数学と芸術はさまざまな形で関連しています。数学は、美しさに動機付けられた芸術と言えます。数学は、音楽、舞踊、絵画、建築、彫刻、織物などの芸術において認識されます。しかし、この記事では、視覚芸術の数学に焦点を当てています。
アートと数学は、しばしばプラトンの美と真実の類推に関連している。この質問の前提はしばしば金の数を呼び出す。 Phiは、ルネサンス美術の彫刻や絵画作品で繰り返し存在することによって、アートに最も関連する数学定数です。ゴールデン比は、観察者の味を満足する高調波の割合を得るためのルールとして考えられている。このパラダイムは、芸術史や現代の美学革命における数学の役割を理解したい場合には部分的です。創造的なプロトコル、構造、形態形成に疑問を呈する方が効率的です。したがって、プラトニック施設を放棄して、それらが出現し、知覚される形態と方法についての質問に賛成する必要がある。芸術と数学は、数学者と芸術家が相互にサポートしているだけでなく、用途やプロセスの周りにも関心を持っています。多くの現代的な審美的プロジェクトは、多かれ少なかれ数学的実践から来ているが、それらのすべては数学的文化の驚くべき程度を目の当たりにしている。美しさと調和質問の形態や構造の問題は、数学は現実、その表現の複雑さを調査するために多くのツールを提供していますが、またと構造、形状を発明する能力にプロセス。
数学と芸術は長い歴史的関係を持っています。ギリシャの彫刻家Polykleitosが理想的な男性ヌードの比率1：√2に基づいて比率を指定してキヤノンを書いた紀元前4世紀以来、アーティストは数学を使用してきました。確かな証拠がなく、古代の芸術と建築における黄金比の使用について、永続的な主張がなされています。イタリアのルネッサンスでは、ルパ・パチョーリは、Leonardo da Vinciの木版画で描かれたDe Divina Proportione（1509）という有力な論文を執筆しました。イタリアの画家ピエロ・デッラ・フランチェスカ（Piero della Francesca）は、De Prospectiva Pingendiやその絵画のような論文の視点からユークリッドの考えを展開しました。彫刻家のAlbrechtDürerは、彼の作品Melencolia Iの数学への言及を多くしました。現代では、グラフィック・アーティストMC Escherは、数学者HSM Coxeterの助けを借りて、テッセレーションと双曲線幾何学の使用を集中的に行いました。 van DoesbergとPiet Mondrianは幾何学的形式を明示的に受け入れている。数学はキルティング、編み、クロスステッチ、かぎ針編み、刺繍、織り、トルコと他のカーペット製作、キルムなどの繊維工芸に影響を与えました。イスラム美術において、対称性は、ペルシア語とモロッコの象徴タイル、Mughal jaaliの彫刻された石のスクリーン、広範囲のムクタルナボールティングなど、さまざまな形で明らかです。
François Morelletは、数学と幾何学に常に影響を受けていました。彼のウェブサイトから引用：FrançoisMorelletの作品は、システムに従って実行されます。各選択肢は、事前に確立された原則によって定義されます。彼は予期せぬ映像を与えるチャンスの一部を残しながら、芸術的な創作を制御する印象を与えたい。彼はシンプルな形、少数の無地の色、基本的な構成（並置、重なり、偶然、干渉、断片化）を使用します。彼はこうして彼の最初の “フレーム”を作り、黒い平行線のネットワークは、絵の表面全体を覆う決められた順序で重ね合わされています。これらのシステムは、レーモン・クノーでウリポ（潜在的な文学のワークルーム）によって提案されたと説明した構造を思い出させる：「私たちの仕事の目的は何ですか？作家に新しい「構造」、数学的性質、あるいは新しい人工的または機械的過程を創作し、文学的活動に貢献すること。その後、FrançoisMorelletは数学的宇宙に基づくシステムを引き続き使用します。
19世紀にGauss、Lobatechevsky、Riemannの作品は、空間次元と異質な幾何学の概念を一般化しました。アルバート・アインスタイン相対性理論公募の理論の開発に新たな観測は、いくつかのアーティストが表現の他のモードを見つけるためにつかむパラダイム栽培、時空のアイデアがある肥沃な若いBRAQUEとピカソユークリッドではなく球状または双曲線である空間について聞く。これは想像力が発生し、もう1つは二十の最初の十年の間、バトーLavoirにで分析キュビスムを実現マルセル・デュシャンの階段やブラックとピカソの精液の作品ダウンヌードで見つけるの記述泉の新しいモードを提供しています世紀。この空間概念は、20世紀の美術史「アヴィニヨンの若い女性たち」の基本的な仕事に体現されます。
数学は、線形パースペクティブ、対称性解析、多面体やモービアスなどの数学的オブジェクトなどの概念ツールを使用してアートに直接影響を与えました。 Magnus Wenningerは、もともと教授のモデルとして、カラフルな星座多角形を作成します。反復や論理的パラドックスなどの数学的概念は、Rene Magritteの絵画やM. C. Escherの彫刻で見ることができます。コンピュータアートは、マンデルブロ集合を含むフラクタルを使用することが多く、セルオートマトンなどの他の数学的オブジェクトを探索することがあります。議論の余地のあることに、David Hockneyの作家は、ルネサンス以来のアーティストはカメラのルシダを使ってシーンの正確な表現を描いていると主張している。建築家のフィリップ・ステッドマン（Philip Steadman）も同様に、ヴェルミールは独特に観察された絵画の中でカメラの陰影を使用したと主張した。
他の関係には、X線蛍光分光法によるアートワークのアルゴリズム分析、Javaのさまざまな地域の伝統的なバティックにはフラクタル次元があり、数学研究への刺激、特にFilippo Brunelleschiの視点理論があり、最終的にGirard Desarguesの射影ジオメトリ。最終的にピタゴラスの音楽におけるハーモニーという概念に基づいた永続的な見方は、すべてがNumberによって整理されており、神は世界の幾何学者であり、したがって世界の幾何学は神聖であると主張しています。古代の日々。
歴史における数学と芸術：
高齢者Polykleitos（c.450-420 BC）は、Argosの学校のギリシャの彫刻家であり、現代のPhidiasです。彼の作品や像は主に青銅で構成され、選手たちのものでした。哲学者とゼノクラテスの数学者によると、ポリクリトスは、アルゴスのヘリオオンにおけるドリューフォルスとヘラの像に関する古典古代の最も重要な彫刻家の一人としてランクされています。彼の彫刻はフィディアスのものほど有名ではないかもしれないが、彼らは非常に賞賛されている。 Polykleitosのキヤノンでは、彼が男性のヌードの「完璧な」解剖学的割合を記録するために書いた論文であるPolykleitosは、人体を彫刻するための数学的アプローチを提供しています。
Polykleitosは、人間の体の比率を決定するための基本モジュールとして、小指の遠位指節を使用します。 Polykleitosは、第2の指節の距離を得るために、遠位指節の長さに2の平方根（√2）を乗算し、第3の指骨の長さを得るために長さを√2で再び掛けます。次に、指の長さを√2倍して、指の付け根から尺骨までの長さを求めます。 Polykleitosが腕、胸、体などを形成するまで、この幾何学的な一連の測定が進行する。
Polykleitosのキヤノンの影響は、古典ギリシア、ローマ、ルネサンスの彫刻、Polykleitosの処方の後の多くの彫刻家には莫大です。 Polykleitosのオリジナル作品は生き残ることはできませんが、Romanのコピーは物理的な完璧さと数学的精度の理想を証明しています。いくつかの学者は、ピタゴラスの思想がポリクライトスのキヤノンに影響を与えたと主張している。キヤノンは比、比例、対称性（ギリシャ語の割合についてはギリシャ語）などのギリシャ語の幾何学の基本的な数学的概念を適用し、それを一連の連続的な幾何学的進展を通して人間の形態を記述できるシステムに変えます。
古典的な時代には、線形の視点で遠くの人物を小さくするのではなく、画家は主題に応じてオブジェクトと図形をサイズ変更しました。中世では、いくつかのアーティストが特殊な強調のために逆視点を使用していました。イスラム教徒の数学者Alhazen（Ibn al-Haytham）は、1021年の彼の光学書典で光学の理論を述べたが、それをアートに応用したことはなかった。ルネサンスは、古典ギリシャとローマの文化とアイデアを再構築し、その中で自然と芸術を理解する数学の研究を見た。中世後期とルネッサンス時代の数学を目指す2つの大きな動機が数学に向かった。まず、画家は、2次元キャンバス上に3次元シーンを描く方法を理解する必要がありました。第二に、哲学者と芸術家は、数学は物理世界の真の本質であり、芸術を含む宇宙全体が幾何学的に説明できると確信していました。
視点の基礎はGiotto（1266/7 – 1337）に到着しました。遠くの線の配置を決定する代数的方法を使って視点を描こうとしました。 1415年、イタリアの建築家Filippo Brunelleschiと彼の友人Leon Battista Albertiは、遠くの物体の見かけ上の高さを見つけるために、ユークリッドによって作成された同様の三角形を使ってフィレンツェの視点を適用する幾何学的方法を実演しました。ブルネレスキ自身の視点の絵は失われますが、マサチョの聖三位一体の絵は職場での彼の原則を示しています。
イタリアの画家Paolo Uccello（1397-1475）は、San Romanoの戦い（c。1435-1460）の絵に描かれているように、視点に魅了されました。
画家ピエロ・デッラ・フランチェスカ（c.1415-1492）は、イタリアのルネサンス思想におけるこの新しい変化を実証しました。彼は、Prospectiva Pingendi（ペインティングの展望について）、Trattato d’Abaco（Abacus Treatise）、De Corporibus regularibus（Regular Solids）などの固体幾何学と視点に関する本を書く専門家の数学者および幾何学者でした。画家の生存者であるバサリの歴史家は、ピエロを「時代の偉大な幾何学」と呼んでいます。ピエロはペルージャのポリプチ、サンアゴスティーノの祭壇画、キリストの鞭打ちなど、彼の絵画に興味を持っています。幾何学に関する彼の研究は、De Divina ProportioneとLeonardo da VinciのLuca Pacioliを含む後の数学者やアーティストに影響を与えた。ピエロは古典的な数学とアルキメデスの研究を学びました。彼は “abacus schools”で商業的な算術を教えられた。彼の著作は、おそらくLeonardo Pisano（フィボナッチ）の1202 Liber Abaciを含む、小学校の教科書のように書かれています。線形の視点は芸術界に導入されたばかりだった。 Albertiは、1435年のDe pictu画像で説明しています。「光線は、観測されたシーンの点から目に向かって直線的に移動し、目を頂点として一種のピラミッドを形成します。直線的なパースペクティブで構築されたペイントは、そのピラミッドの断面です。
De Prospectiva Pingendiでは、ピエロは視点に立った人物の姿が数学的な証拠になる方法を経験的に観察しています。彼の論文はユークリッドの静脈から始まります。彼はその点を「目で理解できる最も小さなもの」と定義しています。彼は演繹的な論理を用いて、読者を3次元物体の遠近法表現に導く。
アーティストDavid Hockneyは、著書「Secret Knowledge：Old Mastersの失われた技術の再発見」で、1420年代からカメラのルチアを使い始めたことで、精度とリアリズムの急激な変化が起こったと主張しました。 Ingres、Van Eyck、Caravaggioなどがあります。批評家はホックニーが正しいかどうかには同意しない。同様に、建築家のフィリップ・ステッドマンも、ヴェルマーがカメラの陰影である別の装置を使って、独特に観察された絵を描くのを手伝っていると論争しました。
1509年、Luca Pacioli（c。1447-1517）は、人間の顔を含む数学的および芸術的な割合にDe divina比例を発表した。レオナルド・ダ・ヴィンチ（Leonardo da Vinci、1452-1519）は、1490年代にパキオリのもとで学んだときに、規則的な立体の木版でテキストを説明しました。レオナルドの図はおそらく、骨格の固体の最初の図です。これらは、菱形十面体のように、お互いの上に重ね合わせて視点を示すために描かれた最初のものでした。作品はPiero della Francesca、Melozzo daForlì、Marco Palmezzanoの作品の視点を論じている。ダヴィンチはPacioliのSummaを研究し、そこから比率表をコピーした。モナリザと最後の晩餐では、ダヴィンチの作品は、見かけの深さを提供する消失点と線形の視点を組み込んだ。最後の晩餐は、12：6：4：3の厳密な比率で構成されています。ラファエルの学校のアテネは、ピタゴラスに神聖な、理想的な比率のタブレットを含むピタゴラスを含んでいます。ビートルズの男性では、レオナルドは、革命的に男性の姿を2度見せて、円と正方形の両方に中心を置く、ローマの建築家ヴィトゥルビウスのアイデアを表現しました。
15世紀の早い時期に、曲線歪みに興味のあるアーティストによる曲線的な視点が絵画の中に入った。 Jan van Eyckの1434年のArnolfini Portraitには、現場の人々が映し出された凸面鏡があります。一方、Parmigianinoの凸面鏡の自画像、c。 1523-1524年、中心には非常に歪んでいない顔が描かれています。
3次元空間は、技術的描写と同様に、視点以外の手段によって芸術において説得力をもって表現することができる。 18世紀の要塞を描写するためにフランス軍の芸術家が使用した奇妙な視点を含む斜め投影は、第1世紀または第2世紀から18世紀にかけて中国のアーティストによって継続的かつ遍在的に使用されました。中国は古代ローマから取得した技術をインドから取得した。斜め投影は、鳥居清（1752-1815）の浮世絵の絵など、日本の美術に見られます。
黄金比（約1.618に相当）はユークリッドに知られていた。黄金比は現代において、エジプト、ギリシャなどの古代の芸術家や建築家に信憑性のある証拠はなく、永久に主張されてきました。この主張は、古代ギリシア人にとっては「比例ではなくいずれの方向への過剰の回避」を意味する「黄金の平均」との混乱から生まれるかもしれない。 19世紀からのピラミッド学者は、ピラミッド設計における黄金比の数学的根拠が疑わしいと主張してきた。アテネの5世紀の紀元前の寺院であるパルテノンは、ファサードとフロアプランで黄金比を使用すると主張されていますが、これらの主張も測定によって裏付けられています。チュニジアのカイロアンの大モスクも同じように黄金比を使用していると主張されているが、モスクの元の部分にはその比は現れていない。フレデリック・マコディ・ルンドの建築家の歴史家は、シャルトル（12世紀）の大聖堂、ラオンのノートルダム（1157-1205）、ノートルダム・ド・パリ（1160）は黄金比に従って設計されており、彼の事件をする。他の学者は、1509年のパキオリの作品が完成するまで、アーティストや建築家には知られていなかったと主張しています。例えば、LaonのNotre-Dameの正面の高さと幅は、1.618ではなく、8/5または1.6の比率を持っています。このようなフィボナッチ比は、すぐに黄金比と区別しにくくなります。パチョリの後、レオナルドのモナリザを含む美術作品では、黄金比がはっきりと分かります。
オランダの建築家Hans van der Laan（もともとフランス語でle nombre radiantと名付けられた）によって、1928年には他の唯一のmorphic numberである別の比率がプラスチックナンバーと命名されました。その値は、3次方程式の解です
平面対称性は、カーペット、格子、テキスタイルおよびティリングのようなアートワークで数千年にわたって利用されてきた。
パイルカーペットや平織りキルムのような多くの伝統的なラグは、中央欄とフレーミング欄に分かれています。両方とも対称性を持つことができますが、手織りのカーペットでは、小さな細部、模様の変化、およびウィーバーによって導入された色の変化によって、これらはしばしばわずかに壊れます。アナトリアのキルンでは、使用されているモチーフは通常対称です。ストライプ、モチーフの行と交互するストライプ、およそ六角形のモチーフのパックされた配列のような配列を伴う一般的なレイアウトも通常存在する。フィールドは、一般的にpmmなどの壁紙グループを持つ壁紙としてレイアウトされますが、境界はフリーズグループpm11、pmm2またはpma2のフリーズとしてレイアウトされます。トルコと中央アジアのキルンは、しばしば異なるフリーズグループに3つ以上の境界を有する。ウィーバーは確かにその数学の明確な知識なしに、対称性の意志を持っていた。数学者で建築家の理論家ニコス・サリンガロス（Nikos Salingaros）は、17世紀最高のコンヤ2メダリオン・カーペットのような「偉大なカーペット」の「強力な存在」（美的効果）は、建築家クリストファーの理論に関連する数学的手法アレキサンダー。これらの手法には、反対の色値;相補的な形状を使用するか、または鋭い角度の方向性をバランスさせるかにかかわらず、幾何学的に領域を区別する。小規模な複雑さ（ノットレベルから上方への）と、小規模および大規模の対称性の両方を提供します。 （各レベルから次のレベルへの比が約2.7の）異なるスケールの階層で要素を繰り返す。 Salingarosは、「すべての成功したカーペットは、上記の10のルールのうち少なくとも9つを満たす」と主張し、これらのルールからメトリックを作成することが可能であると示唆している。
宝石や宮殿を飾る大理石の彫刻が施されたインドのJaali作品には、精巧な格子が見られます。中国語の格子は、常にいくつかの対称性を持ち、17の壁紙グループのうち14つに存在します。それらはしばしば鏡、二重鏡、または回転対称性を有する。中央のメダリオンを持つものもあれば、フリーズグループに国境を持つものもあります。多くの中国語の格子は、Daniel S. Dyeによって数学的に解析されている。彼は四川を船の中心として特定している。
対称性は、キルティング、編み、クロスステッチ、かぎ針編み、刺繍および織りを含む繊維技術において顕著であり、純粋に装飾的であるか、または状態の痕跡であり得る。回転対称性は、ドームのような円形の構造に見られる。これらは、1619年のイスファハンのシェイク・ロトフォラ・モスクのように、内側と外側に対称的な模様が飾られていることがあります。ボビンやタットを使って作られたテーブルクロスやテーブルマットのような刺繍やレースのアイテムは、数学的に探究されているさまざまな反射と回転の対称性を持つことができます。
イスラム芸術は多くのその芸術の対称性、特にギルティリングを利用している。これらは、5つのタイル形状、すなわち正十角形、細長い六角形、蝶ネクタイ、菱形、正五角形のセットを使用して形成される。これらのタイルのすべての辺は同じ長さです。すべての角度は36°（π/ 5ラジアン）の倍数で、5倍と10倍の対称性を提供します。タイルはストラップライン（ギリス）で装飾されており、一般的にタイルの境界よりも目に見えます。 2007年、物理学者のピーター・ルーとポール・スタインハートは、ギリシャは準結晶ペンローズのティリングに似ていると主張した。精巧な幾何学的なゼリーのタイル加工は、モロッコの建築における特有の要素です。 Muqarnasの金庫は三次元であるが、二次元で幾何学的な図形の図面で設計された。
プラトン的な立体や他の多面体は、西洋の芸術における繰り返しのテーマです。例えば、ヴェネツィアのサンマルコ大聖堂の床にあるパオロ・ウチェッロ（Paolo Uccello）に由来する小さな星座十二面体を特徴とする大理石のモザイクに見られる。レオナルド・ダ・ヴィンチのレギュラー多面体図は、ルカ・パチョリの1509冊「神の比例」のイラストとして描かれています。 1495年に描かれたヤコポ・デ・バルバリのパコリの肖像画のガラスの菱形八面体として。アルブレヒト・デューラー（AlbrechtDürer）の彫刻メレンコリーアI（Melencolia I）の切頭多面体（および様々な他の数学的オブジェクト）サルバドール・ダリの絵画「最後の晩餐」では、キリストとその弟子たちが巨大な十二面体の中に描かれています。
AlbrechtDürer（1471-1528）はドイツのルネッサンス版画家であり、1525年のUnderweysung der Messung（Measurement on Education）の多面体文学に重要な貢献をしており、線形のパースペクティブ、建築の幾何学、プラトニックソリッド、正多角形。デュレルは、ルカ・パチョリとピエロ・デッラ・フランチェスカがイタリア旅行の影響を受けた可能性が高い。 Underweysung der Messungの視点の例は未開発であり、不正確さを含んでいるが、多面体の詳細な議論がある。 Dürerはまた、多面体ネットの考え方をテキストで紹介した最初のもので、多面体は印刷のために平らになっています。 Dürerは1528年にVierBüchervon Menschlicher Proportion（人間の割合に関する4つの書籍）と呼ばれる人間の割合に関する別の有力な本を出版した。
Dürerの有名な彫刻Melencolia Iは、三角形の台形台形と魔法の四角形で座っている不満な思想家を描いています。これらの2つのオブジェクトと彫刻全体は、Peter-Klaus Schusterによる2巻の本や、Erwin PanofskyのDürerのモノグラフにおける影響力のある議論など、他のほとんどの印刷物の内容よりも現代的な解釈の対象となっています。サルバドール・ダリのコーパスHypercubusは、4次元の正多面体である超立方体の展開された3次元ネットを描いています。
伝統的なインドネシアのワックスレジストバティックの布には、ワックスレジストを塗布する際の不正確さやワックスの割れによって生じるランダムな変化など、抽象的で幾分混沌とした要素を持つ表現モチーフ（花や植物の要素など）が組み込まれています。バティックのデザインはフラクタル次元が1から2の間で、地域のスタイルによって異なります。たとえば、Cirebonのバティックはフラクタル次元が1.1です。中部ジャワ島のジョグジャカルタとスラカルタのバティックはフラクタル次元が1.2〜1.5である。 Javaの北海岸と西ジャワのTasikmalayaのLasemのバティックはフラクタル次元が1.5〜1.7です。
近代芸術家のJackson Pollockのドリップペインティング作品は、フラクタル次元でも同様に独特です。彼の1948年のナンバー14は、1.45という海岸線のような次元を持っていますが、後の絵画はフラクタル次元が高くなり、より精巧なパターンになりました。彼の最後の作品の1つ、Blue Polesは創造に6ヶ月かかり、フラクタル次元は1.72です。
数学と美術の複雑な関係：
彼のIl Saggiatoreの天文学者Galileo Galileiは、「[宇宙]は数学の言語で書かれており、その文字は三角形、円、その他の幾何学的図形である」と書いている。自然を勉強しようと努力するアーティストは、まずガリレオの見解では、数学を完全に理解しなければなりません。逆に、数学者は幾何学と合理性のレンズを通して芸術を解釈し分析することを模索してきた。数学者Felipe Cuckerは、数学、特に幾何学が「ルール駆動の芸術創造」のための規則の源であることを示唆しているが、唯一のものではない。結果として生じる複雑な関係の多くのストランドのいくつかを以下で説明する。
数学者のジェリー・P・キングは、「数学の鍵は美しさと優しさであり、鈍さと専門性ではない」という数学を芸術と表現しており、その美しさは数学的研究の動機となっています。 Kingは数学者G.H. Hardyの1940年のエッセイを数学者の謝罪と引用している。その中で、Hardyは、古典時間の2つの定理、すなわちユークリッドの素数が無限に多いという証拠と、2の平方根が非合理的であるという証拠として、なぜ古典時間の定理を見つけるのかについて論じている。キングは、ハーディーが「深刻さ、深さ、一般性、予期せぬこと、必然性、経済性」（King’s italics）という基準に照らしてこの最後を評価し、その証拠を「審美的に喜ばしい」ものとして説明します。ハンガリーの数学者PaulErdősは、数学は美しさを持っていたが、説明の理由を超えて理由を考えていることに同意した： “なぜ数字が美しいの？ベートーベンの第9交響曲はなぜ美しいのか聞いてみるのが好き。数字は美しいです。
数学は、音楽、舞踊、絵画、建築、彫刻など、多くの芸術分野で認識できます。これらはそれぞれ数学に豊かに関連付けられています。視覚芸術への接続の中でも、数学はブルック・テイラーとヨハン・ランバートが記述した線形パースペクティブの規則や、固体のソフトウェアモデリングに適用されている記述的な幾何学的方法のような、アーティストのためのツールを提供することができます。デューラーとガスパール・モンゲ。中世のルカ・パチョリとルネサンス・ダ・ヴィンチのルネッサ・デューラーのルネッサンス時代のアーティストたちは、芸術作品を追求するために数学的なアイデアを利用して開発しました。遠近法の使用は、古代ギリシャの建築におけるいくつかの胚の用途にもかかわらず、13世紀にジョットのようなイタリアの画家と一緒に始められた。消失点のような規則は、1413年頃にブルネレスキによって最初に策定され、彼の理論はLeonardoとDürerに影響を与えた。アイザック・ニュートンの光スペクトルに関する研究は、ゲーテの色彩理論、フィリップ・オットー・ルンゲ、J.M.・W・ターナー、ラファエル前派、ワシリー・カンディンスキーなどのアーティストに影響を与えました。アーティストはシーンの対称性を分析することもできます。ツールは、アートを探索している数学者や、MC Escher（HSM Coxeterから影響を受けた）や建築家Frank Gehryなどの数学からインスピレーションを受けたアーティストによって適用されるかもしれませんが、コンピュータ支援設計によって、方法。
芸術家リチャードライトは、構築できる数学的オブジェクトは、 “現象をシミュレートするプロセス”として、または “コンピュータアート”の作品として見ることができると主張している。彼は、フラクタルが数学者に知られる前に数百年前からフラクタルが知られていることを観察し、数学的思考の本質を考慮しました。 Wrightは、数学的な対象を「芸術のような文化的な人工物、客観性と主観性の間の緊張、それらの比喩的な意味、表現システムの性格に従う」という方法に当てはめることが適切であると結論づける。彼はインスタンスとしてMandelbrotセットからのイメージ、セルオートマトンアルゴリズムによって生成されたイメージ、およびコンピュータレンダリングされたイメージを提供し、Turingテストを参照して、アルゴリズム製品がアートであるかどうかについて議論する。 Sasho Kalajdzievskiの「数学と芸術：ビジュアル数学の入門」では、ティルティング、フラクタル、双曲線ジオメトリなどの適切な視覚的数学のトピックを見て同様のアプローチを取っています。
コンピュータアートの最初の作品のいくつかは、1962年に展示された、爆撃機コンピュータに基づいたアナログマシンDesmond Paul Henryの “Drawing Machine 1″によって作成されました。このマシンは、複雑で抽象的な非対称の曲線的で反復的な線図面。最近では、Hamid Naderi Yeganehは、魚や鳥などの実世界のオブジェクトを示唆する形を作成し、一連の曲線を描いてカーブや斜線を描いています。 Mikael Hvidtfeldt Christensenのようなアーティストは、Structure Synthのようなソフトウェアシステムのためのスクリプトを書くことによって生成的またはアルゴリズム的な作品の作品を創作する：アーティストは、選択されたデータセットに所望の数学演算の組み合わせを適用するようにシステムを効果的に指示する。
数学者で理論的な物理学者、アンリ・ポアンカレの「科学と仮説」は、パブロ・ピカソとジャン・メッツィンガーを含むキュービズムによって広く読まれました。ポアンカレはユークリッド幾何学を、絶対的な客観的真理としてではなく、幾つもの幾何学的構成の単なるものと見なしていました。 4次元の存在の可能性は、古典的なルネサンスの視点に疑問を呈するようにアーティストにインスピレーションを与えました。非ユークリッド幾何学は有効な選択肢になりました。絵画は色彩と形で数学的に表現できるというコンセプトは、抽象的な芸術につながる芸術運動であるキュービズムに貢献しました。メッツィンガーは1910年に次のように書いています。「[ピカソ]は自由なモバイルの視点から、その巧妙な数学者モーリス・プリンストンが全体の幾何学を推論しています。その後、メッツィンガーは回想録に次のように書いた。
モーリス・プリンストンは私たちに頻繁に参加しました…それは彼がn次元の連続体を呼び出すエステティシャンとして数学を概念化したアーティストとしてのものでした。彼はSchlegelや他の人たちによって開かれた宇宙に関する新しい見解に関心のあるアーティスト達を得ることを愛しました。彼はそれに成功した。
数学的形式の教授または研究モデルを作る衝動は、自然に対称性と驚くべきまたは喜ばしい形状を有するオブジェクトを生成する。これらの中には、Dadaists Man Ray、Marcel Duchamp、Max Ernst、Man Ray、杉本浩などのアーティストにインスピレーションを与えているものもあります。
Man Rayは、Objet mathematique（数学的オブジェクト）を含む、パリのアンリ・ポアンカレ研究所で数学的モデルのいくつかを撮影しました。彼は、これが擬球から導かれた一定の負の曲率を持つエネーパの表面を表していることに気づいた。この数学的基礎は、彼が重要であったのは、対象が「抽象的」であることを否定することができたからであり、代わりにデュシャンが芸術作品にした小便器と同じくらいリアルであると主張していたからです。マン・レイは、オブジェクトの[Enneperサーフェス]の式は「私にとっては何の意味もありませんでしたが、フォーム自体は本質的に多様で本物のものでした」と認めました。彼は彼の1934年の絵AntonyとCleopatraのようなシェイクスピアの演劇で彼のシリーズで数字として数学的モデルの彼の写真を使用しました。フォーブスライフで書かれたアート・レポーターのジョナサン・キーツは、マン・レイが「キキ・ド・モンパルナスの写真と同じ官能的な光の中で楕円形放物面と円錐形の点」を撮影し、「数学のクールな計算を巧妙に再利用して、慾望”。ヘンリー・ムーア、バーバラ・ヘプワース、ナウム・ガボのような20世紀の彫刻家は、数学的モデルからインスピレーションを受けました。ムーア氏は1938年の弦楽器の母親と子供について次のように書いています。「間違いなく私の弦楽器の源はサイエンスミュージアムでした。私はそこに見た数学モデルに魅了されました。鳥の檻のように紐を見て、私を興奮させる別の形の中を見る能力。
Theo van DoesburgとPiet MondrianはDe Stijl運動を設立しました。彼らは「すべての分野で理解可能で、あらゆる分野に適用可能な基本的な幾何学的形態からなる視覚的な語彙を確立する」ことを望んでいました。彼らの芸術作品の多くは視覚的には四角形と三角形で構成されています。 De Stijlのアーティストは、絵画、家具、インテリアデザイン、建築に携わりました。 De Stijlの解体後、Van Doesburgは、1929-1930年の算術構成、四角い背景の対角線上にある4つの黒い四角形のシリーズを記述している、Avant-garde Art Concretの動きを創設しました。偶然の要素や個々の気まぐれのない明確な表面 “でありながら、「内的リズムに合うものがあるので、普遍的でなくても空ではない」という精神に欠けているわけではない。芸術評論家Gladys Fabreは、絵画の中で進行中の黒い四角と交互の背景という2つの進歩があることを観察します。
テッセレーション、多面体、空間の形成、自己参照の数学は、グラフィックデザイナーM.C.Escher（1898-1972）に木版画の生涯にわたる資料を提供しました。 Alhambra Sketchでは、エッシャーは、ポリゴンや三角形、四角形、六角形などの規則的な形でアートを作成できることを示しました。エッシャーは、面をタイル張りするときに不規則なポリゴンを使用し、反射、滑空反射、平行移動を使用してパターンをさらに取得しました。彼の作品の多くは、不可視の構成を含んでおり、透視投影と3次元の間に矛盾を設定する幾何学的オブジェクトを使用して作成されていますが、人間の視覚には心地よいものです。エッシャーの昇順と降順は、医学者のライオネル・ペンローズと息子の数学者ロジャー・ペンローズが作成した「不可能な階段」に基づいています。
エッシャーの多くのテッセレーションの図面の一部は、双曲線ジオメトリの数学者H. S. M. Coxeterとの会話からインスピレーションを受けました。エッシャーは特に5つの特定の多面体に興味を持ち、多面的に彼の作品に登場しています。プラトニック固体 – 四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体 – は、秩序と混沌と4つの通常の固体で特に顕著です。これらの星座は、多面体の視野角や立体形状をさらに歪ませ、多面的な視点のアートワークを提供する別の図内に存在することがよくあります。
テッセレーションや多面体などの数学的構造の視覚的な複雑さは、さまざまな数学的芸術作品に影響を与えました。 Stewart Coffinは、珍しい、美しい森に多面体のパズルを作ります。ジョージW・ハートは多面体の理論に基づいており、それらに触発された物体を彫刻する。 Magnus Wenningerは複雑な星座多面体の「特に美しい」モデルを作っています。
1653年にハンス・ホルバイン・イヤーナーが1553年の絵画大使アンバサダーにひどく歪んだ頭蓋骨を取り入れた時から歪んだ歪像の芸術が研究されてきました。その後、エッシャーを含む多くのアーティストがアナモルフィックトリックを利用しています。
トポロジーの数学は、現代において数人のアーティストを鼓舞してきました。彫刻家のジョン・ロビンソン（1935〜2007）は、ゴードン・ノットや友情のバンドなどの作品を制作し、磨かれた青銅の結び目の理論を展示しました。 Robinsonの他の作品はトーラスのトポロジーを探求しています。ジェネシスは、3つの円からなるボロメアリングをベースにしていますが、そのうちの2つはリンクされていませんが、構造全体が破壊されることなく分離できません。彫刻家のHelaman Fergusonは、複雑な表面や他のトポロジーオブジェクトを作成します。彼の作品は数学的オブジェクトの視覚的表現である。 Eightfold Wayは、168要素の有限集合である射影特殊線形群PSL（2,7）に基づいている。彫刻家Bathsheba Grossmanも同様に数学的構造に基づいて作業を行っています。
リベラルアーツの調査プロジェクトでは、Möbiusストリップ、フレキソゴン、折り紙、パノラマ写真を通して、数学と芸術の関係を調べます。
ローレンツ多様体と双曲線平面を含む数学的オブジェクトは、かぎ針編みを含む繊維芸術を使用して作られています。アメリカのウィーバーAda Dietzは、多変量多項式の拡張に基づいて製織パターンを定義する1949年のモノグラフ手織り代数表現を書いた。数学者J. C. P. Millerは、ルール90のセルオートマトンを使って、樹木と三角形の抽象パターンの両方を描くタペストリーを設計しました。 Pat AshforthとSteve Plummerは、六角形のような数学的なオブジェクトの編成版を教えに使っていますが、Mengerのスポンジは編みこみが面倒で、プラスチック製のキャンバスで作られています。彼らの “mathghans”（学校のためのアフガニスタン）プロジェクトは、英国の数学と技術のカリキュラムに編み込みを導入しました。
数学モデリング：
モデリングは、数学的概念を説明する唯一の方法とはほど遠い。 GiottoのStefaneschi Triptych（1320年）は、mise en abymeの形で再帰を示しています。三位一体の中央パネルには、左下に、司祭のステファンスキーのひざまずいた姿が含まれています。ジョルジョ・キリコの1917年の偉大な形而上学的な内装などの形而上学的な絵画は、絵画における絵画を描くことによって芸術における表現のレベルの問題を探求している。
芸術は、レベル間の混乱についての象徴的なジョークとして読むことができる、シュールレアリスムのルネ・マグリットの絵画のように、論理的なパラドックスを実例とすることができます。 La条件humaine（1933年）では、Magritteはイラストを（実際のキャンバス上に）描いて、絵の中の「本当の」カーテンによって囲まれた窓から見えるようにシームレスにサポートします。同様に、Escher’s Print Gallery（1956）は、反復的に絵を含むギャラリーを含む歪んだ都市を描写した印刷物であり、したがって無限に広がっている。マグリットは、球体と直方体を使って現実を別の方法で歪め、1931年の精神算術の中でそれらを子供のビルディングブロックであるかのように家の中に描きました。ガーディアンは、「不気味なおとぎ話のイメージ」が、「居心地の良い伝統的な形」のモダニズムの奪取を予言したが、自然の中でパターンを模索しようとする人間の傾向も演じていることを認めた。
サルバドール・ダリの最後の絵画「ザ・スワローズ・テール」（1983）は、ルネ・トムの大惨事説からインスパイアされたシリーズの一部でした。スペインの画家・彫刻家パブロ・パラズエロ（1916〜2007年）は形式の調査に焦点を合わせました。彼は、生命の幾何学とすべての性質の幾何学として記述したスタイルを開発しました。 PalazueloはAngular IやAutomnesのような作品で詳細なパターニングとカラーリングを施したシンプルな幾何学的な形状で構成されており、幾何学的な変形をしています。
アーティストAdrian Grayは、石のバランシングを行い、摩擦と重力の重心を利用して、目に見えない一見不可能な構図を作り出します。
ただし、アーティストは文字通りジオメトリをとる必要はありません。ダグラス・ホフシュタッター（Douglas Hofstadter）は1980年、人間の思想、すなわちゲーデル、エッシャー、バッハの作品を（他のものの中でも）芸術の数学として書いている。「エッシャーの描写と非ユークリッド幾何学の違いは、未定義の言葉の解釈が見つかる可能性があり、全体的なシステムが理解できるようになりますが、最終的な結果は、画像をどれほど長く見ても、最終結果は世界の概念とは調和できません。 Hofstadterは一見逆説的な石版印刷ギャラリーについて議論していますM. C. Escher;それは、海辺の町の絵を含むように見えるアートギャラリーを含む海辺の町を描いている。そこには、イメージの現実のレベルに「奇妙なループ、またはもつれた階層」がある。 Hofstadterは、自身の芸術家自身は見ていません。彼の現実とリトグラフとの関係は逆説的ではない。イメージの中心的なボイドは、数学者Bart de SmitとHendrik Lenstraの関心を集めています。Hartrik Lenstraは回転と収縮のDroste効果コピーを含むことを提案しています。これはHofstadterが指摘した以上の再帰の例である。
例えば、X線蛍光分光法を用いた、アートワークの画像のアルゴリズム分析は、芸術に関する情報を明らかにすることができる。このような技術は、後に絵画家によって覆われる塗料の層の画像を明らかにすることができる。アート・ヒストリアンがクラックや色あせする前にアートワークをビジュアル化するのを助けます。オリジナルのコピーを伝えるのに役立ちます。また、マスターの筆記式と見習いのスタイルを区別することもできます。
Jackson Pollockのドリップペインティングスタイルは、フラクタル次元が明確です。 Pollockの制御された混沌に影響を与えたかもしれないアーティストの中で、Max Ernstはキャンバス上にペイントされたバケツの絵柄を振ってLissajousの人物を描きました。
コンピュータの科学者Neil Dodgsonは、Bridget Rileyのストライプ絵画を数学的に特徴付けることができるかどうかを調べ、分離距離が「ある特徴を提供する」ことができ、いくつかの絵画で世界的なエントロピーが働いたとすると、Rileyのパターンが不規則であるため自己相関は失敗した。ローカルエントロピーが最も効果的であり、アート評論家Robert Kudielkaの説明とよく関連していました。
アメリカの数学者George Birkhoffの1933年の美的尺度は、アートワークの審美的品質の量的基準を提案している。絵画が意味するような作品の意味を測定しようとせず、多角形図の「秩序の要素」に限定されています。 Birkhoffは最初に、（合計として）5つのそのような要素を結合する：対称の垂直軸があるかどうか;光学的平衡があるかどうか。それが持つ回転対称性の数。どのように壁紙のような図は、 2つの頂点を近づけすぎるなどの不満足な機能があるかどうかを確認します。このメトリックOは、-3から7の間の値をとる。第2のメトリックCは、図形の要素を数え、ポリゴンの場合、その辺の少なくとも1つを含む異なる直線の数である。 Birkhoffはオブジェクトの美しさの美的尺度をO / Cと定義する。これは、オブジェクトを見ている快楽とそれを取り入れるために必要な努力のバランスと解釈することができます.Birkhoffの提案は、数式に美しさを加えようと試みることを除いて、さまざまな方法で批判されていますが、それをしたと主張した。
ブルネレスキの建築と絵画における視点の理論がブルック・テイラーとヨハン・ハインリッヒ・ランバートの研究につながった研究のサイクルを開始したときに、数学の発展を刺激し、最終的には数学の基礎になりました。 Girard DesarguesとJean-Victor Ponceletの射影ジオメトリ。
折り紙の日本の折り紙芸術は、モジュール、四角形などの合同の紙片を使って数学的に修正され、それらを多面体またはチリングにしています。紙折り畳みは幾何学的な証明を証明するためにPaper FoldingのGeometric ExercisesのT. Sundara Raoによって1893年に用いられた。前川の定理、川崎の定理、藤田 – 羽鳥の公理では紙折りの数学が探究されている。
フレイザースパイラルのような錯視は、人間の視覚の限界を際立たせており、アートヒストリアンのErnst Gombrichが「困惑するトリック」と呼ぶものを作り出しています。実際には、らせんを形成するように見える黒と白のロープは同心円です。 20世紀半ばのOpアートや光学アートスタイルの絵画やグラフィックスは、こうした効果を利用して、Bridget Riley、Spyros Horemis、Victor Vasarelyなどのアーティストの作品に見られる動きや揺れや振動の印象を作り出しました。
古代ギリシャの芸術は、神が世界の幾何学的存在であり、世界の幾何学が神聖であるとみなしています。神が幾何学的計画に従って宇宙を創造したという信念は、古代の起源を持っています。 Plutarchは、「Platoは神が幾何学的に連続していると言った」（Convivialium disputationum、liber 8,2）と書いて、その信念をプラトンに帰した。このイメージはそれ以来、西洋の思考に影響を与えてきました。ピアソラのコンセプトは、ピアソラの音楽の調和の概念から導かれたもので、ノートが完全な比率で配置されており、リアーの弦の長さに対応しています。確かに、ピタゴラス人はすべてがNumberによって手配されたと主張しました。同じように、プラトニック思想では、規則的またはプラトニックな立体が、自然や美術に見られる割合を決定します。中世の写本のイラストは、旧約聖書の詩を参照することができます：「彼は天国を確立したとき、私はそこにいました：神が宇宙を引き出していることを示す、深みのある面にコンパスを置くとき」（箴言8:27）一対のコンパス。 1596年、数学の天文学者であるJohannes Keplerは、宇宙を一連の入れ子状のプラトニックソリッドとしてモデル化し、惑星の軌道の相対的な大きさを決定しました。ウィリアム・ブレイクの「古代の時代」と物理学者のアイザック・ニュートン（Isaac Newton）のペインティングは、数学的に完璧な霊的世界と不完全な物理的世界とのコントラストを別の方法で描写しようとしています。サルバドール・ダリの1954年の十字架法Hypercubus）は、十字をハイパーキューブとして表し、通常の三次元ではなく四次元の神の視点を表します。ダリの「最後の晩餐の聖餐」（1955年）では、キリストとその弟子たちは巨大な十二面体の中に描かれています。