音楽理論は現代の数学では公理的な基盤を持っていませんが、音楽的な音の基礎は数学的に（音響的に）記述することができ、 “数多くの特徴の顕著な配列”を示します。音楽の要素、リズム、メーター、音符のピッチ、脈拍のテンポなどは、時間と周波数の測定に関連しており、ジオメトリでの類推が可能です。
音楽と数学との密接な関係は、古代から古くから研究されてきました。古典的な例は、ピタゴラスの学校によって発見されました。ピタゴラスの発見（ピタゴリア人はそれらに神秘的な意味を割り当てます）によれば、スケールの異なる音調は、整数の間：半分のホルターが上のオクターブを鳴らし、4分の3に、4分の1に減らし、5分の2の3分の1に減らします。
音楽分野で応用されている数学の多くは、音響物理学とそれに関連する問題の研究から来ています。音楽計器の同じリズミカルな分割が数学的な割合で示されている場合、ノイズの基底には無数の定常波の寄与があり、高調波解析によってあらゆる音を正弦波に分解できることがわかりますフーリエ変換アルゴリズムで数学的に表現される）。
音楽の作曲と聴解の新しい方法を構築し、伝えようとする試みは、集合理論、抽象代数、数論の音楽応用を導いた。いくつかの作曲家は、黄金比とフィボナッチ数を作品に取り入れました。
より抽象的なやり方で、音楽はまた、構成的な側面（様々な高さの間、時間の異なる時、および異なる演奏者の声の間の音の分配を必要とする）において数学に関連していた。このような音楽分析には何世紀にもわたって数々のミュージシャンがいました（バッハの教会の音楽的な構成を考えてください）。彼は1900年代には新しい音楽を知っていました。例えば、ダルムシュタットのKranischstein Institute、エレクトロニックミュージックスタジオ、ミラノの音楽音声学センター、パリのIRCAM）。
古代中国人、インド人、エジプト人、メソポタミア人は音の数学的原理を研究したが、古代ギリシャのピラトゥス人（特にPhilolausとArchytas）は、数学的比喩特に小整数の比率を決定する。彼らの中心的な教義は、「すべての性質は数から生じる調和から成っている」ということでした。
プラトンの時代から、調和は物理学の基本的な枝と考えられ、現在は音楽音響学として知られていました。初期のインドと中国の理論家は同様のアプローチを示しています。すべては、高調波やリズムの数学的な法則が、世界を理解するだけでなく、人間の幸福にとって基本的であることを示しました。孔子は、ピタゴラスのように、1,2,3,4の小さな数字をすべての完成の源泉とみなしました。
17世紀から、多くのミュージシャンが確固たる数学的知識のテストに遭遇しました（例えば、Giuseppe Tartiniは、1754年の真のハーモニー科学、1971年に公式化されたMusic in Iannis Xenakis、Pierre Boulez and Philipガラスは数学を卒業し、彼らの芸術に触発されている）。
リズミカルな構造の境界がなくても、パルスの繰り返し、アクセント、フレーズ、デュレーションの基本的な均等で規則的な配置は不可能です。現代的なメーターやメジャーのような用語の音楽的使用は、天文学とともに、数学、算術、物理学の基礎となる時間と周期性の正確な測定の音楽の歴史的重要性を反映しています。
音楽形式の要素は、しばしば、厳密な比率または超構造（数2と3の累乗）を構築する。
ミュージカル形式は、短い曲を延長する計画です。 「計画」という用語は、音楽形式がしばしば比較されるアーキテクチャでも使用されています。建築家と同様に、作曲家は、作品が意図する機能と利用可能な手段、経済を練習し、繰り返しと秩序を利用することを考慮する必要があります。バイナリと3値（ “2倍”と “3倍”）として知られている一般的な形式の形式は、音楽の明瞭さと魅力に小さな積分値が重要であることを再度示しています。
ビート現象は、2つの同様の周波数音符（同一ではない）が演奏される場合である。最初の2つの音に近い周波数の音が聞こえるという印象がありますが、最初の2つの音の周波数が近いほど時間の経過と共にゆっくりと振動します。このため、ビートを使用して、楽器をチューニングするときに音が下がったり上がったりするかどうかを判断します。
この現象の説明は、音波の物理的性質に部分的にあり、部分的には耳が音を知覚する方法にもあります。 2つの純粋なトーンの重なり（すなわち、それらが正弦波によって表されることができる）に注意を集中させ、単純化するために、
音階は、音楽の作成や記述に使用されるピッチの離散セットです。西洋の伝統における最も重要なスケールは調音尺度であるが、多くのものが様々な歴史的時代および世界の一部で使用され提案されている。各ピッチはヘルツ（Hz）で表される特定の周波数に対応し、時にはサイクル毎秒（c.p.s.）と呼ばれることもある。音階には繰り返しの間隔があり、通常はオクターブです。任意のピッチのオクターブは、与えられたピッチの正確に2倍の周波数を指す。
後続のスーパーオクターブは、基本周波数の4倍、8倍、16倍などで検出されるピッチです。基本周波数の半分、四分の一、8分の1の周波数のピッチはサブオクバブと呼ばれます。与えられたピッチが一致しているとみなされた場合、そのオクターブがそうでないと見なされる音楽的調和のケースはありません。したがって、音符とそのオクターブは、一般に、音楽システムで同様の名前が付けられています（たとえば、すべてがdohまたはAまたはSaと呼ばれます）。
周波数帯域幅として表現すると、オクターブA2-A3は110Hzから220Hz（スパン= 110Hz）に及ぶ。次のオクターブは220 Hz〜440 Hz（スパン= 220 Hz）です。 3番目のオクターブは440Hzから880Hz（スパン= 440Hz）のように続きます。連続する各オクターブは、前のオクターブの2倍の周波数範囲に及んでいます。
スケールを記述する際の正確なピッチ自体ではなく、ピッチ（間隔と呼ばれる）間の関係や比率に関心があることが多いため、すべてのスケールピッチを特定のピッチからの比率で参照するのが通常です。 1の値（多くの場合、1/1と書かれている）が与えられ、一般的に音階の強壮剤として機能する。間隔のサイズの比較には、セントがよく使用されます。
チューニングシステムには2つの主要なファミリーがあります：等気質と単なるチューニング。等気質尺度は、オクターブを対数尺度で等間隔に分割することによって構築され、完全に均等に分割された尺度となるが、周波数の比は非合理的な数である。スケールだけでは、周波数を有理数で掛け合わせることで、周波数間の単純な比になりますが、スケールのばらつきは不均一です。
等気質チューニングとちょうどチューニングとの主な違いの1つは、2つの音が一緒に発音されるときの音響ビートの違いであり、これは主観的な協調および不調和の経験に影響を及ぼす。これらのシステムと一般的な大多数の音楽は、周波数比が2：1と定義されている1オクターブごとに繰り返されるスケールを持っています。言い換えれば、周波数が2倍になるたびに、与えられたスケールが繰り返されます。
以下は、イントネーションと均等気質の違いを示すOgg Vorbisのファイルです。差を選ぶ前に、サンプルを数回演奏する必要があるかもしれません。
2つの正弦波が連続して演奏されています。このサンプルは550 Hz（ちょうどイントネーション・スケールのC＃）に半音ステップ、続いて554.37 Hz（等気音階のC＃）の半音ステップが続きます。
A440ペダルに対して設定された同じ2つの音符 – このサンプルは「ダイアド」で構成されています。下の音符は定数A（どちらのスケールでも440Hz）で、上の音符は最初の1 “の場合は均等に調整されたスケールのC♯で、最後の1″の場合はイントネーションスケールのC♯です。位相差により、前のサンプルよりも遷移を選択するのが容易になります。
イントネーションの最も一般的な形式である5リミット・チューニングは、単一の基本周波数の規則的な倍音であるトーンを使用するチューニングのシステムです。これは、ヨハネス・ケプラーが惑星運動に関するハーモニスツ・ムンディ（1619年）に示したスケールの1つです。同じスケールはスコットランドの数学者で音楽理論家のアレクサンダー・マルコム（Alexander Malcolm）によって1721年に「Musiqueの論文：投機的、実践的、歴史的」、そして理論家Jose Wuerschmidtによって20世紀に転載された。その形はインド北部の音楽に使われています。
アメリカの作曲家であるテリー・ライリーも、彼の「新しいアルビオンのハープ」で逆の形を使っていました。コード進行がほとんどまたはまったくない場合、イントネーションだけで優れた結果が得られます。可能であれば、声やその他の楽器はイントネーションに重点を置いています。しかし、ピアノのような固定された同調された楽器はキーを変更できないので、2つの異なるトーン間隔（9：8および10：9）を与える。比率で与えられたスケールでノートの周波数を計算するには、周波数比にトニック周波数を掛けます。例えば、A4の強壮剤（中間のCより上の自然）では、周波数は440Hzであり、その上に5番目に調整された（E5）は単純に440×（3：2）= 660Hzである。
ピタゴラスのチューニングは、完璧なコンソーニアンス、（完全な）オクターブ、完璧な第五、そして完璧な第四にのみ基づいて調整しています。したがって、主要3分の1は3分音符ではなく、文字通り「2つの音」とみなされ、独立した高調波5分4秒= 80:64ではなく、（9：8）2 = 81:64と見なされます。全体のトーンは、完全な2つの5分の1（3：2）2 = 9：8に由来する2次的な間隔です。
ちょうど主要な3分の5と4と3分の6の5分の6は、ピタゴラスの等価物81:64と32:27とは別に、シントンコンマ81:80です。 Carl Dahlhaus（1990、p。187）によれば、「従属第三はピタゴラスに適合し、独立した第三のものは区間の高調波同調に一致する」
西洋の一般的な練習曲は通常、イントネーションでは演奏できませんが、体系的に調整されたスケールが必要です。焼き戻しには、気質の不規則さや規則的な気質のいずれかが含まれていてもよいし、何らかの形の等気質のものであってもよいし、他の規則的なものであってもよい。例えば、コード2のルートは、ドミナントより5番目にチューニングされていれば、トニックの主要な全体のトーン（9：8）になります。しかし、わずか4分3秒以下のわずか3分の6（5分の6）以下に調整された場合、トニックからの間隔は小さな全体のトーン（10：9）に等しくなります。 Meantoneの気質は、9：8と10：9の差を減らします。それらの比（9：8）/（10：9）= 81：80は、調和として扱われます。区間81:80は、デジムスのコンマまたはカンマと呼ばれ、意味のある気質のキーカンマです。
等気質では、オクターブは対数スケールで等しい部分に分割されます。任意の数の音符（例えば、24トーンのアラートトーンシステム）で等しい気質のスケールを構築することは可能ですが、最も一般的な数は12であり、これは等しい気質のクロマチックスケールを構成します。西洋音楽では、特に指定されない限り、12の区間に分割することが一般的に想定されている。
有彩色のスケールでは、オクターブは12の等分に分割され、各半音（ハーフステップ）は2の12のルートの間隔であるため、これらの等しいハーフステップのうちの12つが正確に1オクターブになります。フレット付き楽器では、フレットが弦全体に均等に整列するように均等な気質を使用すると非常に便利です。ヨーロッパの音楽の伝統では、楽器のキーボードなど、他の楽器よりもはるかに早く、リュートやギターの音楽には同等の気質が使用されていました。この歴史的な力のために、12トーンの等気質は現在、西洋人、そして非西洋人の世界の支配的イントネーションシステムです。
同様に焼き払った秤が使用され、様々な他の等間隔の数を用いて計器が構築されている。 Guillaume Costeleyが16世紀に最初に提案し使用した19の等気質は、通常の12半音の等気質よりも優れた3分の1とずっと良い3分の1を提供する19の等間隔の音色を使用します。全体の効果はより大きな協和の1つです。アラビア音楽の教育と表記には24の均等な音調が24の均等な音調で広まっています。しかし、理論的にも実践的にも、アラビア音楽のイントネーションは、均等に調律されたシステムの非合理的な比率とは対照的に、合理的な比率に一致します。
同じように調子を変えたクォントーンに類似するものはアラビアイントネーションシステムには全く存在しませんが、3/4トーンやニュートラルセカンドのアナログが頻繁に発生します。しかし、これらのニュートラルな秒は、maqamとgeographyに依存する比率がわずかに異なります。確かに、アラビアンの音楽史家ハビブ・ハッサン・トーマは、「この音楽的ステップの偏差の幅は、アラビア音楽の独特の味の重要な要素である」と書いている。オクターブを同じサイズの24四分の一のトーンこの音楽文化の最も特徴的な要素の1つを放棄することだ」と述べた。
次のグラフは、3つの重要なハーモニックアイデンティティ、つまり第3次高調波（5次高調波）、完全5次高調波（3次高調波）、高調波7次高調波（7次高調波）の近似精度を示しています。 [注：バーの上の数字は、均等にテンポ調整された縮尺を指定します（つまり、12は12テンポ均等縮尺などを指定します）。
イントネーションの問題は、上述したように、ピアノや弦などの弦楽器を異なる色合いで演奏できるように調整する必要があることに由来します。 2つの方法のいずれも、以下の手順から分かるように、これまでのところ、この問題を精度で解決することはできない。
固定されたチューニング器具をチューニングする1つの方法は、ベースロープから5番目の範囲を保存することです。このようにして、それはいわゆるループサイクルに従うことによって与えられます：Do、Sol、King、La、Me、Si、Do、Do、Solò、Reè、La、Fa（またはMiè）、7オクターブは基本波注意。実際には、自然気質とピタゴリアンの両方で、オクターブ周波数は2の倍数であるのに対して、Do8はループサイクルから得られたものと一致することはありません。ループサイクルにおいて、周波数は3/2の倍数であり、2のべき乗も3/2の倍数ではない。この議論は、考慮される他の報告書にも適用される。
したがって、すべての適切な範囲（3番目、4番目、5番目）を維持しようとするツールをチューニングしたいチューナーは、不溶性の問題に直面し、依然として妥協を求めるべきであることがわかります。これは気質に等しいものです。
ミュージカルセット理論は、数学的集合理論の言語を基本的な方法で使用して、音楽オブジェクトを構成し、それらの関係を記述する。音楽セット理論を使って（典型的にはatonal）音楽の構造を分析するには、通常、動機または和音を形成することができる一連の音から始めます。移調や反転などの簡単な操作を適用することで、音楽の深い構造を発見することができます。転置や反転などの操作は、セット内のトーン間の間隔を保持するため、アイソメトリと呼ばれます。
ミュージカルセット理論の方法を拡張して、一部の理論家は抽象代数を使って音楽を分析しています。たとえば、均等にテンダーされたオクターブのピッチクラスは、12の要素を持つアーベルグループを形成します。無料のアーベルグループに関してイントネーションだけを記述することは可能です。
変容理論はDavid Lewinによって開発された音楽理論の枝である。この理論は、音楽オブジェクト自体ではなく、音楽オブジェクト間の変換を強調するため、大きな普遍性を可能にします。
理論家はまた、より洗練された代数的概念の音楽応用を提案している。規則的な気質の理論は、洗練された数学の広い範囲で、例えばグラスマンの合理的な点と各規則的な気質を関連付けることによって広範に発展してきました。
例えば、リーマンゼータ関数の理論をオクターブの等分の研究に適用することによって、実際のおよび複雑な分析が利用されている。
現代音楽数学の発展（分析から構成、音楽解釈のジェスチャーまで）は、主に数学者でミュージシャンであるミネソタ大学の教授であるゲリノ・マッツォーラの貢献によるものです。
SMCMは、数学と音楽の研究の結果について、毎年2回の会議を開催しています。