 세기에 처음 제안하고 사용한 19 가지 평균 기질은 평평한 음색을 19 개 사용하여 평범한 12 반음 평균 기질보다 우수한 3 분의 1 및 훨씬 적은 3 분의 1을 제공합니다. 전반적인 효과는 더 큰 조화 중 하나입니다. 아랍어 음악의 교육학 및 표기법에서 24 개의 균등 기음이 24 개의 균등 한 음색으로 널리 퍼져 있습니다. 그러나 이론과 실습에서 아랍 음악의 억양은 동등하게 강화 된 시스템의 비합리적 비율과는 달리 합리적인 비율에 부합합니다.
똑같이 단련 된 4 분의 1 음색에 대한 아날로그는 아랍어 억양 시스템에 전혀 없지만 3/4 톤 또는 중립적 인 두 번째 아날로그가 자주 발생합니다. 그러나 중립 초는 maqam 및 지역에 따라 비율이 약간 다릅니다. 실제로 아랍 음악 사학자 인 하빕 하산 토마 (Habib Hassan Touma)는 “이 악보의 편차는 아랍 음악의 독특한 풍미에서 결정적인 요소이다. 옥타브를 같은 크기의 24/4 톤 이 음악 문화의 가장 특징적인 요소 중 하나를 포기할 것 “이라고 말했다.
다음의 그래프는 3 가지 주요 고조파 정체성 (3 차 고조파)과 5 차 고조파 (3 차 고조파), 7 차 고조파 (7 차 고조파)의 세 가지 고조파 정 도의 정확도를 보여줍니다. [참고 : 막대 위에있는 숫자는 동등한 템포를 나타냅니다 (즉, 12는 12 톤 동등한 템포를 나타냄).
위에 언급 한 억양의 문제는 피아노 나 현과 같은 현악기를 다른 음영으로 연주 할 수 있어야한다는 필요성에서 파생됩니다. 지금까지 두 가지 방법 중 어느 것도 다음 절차에서 볼 수 있듯이 정확성으로이 문제를 해결하지 못합니다.
고정 된 튜닝 도구를 튜닝하는 한 가지 방법은 기본 로프에서 다섯 번째 범위를 유지하는 것입니다. 이 방법으로 그것은 소위 루프 사이클을 따라 주어집니다 : Do, Sol, King, La, Me, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (또는 Miè), 7 옥타브는 기본 노트. 여기서 조사한 방법 중 Do8가 루프 사이클에서 얻은 것과 일치하지 않는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 자연 기질과 피타고라스의 경우 옥타브 주파수는 2의 배수입니다. 루프 사이클에서 주파수는 3/2의 배수입니다 : 2의 배수도 3/2의 배수입니다. 이 주장은 고려 된 다른 보고서에도 적용됩니다.
따라서 모든 올바른 범위 (3, 4, 5 번째)를 유지하려고하는 도구를 튜닝하려는 튜너는 불용성 문제에 직면 할 것이며 여전히 타협을 추구해야합니다. 이것은 기질과 같습니다.
뮤지컬 세트 이론은 수학적 집합 이론의 언어를 기본 방법으로 사용하여 음악 객체를 구성하고 그 관계를 설명합니다. 음악 세트 이론을 사용하여 음악 (일반적으로 atonal) 음악의 구조를 분석하려면 일반적으로 동기 또는 화음을 형성 할 수있는 일련의 음으로 시작합니다. 전치 및 반전과 같은 간단한 조작을 적용하여 음악의 깊은 구조를 발견 할 수 있습니다. 조 변경 및 반전과 같은 작업은 집합의 톤 간 간격을 유지하기 때문에 등각 투영이라고합니다.
뮤지컬 세트 이론의 방법을 확장하여 일부 이론가는 음악을 분석하기 위해 추상적 대수를 사용했습니다. 예를 들어, 동등한 템퍼링 옥타브의 피치 클래스는 12 개의 요소가있는 아벨 그룹을 형성합니다. 자유로운 아벨 그룹의 관점에서 억양만을 기술 할 수 있습니다.
변형 이론은 David Lewin이 개발 한 음악 이론의 한 분야입니다. 이 이론은 음악 객체 자체보다는 음악 객체 간의 변형을 강조하기 때문에 큰 보편성을 허용합니다.
이론가들은 또한 더 복잡한 대수 개념의 음악 응용을 제안했다. 정규 기질에 관한 이론은 광범위하고 정교한 수학으로 광범위하게 개발되었습니다. 예를 들어 각 정규 기질과 Grassmannian의 합리적인 점을 연관 지을 수 있습니다.
예를 들어 리만 제타 (Reemann zeta) 함수의 이론을 옥타브의 동등한 분할에 대한 연구에 적용함으로써 실제의 복잡한 분석도 사용되었습니다.
현대 음악 수학의 발전 (분석에서 구성, 음악 해석에 몸짓까지)은 주로 미네소타 대학의 수학자이자 음악가 인 게리노 마 젤라 (Guerino Mazzola) 교수의 공헌에 기인합니다.
SMCM, 음악 및 수학 컴퓨팅 학회는 수학 및 음악 연구의 결과에 관한 격년제 컨퍼런스를 주최합니다.