数学と建築

他の芸術と同様に、建築家はいくつかの理由から数学を使用するため、数学と建築は関連しています。建築物を設計する際に必要な数学とは別に、建築家はジオメトリを使用します。建物の空間形式を定義すること。紀元前6世紀のピタゴリア人から、調和のとれた形を作り、数学的、審美的、時には宗教的な原則に従って建物とその周辺をレイアウトすること。テッセレーションのような数学的オブジェクトで建物を飾る。高層ビルの敷地周辺の風速を最小限に抑えるなど、環境目標を達成することができます。

古代エジプト、古代ギリシャ、インド、イスラム世界では、宗教上の理由から、ピラミッド、寺院、モスク、宮殿、霊廟などの建物が特定の割合で配置されていました。イスラム建築では、内部と外部の両方の建物を飾るために、幾何学的形状と幾何学的タイルパターンが使用されています。いくつかのヒンズー教の寺院には、部分が全体に似ているフラクタル的な構造があり、ヒンドゥー教の宇宙論の無限についてのメッセージを伝えています。中国の建築では、福建省のトゥルーは循環的な共同防衛構造である。 21世紀には、公共の建物をカバーするために数学的な装飾が再び使用されています。

ルネサンス建築では、対称性と比例性は、古代ローマのビトゥルビウスのデ・アーキテクチュアと古代ギリシャのピタゴリア人の算術の影響を受けた、Leon Battista Alberti、Sebastiano Serlio、Andrea Palladioなどの建築家によって意図的に強調されました。 19世紀末、ロシアのVladimir ShukhovとバルセロナのAntoniGaudíは、双曲面構造の使用を開拓しました。サグラダファミリアでは、双曲線放物面、テッセレーション、カテナリーアーチ、カテナード、ヘリコイド、および支配的な面も取り入れています。 20世紀には、現代建築や脱構築主義のようなスタイルは、望ましい効果を達成するためにさまざまなジオメトリを探索しました。デンバー国際空港のようにテント状の屋根材では最小限の表面が利用されていますが、Richard Buckminster Fullerは測地線ドームとして知られる強力な薄いシェル構造の使用を開拓しました。

建築家マイケル・オストワルドとキム・ウィリアムズは、建築と数学の関係を考慮して、一般的に理解されている分野は弱くつながっているように見えるかもしれない、というのは、建築は建築を実践することに関わる専門職であり、数やその他の抽象的なオブジェクトの研究。しかし、両者は強く結びついており、古代以来存在していると主張する。古代ローマでは、ビトウビウスは、建築家を、石工や大工などの他のすべての必要な分野で熟練した職人を監督できるように、幾何学を中心としたさまざまな分野を十分に知っていた男性として説明しました。中世にも適用され、卒業生は多くの職人を導いたマスタービルダーが作ったエレガントなホールで、文法、論理、レトリック(トリビュウム)の基本シラバスとともに算術、幾何学、美学を学びました。彼の職業の最上位にある建築家は、建築家またはエンジニアの称号を与えられました。ルネサンスでは、算数、幾何学、音楽、天文学の四重奏が、Leon Battista Albertiのようなルネッサンスの人に期待される余分なシラバスとなった。同様にイングランドでは、建築家として知られているクリストファー・レン氏は、最初に有名な天文学者でした。

ウィリアムズとオストワルドは、ドイツ社会学者テオドール・アードルノのアプローチによる1500年以降の数学と建築の相互作用をさらに概観し、建築家の3つの傾向、すなわち革命的であり、全く新しい考えを紹介する。反動的であり、変化を導入しない。実際には後退しています。彼らは、建築家は復興時代のインスピレーションのために数学を見逃してきたと主張する。これは、19世紀イングランドのゴシックリバイバルのような復興主義時代には、数学との関係がほとんどなかった理由を説明します。同様に、彼らは、1520年から1580年頃のイタリアのマナーニズムや17世紀のバロック様式とパラディオ様の動きのような反動時代では、数学はほとんど参考にされていなかったことに気付いています。対照的に、未来主義や構成主義のような革命的な20世紀初頭の運動は、数学を取り入れ、モダニストの建築につながる古い考えを積極的に拒絶した。 20世紀の終わりに向かって、建物の興味深い魅力的な被覆を提供するために、非周期的なタイル張りと同様に、フラクタルジオメトリが建築家に迅速に奪われました。

建築家はいくつかの理由から数学を使用し、建物の工学に必要な数学を脇に置いています。まず、建物の空間形式を定義するため、ジオメトリを使用します。次に、数学を使って、美しく調和のとれた形を設計します。数の宗教的哲学を持つピタゴラス人の時代から、古代ギリシャ、古代ローマ、イスラム世界、イタリアルネサンスの建築家たちは、数学的、審美的時には宗教上の原則に基づいている第三に、建物を飾るためにテッセレーションなどの数学的オブジェクトを使用することがあります。第4に、高層建物の旋回気流を最小限にするなど、環境目標を達成するためのコンピュータモデリングの形で数学を使用することができます。

ビトルビウス:
影響力のある古代ローマの建築家ヴィトゥルビウス(Vitruvius)は、寺院のような建物の設計は、2つの性質、比例および対称性に依存すると主張した。比率は、建物の各部分が他のすべての部分に調和的に関連することを保証します。ビトウビウスの使用でのSymmetriaは、建物全体に(モジュラー)部品を組み立てることに関連して、鏡の対称性よりも英語のモジュール性に近いものを意味します。 Fanoの彼の聖堂では、小さな整数の比、特に3角形の数字(1,3,6,10、…)を使用して、構造をビルトルビアンのモジュールに比例させます。したがって、大聖堂の幅と長さは1:2です。その周りの通路は、それが広いほど高く、1:1です。列の厚さは5フィート、高さは50フィート、1:10です。

Vitruviusは建築家の建築家に必要な3つの資質をcと名付けました。 15 B. B.C .:堅さ、有用性(またはHenry Wottonの16世紀の英語における「商品」)、そして喜び。これらは、数学がアーキテクチャで使用される方法を分類するためのカテゴリとして使用できます。堅さは、建物が立ち上がることを保証するための数学の使用を包含し、したがって、たとえば安定性を保証し、性能をモデル化するために、設計および構築を支援する数学的ツールを包含する。有用性は、部分的には数学の効果的な適用、設計における空間的関係および他の関係の推論および分析から導き出される。喜びは、建物内の数学的関係を具現化した結果生ずる建物の属性です。それは審美的、官能的および知的な性質を含む。

パンテオン:
ローマのパンテオンは古典的なローマの構造、比例、装飾をそのまま残して生き残っています。主な構造はドームであり、頂点は光を入れるために円形の眼窩として開いたままである。それは三角形のペディメントを持つ短い吹き抜けに面しています。 oculusへの高さと内円の直径は同じで、43.3メートル(142フィート)なので、インテリア全体がキューブ内に正確に収まるようになり、インテリアは同じ直径の球を収容することができます。これらの寸法は、ローマ時代の古代ローマ時代の単位で表現すると意味があります。 oculusは直径30フィートフィートです。出入り口は40ローマ時代の高さです。パンテオンは世界最大の非補強コンクリートドームです。

建築に関する最初のルネサンスの論文は、Leon Battista Albertiの1450 De re aedificatoria(建築の芸術について)でした。それは1485年に建築に関する最初の印刷された本になり​​ました。それは部分的にビトルビウスの建築家であり、ニコマウスス、ピタゴラスの算術に基づいていました。 Albertiはキューブから始まり、そこから比率を導き出します。したがって、面の対角は比1:√2を与え、立方体に外接する球の直径は1:√3となる。 Albertiは、フィリッポ・ブルネレスキの線形パースペクティブの発見についても文書化しました。便利な距離から見ると美しくバランスのとれた建物のデザインを可能にするために開発されました。

次の主要な文章はSebastiano SerlioのRegole generali d’architettura(建築の一般規則)であった。最初の巻は1537年にヴェネツィアで登場しました。 1545巻(書籍1と2)は幾何学と視点をカバーしていました。 Serlioの視点構築方法のうちの2つは間違っていたが、これは彼の研究が広く使われるのを止めるものではなかった。

1570年に、ヴェネツィアで影響力の強い「4つの建築叢書」を出版しました。この広範囲に印刷された本は、イタリアのルネッサンスのアイデアをヨーロッパ全土に広めることに大きな責任を負い、ヘンリー・ワトゥン(Henry Wotton)のような支持者の助けを借りて彼の1624 The Elements of Architectureに寄付しました。ヴィラ内の各部屋の比率は、3:4と4:5のような単純な数学的比率で計算され、家の中の異なる部屋はこれらの比率によって相互に関係していました。以前の建築家は、単一の対称的なファサードのバランスを取るためにこれらの公式を使用していました。しかし、Palladioのデザインは、全体的には、通常正方形のヴィラに関連しています。 Palladioは、Quattro libriのさまざまな比率を認めました。

最も美しくバランスの取れた部屋には7つのタイプがあります。これらはまれではありますが、円形にすることもできます。または正方形である。またはその長さは幅の四角形の対角に等しくなります。または四角形と三角形のいずれかです。または正方形および半分;または正方形と2/3;または2つの正方形。

1615年に、Vincenzo Scamozziは、ルネッサンス後期の論文「L’Idea dell’Architettura Universal(ユニバーサル建築のアイデア)」を出版しました。彼は都市と建物のデザインをヴィトゥルビウスとピタゴリア人のアイデア、そして最近のパッラディオの考えに関連づけようとしました。

19世紀:
双曲面構造は、マスト、灯台、冷却塔のためのウラジミールシュコフ(Vladimir Shukhov)によって19世紀の終わりに向かって使用された。彼らの印象的な形は、経済的に構造材料を使用して、審美的に面白くて強いです。シュクホフの最初の双曲面塔は、1896年にニズニ・ノヴゴロドで展示されました。

20世紀:
ロシア・コンストラクティビズムによって開拓された20世紀初頭の運動近代建築は、直線的ユークリッド(デカルト)と呼ばれるジオメトリを使用していました。 De Stijlの動きでは、水平と垂直は普遍的なものとして構成されていました。建築様式は、1924年のGerrit RietveldのRietveldSchröderHouseのように、過去のスライドや交差する屋根面、壁面、バルコニーを使用して、これらの2つの方向性をまとめたものです。

モダニズムの建築家は、カーブだけでなく飛行機も自由に利用できました。チャールズ・ホールデンの1933年のアーノス(Arnos)駅には、レンガ造りの円形のチケットホールと、フラットなコンクリート屋根があります。バウハウス画家Laszlo Moholy-Nagyは1938年にRaoul HeinrichFrancéのクリスタル、球体、コーン、平面、(直方体)ストリップ、円筒形ロッド、らせん状の7つのバイオテクノロジー要素を採用しました自然に触発された建築の基本的なビルディングブロック。

ル・コルビュジエ(Le Corbusier)は、人間の身長の高さに基づいて、モジュラー(Modulor)の建築における人口測定の規模を提案した。ル・コルビュジエの1955年のシャペル・ノートルダム・デュ・オーは、数式では記述できない自由曲線を使用しています。形は、船の船長や祈りの手のような自然な形を思い起こさせると言われています。設計は最大のスケールでしかありません。小さなスケールでは細部の階層がないため、フラクタル次元はありません。シドニーオペラハウス、デンバー国際空港、ビルバオグッゲンハイム美術館などの有名な20世紀の建物にも同じことが言えます。

現代建築は、2010年の世界建築調査に回答した90人の有力建築家の意見で、非常に多様です。ベストはフランク・ゲーリーのグッゲンハイム美術館、ビルバオであると判断された。

1995年に完成したデンバー国際空港のターミナルビルは、スチールケーブルによって最小限の表面(すなわち、その平均曲率がゼロ)として支持されている。コロラドの雪で覆われた山々とネイティブアメリカンの天蓋のテントを呼び起こします。

建築家Richard Buckminster Fullerは、測地線ドームとして知られる強力な薄いシェル構造を設計することで有名です。モントリオールBiosphèreドームは61メートル(200フィート)高いです。その直径は76メートル(249フィート)です。

シドニーのオペラハウスには、船の帆を連想させる白い金庫が聳え立つ劇的な屋根があります。標準化されたコンポーネントを使用してそれらを構築することを可能にするために、ボールトはすべて、同じ半径を持つ球形シェルの三角形のセクションで構成されています。これらは、あらゆる方向に要求される一様な曲率を有する。

20世紀後半の運動Deconstructivismは、フランク・ゲーリーのDisney Concert HallやGuggenheim Museumのように、非平行壁、重ね合わせた格子、複雑な2次元表面を使って、アーキテクチャの理論におけるNikos Salingarosが、 、ビルバオ。 20世紀まで、建築家の学生は数学を学ぶ義務がありました。 Salingarosは、最初の「過度に単純化された、政治的に支配された」モダニズム、そして「反科学的」脱構築主義がアーキテクチャを数学から効果的に分離していると主張する。彼は、「数学的価値の逆転」は有害であると考えています。非数学的建築の「普及した美学」は人々に「構築された環境における数学的情報を拒絶する」ように訓練します。彼はこれが社会に悪影響を及ぼすと主張する。

古代エジプト:
古代エジプトのピラミッドは意図的に選ばれた割合で建設された墓であるが、これらは議論されている。フェース角は約51°85 ‘であり、斜面の高さと底辺の長さの比は1.619であり、黄金比から1%未満である。これが設計方法であれば、ケプラーの三角形(フェースアングル51°49 ‘)の使用を暗示します。しかし、ピラミッドの勾配は、Rhind Mathematical Papyrus(c。1650-1550 BC)から知られている3-4-5三角形(フェイスアングル53°8 ‘)から選択された可能性が高い。または底辺から斜辺比1:4 /π(面角51°50 ‘)の三角形から選択します。

ピラミッドの地面計画やピタゴラス定理の知識など、直角を描くために3-4-5三角形を使用する可能性は、主張されています。それは1882年に歴史家のモリッツ・カンターによって最初に推測された。古代エジプトでは直角が正確に描かれていたことが知られている。彼らの測量者が測定のために結び目のあるコードを使用したこと、そのプルタックスは、エジプト人が3-4-5の三角形を賞賛したIsisとOsiris(紀元100年頃)に記録されている。中王国のベルリン・パピルス6619(紀元前1700年以前)は、「100の正方形の面積は、2つの小さな正方形の面積と等しい」と述べました。一方の側は、もう一方の側に1/2です。数学の歴史家ロジャー・クークは、「ピタゴラスの定理を知らなくても、誰もそのような条件に興味を持っているとは想像しがたい」と見ている。これに対してCookeは、BC 300年前のエジプトの文章では、三角形の辺の長さを求める定理の使用を実際に言及しておらず、直角を構築する簡単な方法があると指摘している。 Cookeは、カンタールの推測は不確定であると結論づけている。彼は、古代エジプト人はおそらくピタゴラスの定理を知っていたと推測するが、「直角を作るのにそれを使ったという証拠はない」と推測する。

古代インド:
建築と都市計画の古代インドの教会であるVaastu Shastraは、マンダラと呼ばれる対称的な図を使用しています。複雑な計算は、建物とそのコンポーネントの次元に到達するために使用されます。デザインは、自然とアーキテクチャ、構造のさまざまな部分の相対的な機能、および幾何学パターン(yantra)、対称性、方向性アライメントを使用する古代の信念とアーキテクチャを統合することを意図しています。しかし、初期のビルダーは偶然に数学的な割合に達しているかもしれません。 Georges Ifrahの数学者は、弦やステークを使った単純な「トリック」を使って、楕円や直角などの幾何学的な図形をレイアウトすることができると述べています。

フラクタルの数学は、既存の建物が普遍的な魅力を持ち、視覚的に満足している理由は、視聴者に異なる視距離でのスケール感を提供するためであることを示すために使用されてきました。例えば、7世紀に建設されたハンプイのヴィルパクシャ寺院やカジュラホのカンダリヤ・マハデヴェ寺院などのヒンズー教の寺院の高層のゴプラ派門では、部分と全体がフラクタル次元1.7〜1.8の範囲である。シヴァ卿の住居であるカイルラシュ山を表す最も高い、中央の塔についての小さな塔(シカラ、照り木山)は、ヒンドゥー教の宇宙論における宇宙の無限の繰り返しを描写しています。宗教学者であるウィリアム・ジャクソン(William J. Jackson)は、小さい塔の中にグループ化された塔のパターンを観察しました。

優雅に人工的に作られた理想的な形態は、無限の存在と意識のレベルを示し、上記の超越に向かってサイズが拡大し、同時にその中の神聖な深みを収容しています。

Meenakshi Amman Templeは複数の神社がある大きな複合施設で、マドゥライの通りはシャストラに沿って同心円状に配置されています。 4つのゲートウェイは、Hampiのようなフラクタル的な繰り返し構造を持つ背の高いタワー(ゴプラム)です。各神社の周りのエンクロージャーは長方形で、高い石の壁に囲まれています。

古代ギリシャ:
ピタゴラス(紀元前569 – 紀元前475年頃)とその信者であるピタゴリア人は、 “すべてが数である”と言った。彼らは、特定の小整数比の頻度を持つ音符によって生み出されたハーモニーを観察し、そのような比率で建物も設計すべきだと主張した。ギリシア語の「対称」はもともと建築の形状の調和を建物の細部から設計全体まで正確な比率で表したものです。

パルテノンは、長さ69.5メートル(228フィート)、幅30.9メートル(101フィート)、高さ13.7メートル(45フィート)の高さです。これは、幅と長さの比が4:9で、高さと幅が同じであることを示します。これらをまとめると、幅:長さが16:36:81、ピタゴラスの喜び42:62:92になります。モジュールを0.858 mに設定します。 4:9の長方形は、3:4の比率の辺を持つ3つの連続した長方形として構成できます。各半矩形は便利な3:4:5直角三角形で、適切な結び目のあるロープで角度と辺を確認することができます。内側エリア(naos)は、同様に4:9の比率(21.44メートル(70.3フィート)の幅と48.3メートルの長さ)を有する。外側柱の直径、1.905メートル(6.25フィート)、およびその中心の間隔(4.293メートル(14.08フィート))の比も4:9です。

パルテノンは、ジョン・ジュリアス・ノリッチ(John Julius Norwich)などの作家によって「これまでに作られた最も完全なドリックの寺院」と考えられています。その洗練された建築の改良には、「スタイロボートの湾曲と、ナオスの壁のテーパーと、カラムの陥没との間の微妙な対応」が含まれる。 Entasisは、カラムの直径が微妙に減少することを意味します。スタイライトベースは、列が立つプラットフォームです。他の伝統的なギリシャの寺院と同様に、プラットフォームには、雨水を流し、建物を地震に対して補強するためのわずかな放物面の曲率があります。したがって、列は外側に傾くはずですが、実際にはわずかに内側に傾いているので、建物の中心から約1マイルほど離れています。それらはすべて同じ高さであるため、外側の椅子の縁の曲率は、上の屋根裏屋と屋根に伝達されます。「すべて繊細な曲線に構築されるというルールに従います。

ユークリッドが幾何学的構造の方法を記述したとき、黄金比は300℃で知られていました。黄金比は、パルテノン神殿や他の古代ギリシャ建築、彫刻、絵画、花瓶のデザインに用いられたと主張されています。しかし、Nikos Salingarosのような最近の著者はこれらの主張をすべて疑っている。コンピュータ科学者のGeorge Markowskyによる実験では、黄金の四角形を選ぶことができませんでした。

イスラム建築:
イスラム美術の歴史家であるアントニオ・フェルナンデス・プエルタスは、アルハンブラは、コルドバの大モスクのように、約0.62メートル(2.0フィート)のヒスパノ=イスラム教徒の足またはコモを使って設計されたことを示唆しています。宮殿のライオンズの裁判所では、その割合は一連の不祥事の後に続きます。辺1と√2を持つ長方形は(Pythagorasの定理によって)√3の対角を持ち、これは裁判所の側面によって作られた直角三角形を表しています。シリーズは√4(1:2の比率を与える)、√5などで続きます。装飾パターンは同様に比例しており、√2は円の内側に正方形を生成し、8つの星は星を生成し、√3は6つの星を生成する。アルハンブラで黄金比が使われたという以前の主張を裏付ける証拠はない。ライオンズの裁判所は、2人の姉妹館と2つの姉妹館の括弧で囲まれています。正式な六角形は、これらの2つのホールの中心とライオンズの裁判所の4つの内側コーナーから引き出すことができます。

トルコのEdirneにあるSelimiye Mosqueは、建物内のどこからでもmihrabが見える場所を提供するために、Mimar Sinanによって建設されました。したがって、非常に大きな中央の空間は、8つの巨大な柱によって形成され、直径31.25メートル(102.5フィート)、高さ43メートル(141フィート)の円形ドームで覆われた八角形として配置されています。八角形は4つの半円形を備えた正方形に形成され、外部で4つの例外的に背の高い大砲、83メートル(272フィート)の高さがあります。建物の計画は、正方形の中の八角形の内側にある円です。

ムガール建築:
放棄された帝国都市のFatehpur SikriとTaj Mahal複合体に見られるMughalの建築は、対称性と調和性に基づく特有の数学的秩序と強い審美性を持っています。

タージ・マハールはムガールの建築を例示しています。どちらもパラダイスを代表し、Mughal Emperor Shah Jahanの力をその規模、対称性、高価な装飾で表現しています。ピエトラ・デュラで飾られた白い大理石の墓地、大きな門(Darwaza-i rauza)、他の建物、庭園、道が一体となって階層的なデザインを形成しています。建物には、西側の赤い砂岩のモスクとほぼ同じ建物、複合施設の左右対称性を維持するための東にある「解答」が含まれています。正式なcharbagh(4つの庭)は、4つの部分に分かれています.4つの川の河原を象徴し、霊廟の景色と反射を提供します。これらは16のパテールに分かれています。

タージ・マハルの複合施設は、グリッド上に配置され、小さなグリッドに細分されました。コッホとバローの建築家の歴史家は、コンプレックスの幅を374ムガールヤードまたはガズとする伝統的な記述に同意します。主な領域は3つの374-gazの正方形です。これらは、バザールやキャラバンセライのような地域で17ガズモジュールに分けられました。庭とテラスは23ガズのモジュールで、368ガズワイド(16×23)です。霊廟、モスク、ゲストハウスは7ガズの格子にレイアウトされています。 KochとBarraudは、複合体で繰り返し使用される8角形に7単位の辺が与えられた場合、それは17単位の幅を持ち、複合体における比率の選択を説明するのに役立つことがあることを観察している。

キリスト教建築:
537年に最初に建設されたビザンチウム(現在はイスタンブール)のハギア・ソフィア(Haghia Sophia)のキリスト教徒主教区大聖堂は、これまでに建設された大聖堂の中で最大のものでした。それは、スルタン・アフメド(Sultan Ahmed)や街の他のモスクを含む多くの建物に影響を与えました。ビザンチン建築には円形のドームと2つのハーフドームがあり、同じ直径(31メートル(102フィート))のすべてがあり、さらに5つの小さなハーフドームがアポスを形成し、4つの丸いコーナーが広々とした長方形インテリア。これは中世の建築家たちによって、平時の下(正方形の底辺)と上の神の天体(急上昇の球形ドーム)を表すものとして解釈されました。皇帝ユスティニアヌスは、MiletusのIsidoreとTrallesのAnthemiusの2人の幾何学者を建築家として使用しました。 Isidoreはアルチメデスの作品をソリッドジオメトリで編集し、彼の影響を受けました。

キリスト教における水のバプテスマの重要性は、洗礼建築の規模に反映されました。最も古く、440年に建てられたローマのラテラン・バプテストは、八角形のバプテスマの傾向を作り出しました。これらの建物の中にあるバプテスマのフォントは、しばしば八角形であったが、ピサのイタリア最大の洗礼服(1152〜1363年)は円形で、八角形のフォントであった。それは54.86メートル(180.0フィート)の高さで、直径34.13メートル(112.0フィート)(8:5の比)です。聖アンブローズはフォントとバプテストが八角形であると書いています。「8日目に、キリストが死の束縛を緩め、死者を墓から受け入れるからです。聖アウグスティヌスも同様に、8日目を「キリストの復活によって崇められた永遠のもの」と述べました。 1059と1128の間に建てられたフィレンツェの聖ヨハネの八角形の洗礼碑は、その町の最も古い建物の一つであり、古典古代の直接伝統の最後のものの1つです。 Francesco Talenti、Alberti、Brunelleschiを含む主要な建築家が古典建築のモデルとして使用したため、その後のフィレンツェルネサンスでは非常に影響を受けました。

ナンバー5は、1721年、ネポムクのセントジョン・オブ・ネポムク巡礼教会(Zelenáhora)で使用され、JanBlažejSantini Aichelによってデザインされたチェコ共和国のŽďárnadSázavou近くにあります。正午は円形で、5対の柱と5本の楕円形のドームと卵形のアペプスで交互に囲まれています。教会には5つの門、5つの教会、5つの祭壇、5つの星があります。伝説によると、ネポムクの聖ヨハネが殉教したとき、彼の頭の上に5つの星が現れたという。 5つのアーキテクチャはまた、キリストの5つの傷や「タクイ」(ラテン語: “私は黙想を維持した” [告白の秘密について])という5つの文字を象徴するかもしれない。

AntoniGaudíは、1882年に始まったSagradaFamília(バルセロナのサグラダ・ファミリア)で幾何学的構造の多種多様なものを使用していました(2015年に完成しませんでした)。双曲線放物面と回転双曲面、テッセレーション、カテナリーアーチ、カテナード、ヘリコイド、および律法面が含まれます。この幾何学の多様な組み合わせは、教会の周りにさまざまな方法で創造的に組み合わされています。例えば、SagradaFamíliaのPassionFaçadeでは、ガウディは双曲線放物面の形で石を「枝」に集めました。双峰型放物面の形で、それらの頂点(ディレクティブ)でオーバーラップするので、一点で会うことはありません。対照的に、コロネードには双曲面放物面があり、滑らかに他の構造と結合して無限の面を形成します。さらに、ガウディは、自然の模様そのものを数学的に利用し、木の形から派生した柱と、(岩石から冷却して)六角柱に自然にひび割れされた改造されていない玄武岩から作られた房を利用する。

サンフランシスコは1971年の聖マリアの大聖堂で、8つの双曲線放物面からなるサドル屋根があり、屋根の横の横断面が正方形で、上の横断面がキリスト教の十字架となるように配置されています。この建物は、正面に77.7メートル(255フィート)、高さに57.9メートル(190フィート)の正方形です。 Oscar Niemeyerによる1970年のブラジリア大聖堂は、双曲面構造の異なる使用をしています。それは回転する双曲面を形成するために円形に配列された16本の同じコンクリートの梁から構成され、白い梁は天に祈る手のような形を作ります。ドームのみが外部から見えます。建物のほとんどは地面の下にあります。

スカンジナビアのいくつかの中世の教会は円形で、デンマークのボーンホルム島には4つの教会があります。これらの中で最も古いものの1つ、ØsterlarsChurch(c。 1160年、大規模な円形の石の柱の周りに円形洞窟があり、アーチで穿孔され、フレスコ画で飾られています。環状構造は3階建てで、見た目は強化されており、最上階は防衛のために使われていました。

イスラム建築の装飾:
イスラム建築物は、幾何学模様で装飾されていることが多く、一般的にいくつかの数学的なテッセレーションを使用しています。セラミックテール(ジリ、ゼリゲ)でできています。イスラームのパターンでは、6点、8点、または8点の倍数を持つ星などの対称性が使用されます。これらの中には、「ハテム・スレーマニ」やソロモンのシールモチーフに基づいているものもあります。このモチーフは、2つの正方形からなる8つの星で、1つは同じ中心の45度回転したものです。イスラムのパターンは、17の可能な壁紙グループの多くを利用しています。 1944年の早い段階で、アルハンブラはアルハンブラが11の壁紙グループを装飾に使用し、1986年にブランコ・グリンバウムはアルハンブラに13の壁紙グループを見つけたと主張し、残りの4つのグループはイスラムのどこにも見つからないと主張したオーナメント。

近代的な建築の装飾:
20世紀の終わりに向けて、フラクタルジオメトリや非周期的タイル張りなどの新しい数学的構造物が、建築家にとって興味深く魅力的な被覆を提供するために建築家に押された。 1913年、モダニストの建築家アドルフ・ロースは、「装飾は犯罪である」と宣言し、20世紀の残りの部分の建築思考に影響を与えました。 21世紀には、建築家は再び装飾品の使用を探求し始めています。 21世紀の装飾は非常に多様です。 Henning Larsenの2011 Harpa Concert and Conference Center、Reykjavikには、大きなガラスブロックからなる岩の結晶壁のようなものがあります。海外オフィス・アーキテクツの2010 Ravensbourne College(ロンドン)は、赤、白、茶色で、大きさの異なる円形窓を相互に連結した28,000枚の陽極酸化アルミニウムタイルで装飾的にテッセレーションされています。テッセレーションは、正三角形と不規則な5つの五角形の3種類のタイルを使用します。工藤和美の金沢うみみら図書館は、小さな円形のガラスのブロックを平らなコンクリートの壁にした装飾格子を作ります。

ヨーロッパ防衛:
要塞の建築は、高い石積みの壁を有する中世の要塞から、15世紀半ばと19世紀の間の砲撃に抵抗することができる、低い、対称的な星座に発展した。星形の幾何学的形状は、歩兵の歩兵が防御射撃から避難できるデッドゾーンを回避する必要があることによって決定された。突出点の側面は、そのような火が地面を掃引し、各突出点を越えて(両側から)交差射撃を行うことを可能にするように角度が付けられた。そのような防御を設計した有名な建築家はMichelangelo、Baldassare Peruzzi、Vincenzo ScamozziおよびSébastienLe Prestre de Vaubanを含む。

建築家の歴史学者Siegfried Giedionは、星型の要塞は、ルネサンスの理想都市のパターン形成に形成的な影響を与えていると主張しました:「ルネッサンスはフィラッテからスカモジまで1世紀半の間感動した都市型によって催眠されましたすべてのユートピア的な計画:これは星型都市です。

中国防衛:
中国の建築では、福建省のトゥルーは、主に空白の壁と鉄製の木製の扉を備えた円形の共同防衛構造で、一部は16世紀にさかのぼります。壁には外側と内側の両方に優しく傾斜する屋根があり、リングを形成しています。円の中心は開いた石畳の中庭で、しばしば井戸があり、5階建ての高さのギャラリーがあります。

環境目標:
建築家は、環境目標を達成するために建物の形態を選択することもできます。例えば、Foster and Partnersの30 St Mary Axe(ロンドンのSt Mary Axe)は、キュウリのような形の「ザウキン」と呼ばれ、パラメトリックモデリングを使って設計された革命の固体です。その幾何学的形状は、審美的理由から純粋に選択されたのではなく、その基部での旋回気流を最小にするように選択された。建物の見た目に曲面にもかかわらず、その肌を形成するすべてのガラスパネルは、上部のレンズを除いてフラットです。大部分のパネルは三角形のパネルよりも無駄の少ない長方形のガラスから切り取ることができるため、四辺形です。

ペルシャの伝統的なヤクシャル(氷穴)は蒸発冷却器として機能しました。地面の上には、その構造はドーム状の形をしていましたが、氷のための地下貯蔵スペースと時には食物もありました。地下空間と厚い耐熱構造は、貯蔵スペースを年中絶縁した。内部スペースは、ウインドキャッチャーでさらに冷却されることがよくありました。氷は、夏に冷凍デザートfaloodehを作るために利用できました。