比喩的なイメージの使用を避けがちなイスラムの装飾は、何世紀にもわたって発展してきた幾何学的パターンを頻繁に使用します。イスラムの装飾芸術家は何世紀にもわたってイスラムの幾何学模様のパターンを開発することによって診断を置き換えました。イスラム美術のデザインは、四角や円の使用を支配していました。四角や円は、アラベスクによって覆い隠され、様々な形態のモザイクが含まれていました。 3世紀のAHの星やシンプルな助けから、6世紀から13世紀までの様々な様式に使われた複雑さと多様な様式は、7世紀のAHに、その後10世紀のAHには14世紀と16世紀の星が含まれています。幾何学的なモチーフは、ペルシャのキリムやキリン、モロッコのタイル、穿孔されたタイル、穴の開いたギャリーの窓、陶器、革とステンドグラス、木工と金属工芸品を含むイスラム美術と建築の様々な形で使われました。
イスラムの幾何学的形状は、古代ギリシャ、ローマ、サッサニアの文明で用いられていたよりシンプルなデザインに触発されています。幾何学的モチーフは、イスラム装飾の3つの形態のうちの1つを表し、アラベスクベースの彫刻とアラビア書道を含む。幾何学的モチーフとアラベスクは、連動する芸術の形態です。
イスラム美術の幾何学的デザインは、多くの場合、アラビア文字（それらをしばしば組み合わせることができる）と同様に、繰り返された四角形と円形の組み合わせで構築され、多種多様なテッセレーションを含む複雑で複雑なパターンを形成する。これらは装飾全体を構成してもよいし、花飾りや書道装飾のためのフレームワークを形成してもよいし、他のモチーフの背景に後退してもよい。複雑さとパターンの多様性は、9世紀のシンプルな星とトローチから、13世紀までに6〜13ポイントのさまざまなパターンを経て、最後に16世紀の14点と16点の星も含めて進化しました。
イスラム美術は主に崇拝の対象にならないように、比喩的なイメージを避けています。イスラムの幾何学的パターンは、以前の文化で使用されていたよりシンプルなデザイン（ギリシャ語、ローマン、ササン語）から得られました。それらはイスラム装飾の3つの形態のうちの1つであり、他はカーブして枝分かれした植物形態に基づくアラベスクであり、イスラム書道である。 3つはすべて頻繁に一緒に使用されます。幾何学的なデザインとアラベスクは、イスラムのインターレースパターンの形式です。
幾何学模様は、キリムのカーペット、ペルシャのギリシャとモロッコの象牙のタイル、ムガルナの装飾のボールティング、石のスクリーン、セラミックス、革、ステンドグラス、木工、金属工芸などのイスラム美術と建築のさまざまな形で発生します。
Henry Fussionは次のように述べています。「何も尋ねることは、外見の人生を取り除き、それをイスラムのモチーフの幾何学的構成など隠されたコンテンツに移すことができます。しかし、我々は、この抽象的な枠組みの中で、人生は線を通って流れ、それらの間に形成が増え、散発的で間欠的に形成されることを忘れてはならない解釈は、目に見えるものと望むものに依存し、それらのすべてが潜在的かつ無限のエネルギーの秘密を隠して明らかにします»。キース・クリクロフはまた、イスラムのモチーフは、見た目の装飾だけでなく、根底にある真理を理解するために見る者を引き付けるように設計されていると主張している。建築、陶器、織物、または本は、装飾品です “と彼は言った。 「装飾の隠された目的は、モスクを明るく明るい体に変えることであり、クルアーンのページの装飾は、無限の門になります」対照的に、ドリス・バーンズ・アブ・サイフは彼女の本中世ヨーロッパの哲学思想とイスラム世界の間には大きな違いがあるというアラブ文化の美しさと質のコンセプトは同じではないことから、美の楽しさ視覚芸術は、宗教的または心理的な基準に対処することなく、美しさ自体を楽しむことでした。
キース・クリシュロウのような作家は、模様のみに興味のある作家が時々意味するように、イスラムのパターンは、単純な装飾ではなく、根底にある現実の理解に見る者を導くように作られていると主張する。 David Wadeは次のように述べています。「建築、陶器、織物、本のどれがイスラム教の芸術の多くは、変容の芸術です。ウェイド氏は、モスクを「明るさとパターン」に変え、「コーランの装飾されたページは無限に窓ができる」と主張している。これに対して、Doris Behrens-Abouseifは、中世ヨーロッパの哲学思想とイスラム世界との間の「主な相違点」が、アラブ文化において分離されているということを彼女の本「アラビア文化における美」で述べている。彼女は、詩や視覚芸術の美しさは、宗教的または道徳的基準へのコミットメントなしに「自分自身のために」楽しんでいたと主張する。
多くのイスラムのデザインは正方形と円で構成されており、複雑で複雑なパターンを形成するために繰り返し、重なり合ったり絡み合ったりしています。繰り返されるモチーフは、8点星で、イスラムのタイルワークでよく見られます。 2つの正方形から構成され、一方は他方に対して45度回転している。第4の基本形状は、五角形と八角形を含む多角形である。これらのすべてを組み合わせて再加工して、反射や回転などのさまざまな対称性を持つ複雑なパターンを形成できます。このようなパターンは、無限に広がり、無限を示唆する数学的なテッセレーションとして見ることができます。それらは、ルーラーとコンパスだけを描画する必要があるグリッド上に構築されます。芸術家と教育者のローマン・ベロストコは、このような構造が現代のアルゴリズム的技術の先駆けであるイスラムの幾何学的パターンを作るアルゴリズムであると主張する。
この円は本質的に団結と多様性を象徴し、多くのイスラムのパターンは円で始まります。例えばイランのヤズドにある15世紀のモスクの装飾は、その周りに描かれた6つの円で囲まれた円に基づいており、その中心はすべて2つの近隣のセンターに接触し、正六角形を形成しています。これに基づいて、6つの小さな不規則な六角形で囲まれた6つの尖った星が構築され、星型の星型パターンが形成されます。これは、モスクの壁面に白く描かれている基本的なデザインを形成します。しかし、そのデザインは、他の色のタイルの周りに青色の交差する文章と重ね合わされ、元のデザインと基本的なデザインを部分的に隠す精巧なパターンを形成します。モハメッド・アリ・リサーチ・センターのロゴも同様のデザインで構成されています。
イスラム教徒パターンのアーネスト・ハンベリー・ハンキン（Ernest Hanbury Hankin）の初期の西洋人学生の1人は、「幾何学的アラベスク」を「接触しているポリゴンからなる構成線の助けを借りて」形成されたパターンと定義した。彼は、ポリゴン間の残りのスペースが合理的に対称である限り、多種多様なポリゴンの組み合わせを使用できることを発見しました。例えば、接触している八角形のグリッドは、（八角形と同じ側の）四角形を残余の空間として有する。 Akbarの墓Sikandra（1605-1613）に見られるように、すべての八角形が8点星の基礎となります。ハンキンは、「ポリゴンの適切な組み合わせを発見する際にアラビアのアーティストのスキルを賞賛しました。彼はさらに、ある星が角にある場合、その四分の一が表示されるべきであることを記録しています。エッジに沿って、ちょうどその半分の場合。
15世紀後半または16世紀初めにティムリッドのイランで作られたTopkapıScrollには、ギルティリングとムクアナの四分の一または半円形のデザインを含む114のパターンが含まれています。
スペインのグラナダにあるアルハンブラ宮殿の装飾タイルとスタッコパターンの数学的特性が広く研究されています。いくつかの著者は、そこに17の壁紙グループの大部分またはすべてを見つけたと疑わしい理由で主張している。 14世紀から19世紀にかけてのモロッコの幾何学的木工は、主にp4mmとc2mm、p6mmとp2mm、時にはp4gmの5種類の壁紙グループを使用しています。 n倍のロゼットから始まる “Hasba”（メジャー）構築法は、17グループ全てを生成することができると主張されている。
サークルはこれらのモチーフの構造に大きな役割を果たしており、デザイナーはルーラーとキャリパーを使用しています。リボルバー、オクタゴン、三角形、四角形、ペンタクルなどの多くの幾何学的形状は、四角形や円を規則的に繰り返し、重なり合ったり絡み合ったりして複雑なパターンで隙間を埋めるようにして作成されました。それは部分から部分へ。 8つの星はイスラムのタイル張りでよく使われ、2つの正方形から作られました。そのうちの1つは45度でした。スカッシュやオクタゴンなどの他のポリゴンも使用されていました。これらの形状は、反射及び回転のような様々な対称の形態を介して複雑なパターンを形成するために組み合わせることができる。これらの幾何学的パターンは、無期限に伸びることができる幾何学的モザイクと考えることができる。芸術家Roman Versticoは、これらの形は実際にはアルゴリズムであり、イスラムの幾何学的デザインを現代のアルゴリズムの先駆けとしていると主張する。 「イスラム美術における工学の概念」の中で、Essam al-SayyidとAisha Barmanは、イスラム教徒のデコレータは、エンジニアリングネットワークが定期的に繰り返される同一の単位に分割されたシステムを使用していると説明した。これは、面積を同様の大きさの正方形または拳銃に分割し、各ユニット内にそのユニットのスキームが構築されるグリッドの基礎となる幾何学的形状を描くことによって行われる。各エンティティの各ユニットは、そのエリアの全体的な形状を構成するために、他の類似ユニットと関連付けられています。この方法は、幾何学的形状の相対的な関係に基づいて装飾的な図面を容易に拡大し最小化するプロセスに役立った。
例えば、イランのヤズドのモスクの装飾には、6つの円で分けられた6つの円に分割されたメインサークルがあり、それぞれが隣接する円の中心を通り六角形を形成します。したがって、より小さくて不規則な拳銃で六角形の星が形成され、全体のデザインがモザイクのモチーフを形成する。モハメッド・アリ研究所は同様のデザインを採用している。アーネスト・ハンベリー・ハンキンはイスラムのアラベスク装飾の初期学者の一人で、ポリゴンの接触に起因する基本的な線を使って形成された装飾として説明しました。ハンキンは、ポリゴン間の残りのスペースが対称である限り、ポリゴンの組み合わせを使用できることに留意した。たとえば、鑑定人のネットワーク接続が8角形の間のスペースに囲まれている場合などです。
イスラム美術における最も初期の幾何学的形態は、時には孤立した幾何学的形状であり、例えば、8角形の星および四角形を含むトローチ剤であった。これらは、836年からチュニジアのKairouanの大モスクで起きて以来、イスラム世界全域に広がっています。
次の開発は、イスラムの幾何学模様の使用の中間段階であり、カイロのイブン・トゥルン・モスクで879に現れ、その後広く普及した6点星と8点星でした。
11世紀からは、より多様なパターンが使用されていました。抽象的な6点と8点の形状は、1067年にはカスバン、ペルシャで1067、エジプトでは1085年にエジプトのモスク（Al-Juyushi Mosque）に再び登場しました。
イスファハンの金曜日のモスクには、1086年に、7角形と10角形のパターン（ヘプタゴン、5つ星と6つ星の星、三角形と不規則な六角形）が現れています。スペインのAl-Andalusを除いて、イスラム世界では10ポイントの地獄が広がった。その後、1098年、ペルシアのバーシア・モスクでは、9-、11-、13-ポイントのギリシイ・パターンが使用された。これらは、7点の幾何学的パターンのように、ペルシャおよび中央アジアの外ではめったに使用されません。
最後に、中期の終わりを記念して、1220年にトルコのコンヤ（Konya）、1230年にバグダッドのアッバース宮殿（Abbasid palace）で、イスラム世界全体に広がっていく8,12のギリシャのロゼットパターンが現れます。
後期の始まりは、1321年のカイロではハサン・サダカ廟で、1338〜1390年にはスペインのアルハンブラで、単純な16点のパターンが使われています。これらのパターンは、これらの2つの領域の外側にはほとんど見られません。もっと複雑な16点の幾何学的パターンが1363年のカイロのスルタンハサン複合施設で見つかったが、他の場所ではめったに見られなかった。最後に、1571年から1596年にかけて、インドのFatehpur SikriのJama Masjidに14点のパターンが現れましたが、他のいくつかの場所では発生しました。
アートフォーム：
イスラム世界のさまざまな部分にあるいくつかの芸術作品は、幾何学的パターンを利用しています。これらには、セラミック、ジリストラップワーク、ジャリーピアスストーンスクリーン、キムラッグス、レザー、金属工芸、ムクタルナボールティング、シャカバステンドグラス、木工、ゼリーテイルリングなどがあります。
セラミックスは、放射状か接線かにかかわらず、円形のモチーフに適しています。ボウルまたはプレートは、放射状のストライプで内側または外側に装飾することができます。これらは部分的に比喩的であり、定型化された葉や花弁を表し、円形の帯は鉢や瓶の周りを回ることができます。これらのタイプのパターンは、13世紀のAyyubid時代のイスラム磁器に用いられていました。例えば6枚の花弁を有する放射状に対称な花は、幾何学的な単純さと認識可能な自然主義のモチーフ、明るい色の釉薬、および環状の食器に理想的な放射状の組成を組み合わせることができる、ポッターはしばしば彼らが造っていた船の形に適したパターンを選んだ。したがって、アレッポからアーチ状の陶器製の水入れ（フラスコと首の付いた）は、中央に小さな8花弁の花が刻まれたアラビア語の刻印の周りにモールディングされた編みのリングで飾られています。
Girihは、5つの標準化された形で形成された複雑なインターレースパターンです。スタイルは、ペルシャのイスラム建築と装飾木工でも使用されています。ギリハのデザインは、従来のカットレンガ、スタッコ、モザイクファイアンスのタイルワークなど、さまざまなメディアで制作されています。木工では、特にSafavid時代には、格子状のフレーム、着色されたガラスなどのパネルで平らにされたもの、またははめ込まれたもののいずれかとして適用できます。または聖なるものであれ世俗的であれ、壁や天井を飾るために使用されるモザイクパネルとして使用できます。建築では、ギリは15世紀から20世紀にかけて装飾的なインターレースストラップの表面を形成します。ほとんどのデザインは、ポイントの規則的な配列を提供する部分的に隠された幾何学的グリッドに基づいています。これは、平面を満たすことができる2、3、4、および6倍の回転対称性を用いてパターン化される。グリッド上に重なって見えるパターンは幾何学的なもので、6,8,10,12の星と様々な凸多角形があり、通常は上下に織り交ぜられているように見えるストラップでつながっています。目に見えるパターンは、基になるタイルと一致しません。
ジャリは定期的に繰り返される模様の石スクリーンを穿孔している。それらはインドイスラム建築の特徴であり、例えばFatehpur SikriとTaj MahalのMughal王朝の建物である。幾何学的なデザインは、八角形や五角形などの多角形を他の形状（例えば、五角柱や八角形）と組み合わせる。パターンは対称性を強調し、反復によって無限を示唆した。 Jaliは、窓や部屋の仕切りとして機能し、プライバシーを提供するが、空気と光を許容する。 Jaliはインドの建築の重要な要素を形成しています。穿孔された壁の使用は、現代の建築基準とセキュリティの必要性で減少しています。例えばモールディングされた粘土またはセメントブロックで作られた現代的で単純化されたジャリ壁は、建築家ローリーベイカーによって普及している。ギリスタイルの覗き窓は、カイロのイブン・トゥルンのモスクの窓など、時にはイスラム世界のどこかにあります。
キリムは、家庭用であろうと祈りマットであろうと、イスラム平織カーペット（杭なし）である。パターンは、色の境界に達するとよこ糸を経糸の上に巻き戻すことによって行われる。この技法は隙間または垂直スリットを残すので、キルムはスリット織物と呼ばれることがあります。キリムは、2~4倍の鏡像または回転対称性を持つ幾何学模様で飾られていることが多い。織りは縦糸と横糸を使用するので、曲線は生成することが困難であり、したがってパターンは主に直線エッジで形成される。キリムのパターンは、しばしば特定の地域の特徴です。キリムのモチーフはしばしば象徴的で装飾的です。例えば、オオカミの口やオオカミの足のモチーフ（トルコ語：KurtAǧzi、Kurtİzi）は、家族の群れをオオカミから守るための部族の織りの希望を表しています。
イスラム革は、しばしばすでに述べたものと同様の模様でエンボスされている。比喩的なアートワークを除いたクルアーンから始まるレザーブックカバーは、典型的には幾何学的な編組によって縁取られた、クフィの脚本、メダル、幾何学模様の組み合わせで装飾されていました。
金属工芸品は、他の形態のイスラム美術で使用されているのと同じ幾何学的デザインを共有しています。しかし、Hamilton Gibbの見解では、幾何学的パターンが境界線に使用される傾向があり、主な装飾領域にある場合は、花模様、アラベスク、動物モチーフなどの他のモチーフと組み合わせて使用されることが最も多い、または書道スクリプト。イスラムの金属工芸品の幾何学的なデザインは、これらのモチーフで装飾されたグリッドを形成することができます。また、背景パターンを形成することもできます。
ボウルや皿のような金属物が幾何学的な装飾をもたないような場合でも、アラベスクのようなデザインはしばしば八角形の区画に設定されるか、またはオブジェクトの周りに同心円状のバンドで配置される。クローズドデザイン（反復しない）と開かれたパターンまたは反復パターンの両方が使用されます。インターレース6点星などのパターンは、12世紀から特に人気がありました。 Eva Baerは、このデザインは本質的にシンプルではあるが、メタルワーカーがアラベスクと絡み合った複雑な模様に仕立て上げられていることを指摘している。6つのオーバーラップする円の六角形パターンなど、
ムカルナは精巧に彫られたセミドームの天井で、モスクでよく使われます。それらは典型的にはスタッコで作られている（したがって構造的な機能を持たない）が、木材、レンガ、石でもあり得る。彼らはスペインからの中世のイスラム建築と西のモロッコ、東のペルシャの特徴です。構造的には、複数の階段を形成し、サイズが小さくなるにつれて小さくなります。彼らはしばしば精巧に装飾されている。
幾何学的にパターン化されたステンドグラスは、イスラム建築のさまざまな設定で使用されています。それは1797年に建設されたアゼルバイジャンのShaki Khans宮殿の生き残った夏の住居に見られます。 “shabaka”窓のパターンには、6点、8点、12点の星が含まれています。これらの木製フレームの装飾窓は、宮殿の建築の特徴です。 Shabakaはまだ21世紀のShekiの伝統的な方法で建設されています。イランやアゼルバイジャンでのワークショップでは、木製のフレーム（ヨーロッパのような鉛ではない）に置かれたステンドグラスの伝統が生き残っています。トルコとアラブの両方の土地で、ギリギリのような模様に整えられた漆喰の窓は、 1983年にアムステルダムで開催された国際植民地展のためにチュニジアでデザイン要素の伝統的なバランスが取られていなかった後期の例がありました。古い都市Sana’aには高層ビルにステンドグラスの窓があります。
Zelligeは、釉薬のテラコッタタイルを石膏にして、規則的なテクスチャと半透明のテッセレーションを含むカラフルなモザイクパターンを形成します。伝統はモロッコの特徴ですが、ムーアのスペインでも見られます。 Zelligeは、モスク、公共の建物、裕福な民家を飾るために使用されています。
イスラムの幾何学的パターンへの関心は、20世紀にMC Escherを含む職人と芸術家の間で、また数学者と物理学者の間でも増加している。Peter J. LuとPaul Steinhardtは、2007年にDarb-e Imamイスファハーンの神社はペンローズのような準周期パターンを生み出すことができた。
西洋社会では、カーペットのような反復的なイスラムのパターンにおけるミスは、アッラーだけが完璧を生み出すことができると信じていた芸術家によって謙遜のショーとして意図的に導入されたと考えられますが、この理論は否定されています。
西洋の主要なコレクションには、イスラムの幾何学的パターンを持つ広範囲に変化する素材の多くのオブジェクトが保存されています。ロンドンのヴィクトリアアンドアルバート博物館には、壁紙、彫刻された木材、象嵌木材、錫または鉛ガラスの陶器、真ちゅう、漆喰、ガラス、絹織物、象牙、ペンまたは鉛筆の絵など、少なくとも283種類の物が保管されています。ニューヨークのメトロポリタン美術館には、他の関連する所蔵品の中には、エジプトのミニバー（壇）のドアを2mほど含む、イスラムの幾何学模様を保有する124の中世（1000〜1400 A.D.）の物体があります。ローズウッドで高く、象牙と黒檀で象眼細工された桑。イスファハーンのミハブ（祈りのニッチ）全体、多色のモザイクで装飾された、2,000キロ以上の重さ。
オランダのアーティスト、C. C. Escherは、アルハンブラの複雑な装飾デザインに触発され、テッセレーションの数学を研究し、スタイルを変え、彼の芸術的キャリアに影響を与えました。彼自身の言葉では、「私が今までに触れたインスピレーションの最も豊かな源」でした。
数理科学研究所や高等研究所などの文化組織は、イスラム美術の幾何学的パターンや関連する側面に関するイベントを運営しています。 2013年にイスタンブールデザインセンターとEnsar財団はイスタンブールで初めてのイスラム芸術と幾何学模様のシンポジウムであると主張したことを実行しました。パネルには、イスラムの幾何学模様Carol Bier、Jay Bonner、Eric Broug、Hacali Necefooul、Reza Sarhangiの専門家が参加した。英国では、王子の伝統芸術学校では、幾何学、書道、アラベスク（植物の形）、タイル作り、石膏彫刻など、イスラム美術のコースを行っています。
コンピュータグラフィックスおよびコンピュータ支援製造は、効果的かつ経済的にイスラム幾何学パターンを設計および製造することを可能にする。 Craig S. Kaplanは彼の博士号で説明し、説明しています。どのようにイスラムの星のパターンがアルゴリズム的に生成されるかについての論文。
ピーター・J・ルーとポール・スタインハートの2人の物理学者は、1973年にロジャー・ペンローズによって発見されたような準周期的なティリングを作成することができたと主張して、論争を誘発した。彼らは、伝統的な支配者やコンパスの構築ではなく、二次的にライン（ストラップワーク用）で装飾されたすべての正多角形の5つの “ギルタイル”のセットを使用してギルのデザインを作成することが可能であることを示しました。
Ahmad Rafsanjaniは、2016年にイランの墓塔からのイスラム幾何学パターンを使用して、穿孔されたゴムシートからオーセチック材料を作成することを説明しました。これらは収縮状態または拡張状態のいずれかで安定であり、2つの間で切り替えることができ、これは外科用ステントまたは宇宙船構成要素に有用であり得る。従来の材料が1つの軸に沿って引き伸ばされると、それは他の軸に沿って（伸びに対して直角に）収縮する。しかし、オーセチック素材はプルに直角に拡張します。この異常な行動を可能にする内部構造は、Rafsanjaniが墓の塔に記した70のイスラムのパターンのうちの2つに触発されています。