デフォルトロジックは、Raymond Reiterによって提案された非単調論理であり、デフォルト推論を用いて推論を正式化する。

デフォルトロジックは、「デフォルトでは何かが真である」というような事実を表すことができます。 対照的に、標準ロジックは、何かが真であるか、何かが偽であることしか表現できません。 これは、推論がしばしば事実の大部分に当てはまるが必ずしも真実ではないので、問題である。 典型的な例は:「鳥は典型的には飛ぶ」。 このルールは、標準的な論理で、「すべての鳥が飛ぶ」、つまりペンギンが飛んでいないという事実とは矛盾しているか、または「ペンギンではなく、タチアではなく飛ぶ」という鳥類指定するルールの例外。 デフォルトロジックは、例外のすべてを明示的に言及することなく、このような推論ルールを正式化することを目指しています。

デフォルトロジックの構文
デフォルト理論はペアです  。 Wは、バックグラウンド理論と呼ばれる論理式の集合で、これは確かに知られている事実を形式化します。 Dは一連のデフォルトルールであり、それぞれのルールは次のとおりです。

このデフォルトによると、前提条件が真であり、  現在の信念と一致していれば、結論が真実であると信じるように導かれます。

W内の論理式およびデフォルト内のすべての式は、元々一次論理式とみなされていましたが、潜在的には任意の正式論理で式になる可能性があります。 命題論理の数式である場合は、最も研究されたものの1つです。


既定のルール “birds typical fly”は、次の既定値によって形式化されます。

この規則は、もしXが鳥であり、それが飛んでいると仮定することができるならば、それは飛ぶと結論づけることができる。 鳥に関するいくつかの事実を含む背景理論は、以下のものです:

このデフォルトルールによれば、前提条件Bird(Condor)が真であり、正当性Flies(Condor)が現在知られているものと矛盾しないため、コンドルが飛行します。 逆に、Bird(Penguin)はFlies(Penguin)の結論を許可しません。デフォルトBird(Penguin)の前提条件が成り立っていても、正当なFlies(Penguin)は既知のものと矛盾します。 デフォルトのルールではBird(X)からFlies(X)を導き出すことしか許されないので、この背景理論とこのデフォルトから、Bird(Bee)は結論づけられません。 その結果から推論規則の前置詞を導き出すことは、結果の説明の一形態であり、誘拐的推論の目的である。

共通のデフォルト仮定は、真であると知られていないことが偽であると考えられることである。 これはClosed World Assumptionと呼ばれ、すべての事実Fに対して次のようなデフォルトを使用してデフォルトロジックで形式化されています。

例えば、コンピュータ言語Prologは、否定を扱うときに一種のデフォルト仮定を使用します。負の原子が真であると証明できない場合、それは偽であるとみなされます。 ただし、Prologは、いわゆるネゲーションを失敗として使用します。インタプリタがアトムを評価する必要がある場合 それはFが真であることを証明しようとし、  失敗した場合はtrueです。 デフォルトのロジックでは、  正当化は次の場合にのみ適用できます  現在の知識と一致しています。

制限事項
前提条件がない場合(または前提条件が同義語である場合)、デフォルトはカテゴリまたは前提条件なしです。 結論に相当する単一の正当性がある場合、デフォルトは正常です。 カテゴリーと通常の両方の場合、デフォルトは超常態です。 すべての正当化がその結論を伴う場合、デフォルトは非正規です。 デフォルト理論には、カテゴリ、ノーマル、超常態、またはセミノーマルが含まれています。

デフォルトロジックのセマンティクス
もしその前提条件が理論によって随伴され、その正当化がすべて理論と一致するならば、デフォルト規則は理論に適用することができる。 デフォルトルールを適用すると、その結果が理論に追加されます。 その後、他のデフォルト規則を結果理論に適用することができる。 他の既定値を適用することができないような理論がある場合、この理論はデフォルト理論の拡張と呼ばれます。 既定のルールは異なる順序で適用される可能性があり、これにより異なる拡張が行われる可能性があります。 ニクソンダイヤモンドの例は、2つの拡張子を持つデフォルトの理論です:

Nixonは共和党員とクエーカーの両方であるため、両方のデフォルトを適用することができます。しかし、最初のデフォルトを適用すると、ニクソンは平和主義者ではないという結論に導かれ、第二のデフォルトは適用されない。 同様に、第二のデフォルトを適用することで、ニクソンは平和主義者であるということが分かり、最初のデフォルトは適用されません。 したがって、この特定のデフォルト理論は、Pacifist(Nixon)が真であり、Pacifist(Nixon)が偽である2つの拡張を有する。

デフォルトロジックの元のセマンティクスは、関数の固定小数点に基づいていました。 以下は同等のアルゴリズム定義です。 デフォルトに空き変数を持つ数式が含まれている場合は、これらの変数すべてに値を与えることによって得られたすべてのデフォルトの集合を表すものと見なされます。デフォルト  命題理論に適用可能である。もしT if  すべての理論 一貫している。 このデフォルトをTに適用すると理論につながる  。拡張機能は、次のアルゴリズムを適用することによって生成できます。

T=W           /* current theory */A=0           /* set of defaults applied so far */ 
              /* apply a sequence of defaults */while there is a default d that is not in A and is applicable to T
  add the consequence of d to T
  add d to A
 
              /* final consistency check */if 
  for every default d in A
    T is consistent with all justifications of d
then
  output T

Nixonダイアモンドの例では、最初のデフォルトを適用すると、2番目のデフォルトを適用できない理論が導かれ、逆も同様です。 その結果、ニクソンは平和主義者であり、ニクソンは平和主義者ではないという2つの拡張が生成される。

適用されたすべてのデフォルトの正当性の一貫性の最終的なチェックは、いくつかの理論が拡張を持たないことを意味する。 特に、適用可能なデフォルトのすべての可能なシーケンスについてこのチェックが失敗するたびに発生します。 次のデフォルト理論には拡張子はありません。

以来  背景理論と一致している場合、デフォルトを適用することができます。  偽です。 しかし、この結果は、最初のデフォルトを適用するための前提を損なうものです。 したがって、この理論には拡張はない。

通常のデフォルト理論では、すべてのデフォルト値は正常です:デフォルト値のそれぞれは、  。 通常のデフォルト理論では、少なくとも1つの拡張が保証されています。 さらに、通常のデフォルト理論の拡張は相互に矛盾している、すなわち互いに矛盾している。

エンゲージメント
デフォルト理論は、ゼロ、1つ、またはそれ以上の拡張を持つことができます。 デフォルト理論から数式を取り入れることは、2つの方法で定義することができます。

懐疑的な
それがすべての拡張によって伴われるならば、公式はデフォルト理論に従う。

信じられない
数式は、その拡張の少なくとも1つが伴われるならば、デフォルト理論に従う。

したがって、ニクソンダイヤモンドの例理論は、ニクソンが平和主義者であり、彼が平和主義者ではないという2つの拡張があります。 その結果、パシフィスト(ニクソン)と¬パシフィスト(ニクソン)のどちらも懐疑的であり、どちらも信じられないほど込み入っている。 この例が示すように、デフォルト理論の信じられない結果は互いに矛盾するかもしれません。

代替のデフォルト推論ルール
デフォルト論理のための以下の代替推論規則はすべて元のシステムと同じ構文に基づいています。

正当化された
元のものと異なる点は、集合Tが適用されたデフォルトの正当性と矛盾する場合、デフォルトが適用されないという点である。

簡潔な
デフォルトが適用されるのは、その結果が既にTに拘束されていない場合のみです(正確な定義はこれよりも複雑です;これはそれの背後にある主な考えです)。

制約された
背景理論、適用されたすべてのデフォルトの正当化、および適用されたすべてのデフォルト(これを含む)の結果が一貫している場合にのみ、デフォルトが適用されます。

ラショナル
制約付きのデフォルトロジックと同様ですが、デフォルトの追加の結果は整合性チェックでは考慮されません。

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慎重な
Nixonダイヤモンドの例のように、適用することができるが、互いに衝突するデフォルトは適用されません。

推論規則の正当化されたバージョンと拘束されたバージョンは、少なくともすべてのデフォルト理論に拡張を割り当てます。

デフォルトロジックの変形
次のデフォルトロジックの変種は、構文とセマンティクスの両方で元のものと異なります。

アサーション変数
アサーションはペアです  数式と数式のセットで構成されています。 このようなペアは、pが真であることを示し、式  pが真であることを証明する一貫性があると仮定されている。 アサーションのデフォルト理論は、バックグラウンド理論と呼ばれるアサーション理論(アサーションの公式の集合)と、元の構文のように定義されたデフォルトの集合で構成されています。 デフォルトがアサーション理論に適用されるときはいつも、その結果と正当化のセットからなるペアが理論に追加されます。 以下のセマンティクスは、アサーション理論を使用します。

累積デフォルトロジック
仮定デフォルトロジックへの約束
準デフォルトロジック

弱い拡張機能
背景理論と適用されたデフォルトの結果からなる理論で前提条件が有効かどうかを調べるのではなく、前提条件が生成される拡張の有効性についてチェックされます。 言い換えれば、拡張を生成するためのアルゴリズムは、理論を推測し、それを背景理論の代わりに使用することから始まります。 エクステンション生成のプロセスから得られる結果は、最初に推測された理論と同等である場合に限り、実際には拡張である。 このデフォルト論理の変種は原理的に自動認識論理に関連しており、理論  xが真であるモデルは、  真、式  最初の仮定を支持する。

論理和論理
デフォルトの結果は、単一の数式の代わりに数式のセットです。 デフォルトが適用されるたびに、その結​​果の少なくとも1つが非決定論的に選択され、真になります。

デフォルトの優先順位
デフォルトの相対優先順位を明示的に指定することができます。 理論に適用可能なデフォルトのうち、最も好ましいもののうちの1つだけが適用され得る。 デフォルトロジックのいくつかのセマンティクスでは、優先順位を明示的に指定する必要はありません。 むしろ、より具体的なデフォルト(より少ないケースで適用可能なもの)は、あまり具体的でないものより優先されます。

統計的な変形
統計的なデフォルトはデフォルトであり、エラーの頻度に上限が付けられています。 言い換えれば、デフォルトは誤った推論ルールであるとみなされます。

翻訳
デフォルトの理論は、他の論理の理論に翻訳することができ、その逆も可能である。 翻訳に関する以下の条件が考慮されています。

結果 – 保存
元の理論と翻訳された理論は同じ(命題的)結果を持つ。

忠実な
この条件は、デフォルトロジックの2つのバリアント間、またはデフォルトロジックと、拡張に類似する概念が存在するロジック(例えば、モーダルロジックのモデル)との間で変換する場合にのみ意味を持ちます。 元の理論と翻訳された理論の拡張(あるいはモデル)の間に写像(典型的には双射)が存在するならば、翻訳は忠実である。

モジュラー
デフォルトとバックグラウンド理論を別々に翻訳することができれば、デフォルトロジックから別のロジックへの変換はモジュール化されています。 さらに、背景理論に式を追加するだけで、新しい式が翻訳結果に追加されます。

同じアルファベット
元の翻訳された理論は同じアルファベットで構築されています。

多項式
翻訳の実行時間または生成された理論のサイズは、元の理論のサイズの多項式であることが要求される。

翻訳は通常、忠実であるか、少なくとも結果を保存する必要がありますが、モジュール性と同じアルファベットの条件は無視されることがあります。
命題デフォルト論理と以下の論理との間の翻訳可能性が研究されている:

古典的命題論理;
自動認識ロジック。
命題的なデフォルト論理は、準正常理論に限定されている。
デフォルトロジックの代替セマンティクス。
外接。

翻訳は、条件が課されているかどうかに依存します。 命題デフォルト論理から古典命題論理への変換は、多項式階層が崩壊しない限り、多項式サイズの命題理論を常に生成することはできません。モジュラリティか同じアルファベットの使用が必要かどうかによって、自動認識論理への翻訳が存在するかどうかは不明です。

複雑
デフォルトロジックに関する以下の問題の計算上の複雑さが分かっています。

拡張機能の存在
命題既定理論に少なくとも1つの拡張があるかどうかを判断する  -コンプリート;

懐疑的黙示
命題既定理論が懐疑的に命題公式を伴うかどうかを決定する  -コンプリート;

信じられない思い込み
命題既定理論が信じられないほど命題公式を伴うかどうかを決定する  -コンプリート;

拡張子チェック
命題公式が命題デフォルト説の拡張と同等かどうかを決定する  -コンプリート;

モデル検査
命題解釈が命題既定理論の拡張のモデルであるかどうかを決定することは、  -コンプリート。

実装
デフォルトロジックを実装している3つのシステムはDeReS、XRayとGADeLです

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